Razão e Proporção e grandezas e medidas e proporcionalidade

1. Razões e Proporções
Razão, Proporção, Grandezas Direta e
Inversamente Proporcionais e Regras
de três Simples e Compostas.

2. Razão
Sendo a e b dois números racionais, com b≠0,
denomina-se razão entre a e b ou razão de a
para b o quociente
𝒂
𝒃
ou a : b.
A razão
𝒂
𝒃
ou a : b pode ser lida de uma das
seguintes maneiras:
Razão de a para b ou a está para b ou a para b

3. Nomes Especiais
Os termos de uma razão, na forma fracionária
ou como uma divisão, recebem nomes
especiais: o primeiro número denomina-se
antecedente e o segundo número ,
consequente.
𝒂
𝒃
𝑎 é o antecedente
𝑏 é o consequente
ou a:b da mesma forma

4. Exemplos
1) Danielzinho, jogador do time de Basquete do
Flamengo, de 15 arremessos à cesta acertou 12.
Qual a razão entre o número de acertos e o
número total à cesta feitos por Danielzinho?
Solução:
Na verdade faremos uma comparação entre o
número de acertos e o número total de
arremessos. Ou seja, a razão 12 : 15 =
12
15
=
4
5

5. Exemplos
Ou seja, para cada 5 arremessos à cesta,
Danielzinho acertou 4.
Considerando que
4
5
=
80
100
= 80%, dizemos que
Danielzinho acertou 80% dos arremessos.

6. Exemplos
2) Qual é a razão entre a área da região
retangular 1 e a área da região retangular 2
1 2
40cm
1m
60cm
1,2m
𝐴1 = 60x40=2400𝑐𝑚2
𝐴2 = 120x100=12000𝑐𝑚2

7. Exemplos
Logo, a razão
𝐴1
𝐴2
=
2400
12000
=
1
5
.
Ou seja, a área do retângulo 2 é 5 vezes a área
do retângulo 1.
OBS: A razão entre duas grandezas de mesma
espécie é o quociente dos números que
exprimem as suas medidas, sempre tomadas na
mesma unidade.

8. Razões Especiais
1. Velocidade Média =
Distância percorrida
Tempo gasto
2. Escala =
Comprimento no Desenho
Comprimento Real
3. Densidade de um Corpo =
Massa do Corpo
Volume do Corpo
4. Densidade Demográfica =
Número de Habitantes
Área da região ocupada

9. Exemplos
• Velocidade Média
Um trem percorreu a a distância de 453Km em 6
horas. Qual foi a velocidade média do trem
nesse percurso?
𝑉
𝑚 =
Distância
Tempo
=
453Km
6h
= 75,5Km/h

10. Exemplos
• Escala
Em um mapa, a distância entre duas cidades é de
3cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades
é de 30Km, qual a escala utilizada no mapa?
Escala =
comprimento no desenho
comprimento real
=
3
3 000 000
=
1
1 000 000
ou 1 : 1 000 000.
Ou seja, 1cm no desenho corresponde a 1 000 000
cm no real, ou a 10Km.

11. Exemplos
• Escala
Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um
segmento de 6cm, que correspondia ao
comprimento da sala. Sabendo-se que a escala
utilizada foi de 1:125, qual o comprimento real
dessa sala?
Solução:
1
125
=
6
𝑥
⇒ 𝑥 = 125.6 =
750𝑐𝑚 𝑜𝑢 7,50𝑚

12. Exemplos
• Densidade de um corpo
Uma escultura em bronze tem 3,5Kg de massa e
volume de 400𝑐𝑚3
. Qual é a densidade dessa
escultura de bronze?
Densidade =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
=
3,5𝐾𝑔
400𝑐𝑚3 =
3500𝑔
400𝑐𝑚3 =
8,75g/𝑐𝑚3

13. Exemplos
• Densidade Demográfica
Tocantins é um Estado que possui 1 300 000
habitantes que ocupam uma área de 280 000𝐾𝑚2
Qual a sua densidade demográfica?
Solução:
Densidade demográfica =
1 300 000ℎ𝑎𝑏
280 000𝐾𝑚2 ≅ 4,6ℎ𝑎𝑏/𝐾𝑚2

15. Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões
Exemplo:
1)
1
1000
=
50
50 000
2)
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
3)
3
15
=
9
𝑥

16. Definição
Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de
zero, tomados nessa ordem, formam uma progressão
quando:
𝒂: 𝒃 = 𝒄: 𝒅 ou
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
Lê-se: a está para b, assim como c está para d.
OBS: Chamaremos a e d de extremos e b e c de
meios da proporção.

17. Exemplo
Os números 6, 9, 12 e 18, nessa ordem formam
uma progressão, pois:
6
9
=
12
18
Note que
6
9
=
2
3
e que
12
18
=
2
3
Os extremos da proporção são 6 e 18 e os meios
9 e 12

18. Propriedade Fundamental das
Proporções
Em toda proporção o produto dos extremos é igual
ao produto dos meios e vice-versa.
Ou seja, dada a proporção a: b = c: d ou
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
então podemos escrever que:
a . d = b . c

19. Propriedade Fundamental das
Proporções
Considerando a proporção
6
9
=
12
18
, vemos que:
6 x 18 = 108 e que 9 x 12 = 108. Ou seja,
6 x 18 = 9 x 12

20. Exercícios
1) Usando a propriedade fundamental das
proporções, verificar se os números 3, 7, 12 e
28 formam, nessa ordem, uma proporção.
Solução:
Produto dos extremos: 3 x 28 = 84
Produto dos meios: 7 x 12 = 84
Logo, formam uma proporção.

21. Exercícios
2) Sabendo que os números 6, 24, 5 e x formam,
nessa ordem, uma proporção, determinar o
valor de x.
Solução:
Podemos escrever que
6
24
=
5
𝑥
e como sabemos
6 x 𝑥 = 5x24 ⇒ 6𝑥 = 120 ⇒ 𝑥 =
120
6
= 20
Logo, x = 20

22. Exercícios
3) Considerando, nesta ordem, os números a
seguir, calcule a quarta proporcional dos números
1,5, 0,8 e 2,4.
Solução:
Chamaremos de quarta proporcional (x) o último
número que forma a proporção:
1,5
0,8
=
2,4
𝑥
Assim, 1,5𝑥 = 0,8 x 2,4 ⇒ 1,5𝑥 = 1,92 ⇒ 𝑥 =
1,92
1,5
Portanto, x = 1,28

23. Exercícios
4) Usando a propriedade fundamental das
proporções, resolver a equação
𝑥+1
𝑥−2
=
1
2
Solução:
2.(x+1) = 1.(x-2) ⇒2x + 2 = x -2 ⇒ x = -4
Logo, a raiz da equação é x = -4

24. Exercícios
5) Em uma escola, para cada 4 meninas há 5 meninos
estudando. Se há 580 meninos matriculados, quantos
alunos estudam nessa escola?
Solução: Calculando o número de meninas, temos:
4
5
=
𝑥
580
⇒ 5𝑥 = 4x580 ⇒ 5𝑥 = 2320 ⇒ 𝑥 = 464
Logo, estudam nessa escola 580 + 464 = 1044 alunos

25. Exercícios
6) A altura da maquete de um edifício é 80cm.
Qual a altura real do prédio, sabendo que a
maquete foi construída na escala 1 : 40?
Solução:
1
40
=
80
𝑥
⇒ 𝑥 = 40x80=3200cm=32m
Logo, a altura real do prédio é 32m