Intervalos de Confiança
Testes de significância <ul><li>em vários casos que olhamos supusemos que a diferença entre tratamentos, se houvesse, seri...
Testes de dois lados <ul><li>hipótese nula: média das diferenças é 0 </li></ul><ul><li>hipótese alternativa: média é difer...
hipóteses de interesse <ul><li>nem sempre a hipótese nula é o que nos interessa </li></ul><ul><li>podemos admitir alguma d...
média da população <ul><li>poderíamos construir uma tabela com os níveis de significância para cada possível valor da médi...
Intervalos de Confiança <ul><li>Um intervalo de confiança expressa a idéia de que temos um determinado nível de confiança ...
intervalo de confiança <ul><li>   é o limite de aceitação: médias que implicariam numa probabilidade menor que    para a...
tamanho do intervalo de confiança <ul><li>Quanto maior o valor de   , maior o grau de exigência para um valor  ficar dent...
tamanho do intervalo de confiança 5%
Cálculo de intervalo de confiança <ul><li>no exemplo do solado: </li></ul><ul><li>Supondo que queremos um intervalo de 95%...
Cálculo de intervalo de confiança <ul><li>de forma geral, dada uma média amostral m, o intervalo de confiança (1-  ) é da...
cálculo do tamanho da amostra <ul><li>Supondo que consideramos aceitável uma margem de erro de r%: </li></ul><ul><ul><li>[...
intervalos de confiança x testes de significância <ul><li>O descarte ou não da hipótese nula está incluído na informação d...
intervalos de confiança em projetos sem pares <ul><li>podemos usar as mesmas quantidades que foram usadas para fazer o tes...
números diferentes de experimentos <ul><li>Jardineiro quer testar fertilizantes A e B para plantas de tomates… </li></ul><...
Médias
teste t <ul><li>Com amostras aleatórias de uma população com distribuição normal, comparamos a quantidade </li></ul><ul><u...
intervalo de confiança <ul><li>substituindo em </li></ul><ul><ul><li>((y B -y A ) - (  B  -    A ))/s  1/n A  + 1/n B )...
Análise de variância comparação de k métodos
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somas de quadrados <ul><li>diferenças (desvios) da média global </li></ul>dieta  A  4  29  -26  95  34  26 B  -11  8  -56 ...
entre tratamentos <ul><li>imaginando que em cada tratamento todos os resultados foram iguais: </li></ul>A  633  633  633  ...
intra tratamentos <ul><li>desvios da média de cada tratamento </li></ul>A  -23  2  -53  68  7  -1  B  -6  13  -51  1  32  ...
graus de liberdade <ul><li>Para usar essas quantidades em testes de hipótese temos precisamos dos graus de liberdade. </li...
Média dos desvios quadrados <ul><li>Se dividirmos cada soma de quadrados pelos graus de liberdade correspondentes temos um...
Razão de variâncias <ul><li>Para testar a hipótese nula, usamos: </li></ul><ul><li>É comum o uso de uma tabela de  análise...
Tabela ANOVA <ul><li>Uso de tabelas de distribuição t com combinações de graus de liberdade:  </li></ul><ul><ul><li>tabela...
Nesse caso... <ul><li>Valor na tabela F para 5% de significância e 2/15 graus de liberdade é 3,68 </li></ul><ul><li>Conclu...
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Confianca Noemi

  1. 1. Intervalos de Confiança
  2. 2. Testes de significância <ul><li>em vários casos que olhamos supusemos que a diferença entre tratamentos, se houvesse, seria positiva </li></ul><ul><ul><li>por exemplo, no caso de solados, supusemos que B poderia causar maior desgaste que A, mas nunca que A poderia causar maior desgaste que B. </li></ul></ul><ul><li>para considerar diferenças positivas e negativas, usamos o fato que a distribuição t é simétrica. </li></ul>
  3. 3. Testes de dois lados <ul><li>hipótese nula: média das diferenças é 0 </li></ul><ul><li>hipótese alternativa: média é diferente de 0 </li></ul><ul><ul><li>Pr(t>3,4) com 9 graus de liberdade  0,004 </li></ul></ul><ul><ul><li>Pr(|t|>3,4) com 9 graus de liberdade  0,008 </li></ul></ul>
  4. 4. hipóteses de interesse <ul><li>nem sempre a hipótese nula é o que nos interessa </li></ul><ul><li>podemos admitir alguma degradação no desgaste considerando a economia proporcionada por B </li></ul><ul><li>nesse caso usamos a mesma quantidade </li></ul><ul><li>(d - m)/s d /(n) 1/2 com o valor que admitirmos para a diferença de desgastes. </li></ul><ul><ul><li>por ex: (0,41-0,1)/0,12 = 2,6 </li></ul></ul><ul><ul><li>Pr(t>2,6)  0,008 </li></ul></ul><ul><ul><li>Pr(|t|>2,6)  0,008 </li></ul></ul>
  5. 5. média da população <ul><li>poderíamos construir uma tabela com os níveis de significância para cada possível valor da média das diferenças </li></ul>valor hipotético da média nível de significância 0,00 0,008 0,10 0,029
  6. 6. Intervalos de Confiança <ul><li>Um intervalo de confiança expressa a idéia de que temos um determinado nível de confiança em que a média se encontra naquele intervalo. </li></ul><ul><li>A idéia é: se a média real estiver fora desse intervalo, as chances de observarmos as amostras que observamos de fato seriam muito pequenas... </li></ul>
  7. 7. intervalo de confiança <ul><li> é o limite de aceitação: médias que implicariam numa probabilidade menor que  para a média amostral observada ficam fora do intervalo de confiança. </li></ul><ul><ul><li> =5% => intervalo de confiança (1-  ), ie, 95% </li></ul></ul>média amostral
  8. 8. tamanho do intervalo de confiança <ul><li>Quanto maior o valor de  , maior o grau de exigência para um valor ficar dentro do intervalo de confiança. </li></ul><ul><li>Quanto maior o valor de  , menor o intervalo de confiança. </li></ul>
  9. 9. tamanho do intervalo de confiança 5%
  10. 10. Cálculo de intervalo de confiança <ul><li>no exemplo do solado: </li></ul><ul><li>Supondo que queremos um intervalo de 95% </li></ul><ul><ul><ul><li>procuramos na tabela da distribuição t um valor v tal que Pr(|t|>v)=0,05 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>v=2,262 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>|(0,41-m)/0,12|<2,262 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>-2,62*0,12 -0,41 < m < 2,26*0,12 -0,41 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>0,41-0,27 < m < 0,41+0,27 </li></ul></ul></ul>
  11. 11. Cálculo de intervalo de confiança <ul><li>de forma geral, dada uma média amostral m, o intervalo de confiança (1-  ) é dado por: </li></ul><ul><ul><li>[m-t  /2 s d /(n) 1/2 ,m+ t  /2 s d /(n) 1/2 ] </li></ul></ul><ul><ul><li>onde t  /2 é o valor para o qual temos uma tail-area  /2 </li></ul></ul><ul><li>podemos também calcular qual deve ser o tamanho da amostra para um determinado intervalo de confiança </li></ul>
  12. 12. cálculo do tamanho da amostra <ul><li>Supondo que consideramos aceitável uma margem de erro de r%: </li></ul><ul><ul><li>[m-mr/100,m+mr/100] </li></ul></ul><ul><ul><li>[m-t  /2 s d /(n) 1/2 ,m+ t  /2 s d /(n) 1/2 ] </li></ul></ul><ul><ul><li>t  /2 s d /(n) 1/2 =mr/100 </li></ul></ul><ul><ul><li>(n) 1/2 =100 t  /2 s d /mr </li></ul></ul><ul><ul><li>n = (100 t  /2 s d /mr) 2 </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>não conhecemos s d , mas podemos usar um experimento preliminar para estimá-lo </li></ul></ul></ul>
  13. 13. intervalos de confiança x testes de significância <ul><li>O descarte ou não da hipótese nula está incluído na informação dada pelo ic. </li></ul><ul><li>Uma vez descartada a hipótese nula, o ic fornece informação sobre a dimensão da diferença de médias. </li></ul>
  14. 14. intervalos de confiança em projetos sem pares <ul><li>podemos usar as mesmas quantidades que foram usadas para fazer o teste t </li></ul>
  15. 15. números diferentes de experimentos <ul><li>Jardineiro quer testar fertilizantes A e B para plantas de tomates… </li></ul><ul><ul><li>B é fertilizante novo </li></ul></ul><ul><li>Ele tem 11 lotes disponíveis, e resolve tratar 6 deles com B e 5 com A </li></ul>
  16. 16. Médias
  17. 17. teste t <ul><li>Com amostras aleatórias de uma população com distribuição normal, comparamos a quantidade </li></ul><ul><ul><ul><li>((y B -y A ) - (  B -  A ))/s  1/n A + 1/n B ) 1/2 </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>com a distribuição t com n A + n B - 2 graus de liberdade </li></ul></ul><ul><li>podemos usar a mesma quantidade para cálculo do intervalo de confiança </li></ul>
  18. 18. intervalo de confiança <ul><li>substituindo em </li></ul><ul><ul><li>((y B -y A ) - (  B -  A ))/s  1/n A + 1/n B ) 1/2 </li></ul></ul><ul><ul><li>(1,69 - (  B -  A ))/3,82 </li></ul></ul><ul><ul><li>para um intervalo de 95%, aceitamos as diferenças  tais que </li></ul></ul><ul><ul><li>abs((1,69-  )/3,82) < 2,262 </li></ul></ul><ul><ul><li>[1,69-8,64, 1,69+8,64] </li></ul></ul><ul><ul><li>[d-t  /2 s d /(1/n a +1/n b ) 1/2 ,d+ t  /2 s d /(1/n a +1/n b ) 1/2 ] </li></ul></ul>
  19. 19. Análise de variância comparação de k métodos
  20. 20. comparação de 3 tratamentos <ul><li>com o experimento (randomizado) abaixo, queremos saber se alguma das dietas representa um diferença real... </li></ul>dieta média A 610 635 580 701 640 632 633 B 595 614 550 602 633 612 601 C 527 621 564 598 601 593 584 média global 606 tabela 1: ganhos de pesos com 3 dietas <ul><li>idéia é trabalhar com os diferenças para as médias, e estabelecer parcelas dessas diferenças devidas ao tratamento </li></ul>
  21. 21. somas de quadrados <ul><li>diferenças (desvios) da média global </li></ul>dieta A 4 29 -26 95 34 26 B -11 8 -56 -4 27 6 C -79 15 -42 -8 -5 -13 tabela 2: desvios da média global soma total dos quadrados dos desvios das médias: (soma dos quadrados) (4) 2 + (29) 2 +(-26) 2 +... = 24980
  22. 22. entre tratamentos <ul><li>imaginando que em cada tratamento todos os resultados foram iguais: </li></ul>A 633 633 633 633 633 633 B 601 601 601 501 601 601 C 584 584 584 584 584 584 média global 606 tabela 3: pesos sem discrepâncias intra dieta A 27 27 27 27 27 27 B -5 -5 -5 -5 -5 -5 C -22 -22 -22 -22 -22 -22 tabela 4: desvios da média global sem discrepâncias as diferenças para a média seriam: soma dos quadrados entre tratamentos: 7428
  23. 23. intra tratamentos <ul><li>desvios da média de cada tratamento </li></ul>A -23 2 -53 68 7 -1 B -6 13 -51 1 32 11 C -57 37 -20 14 17 9 tabela 5: desvios entre pesos reais e pesos sem discrepâncias intra dieta <ul><li>soma dos quadrados dos desvios: 17552 </li></ul><ul><ul><li>soma de quadrados de desvios intra tratamento </li></ul></ul><ul><ul><li>soma de quadrados residual </li></ul></ul><ul><ul><li>soma de quadrados dos erros </li></ul></ul><ul><li>17552+7428=24980!!! </li></ul>
  24. 24. graus de liberdade <ul><li>Para usar essas quantidades em testes de hipótese temos precisamos dos graus de liberdade. </li></ul><ul><ul><ul><li>para N observações, consideramos, no cálculo da variância, que a média está fixa, e logo que temos N-1 graus de liberdade </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>para a soma de quadrados entre tratamentos: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>trabalhamos com 3 valores (tabelas 3 e 4), logo temos 2 graus de liberdade </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>para a soma de quadrados intra tratamento: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>para cada dieta, 5 graus de liberdade (tabela 5) </li></ul></ul></ul>
  25. 25. Média dos desvios quadrados <ul><li>Se dividirmos cada soma de quadrados pelos graus de liberdade correspondentes temos uma medida da variação correspondente. </li></ul><ul><ul><ul><li>Se as médias das populações com dietas diferentes não diferem, a média dos desvios dentro de uma dieta deve ser parecida com a média dos desvios entre dietas! </li></ul></ul></ul><ul><li>Quão diferentes as médias têm que ser para acreditarmos numa diferença entre as méidas das populações... </li></ul>
  26. 26. Razão de variâncias <ul><li>Para testar a hipótese nula, usamos: </li></ul><ul><li>É comum o uso de uma tabela de análise de variância (ANOVA) </li></ul>média dos quad. dos desvios entre tratamentos média dos quad. dos desvios intra tratamentos
  27. 27. Tabela ANOVA <ul><li>Uso de tabelas de distribuição t com combinações de graus de liberdade: </li></ul><ul><ul><li>tabelas F </li></ul></ul><ul><ul><li>1 tabela para cada nível de significância </li></ul></ul>somas de graus de médias de razão de quadrados liberdade quadrados variâncias entre dietas 7428 2 3714 3,17 intra-dietas 17552 15 1170,13 total 24980 17
  28. 28. Nesse caso... <ul><li>Valor na tabela F para 5% de significância e 2/15 graus de liberdade é 3,68 </li></ul><ul><li>Concluímos que o experimento não nos dá elementos para negar a hipótese nula... </li></ul>

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