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Nome:                                                                                   Colégio:                          Data:




1. SENOS E COSSENOS DE ÂNGULOS                                                      Resolução:
OBTUSOS.                                                                            Aplicando a lei dos senos, temos:
    ÂNGULO OBTUSO é aquele cuja medida varia entre                                     a         12                               12 3 . 2
90º e 180º.                                                                                 =                                a=
    Para calcular SENOS E COSSENOS de ângulos                                       sen 60º sen 45º                               2 . 2
obtusos utilizamos as seguintes relações:                                           a.sen 45º = 12.sen 60º
                                                                                                                     ⇒       a=
                                                                                                                                12 6
                                                                                        2        3
           sen x = sen (180º − x ) e cos x = − cos (180º − x )                      a.    = 12.                                   2
                                                                                       2         2
                                                                                     2a = 12 3                               a=6 6
      Exemplos:
      01. Calcule o valor de:
      a) sen120º                                                                3. LEI DOS COSSENOS
                                                                                    Em um triângulo qualquer ABC é válida a seguinte
          Resolução:
                                                                                relação conhecida como LEI DOS COSSENOS:
          Aplicamos a relação sen x = sen (180º − x ) , com
                                                                                                C
                                                                          3
x = 120º , veja: sen120º = sen (180º −120º ) = sen 60º =
                                                                          2             b

      b)     cos135º
                                                                                                         a       a2 = b2 + c 2 − 2.b.c .cos A
                                                                                A
             Resolução:
             Aplicamos a relação cos x = −cos (180º − x ) , com                                 c
                                                                         2                                   B
x = 135º , veja: cos135º = −cos (180º −135º) = −cos45º = −                 .        Onde:
                                                                         2
                                                                                        a, b e c são os lados do triângulo;
2. LEI DOS SENOS                                                                         A é o ângulo oposto ao lado A.
    Em um triângulo qualquer ABC é válida a seguinte
relação conhecida como LEI DOS SENOS:
                                                                                    Podemos escrever a lei dos cossenos como segue:
                        A                                                                           b2 = a2 + c 2 − 2.a.c .cosB
            b                                                                                       c 2 = a2 + b2 − 2.a.b.cos C
                    R
                            c            a               b        c
                                                =            =           = 2R       Exemplos:
C                                       sen A       senB         sen C              03. Determine o valor de a no triângulo a seguir:
                a                                                                                   10
                                B
                                                                                         120º
                                                                                                             a
      Onde:                                                                                 8
             a, b e c são os lados do triângulo;
              A , B e C são os ângulos internos;
             R é o raio da circunferência circunscrita ao                           Resolução:
             triângulo.                                                             Aplicando a lei dos cossenos temos:

      Exemplos:                                                                     a2 = 102 + 82 − 2.10.8.cos120º
                                                                                                         ⎛ 1⎞
      02. Determine o valor de a no triângulo a seguir:                             a2 = 100 + 64 − 160. ⎜ − ⎟
                                                                                                         ⎝ 2⎠
                                         60º                                        a2 = 164 + 80
                                                    12                              a2 = 224
                                                                                    a = 224
                        45º                                                         a = 22 .61           ⇒   a = 2 61
                                    a
                                                     Matemática • www.georgechrist.mat.br • Página 1
4. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL)                                    06. (UFBA) No triângulo a seguir, a medida do lado BC
01. (UEPA) A figura abaixo mostra o corte lateral de um             é:                 A
terreno onde será construída uma rampa reta, AC, que                a) 4 cm
servirá para o acesso de veículos à casa, que se encontra           b) 3 2 cm
na parte mais alta do terreno. A distância de A a B é de                                            2 10 cm
                                                                                   2 2 cm
6m, de B a C é de 10m e, o menor ângulo formado entre               c) 2 3 cm
AB e BC é de 120°. Então, o valor do comprimento da                 d) 5 cm                     135º
rampa deve ser de:                                                  e) 6 cm                  B                  C
a) 12 m
b) 12,5 m                                                           07. (UFPR) Em um triângulo ABC tem-se que BC = 6 cm
c) 13 m
d) 13,5 m
                                                                         (      )
                                                                    e m C AB = 30º . A medida do raio da circunferência

e) 14 m                                                             circunscrita a esse triângulo é:
                                                                    a) 6 cm
                                                                    b) 12 cm
                                                                    c) 8 cm
                                                                    d) 9 cm
                                                                    e) 10 cm

                                                                    08. (UNIFOR) Sabe-se que em todo triângulo a medida
02. (UFPI) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60º e               de cada lado é diretamente proporcional ao seno do
os lados adjacentes a este ângulo medem 1 cm e 2 cm. O              ângulo oposto ao lado.
valor do perímetro desse triângulo, em centímetros, é:                  Usando essa informação, conclui-se que a medida do
a) 3 + 5                                                            lado AB , em metros, do triângulo representado é:
b)   5+ 3                                                           a) 12 6
                                                                                                 A
c)   3+ 3                                                           b) 12 3
                                                                                                 120º
d)   3+ 7                                                           c) 8 6
e)   5+ 7                                                           d)   8 3                       45º
                                                                                            C                                   B
                                                                    e)   4 6                                    12 m
03. (UFES) No triângulo ABC da figura a seguir, o
cosseno do ângulo obtuso α é igual a:
                                                                    09. (UNICAMP) A água utilizada na caixa de um sítio é
     1                                                              captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50
a)
     9                                                              metros de distância. A casa está a 80 metros de distância
                   C
       1                                                            da caixa-d’água, e o ângulo formado pelas direções caixa-
b) −                                                                d’água–bomba e caixa-d’água–casa é de 60º. Se se
       2
                                4                                   pretende bombear água do mesmo ponto de captação até
         3
c) −                 3                                              a casa, quantos metros de encanamento serão
        2                                                           necessários?
                          α
         5                            30º
d) −                                      B                         10. (UNICAMP) Observadores nos pontos A e B
        3               A
                                                                    localizam um foco de incêndio florestal em F.
       5
e)                                                                  Conhecendo os ângulos FAB = 45º e FBA = 105º e a
      2
                                                                    distância AB = 15 Km, determine as distância AF e BF.
04. (ULBRA–RS) A medida da soma dos lados AC e
BC do triângulo a seguir é:                                                                        GABARITO
a) 14,2                                                                               01        E
                            B
b) 6                                                                                  02        C
c) 8                                                                                  03        D
                    3 2
d) 2 3 + 6                                                                            04        A
e) 16,2                45º      30º                                                   05        A
                 A                      C                                             06        A
                                                                                      07        A
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a) 10 3                                                                               09        70 metros
b)   20 3
                                                                                                AF =
                                                                                                       15   (   6+ 2   )   km
                         5            7                                               10                  2
c)   15 3
d) 12 3                      60º                                                                BF = 15 2 km

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Calculo de senos e cossenos em triângulos

  • 1. Nome: Colégio: Data: 1. SENOS E COSSENOS DE ÂNGULOS Resolução: OBTUSOS. Aplicando a lei dos senos, temos: ÂNGULO OBTUSO é aquele cuja medida varia entre a 12 12 3 . 2 90º e 180º. = a= Para calcular SENOS E COSSENOS de ângulos sen 60º sen 45º 2 . 2 obtusos utilizamos as seguintes relações: a.sen 45º = 12.sen 60º ⇒ a= 12 6 2 3 sen x = sen (180º − x ) e cos x = − cos (180º − x ) a. = 12. 2 2 2 2a = 12 3 a=6 6 Exemplos: 01. Calcule o valor de: a) sen120º 3. LEI DOS COSSENOS Em um triângulo qualquer ABC é válida a seguinte Resolução: relação conhecida como LEI DOS COSSENOS: Aplicamos a relação sen x = sen (180º − x ) , com C 3 x = 120º , veja: sen120º = sen (180º −120º ) = sen 60º = 2 b b) cos135º a a2 = b2 + c 2 − 2.b.c .cos A A Resolução: Aplicamos a relação cos x = −cos (180º − x ) , com c 2 B x = 135º , veja: cos135º = −cos (180º −135º) = −cos45º = − . Onde: 2 a, b e c são os lados do triângulo; 2. LEI DOS SENOS A é o ângulo oposto ao lado A. Em um triângulo qualquer ABC é válida a seguinte relação conhecida como LEI DOS SENOS: Podemos escrever a lei dos cossenos como segue: A b2 = a2 + c 2 − 2.a.c .cosB b c 2 = a2 + b2 − 2.a.b.cos C R c a b c = = = 2R Exemplos: C sen A senB sen C 03. Determine o valor de a no triângulo a seguir: a 10 B 120º a Onde: 8 a, b e c são os lados do triângulo; A , B e C são os ângulos internos; R é o raio da circunferência circunscrita ao Resolução: triângulo. Aplicando a lei dos cossenos temos: Exemplos: a2 = 102 + 82 − 2.10.8.cos120º ⎛ 1⎞ 02. Determine o valor de a no triângulo a seguir: a2 = 100 + 64 − 160. ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ 60º a2 = 164 + 80 12 a2 = 224 a = 224 45º a = 22 .61 ⇒ a = 2 61 a Matemática • www.georgechrist.mat.br • Página 1
  • 2. 4. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL) 06. (UFBA) No triângulo a seguir, a medida do lado BC 01. (UEPA) A figura abaixo mostra o corte lateral de um é: A terreno onde será construída uma rampa reta, AC, que a) 4 cm servirá para o acesso de veículos à casa, que se encontra b) 3 2 cm na parte mais alta do terreno. A distância de A a B é de 2 10 cm 2 2 cm 6m, de B a C é de 10m e, o menor ângulo formado entre c) 2 3 cm AB e BC é de 120°. Então, o valor do comprimento da d) 5 cm 135º rampa deve ser de: e) 6 cm B C a) 12 m b) 12,5 m 07. (UFPR) Em um triângulo ABC tem-se que BC = 6 cm c) 13 m d) 13,5 m ( ) e m C AB = 30º . A medida do raio da circunferência e) 14 m circunscrita a esse triângulo é: a) 6 cm b) 12 cm c) 8 cm d) 9 cm e) 10 cm 08. (UNIFOR) Sabe-se que em todo triângulo a medida 02. (UFPI) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60º e de cada lado é diretamente proporcional ao seno do os lados adjacentes a este ângulo medem 1 cm e 2 cm. O ângulo oposto ao lado. valor do perímetro desse triângulo, em centímetros, é: Usando essa informação, conclui-se que a medida do a) 3 + 5 lado AB , em metros, do triângulo representado é: b) 5+ 3 a) 12 6 A c) 3+ 3 b) 12 3 120º d) 3+ 7 c) 8 6 e) 5+ 7 d) 8 3 45º C B e) 4 6 12 m 03. (UFES) No triângulo ABC da figura a seguir, o cosseno do ângulo obtuso α é igual a: 09. (UNICAMP) A água utilizada na caixa de um sítio é 1 captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50 a) 9 metros de distância. A casa está a 80 metros de distância C 1 da caixa-d’água, e o ângulo formado pelas direções caixa- b) − d’água–bomba e caixa-d’água–casa é de 60º. Se se 2 4 pretende bombear água do mesmo ponto de captação até 3 c) − 3 a casa, quantos metros de encanamento serão 2 necessários? α 5 30º d) − B 10. (UNICAMP) Observadores nos pontos A e B 3 A localizam um foco de incêndio florestal em F. 5 e) Conhecendo os ângulos FAB = 45º e FBA = 105º e a 2 distância AB = 15 Km, determine as distância AF e BF. 04. (ULBRA–RS) A medida da soma dos lados AC e BC do triângulo a seguir é: GABARITO a) 14,2 01 E B b) 6 02 C c) 8 03 D 3 2 d) 2 3 + 6 04 A e) 16,2 45º 30º 05 A A C 06 A 07 A 05. (MACK) A área do triângulo da figura a seguir é: 08 E a) 10 3 09 70 metros b) 20 3 AF = 15 ( 6+ 2 ) km 5 7 10 2 c) 15 3 d) 12 3 60º BF = 15 2 km e) 18 3 Matemática • www.georgechrist.mat.br • Página 2