Teste de Hipóteses Para Médias e ProporçõesTeste de Hipóteses é um processo de Inferência Estatística,que permite decidir ...
O processo de inferência começa com a formulação de duashipóteses básicas :     : hipótese nula ou da existência.     : hi...
:Ѳ=   Para testes unilaterais à esquerda:Ѳ<:Ѳ=   Para testes aplicados a valores do parâmetro:Ѳ=   obtidos após a decisão ...
O procedimento padrão para a realização de um Teste deHipóteses é o que se segue:  Definem-se as hipóteses do teste: nula...
 Fixam-se duas regiões: uma de não rejeição de   (RNR) e uma de rejeição de       ou crítica (RC) para o   valor calculad...
Testes de Hipotéses para a média de populações       normais com variâncias (σ²) conhecidasTestes BilateraisExemplo:De uma...
Teste Unilateral (Monocaudal) à EsquerdaExemplo :Uma fábrica anuncia que a taxa de nicotina dos seuscigarros é abaixo de 2...
Teste Unilateral à DireitaExemplo :Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novomaterial em sua fabricação e acred...
Testes de Hipotéses para proporçõesProcedimento 1.   Fixam-se as Hipóteses     : =                                :   ≠   ...
6. Definem-se as regiões RNR e RC da mesma forma  anterior e, com o mesmo procedimento, rejeita-se ou nãoExemplo:Sabe-se p...
Problemas: 1. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros    consomem, em média, 11 litros por 100 km rodados,    co...
adultos desta parte da cidade, obtendo-se a média de   162cm. Pode-se afirmar que os residentes desta parte   da cidade sã...
eleitores desta cidade, encontrando 160 que votarão no   candidato. Este resultado mostra que a afirmação do   candidato é...
média de 167 cm. Podemos afirmar, ao nível de 5%,   que esta amostra é representativa do país?7. Lança-se uma moeda 100 ve...
9. Um exame padrão de inteligência tem sido usado por    vários anos com média de 80 pontos e desvio padrão    de 7 pontos...
T.H. Com variância desconhecida                Distribuição t de Student11. A vida média das lâmpadas elétricas produzidas...
TH para a variância de uma População Normalcom Média Conhecida  :       =  :       ≠   ou   >       ou   <      =       ou...
TH para a      da População Normal com      DesconhecidaDistribuição de             pode ser demonstrada comouma      com ...
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Problemas 1. De uma população normal X com média 1000, levanta-    se uma amostra de 15 elementos, obtendo-se             ...
3. Observou-se durante vários anos a produção mensal   de uma indústria, verificando-se que essa produção se   distribuía ...
Erros De Decisão      Nos Testes de Hipóteses podemos cometer dois tipos      de erros:       1. Rejeitarmos uma hipótese ...
P(I) = αP(II)-Probabilidade de se cometer erro tipo II : P(II)=βP(II)= β=P{   -   .   ≤   ≤   +   .   |    =   }Exemplos1....
2. Calcular P(I) ou P(II) conforme o caso no seguinte problema.   De uma população normal levantou-se uma amostra de   tam...
Problemas 1. Determine para α=10%, n=35 e σ=10 os valores de que   levariam a rejeitar : μ = (usar teste bi-caudal). Calcu...
3. Um químico deseja testar a dureza de certo material,  composto de chumbo, usando o critério de ponto de fusão.  Obtém 3...
4. Posteriormente o químico verifica que o ponto de fusão do  chumbo é 327,4C. Se o químico realizasse 100 testes, com 100...
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  1. 1. Teste de Hipóteses Para Médias e ProporçõesTeste de Hipóteses é um processo de Inferência Estatística,que permite decidir por um valor do parâmetro Ѳ ou por suamodificação com um grau de risco conhecido.Exemplos de hipóteses testadas:  Os chips da marca A tem vida média = ;  O equipamento A produz peças com menor variabilidade que o equipamento B: < ;  O aço produzido pelo processo A é mais duro que o aço produzido pelo processo B: > .
  2. 2. O processo de inferência começa com a formulação de duashipóteses básicas : : hipótese nula ou da existência. : hipótese alternativa.Exemplos de hipóteses genéricas: :Ѳ= Para testes bilaterais :Ѳ≠ :Ѳ= Para testes unilaterais à direita :Ѳ>
  3. 3. :Ѳ= Para testes unilaterais à esquerda:Ѳ<:Ѳ= Para testes aplicados a valores do parâmetro:Ѳ= obtidos após a decisão tomada em um dos três testes anteriores.
  4. 4. O procedimento padrão para a realização de um Teste deHipóteses é o que se segue:  Definem-se as hipóteses do teste: nula e alternativa;  Fixa-se um nível de significância α;  Levanta-se uma amostra de tamanho n e calcula-se uma estimativa do parâmetro Ѳ;  Usa-se para cada tipo de teste uma variável cuja distribuição amostral do estimador do parâmetro seja a mais concentrada em torno do verdadeiro valor do parâmetro;  Calcula-se com o valor do parâmetro , dado por , o valor crítico, valor observado na amostra ou valor calculado ( );
  5. 5.  Fixam-se duas regiões: uma de não rejeição de (RNR) e uma de rejeição de ou crítica (RC) para o valor calculado, ao nível de risco dado;  Se o valor observado ( ) Região de Não Rejeição, a decisão é a de não rejeitar ;  Se Região crítica, a decisão é a de rejeitar .Pode-se observar que quando se fixa α, determina-se paraos testes bilaterais, por exemplo, valores críticos(tabelados), , tais que:P( < ) = 1 – α → RNRP( ≥ ) = α → RC
  6. 6. Testes de Hipotéses para a média de populações normais com variâncias (σ²) conhecidasTestes BilateraisExemplo:De uma população normal com variância 36, toma-se umaamostra casual de tamanho=16, obtendo-se = 43. Ao nívelde 10%, testar as hipóteses: :μ= :μ≠
  7. 7. Teste Unilateral (Monocaudal) à EsquerdaExemplo :Uma fábrica anuncia que a taxa de nicotina dos seuscigarros é abaixo de 26mg por cigarro. Analisando-se 10cigarros obteve-se : 26, 24,23,22,28,25,27,26,28,24.Sabe-se que esta taxa distribui-se normalmente comvariância 5,36mg. Pode-se aceitar a afirmação do fabricanteao nível de 5%?
  8. 8. Teste Unilateral à DireitaExemplo :Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novomaterial em sua fabricação e acredita que aumentará aresistência média, que é de 206Kg. A resistência das lajotastem distribuição normal com desvio padrão de 12Kg. Retira-se uma amostra de 30 lajotas, obtendo = 210Kg. Ao nívelde 10%, pode o fabricante aceitar que a resistência médiade suas lajotas tenha aumentado?
  9. 9. Testes de Hipotéses para proporçõesProcedimento 1. Fixam-se as Hipóteses : = : ≠ , > , < 2. Fixa-se o nível α. 3. Retira-se uma amostra de tamanho n e define-se x: no de sucesso, calculando = . 4. Determina-se com dados por , = 5. Define-se como variável Critério: Z=
  10. 10. 6. Definem-se as regiões RNR e RC da mesma forma anterior e, com o mesmo procedimento, rejeita-se ou nãoExemplo:Sabe-se por experiência que 5% da produção de umdeterminado artigo é defeituosa. Um novo empregado écontratado e produz 600 peças com 82 defeituosas. Aonível de 15%, verificar se o novo empregado produz peçascom maior índice de defeitos que o existente.
  11. 11. Problemas: 1. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros por 100 km rodados, com desvio padrão de 0,8 lt. Uma revista decide testar esta afirmação e analisa 35 carros desta marca, obtendo 11,4 lts/100 km como consumo médio. Supondo que o consumo siga uma distribuição normal, ao nível de 10% o que a revista concluirá sobre o anúncio da fábrica? 2. A altura dos adultos de uma cidade tem distribuição normal com média de 164 cm e desvio padrão de 5,82 cm. Para saber se as condições sociais desfavoráveis vigentes na parte pobre da cidade redundam em alturas mais baixas, levantou–se uma amostra de 144
  12. 12. adultos desta parte da cidade, obtendo-se a média de 162cm. Pode-se afirmar que os residentes desta parte da cidade são em média mais baixos que a média da cidade ao nível de 5%?3. Em uma experiência sobre percepção extra-sensorial, um indivíduo A, é solicitado a declarar a cor vermelha ou preta de cartas tiradas ao acaso de um baralho de 50 cartas (proporção 50% preta ou vermelha). Se A identifica corretamente 32 cartas, este resultado é significativo ao nível de 5% para indicar que A tem PES?4. Um candidato a deputado estadual afirma que terá 60% dos votos dos eleitores de uma cidade. Um instituto de pesquisa colhe uma amostra de 300
  13. 13. eleitores desta cidade, encontrando 160 que votarão no candidato. Este resultado mostra que a afirmação do candidato é correta, ao nível de 5%?5. A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas produzidas por uma firma foi calculada em 1570 horas, com desvio padrão de 120 horas. Sabe-se que a duração das lâmpadas dessa firma tem distribuição normal com média de 1600 horas. Ao nível de 1% testar se houve alteração na duração média das lâmpadas.6. A população de um país apresenta altura média de 170 cm e desvio padrão de 5 cm. A altura tem distribuição normal. Uma amostra de 40 indivíduos apresentou
  14. 14. média de 167 cm. Podemos afirmar, ao nível de 5%, que esta amostra é representativa do país?7. Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40 caras. Baseado neste resultado pode-se afirmar, ao nível de 5%, que a moeda não é honesta?8. O salário dos empregados das indústrias siderúrgicas tem distribuição normal com média de 4,5 salários mínimos, com desvio padrão de 0,5 salários mínimos. Uma amostra de 49 empregados de uma grande empresa apresentou um salário médio de 4,3 s.m. Ao nível de 5%, podemos afirmar que esta empresa paga salários inferiores à média das indústrias siderúrgicas?
  15. 15. 9. Um exame padrão de inteligência tem sido usado por vários anos com média de 80 pontos e desvio padrão de 7 pontos. Um grupo de 25 estudantes é ensinado, dando-se ênfase à resolução de testes. Se este grupo obtém média de 83 pontos no exame, há razões para se acreditar que a ênfase dada mudou o resultado do teste ao nível de 10%?10. Um fabricante de medicamento afirma que ela é 90% eficaz na cura de uma alergia, em um determinado período. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150 pessoas. Testar ao nível de 1% se a afirmação do fabricante é legítima?
  16. 16. T.H. Com variância desconhecida Distribuição t de Student11. A vida média das lâmpadas elétricas produzidas por uma empresa era de 1120 horas. Uma amostra de 8 lâmpadas extraída recentemente apresentou a vida média de 1070 horas, com desvio padrão de 125h e distribuição normal para a vida útil. Testar a hipótese de que a vida média das lâmpadas não se alterou ao nível de 1%.
  17. 17. TH para a variância de uma População Normalcom Média Conhecida : = : ≠ ou > ou < = ou =Exemplo :De uma população normal com média 300, levantou-seuma amostra de 26 elementos, obtendo-se : = 129000Ao nível de 5%, testar as hipóteses : : = : < 0
  18. 18. TH para a da População Normal com DesconhecidaDistribuição de pode ser demonstrada comouma com (n-1) graus de liberdade. = como = - )2→ - )2 = ( → =( → =
  19. 19. TH para : = : ≠ ou > ou < = ou =Exemplo:Avaliou-se em 240kg o desvio padrão das tensões deruptura de certos cabos produzidos por uma fábrica. Depoisde ter sido introduzida uma mudança no processo defabricação destes cabos, as tensões de ruptura de umaamostra de 8 cabos apresentaram o desvio padrão de300kg. Investigar a significância do aumento aparente davariância, ao nível de 5%.
  20. 20. Problemas 1. De uma população normal X com média 1000, levanta- se uma amostra de 15 elementos, obtendo-se = 200. Ao nível de 1%, testar. : = : > 2. De uma população normal levantou-se uma amostra de 10 observações, obtendo os seguintes valores: 10, 8, 15, 11, 13, 19, 21, 13, 15 e 14. Sabendo-se que a população tem média = 14, ao nível de 5%, testar : : = : ≠
  21. 21. 3. Observou-se durante vários anos a produção mensal de uma indústria, verificando-se que essa produção se distribuía normalmente com variância 300. Foi adotada uma nova técnica e, durante 24 meses, verificou-se a produção mensal, constatando-se que = 10000 e = 400. Há razões para se acreditar que a qualidade da produção piorou, ao nível de 10%?4. De uma população normal com média desconhecida, levantou-se uma amostra casual de 21 elementos: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 Ao nível de 10%, testar se a variância populacional é menor que 4.
  22. 22. Erros De Decisão Nos Testes de Hipóteses podemos cometer dois tipos de erros: 1. Rejeitarmos uma hipótese nula verdadeira; é denominado erro de espécie ou erro tipo I. 2. Não rejeitamos uma falsa; é chamado erro de espécie ou erro tipo II.Probabilidade de cometer os erros do tipo I e IIP(I)-Probabilidade de se cometer erro tipo I =P ( cair na RC do teste), isto é : (-∞, ] U [ , +∞)Se verdadeiro, concluímos que P(I) = P( α→
  23. 23. P(I) = αP(II)-Probabilidade de se cometer erro tipo II : P(II)=βP(II)= β=P{ - . ≤ ≤ + . | = }Exemplos1. De uma população normal, levantou-se uma amostra e calculou-se ao nível de 1% que . = 5. Admitindo as hipóteses : :μ= : μ = 110 probabilidade de cometermos um erro do tipo II, isto é, de não rejeitarmos , sendo verdadeira. Não rejeitamos quando (95 , 105)
  24. 24. 2. Calcular P(I) ou P(II) conforme o caso no seguinte problema. De uma população normal levantou-se uma amostra de tamanho 16, obtendo-se = 18. Sabendo-se que a variância da população é 64, analisar ao nível de 10% as hipóteses (usar teste bi-lateral): :μ= = 1,64 = = =2→ : μ = 25 . = 3,283. De uma população normal com σ = 100 tiramos uma amostra de n=100 observações, obtendo-se 1016,4 para limite crítico (num teste mono-caudal à direita). Ao nível de 5%, determinar a Função Poder de um Teste (P( =1-β) sendo: :μ= : μ = 1018
  25. 25. Problemas 1. Determine para α=10%, n=35 e σ=10 os valores de que levariam a rejeitar : μ = (usar teste bi-caudal). Calcule β se : μ = 53 2. Afirma-se que 50% das pessoas tem 2 resfriados por ano. Decidimos rejeitar esta afirmação se, entre 400 pessoas, 216 ou mais tiverem 2 resfriados ou mais por ano. Qual a probabilidade de cometer um erro do tipo I.
  26. 26. 3. Um químico deseja testar a dureza de certo material, composto de chumbo, usando o critério de ponto de fusão. Obtém 322, 328, 326 e 320 graus centígrados numa amostra. Entretanto, o químico não possui o ponto de fusão do chumbo, mas quando verifica este índice, a distribuição é normal com variância 4. O químico estabelece, ao nível de 10% de risco, o teste: :μ= (metal puro) : μ ≠ 325 (metal não puro) Que resultado obtém o químico no teste?
  27. 27. 4. Posteriormente o químico verifica que o ponto de fusão do chumbo é 327,4C. Se o químico realizasse 100 testes, com 100 amostras do mesmo tamanho, em quantos aceitaria que o metal é puro?

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