O documento apresenta três conceitos fundamentais de geometria: 1) Fórmulas para calcular seno e cosseno de ângulos obtusos. 2) A lei dos seno para resolver triângulos. 3) A lei dos cossenos para resolver triângulos quando se conhece um lado e um ângulo adjacente.

1. Nome: Colégio: Data:
1. SENOS E COSSENOS DE ÂNGULOS Resolução:
OBTUSOS. Aplicando a lei dos senos, temos:
ÂNGULO OBTUSO é aquele cuja medida varia entre a 12 12 3 . 2
90º e 180º. = a=
Para calcular SENOS E COSSENOS de ângulos sen 60º sen 45º 2 . 2
obtusos utilizamos as seguintes relações: a.sen 45º = 12.sen 60º
⇒ a=
12 6
2 3
sen x = sen (180º − x ) e cos x = − cos (180º − x ) a. = 12. 2
2 2
2a = 12 3 a=6 6
Exemplos:
01. Calcule o valor de:
a) sen120º 3. LEI DOS COSSENOS
Em um triângulo qualquer ABC é válida a seguinte
Resolução:
relação conhecida como LEI DOS COSSENOS:
Aplicamos a relação sen x = sen (180º − x ) , com
C
3
x = 120º , veja: sen120º = sen (180º −120º ) = sen 60º =
2 b
b) cos135º
a a2 = b2 + c 2 − 2.b.c .cos A
A
Resolução:
Aplicamos a relação cos x = −cos (180º − x ) , com c
2 B
x = 135º , veja: cos135º = −cos (180º −135º) = −cos45º = − . Onde:
2
a, b e c são os lados do triângulo;
2. LEI DOS SENOS A é o ângulo oposto ao lado A.
Em um triângulo qualquer ABC é válida a seguinte
relação conhecida como LEI DOS SENOS:
Podemos escrever a lei dos cossenos como segue:
A b2 = a2 + c 2 − 2.a.c .cosB
b c 2 = a2 + b2 − 2.a.b.cos C
R
c a b c
= = = 2R Exemplos:
C sen A senB sen C 03. Determine o valor de a no triângulo a seguir:
a 10
B
120º
a
Onde: 8
a, b e c são os lados do triângulo;
A , B e C são os ângulos internos;
R é o raio da circunferência circunscrita ao Resolução:
triângulo. Aplicando a lei dos cossenos temos:
Exemplos: a2 = 102 + 82 − 2.10.8.cos120º
⎛ 1⎞
02. Determine o valor de a no triângulo a seguir: a2 = 100 + 64 − 160. ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
60º a2 = 164 + 80
12 a2 = 224
a = 224
45º a = 22 .61 ⇒ a = 2 61
a
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2. 4. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL) 06. (UFBA) No triângulo a seguir, a medida do lado BC
01. (UEPA) A figura abaixo mostra o corte lateral de um é: A
terreno onde será construída uma rampa reta, AC, que a) 4 cm
servirá para o acesso de veículos à casa, que se encontra b) 3 2 cm
na parte mais alta do terreno. A distância de A a B é de 2 10 cm
2 2 cm
6m, de B a C é de 10m e, o menor ângulo formado entre c) 2 3 cm
AB e BC é de 120°. Então, o valor do comprimento da d) 5 cm 135º
rampa deve ser de: e) 6 cm B C
a) 12 m
b) 12,5 m 07. (UFPR) Em um triângulo ABC tem-se que BC = 6 cm
c) 13 m
d) 13,5 m
( )
e m C AB = 30º . A medida do raio da circunferência
e) 14 m circunscrita a esse triângulo é:
a) 6 cm
b) 12 cm
c) 8 cm
d) 9 cm
e) 10 cm
08. (UNIFOR) Sabe-se que em todo triângulo a medida
02. (UFPI) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60º e de cada lado é diretamente proporcional ao seno do
os lados adjacentes a este ângulo medem 1 cm e 2 cm. O ângulo oposto ao lado.
valor do perímetro desse triângulo, em centímetros, é: Usando essa informação, conclui-se que a medida do
a) 3 + 5 lado AB , em metros, do triângulo representado é:
b) 5+ 3 a) 12 6
A
c) 3+ 3 b) 12 3
120º
d) 3+ 7 c) 8 6
e) 5+ 7 d) 8 3 45º
C B
e) 4 6 12 m
03. (UFES) No triângulo ABC da figura a seguir, o
cosseno do ângulo obtuso α é igual a:
09. (UNICAMP) A água utilizada na caixa de um sítio é
1 captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50
a)
9 metros de distância. A casa está a 80 metros de distância
C
1 da caixa-d’água, e o ângulo formado pelas direções caixa-
b) − d’água–bomba e caixa-d’água–casa é de 60º. Se se
2
4 pretende bombear água do mesmo ponto de captação até
3
c) − 3 a casa, quantos metros de encanamento serão
2 necessários?
α
5 30º
d) − B 10. (UNICAMP) Observadores nos pontos A e B
3 A
localizam um foco de incêndio florestal em F.
5
e) Conhecendo os ângulos FAB = 45º e FBA = 105º e a
2
distância AB = 15 Km, determine as distância AF e BF.
04. (ULBRA–RS) A medida da soma dos lados AC e
BC do triângulo a seguir é: GABARITO
a) 14,2 01 E
B
b) 6 02 C
c) 8 03 D
3 2
d) 2 3 + 6 04 A
e) 16,2 45º 30º 05 A
A C 06 A
07 A
05. (MACK) A área do triângulo da figura a seguir é: 08 E
a) 10 3 09 70 metros
b) 20 3
AF =
15 ( 6+ 2 ) km
5 7 10 2
c) 15 3
d) 12 3 60º BF = 15 2 km
e) 18 3
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