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Probabilidade e Estatística




  “TESTES DE HIPÓTESES”
    (ou Testes de Significância)
Estimação e Teste de Hipóteses

Estimação e teste de hipóteses (ou significância) são
os aspectos principais da Inferência Estatística


                 ESTIMAÇÃO
    Estimar um parâmetro qualquer da população


            TESTE DE HIPÓTESES
Decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro
populacional é, ou não, apoiada pela evidência obtida
de dados amostrais
Teste de Hipóteses
Em estatística, uma hipótese é uma alegação, ou afir-
mação, sobre uma característica de uma população


Pesquisadores médicos afirmam que a temperatura
média do corpo humano não é igual a 37 oC


Um novo fertilizante utilizado no cultivo de hortaliças
aumenta a produtividade
Teste de Hipóteses

A dificuldade nestes casos (e daí a necessidade de
métodos estatísticos) é que a característica de
interesse varia em cada amostra


A temperatura média do corpo humano varia de pessoa
para pessoa


A produtividade varia de planta para planta
Raciocínio Estatístico

            DIRETRIZ GERAL

“Analisar uma amostra para distinguir entre
resultados que podem ocorrer facilmente e
os que dificilmente ocorrem”
Exemplo Prático
A empresa ProCare lançou o produto Escolha-o-Sexo. De
acordo com a propaganda, o produto permitiria que os
casais aumentassem em 87% a chance de terem um filho,
e em 80% a chance de terem uma filha.
Suponha que se faz um experimento com 100 casais que
querem ter menina, e que todos eles sigam as instruções
da embalagem do respectivo produto.

Utilizando apenas o bom senso, o que se poderia
concluir sobre a eficácia do Escolha-o-Sexo se das 100
crianças:
a) 52 são meninas ?
b) 96 são meninas ?
Teste de Hipóteses

             PONTO CRUCIAL
A diferença entre o valor alegado de um parâmetro
populacional e o valor de uma estatística amostral
pode ser razoavelmente atribuído à variabilidade
amostral

OU
A discrepância é demasiado grande para ser
encarada assim
Estudo de Caso
   (temperatura do corpo humano)


Estudos prévios indicam que a temperatura do
corpo humano é 98,60oF.        Pesquisadores
médicos de Maryland coletaram dados
amostrais com     x = 98,20oF e distribuição
aproximadamente normal.


Estes dados amostrais constituem evidência
suficiente para rejeitar a crença comum de que
µ = 98,6 oF ???
Estudo de Caso
  (temperatura do corpo humano)


O primeiro passo consiste em formular duas
hipóteses sobre a afirmação.


As hipóteses são explicações potenciais que
procuram levar em conta fatos observados em
situações onde existem algumas incógnitas.


A incógnita em nosso caso é a verdadeira
temperatura do corpo humano.
Hipótese Nula e Alternativa

A hipótese nula H0 é uma afirmação que diz que o
parâmetro populacional é tal como especificado
(isto é, a afirmação é correta).

                  H0 : µ = 98,6

A hipótese alternativa H1 é uma afirmação que
oferece uma alternativa à alegação (isto é, o
parâmetro é maior/menor/diferente que o valor
alegado).
                  H1 : µ ≠ 98,6
Hipótese Nula e Alternativa

A hipótese nula H0 representa o status quo, ou seja,
a circunstância que está sendo testada, e o objetivo
dos testes de hipóteses é sempre tentar rejeitar a
hipótese nula.


A hipótese alternativa H1 representa o que se deseja
provar ou estabelecer, sendo formulada para
contradizer a hipótese nula.
Hipótese Nula e Alternativa

                  Teste Bilateral:
                  H0 : µ = valor numérico
                  H1 : µ ≠ valor numérico



Teste Unilateral Superior:       Teste Unilateral Inferior:
H0 : µ = valor numérico          H0 : µ = valor numérico
H1 : µ > valor numérico          H1 : µ < valor numérico
Tipos de Erro

Repare que, ao testarmos uma hipótese nula,
chegamos a uma conclusão:
        rejeitá-la, ou não rejeitá-la

Entretanto, devemos lembrar que tais
conclusões ora são corretas, ora são incorretas
(mesmo quando fazemos tudo corretamente!).

Este é o preço a ser pago por estarmos
trabalhando em uma situação onde a
variabilidade é inerente !!!
Tipos de Erro
Exemplo

A eficácia de certa vacina após um ano é de 25% (isto
é, o efeito imunológico se prolonga por mais de um ano
em apenas 25% das pessoas que a tomam).
Desenvolve-se uma nova vacina, mais cara, e deseja-
se saber se esta é, de fato, melhor.
Sendo “p” a proporção de imunizados por mais de
uma ano com a nova vacina...

  Quais hipóteses devem ser formuladas?

  Que erros poderemos cometer?
Exemplo

Hipótese nula:            H0 : p = 0,25
Hipótese alternativa:     H1 : p > 0,25


Erro tipo I : aprovar a vacina quando, na
realidade, ela não tem nenhum efeito superior
ao da vacina em uso.
Erro tipo II : rejeitar a nova vacina quando ela
é, de fato, melhor que a vacina em uso.
Nível de Significância

A probabilidade de se cometer um erro tipo I
depende dos valores dos parâmetros da população e
é designada por α (nível de significância).
Dizemos, então, que o nível de significância α de um
teste é a probabilidade máxima com que desejamos
correr o risco de um erro do tipo I.
O valor de α é tipicamente predeterminado; são
comuns as escolhas α = 0,05 e α = 0,01.

A probabilidade de se cometer um erro do tipo II é
designada por β.
Exemplo Ilustrativo

Nosso interesse em detectar desvios não aleatórios
(significativos) de determinado parâmetro pode
envolver desvios em ambas as direções ou apenas
numa direção.


Assim, em sucessivas jogadas de uma moeda, esta
pode ser considerada não-equilibrada se aparece um
número muito grande, ou muito pequeno, de caras.
Exemplo Ilustrativo
A hipótese nula estabelece a situação “normal”, isto é,
a moeda é equilibrada.
     H0 : p = 0,50
A hipótese alternativa seria simplesmente “a moeda
não é equilibrada”, e investigaríamos então desvios em
ambas as direções.
     H1: p ≠ 0,50
Entretanto, se estivéssemos apostando, digamos, em
caras, então nossa preocupação seria somente com um
número pequeno de caras. A hipótese alternativa seria
“aparecem muito poucas caras”.
     H1: p < 0,50
Exemplo Ilustrativo

Essencialmente, a hipótese alternativa é usada para
indicar qual o aspecto da variação não-aleatória que nos
interessa.

                    H0 : p = 0,50


     H1: p ≠ 0,50 (ambas as direções: muito OU muito pouco)

     H1: p < 0,50 (desvio abaixo: muito pouco)

     H1: p > 0,50 (desvio acima: muito)
Tipos de Erro   BILATERAL


H1 : p ≠ 0,5


                      UNILATERAL



H1 : p < 0,5


                      UNILATERAL


H1 : p > 0,5
RESUMO
        O processo geral consiste nos seguintes passos:
1. Formular as hipóteses nula e alternativa;

2. Escolher a distribuição amostral adequada;

3. Escolher um nível de significância α com base na gravidade do
   erro tipo 1 ;

4. Calcular a estatística de teste, os valores críticos e a região crítica
   (esboçar um gráfico é SEMPRE uma boa opção)

5. Comparar a estatística de teste com os valores críticos:

      Rejeitar a hipótese nula se a estatística de testa excede o(s)
      valor(es) crítico(s), ou seja, está na região crítica

      Não rejeitar a hipótese nula, caso contrário.
Exemplo

Uma máquina automática enche pacotes de café segundo uma
distribuição normal com média μ e desvio-padrão 20g


A máquina foi regulada para μ = 500g

De meia em meia hora tiramos uma amostra de 16 pacotes para
verificar se o empacotamento está sob controle, isto é, se μ = 500g


        Se uma dessas amostras apresentasse x = 492g,
      você pararia ou não o empacotamento para verificar
             se o ajuste da máquina está correto ?
Exemplo

Passo 1:   Indicamos por X o peso de cada pacote,
           então X é uma normal com média μ e σ = 20.
           As hipóteses que nos interessam são:


    Hipótese nula:           H0 : μ = 500 g
    Hipótese alternativa:    H1 : μ ≠ 500 g   BILATERAL!



           pois a máquina pode desregular para mais
           ou para menos
Exemplo

Passo 2: Escolher a distribuição amostral


  Se o desvio padrão populacional é conhecido:

      Distribuição NORMAL (Caso deste exemplo típico)


  Se o desvio é desconhecido E a amostra é pequena (n<30):

      Distribuição de STUDENT
Exemplo

Passo 3:   Escolher o nível de significância



    Pela situação descrita no problema, podemos fazer
    α = 0,01
Exemplo

Passo 4: Calcular a estatística de teste, valores e
          região crítica

                               média amostral − média alegada
   estatística de teste =
                            desvio padrão da distribuição amostral


               x − μ0                               x − μ0
    zteste   =                  ou       tteste   =
               σ/ n                                 s/ n
Exemplo

Passo 4: Calcular a estatística de teste, valores e
         região crítica
                              proporção amostral − proporção alegada
  estatístic a de teste   =
                              desvio padrão da distribuiç ão amostral


              p− p
              ˆ                 n = número de provas
   zteste   =                   p = proporção populacional (hipótese nula)
                pq              q=1-p
                n                    x
                                p=
                                ˆ        ( proporção amostral )
                                     n
Exemplo

Passo 4: Calcular a estatística de teste, valores e
         região crítica


         x−μ   492 − 500 − 8
      z=     =          =    = − 1,6
         σ n    20 16     5
Exemplo
    Passo 4: Calcular a estatística de teste, valores e
              região crítica

Área = 0,5 – 0,005 = 0,495         Área = 0,5 – 0,005 = 0,495




                z = -2,575             z = 2,575
Exemplo

Passo 5:   A informação da amostra é que x = 492 g
           (o que fornece z = - 1,6)

   Como x∉ Região Crítica, nossa conclusão será
                  não rejeitar H0



  A discrepância da média da amostra para a média proposta
      por H0 pode ser considerada como devido apenas
               ao sorteio aleatório dos pacotes
R E S U M O: Passo 5
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Probabilidade e Estatística: Testes de Hipóteses

  • 1. Probabilidade e Estatística “TESTES DE HIPÓTESES” (ou Testes de Significância)
  • 2. Estimação e Teste de Hipóteses Estimação e teste de hipóteses (ou significância) são os aspectos principais da Inferência Estatística ESTIMAÇÃO Estimar um parâmetro qualquer da população TESTE DE HIPÓTESES Decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro populacional é, ou não, apoiada pela evidência obtida de dados amostrais
  • 3. Teste de Hipóteses Em estatística, uma hipótese é uma alegação, ou afir- mação, sobre uma característica de uma população Pesquisadores médicos afirmam que a temperatura média do corpo humano não é igual a 37 oC Um novo fertilizante utilizado no cultivo de hortaliças aumenta a produtividade
  • 4. Teste de Hipóteses A dificuldade nestes casos (e daí a necessidade de métodos estatísticos) é que a característica de interesse varia em cada amostra A temperatura média do corpo humano varia de pessoa para pessoa A produtividade varia de planta para planta
  • 5. Raciocínio Estatístico DIRETRIZ GERAL “Analisar uma amostra para distinguir entre resultados que podem ocorrer facilmente e os que dificilmente ocorrem”
  • 6. Exemplo Prático A empresa ProCare lançou o produto Escolha-o-Sexo. De acordo com a propaganda, o produto permitiria que os casais aumentassem em 87% a chance de terem um filho, e em 80% a chance de terem uma filha. Suponha que se faz um experimento com 100 casais que querem ter menina, e que todos eles sigam as instruções da embalagem do respectivo produto. Utilizando apenas o bom senso, o que se poderia concluir sobre a eficácia do Escolha-o-Sexo se das 100 crianças: a) 52 são meninas ? b) 96 são meninas ?
  • 7. Teste de Hipóteses PONTO CRUCIAL A diferença entre o valor alegado de um parâmetro populacional e o valor de uma estatística amostral pode ser razoavelmente atribuído à variabilidade amostral OU A discrepância é demasiado grande para ser encarada assim
  • 8. Estudo de Caso (temperatura do corpo humano) Estudos prévios indicam que a temperatura do corpo humano é 98,60oF. Pesquisadores médicos de Maryland coletaram dados amostrais com x = 98,20oF e distribuição aproximadamente normal. Estes dados amostrais constituem evidência suficiente para rejeitar a crença comum de que µ = 98,6 oF ???
  • 9. Estudo de Caso (temperatura do corpo humano) O primeiro passo consiste em formular duas hipóteses sobre a afirmação. As hipóteses são explicações potenciais que procuram levar em conta fatos observados em situações onde existem algumas incógnitas. A incógnita em nosso caso é a verdadeira temperatura do corpo humano.
  • 10. Hipótese Nula e Alternativa A hipótese nula H0 é uma afirmação que diz que o parâmetro populacional é tal como especificado (isto é, a afirmação é correta). H0 : µ = 98,6 A hipótese alternativa H1 é uma afirmação que oferece uma alternativa à alegação (isto é, o parâmetro é maior/menor/diferente que o valor alegado). H1 : µ ≠ 98,6
  • 11. Hipótese Nula e Alternativa A hipótese nula H0 representa o status quo, ou seja, a circunstância que está sendo testada, e o objetivo dos testes de hipóteses é sempre tentar rejeitar a hipótese nula. A hipótese alternativa H1 representa o que se deseja provar ou estabelecer, sendo formulada para contradizer a hipótese nula.
  • 12. Hipótese Nula e Alternativa Teste Bilateral: H0 : µ = valor numérico H1 : µ ≠ valor numérico Teste Unilateral Superior: Teste Unilateral Inferior: H0 : µ = valor numérico H0 : µ = valor numérico H1 : µ > valor numérico H1 : µ < valor numérico
  • 13. Tipos de Erro Repare que, ao testarmos uma hipótese nula, chegamos a uma conclusão: rejeitá-la, ou não rejeitá-la Entretanto, devemos lembrar que tais conclusões ora são corretas, ora são incorretas (mesmo quando fazemos tudo corretamente!). Este é o preço a ser pago por estarmos trabalhando em uma situação onde a variabilidade é inerente !!!
  • 15. Exemplo A eficácia de certa vacina após um ano é de 25% (isto é, o efeito imunológico se prolonga por mais de um ano em apenas 25% das pessoas que a tomam). Desenvolve-se uma nova vacina, mais cara, e deseja- se saber se esta é, de fato, melhor. Sendo “p” a proporção de imunizados por mais de uma ano com a nova vacina... Quais hipóteses devem ser formuladas? Que erros poderemos cometer?
  • 16. Exemplo Hipótese nula: H0 : p = 0,25 Hipótese alternativa: H1 : p > 0,25 Erro tipo I : aprovar a vacina quando, na realidade, ela não tem nenhum efeito superior ao da vacina em uso. Erro tipo II : rejeitar a nova vacina quando ela é, de fato, melhor que a vacina em uso.
  • 17. Nível de Significância A probabilidade de se cometer um erro tipo I depende dos valores dos parâmetros da população e é designada por α (nível de significância). Dizemos, então, que o nível de significância α de um teste é a probabilidade máxima com que desejamos correr o risco de um erro do tipo I. O valor de α é tipicamente predeterminado; são comuns as escolhas α = 0,05 e α = 0,01. A probabilidade de se cometer um erro do tipo II é designada por β.
  • 18. Exemplo Ilustrativo Nosso interesse em detectar desvios não aleatórios (significativos) de determinado parâmetro pode envolver desvios em ambas as direções ou apenas numa direção. Assim, em sucessivas jogadas de uma moeda, esta pode ser considerada não-equilibrada se aparece um número muito grande, ou muito pequeno, de caras.
  • 19. Exemplo Ilustrativo A hipótese nula estabelece a situação “normal”, isto é, a moeda é equilibrada. H0 : p = 0,50 A hipótese alternativa seria simplesmente “a moeda não é equilibrada”, e investigaríamos então desvios em ambas as direções. H1: p ≠ 0,50 Entretanto, se estivéssemos apostando, digamos, em caras, então nossa preocupação seria somente com um número pequeno de caras. A hipótese alternativa seria “aparecem muito poucas caras”. H1: p < 0,50
  • 20. Exemplo Ilustrativo Essencialmente, a hipótese alternativa é usada para indicar qual o aspecto da variação não-aleatória que nos interessa. H0 : p = 0,50 H1: p ≠ 0,50 (ambas as direções: muito OU muito pouco) H1: p < 0,50 (desvio abaixo: muito pouco) H1: p > 0,50 (desvio acima: muito)
  • 21. Tipos de Erro BILATERAL H1 : p ≠ 0,5 UNILATERAL H1 : p < 0,5 UNILATERAL H1 : p > 0,5
  • 22. RESUMO O processo geral consiste nos seguintes passos: 1. Formular as hipóteses nula e alternativa; 2. Escolher a distribuição amostral adequada; 3. Escolher um nível de significância α com base na gravidade do erro tipo 1 ; 4. Calcular a estatística de teste, os valores críticos e a região crítica (esboçar um gráfico é SEMPRE uma boa opção) 5. Comparar a estatística de teste com os valores críticos: Rejeitar a hipótese nula se a estatística de testa excede o(s) valor(es) crítico(s), ou seja, está na região crítica Não rejeitar a hipótese nula, caso contrário.
  • 23. Exemplo Uma máquina automática enche pacotes de café segundo uma distribuição normal com média μ e desvio-padrão 20g A máquina foi regulada para μ = 500g De meia em meia hora tiramos uma amostra de 16 pacotes para verificar se o empacotamento está sob controle, isto é, se μ = 500g Se uma dessas amostras apresentasse x = 492g, você pararia ou não o empacotamento para verificar se o ajuste da máquina está correto ?
  • 24. Exemplo Passo 1: Indicamos por X o peso de cada pacote, então X é uma normal com média μ e σ = 20. As hipóteses que nos interessam são: Hipótese nula: H0 : μ = 500 g Hipótese alternativa: H1 : μ ≠ 500 g BILATERAL! pois a máquina pode desregular para mais ou para menos
  • 25. Exemplo Passo 2: Escolher a distribuição amostral Se o desvio padrão populacional é conhecido: Distribuição NORMAL (Caso deste exemplo típico) Se o desvio é desconhecido E a amostra é pequena (n<30): Distribuição de STUDENT
  • 26. Exemplo Passo 3: Escolher o nível de significância Pela situação descrita no problema, podemos fazer α = 0,01
  • 27. Exemplo Passo 4: Calcular a estatística de teste, valores e região crítica média amostral − média alegada estatística de teste = desvio padrão da distribuição amostral x − μ0 x − μ0 zteste = ou tteste = σ/ n s/ n
  • 28. Exemplo Passo 4: Calcular a estatística de teste, valores e região crítica proporção amostral − proporção alegada estatístic a de teste = desvio padrão da distribuiç ão amostral p− p ˆ n = número de provas zteste = p = proporção populacional (hipótese nula) pq q=1-p n x p= ˆ ( proporção amostral ) n
  • 29. Exemplo Passo 4: Calcular a estatística de teste, valores e região crítica x−μ 492 − 500 − 8 z= = = = − 1,6 σ n 20 16 5
  • 30. Exemplo Passo 4: Calcular a estatística de teste, valores e região crítica Área = 0,5 – 0,005 = 0,495 Área = 0,5 – 0,005 = 0,495 z = -2,575 z = 2,575
  • 31. Exemplo Passo 5: A informação da amostra é que x = 492 g (o que fornece z = - 1,6) Como x∉ Região Crítica, nossa conclusão será não rejeitar H0 A discrepância da média da amostra para a média proposta por H0 pode ser considerada como devido apenas ao sorteio aleatório dos pacotes
  • 32. R E S U M O: Passo 5
  • 33. R E S U M O: Passo 5