1) O documento contém questões sobre matemática básica e raciocínio lógico. 2) As questões abordam tópicos como porcentagem, geometria, álgebra e interpretação de gráficos e tabelas. 3) O objetivo é avaliar a capacidade do estudante de resolver problemas matemáticos de diferentes níveis de complexidade.

1. REMEMBER VI
COD. 955
b) todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta
01. Qual dos valores a seguir não equivale a 0,000 000 357? escola
a) 3,75 . 10 -7 b) 3 ¾ . 10 -7 c) 375 . 10 -9 c) algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta
-7 –6
d) 3 / 8 . 10 e) 3 / 8 . 10 escola
d) algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta
02. O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio escola
quando são 12h e 25 min é: e) nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola
a) 132°30’ b) 137°30’ c) 150° d) 137°32’ e) 137°
12. A solução de 5x x 1  x x 1 1 2 é:
03. Se cada número em um conjunto de dez números é
aumentado de 20 unidades, então a média aritmética dos dez a) { 2,1 } b) { 2/3 } c) { 2 } d) { 1 } e) { 0 }
números originais:
a) permanece a mesma b) é aumentada em 20 unidades
c) é aumentada em 200 unidades d) é aumentada em 10 aa4 4b b4
unidades e) é aumentada em 2 unidades 13. A fração aa2 2b b2
é igual a:
a6 b6
a) a 6 b b) a a2 2 b b2 c) a a2  b b2
1 1
04. A igualdade xx1
1 xx2
é satisfeita: d) a 2  b 2 d) a 2 2 b 2
a) por nenhum valor real de x b) por xx1 ou xx2
c) apenas x x 1 d) apenas x x 2 e) apenas x x 0 14. O comprimento de um retângulo R é 10% maior que o
lado de um quadrado Q. A largura do retângulo é 10%
05. y varia com o inverso do quadrado de x. Quando y = 16, menor que o lado do quadrado. A razão entre as áreas de R e
x = 1. Quando x = 8, y é igual a: Q é:
a) 2 b) 128 c) 64 d) 1 / 4 e) 1024 a) 99 : 100 b) 101 : 100 c) 1 : 1
d) 199 : 200 e) 201 : 200
06. Um feirante compra certa quantidade de laranjas à base
de 3 por 10 centavos, e igual quantidade à base de 5 por 20 15. A razão entre as áreas de dois círculos concêntricos é de
centavos. Para não ter lucro nem prejuízo, ele deve vender à 1: 3. Se o raio do círculo menor é r, então a diferença entre
base de: os raios é aproximadamente:
a) 8 por R$ 0,30 b) 3 por R$ 0,11 c) 5 por R$ 0,18 a) 0,41 r b) 0,73 c) 0,75 d) 0,73 r e) 0,75 r
d) 11 por R$ 0,40 e) 13 por R$ 0,50
16. O valor de 3 / (a + b) quando a = 4 e b = -4 é:
07. Se um trabalhador recebe um corte de 20% no seu a) 3 b) 3 / 8 c) 0 d) qualquer número finito
salário, ele só vai readquirir o salário original se tiver um e) não definida
aumento de:
a) 20% b) 25% c) 22,5% d) R$ 20,00 e) R$25,00 17. Se log x – 5 log 3 = -2, então x é igual a:
a) 1,25 b) 0,81 c) 2,43 d) 0,8 e) 0,8 ou 1,25
08. O gráfico de x² - 4y² = 0 é:
a) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos x 18. O discriminante da equação x² + 2x√3 + 3 = 0 é zero.
b) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos y Portanto, suas raízes são:
c) é uma hipérbole que não corta nenhum dos eixos a) reais e iguais b) racionais e iguais c) racionais e
d) é um par de retas distintas d) irracionais e distintas e) imaginárias
e) não existe
19. Dois números cuja soma é 6 cujo valor absoluto da
09. Um círculo é inscrito em um ∆ de lados 8, 15 e 17. O diferença é 8 são as raízes da equação:
raio do círculo é: a) x² - 6x + 7 = 0 b) x² - 6x - 7 = 0 c) x² + 6x – 8 = 0
a) 6 b) 2 c) 5 d) 3 e) 7 d) x² - 6x + 8 = 0 e) x² + 6x – 7 = 0
10. Quantas horas demoram um trem que viaja a velocidade 20. A expressão √25 – t² +5 se anula para:
média de 40 km/h, para que percorra a quilômetros se a) em nenhum valor real ou imaginário de t
durante o trajeto ele faz n paradas de m minutos cada uma? b) em nenhum valor real de t, mas para alguns valores
a) (3 a + 2mn) / 120 b) 3 a + 2mn c) (3 a + 2mn) / 12 imaginários c) em nenhum valor imaginário de t, mas
d) (a + mn) / 40 e) (a + 40 mn) / 40 para alguns valores reais d) t = 0 e) t = ±5
11. A negação da afirmação “Nenhuma pessoa lenta em 21. Seja c a hipotenusa de um ∆ retângulo e A sua área.
aprender freqüenta esta escola” é: Então altura relativa à hipotenusa mede:
a) todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta a) A / c b) 2A / c c) A / 2c d) A² / c e) A / c²
escola
22. Para pagamento de R$ 10.000,00 um cliente pode optar
entre três descontos sucessivos de 20%, 20% e 10% ou
1

2. então, três descontos sucessivos de 40%, 5% e 5% b) eles formam uma progressão geométrica
Escolhendo a proposta mais vantajosa ele economiza: c) eles são distintos d) eles são números negativos
a) absolutamente nada b) R$ 400,00 c) R$ 330,00 e) apenas b é negativo e a e c são positivos
d) R$ 345,00 e) R$ 360,00
33. Carine inicia uma viagem quando os ponteiros do
23. Ao rever o cálculo de moedas do caixa, o atendente relógio estão sobrepostos (apontam para a mesma direção e
contou q moedas de 25 centavos, d de 10 centavos, n de 5 e sentido) entre 8h e 9h da manhã. Ela chega a seu destino
c moedas de 1 centavo. Mais tarde Mais tarde ele descobre entre 2h e 3h da tarde quando os ponteiros do relógio
que a moedas de 5 centavos foram contadas como moedas formam um ângulo de 180°. O tempo de duração da viagem
de 25 centavos e que x moedas de 10 centavos, contadas é:
como sendo de 1 centavo. Para corrigir o total o atendente a) 6h b) 6h 43 7/11 min c) 5h 16 4/11 min d) 6h 30 min
deve: e) nra
a) deixar o total inalterado b) subtrair 11 centavos
c) subtrair 11x centavos d) somar 11 x centavos 34. Uma estaca de 6 cm e outra
e) somar x centavos de 18 cm de diâmetro dão
colocadas lado a lado como
24. A função 4x² - 12x – 1: mostra a figura, e amarradas
a) sempre cresce à medida que x cresce com um arame. O menor
b) sempre decresce à medida que x decresce comprimento de arame que
c) não se pode anular contorna as duas estacas em cm é:
d) tem um valor máximo quando x é negativo a) 12√3 + 163 b) 12√3 + 73 c) 12√3 + 143
e) tem um valor mínimo em -10. d) 12 + 15d e) 24
25. Um dos fatores de x4 + 2x² + 9 è : 35.Três meninos concordam em dividir um saco de bolinhas
a) x² + 3 b) x + 1 c) x² - 3 d) x² -2x – 3 e)n.r.a. de gude da seguinte maneira: o primeiro fica com a metade
das bolinhas mais uma. O segundo fica com um terço das
26. Édio tem uma casa que vale R$ 10.000,00. Ele vende a restantes. O terceiro descobre que desta forma ele fica com o
casa para Camila com 10% de lucro. Camila vende a casa de dobro das bolas do segundo. O número de bolas é:
volta para Édio com 10% de prejuízo. Então: a) 8 ou 38 b) não podem ser deduzidos por esses dados
a) Édio nem perde nem ganha b) Édio lucra R$ c) 20 ou 26 d) 14 ou 32 e) nra
100,00
c) Édio lucra R$ 1.000,00 d) Camila perde R$ 36. Um tanque de óleo cilíndrico, em posição horizontal,
100,00 tem um comprimento interno de 10m e um diâmetro interno
e) Édio lucra R$ 1.100,00 de 6m. Se a superfície retangular do óleo dentro do tanque
tem área de 40m², então a profundidade do óleo, em metros,
27. Se r e s são raízes da equação x² - px + q = 0 então r² + é:
s² é igual a: a) √5 b) 2√5 c) 3 - √5 d) 3 + √5 e) 3 ± √5
a) p² + 2q b) p² - 2q c) p² + q² d) p² - q² e) p²
37. Um número de três dígitos tem, da esquerda para a
28. Em um mesmo sistema de eixos são traçados o gráfico direita, os dígitos h, t e u, sendo h > u. Quando o número
de y = ax² + bx + c e o gráfico da função obtida substituindo com os dígitos em posição reversa é subtraído do número
x por –x na função dada. Se b x0 e c 0 0 então esses gráficos original, o dígito da unidade da diferença é 4. Então os dois
interceptam-se: dígitos seguintes, da direita para a esquerda, são:
a) em dois pontos, um no eixo dos x e um no eixo dos y a) 5 e 9 b) 9 e 5 c) impossível calcular d) 5 e 4
b) em um ponto localizado fora dos eixos e) 4 e 5
c) somente na origem d) em um ponto no eixo dos x
e) em um ponto no eixo dos y 38. São dados quatro números inteiros. Escolha três inteiros
quaisquer dentre eles e calcule a média aritmética destes,
29. Na figura, PA é depois some este resultado ao quarto inteiro. Desta forma se
tangente ao consegue os números 29, 23, 21 e 17. Um dos números
semicírculo SAR; originais é:
PB é tangente ao a) 19 b) 21 c) 23 d) 20 e) 17
semicírculo RTB;
SRT é um segmento 39. Se y = x² + px + q, então se o menor valor possível de y
de reta e os arcos é zero, q deve então valer:
estão indicados na a) 0 b) p² / 4 c) p / 2 d) – p / 2 e) p²/4 - q
figura. O ângulo APB
mede:
40. Se b 4 d, então as frações ax + b e b são distintas se:
a) ½ (a – b) b) ½ (a + b) c) (c - a) - (d – b)
cx + d d
d) a – b e) a + b
a) a = c = 1 e x a 0 b) a = b = 0 c) a = c = 0
30. Cada uma das equações 3x 2 2 2 2 25;;2x x 112 2 2x x 112 e x 2 2 7 7 x x 1 têm : d) x = 0 e) ad = bc
a) duas raízes inteiras b) nenhuma raíz maior que 3
c) nenhuma raíz nula d) apenas uma raíz 41. Um trem partindo da cidade A até a cidade B encontra
e) uma raíz negativa e ooutra positiva um acidente depois de 1 hora. Se ele parasse por meia hora e
depois prosseguisse a 4 / 5 da sua velocidade usual, chegaria
31. Um ∆ eqüilátero de lado 2 é dividido em um triângulo e à cidade B com 2 horas de atraso. Se o trem tivesse
em um trapézio por uma linha paralela a um de seus lados. percorrido 80 km mais antes do acidente, teria chegado
Se a área do trapézio é igual à metade da área do triângulo atrasado uma hora apenas. A velocidade usual do trem, em
original, o comprimento da mediana do trapézio é: km/h, é:
a) √6 / 2 b) √2 c) 2 + √2 d) (2 + √2) / 2 a) 20 b) 30 c) 40 d) 40 e) 50
e) (2√3 - √6) / 2
32. Se o discriminante de ax² + 2bx + c = 0 é zero, então 42. Se a, b e c são inteiros positivos, os radicais √(a + b/c) e
outra afirmação verdadeira sobre a, b e c é: a.√(b /c) são iguais se e somente se:
a) eles formam uma progressão aritmética a) a = b = c = 1 b) a = b e c = a = 1 c) c = [b(a²-1)] / a
2

3. d) a = b e c qualquer valor e) a = b e c = a – 1. a) 30 km/h b) 10 km/h c) 5 km/h d) 15 km/h
43. Os pares de valores x e y que são soluções comuns das 01.D 11.C 21.B 31.D 41.A
equações y = (x + 1)² e xy + y = 1 são: 02.B 12.D 22.D 32.B 42.C
a) 3 pares reais b) 4 pares reais c) 4 pares imaginários
d) 2 pares reais e 2 pares imaginários 03.B 13.C 23.C 33.A 43.E
e) 1 par real e 2 pares imaginários. 04.E 14.A 24.E 34.C 44.A
44. Em um círculo de centro O é traçado uma corda AB de 05.D 15.D 25.E 35.B 45.A
tal forma que BC é igual ao raio do círculo. CO é traçada e 06.B 16.E 26.E 36.E 46.B
estendida até D. CO é traçada e estendida até D e AO é 07.B 17.C 27.B 37.B 47.C
traçada. Qual das expressões abaixo expressa a relação entre
x e y? 08.D 18.A 28.E 38.B 48.B
a) x = 3y 09.D 19.B 29.E 39.B 49.C
b) x = 2y
c) x = 60° 10.A 20.A 30.B 40.A 50.C
d) não existe e) 3 km /h.
nenhuma
relação especial
entre x e y
e) x = 2y ou x =
3y, dependendo do comprimento de AB.
45.Dadas uma série geométrica com primeiro termo não GABARITO
nulos e razão não nula e uma série aritmética com primeiro
termo nulo. É formada a 3ª seqüência 1, 1, 2, . . . pela soma 01(D) Trata-se de uma questão que envolve números
dos termos correspondentes das duas séries. A soma dos dez decimais. Temos então que:
primeiros termos da terceira seqüência é: 3/8 = 0,375 e que 3/8x10-6 = 0,000 000 375 ∴ (D) é a
a) 978 b) 557 c) 467 d) 1 068 e) n.r.a. alternativa correta.
46. Os gráficos de 2x + 3y – 6 = 0; 4x – 3y – 6 = 0; x = 2 e 02(B) Em 25 minutos temos os deslocamentos:
y = 2 / 3 se interceptam em: O ponteiro Grande (dos minutos) desloca-se: 5 x 30° = 150°.
a) 6 pontos b) 1 ponto c) 2 pontos d) nenhum ponto O ponteiro pequeno (das horas) desloca-se: 1/12 do
e) em um número não limitado de pontos deslocamento do ponteiro dos minutos = 1/12 (150°) = 12,5°
∴ ângulo = 150° - 12,5° = 137,5° = 137°30’.
47. As expressões a + bc e (a + b) (a + c) são:
a) sempre iguais b) nunca iguais c) iguais quando a + b
+c=1 d) iguais a + b + c = 0 e) iguais somente 03(B) Seja x1, x2, . . . , xn os n números cuja média
quando a = b = c = 0. aritmética é A. Então A = (x1 + x2 + . . . + xn) / n.
Os n números aumentados de 20 unidades cada um terão
48. Dado um ∆ uma média aritmética M tal que:
ABC com M = [(x1 + 20) + (x2 + 20) + . . . + (xn + 20) ] / n =
medianas AB, BF e = (x1 + x2 + . . . + xn) / n + ( 20 + 20 + ... + 20 ) / n =
CD; com FH = A + 20.n / n = A + 20. Portanto B é a alternativa certa.
paralela a AF e de
igual comprimento. 04(E) Multiplicando os dois membros da equação por (x –
Traça-se BH e HE 1)(x – 2), temos : 2x – 2 = x – 2 ∴ x = 0.
e estende-se FE até
encontrar BH em G. Qual das afirmações a seguir não é 05(D) Temos: y / (1/x²) = k ∴ y = k / x².
necessariamente correta? Para y = 16 e x = 1 → 16 = k / 1² → k = 16.
a) AEHF é um paralelogramo b) HE = HG c) BH = DC Então para x = 8 temos: y = 16 / 8² = 1 / 4.
d) FG = ¾ AB e) FG é a mediana do ∆BGF
06(B) Considerando as duas compras temos dois preços:
49. Os gráficos de y = x² - 4 e y = 2x se interceptam em: 1ª) Compra de n laranjas a 3 por R$ 0,10 →(10 / 3) e vender
x–2 por x, temos: n.x = (10 / 3) n
a) um ponto cuja abscissa é 2 b) um ponto cuja 2ª) Compra de n laranjas a 5 por R$ 0,20 →(20 / 5) e vender
abscissa é 0 por x, temos: n.x = (20 / 5) n.
c) nenhum ponto d) dois pontos distintos e) Para o cálculo da venda: 1ª + 2ª → 2n. x = 10n /3 + 20n /5
dois pontos distintos ∴ x = 11 / 3, ou seja, 3 laranjas por R$ 0,11.
50. Para 07(B) Considere Sn (novo salário) e S (salário original).
poder Temos que: Sn = S – 20%S = S – 1/5 S = 4/5 S ∴
ultrapassar B S = 5/4 Sn. O aumento necessário é Sn / 4, ou seja, 25% de
que corre a Sn.
40 Km/h em
uma estrada 08(D) Fatorando o dado, temos:
de pista x² - 4y² = (x + 2y)(x – 2y) = 0 ∴ x + 2y = 0 e x – 2y = 0.
simples, A Cada uma dessas equações representa uma reta.
que corre a
50 km/h deve adiantar-se a B 8m. Ao mesmo tempo 09(D) O triângulo de lados 8, 15 e 17 é retângulo. Para
C, que corre em direção a A com velocidade de 50 qualquer ∆ retângulo pode-se mostrar (veja REMEMBER I
– Problema 35) que: a – r + b – r = c ∴ 2r = a + b – c = 8 +
km/h. Se B e C mantêm suas velocidades, para poder
ultrapassar com segurança A deverá aumentar sua 15 – 17 = 6 ∴ r = 3. (Considerar no ∆: c → hipotenusa; a e
velocidade de: b → catetos e r = raio do círculo inscrito).
3

4. a- b=8 a - b = - 8 cujas soluções são: a= -1 e
b = 7 . Então a equação do 2º grau que admite estas raízes
em que Soma = 6 e produto das raízes P = -7 é:
10(A) Iniciando com o cálculo do tempo (∆t1) do trem em x² - 6x – 7 = 0.
velocidade média de 40 km/h ( V = 40 km/h) no percurso de
a km (∆x = a km) → V = ∆x / ∆t1 ∴ ∆t1 = ∆x / V = a / 40 20(A) A equação √ 25 - t² nunca pode ser igual a zero um
horas. vez que é a soma de um número positivo com um número
Cálculo do tempo das n paradas de m minutos (∆t2): não negativo.(Para √ 25 – t² estamos querendo nos referir
∆t2 = (n. m) min = (n. m) / 60 horas. somente à raiz positiva). Logo (A) é a opção correta.
Nº. de horas de demora = ∆t1 + ∆t2 = a / 40 + (n.m) / 60 = 21(B)2Como A = ½ h . c ∴ h = 2 a / c.
( 3 a + 2mn)/120 .
11(C) A negação consiste em dizer que é falso que “
nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola”, o
que é o mesmo de dizer: “algumas pessoas lentas em 22(D) Temos um problema de descontos. Vamos operar
aprender freqüentam esta escola”. cada desconto único da forma D = 1 – (1 – i1)(1 – i2)(1 - i3)
onde i1, i2 e i3 representam a taxa centesimal de cada
12(D) Trata-se de uma equação irracional. Não se pode desconto sucessivo. Vejamos o desconto de cada proposta:
esquecer no final de fazer à verificação para cada raiz. 1ª Proposta: Descontos sucessivos de 20%; 20% e 10%.
A princípio transfere-se √x - 1 para o segundo membro e D1 = 1 – (1 – 0,2)(1 – 0,2)(1 – 0,1) =
= 1 – (0,8)(0,8)(0,9) = 1 – 0,576 = 0,424 = 42,4%
quadra-se a equação, ou seja: 2ª Proposta: Descontos sucessivos de 40%; 5% e 5%.
5x x 1 1 2 2 x x 1 1quadrando) D2 = 1 – (1 – 0,4)(1 – 0,05)(1 – 0,05)
= 1 – (0,6)(0,95)² = 1 – 0,5415 = 0,4585 = 45,85%.
5x x 1 1 2 2 4 x x 1  x x 1 1 4x x 4 4 44 x x 1
Verifica-se então que a 2ª proposta é mais vantajosa e temos
1 x x 1 1 1 x x 1 1quadrando-se ss x² ² 2x  1 1 x x 1 como economia em relação a 1ª de:
1 x² ² 3x  2 2 0 0 x x x 1 e x" " 2. (D2 – D1). 10.000 = (3,45%). 10.000 = R$ 345,00.
Verificação: Para x x 1 1 5.1 1 1  11 1 1 4  0 0 22 (Veja também outra maneira de resolução modelo
2 2 22VV V x x 1 é raiz. REMEMBER I – problema 22).
Para x x 2 2 5.2 2 1  22 1 1 9  1 1 44
4 4 22FF F x x 2 não é raiz.Logo a opção certa é a aDD. 23(C) A quantia contada em centavos = 25q + 10c + 5n + c.
Valor correto = 25(q – x) + 10(c + x) + 5(n + x) + (c – x).
A diferença = -25x + 10x + 5x – x = -11x ∴ 11x centavos
13(C) Usando uma das propriedades dos produtos notáveis, devem ser subtraídos.
a² - b² = (a + b)(a – b) , temos:
24(E) A função y = 4x² -12x -1 possui como gráfico uma
aa4 4b b4 2aa2  b b2 22aa2 2bb2 2
2 2 aa2  b b2 . parábola com concavidade voltada para cima, pois a = 4 > 0
cujo ponto vértice V (xv, yv) = (-b /2a; -∆ / 4 a) ∴ xv = 3/2
aa2 2b b2 aa2 2bb2
= 1,5 e yv = - 10 (mínimo).
14(A) As dimensões do retângulo R são: Comprimento = (Veja REMEMBER I- Problema 4) .
1,1L e Largura = 0,9L ∴ Áret. = 1,1 . 0,9 = 0,99 L².
A área do quadrado de lado L = Aq. = L². Daí então: 25(E) Trata-se de uma questão sobre complementar
Aret. / Aq = 0,99L² / L² = 0,99 = 99 / 100. quadrado perfeito e regra dos produtos notáveis. Fazendo:
x4  2x 2  9 9 x4  2x 2  9  4x 2 2 4x 2 2 x 4  6x 2  9 9 4x 2 2
2
2 2 2 22x 2  33 2 22x x2 2 2x 2  3 3 2xxxx 2  3  2x x x
Área Círc.menor r2
m1 3
3 2 R²
² 1
3
3 R R r 3.
Área Círc. maior
x4 4 9 99x 2 2 2x  333x 2  2x  33.
Então a diferença entre os raios r . . .
r R R r r r 3 3r r r 3 3 1 1 rr1,73 3 111 0,73r
x2 2.x2 . 3 3
15(D) Seja R o raio do círculo maior, temos:
6x2
16(E) Quando a = 4 e b = -4 temos que: a + b = 0. Logo a
26(E) Édio vende com lucro de 10% =
expressão não tem sentido para esses valores, pois não se
= 10.000 + 10%.10.000= 10.000 + 1.000 = R$ 11.000,00
divide por zero.
Camila vende com prejuízo de 10% sobre preço de compra=
= 10.000 – 10%.11.000 = 11.000 – 1.100 = R$ 9.900,00.
logx x 5 log3 3 32 2 logx x log3 5 5 52 2 A opção correta é (E), pois na transação Édio ganhou:
log x5 5 52 2 243 3 10 02 2 x x 2, 43 (que satisfaz
x 11.000 – 9.900 = R$ 1.100,00.
3
(Veja REMEMBER II - Problema 5)
a condição do log x, que é x x 0).
17(E) Na resolução do problema usaremos a propriedade do 27(B) Da equação x² - px + q = 0 temos como coeficientes:
quociente entre logarítmos (log a – log b = log a / b); a a = 1; b = - p e c = q; como soma das raízes (r e s) : r + s = -
propriedade do expoente (a log b = log b a) e a definição de b / a = p e como produto: r . s = c / a = q. Para o cálculo de
logarítmos (logx a = b → x b = a) Lembrar que: a > 0; b > 0 e r² + s², vamos partir de que r + s = p, quadrar a igualdade,
0 < x 0 1, sendo todos reais. fazer uso de substituições e isolar o pedido do problema.
Vejamos como é fácil:
18(A) O discriminante valendo zero (∆ = 0) significa que as (r + s)² = p² ∴ r² +2rs + s² = p² ∴ r² + s² = p² - 2rs = p² - 2q.
raízes são reais e iguais desde que os coeficientes da
equação sejam números reais. 28(E) Para x 2 0, temos: y = ax² + bx + c ax² - bx +c.
Para x = 0, temos: y = ax² + bx + c = ax² - bx + c ∴
19(B) Denominando os números de a e b temos: existe um ponto de interseção (0, c) ∴ (E) é a alternativa
a + b = 6 e !a – b ! = 8 onde a – b = 8 ou a – b = -8. correta.
Formamos então os sistemas:
a+b=6 e a+b=6 29(E) Trata-se de uma questão que envolve ângulos
replementares, ou seja, ]APB + ]BPA = 360° ∴]APB =
4

5. 360° - ]BPA (veja sempre a figura para acompanhar ponteiro das horas entre 2 e 3 horas e (ii) seja 240° + y o
cálculos). Vamos ao problema: deslocamento do ponteiro dos minutos. Como o ponteiro
Fazendo ]BPA = ]BPR + ]RPA (que são dois ângulos dos minutos possui velocidades 12 vezes maior no mesmo
intervalo de tempo, então: 12y = 240° + y ∴ y = 240°/11 =
excêntricos exteriores) temos:
43,6min.
(i) ) RPA R ABAAR
2 2a cc x2 c cc caa 2 2ccx Daí então, a CHEGADA = 2 h 43,6 min.
2 2
2b b d dddbbxx 2d x Logo o tempo da viagem = 2h 43,6min (14h 43,6min) – 8hs
2iiii BPR B BRBBM 2 2 2
2 2 43,6 min = 6 h.
Então:: BPA B 2cc x  2d2 x 2 c  d.
2
Como C APB A 360° ° BPA B 360° ° °c  dd 34(C) O menor comprimento consiste nas duas tangentes
d d APB A A 180° ° cc   180° ° dd d a  b. externas T e nos dois arcos A1 e A2 ∴ m.C = 2T + A1 + A2.
Nota:a)No semi-círculo SAR: a  c c 180° ° a a 180° ° c Na figura temos: 0102 = 12 cm; No ∆ABC (retângulo)
b)No semi-círculo RMT: x   b b x x  d d 180° ° b b 180° ° d
temos: BC // 0102 ∴ BC = 12 cm; AB = (9 – 3)cm = 6 cm ∴
12² = 6² + T² ∴ T = 6 √3. Logo 2 T = 12 √3 cm
No ∆DCO2 ≈ ∆DAO1 → DC / O2C = DA / O1A ∴
DC / 3 = DC + 6√3 / 9 ∴ DC = 3√3 cm ∴ tg α = CO2 / DC
= √3 / 3 → α = 30° ∴
Arco CE = A1 = 120°/ 360°. 2 .3 = 2. ∴ A1 = 2
e o arco AGB = A2 = 240°/ 360 . 2 .9 = 12. ∴ A2 = 12
30(B) Resolvendo individualmente cada equação
encontram-se os seguintes conjuntos soluções:
Para : ii 3x² ² 2 2 25 5 x x x3 3 Si S SS33
ii) (2x – 1)² ² (x – 1)² ² 2x – 1 1 1x x 11² ²
2x x 1 1 1 1x x 11 onde:
2x – 1 1 x – 1 1 x x 0
∴ m.C = 12√3 + 143 .
e 2x – 1 1 - (x – 1) ) x x 2 / 3 3 Sii S {0, 2 / 3}
iii) x² ² 7 7 x x 1 (quadrando a equação, temos)
35(B) Considerando que o número total de bolas = b, temos
x² - 7 7 x – 1 1 x² - x – 6 6 0 0 x’ ’ -2 e x” ” 3.
Como se trata de equação irracional deve-se fazer a verificação
que cada menino pega:
com as raízes encontradas, ou seja:
b b 2
Parax P P2 2 2222² ² 7 7 72 2 1 1 13 3 33 , , FFpoisnãoexistereal 1ºmen. . 2
 11 2
; 2ºmen. . 1 bb2 2 bb2
3 2 6
e
comraizquadrada negativa. Então E 2nãosatisfaz. bb2
3ºmen. . 2 6
6 bb2 .Podemos então armar a
3
Parax P 3 3 3² ² 7 7 3 3 1 1 2 2 2 , , VV
V Siii S { 3 }. equação: b b b22  bb2  bb2 3 0b b 0.
6 3
Observando os três conjuntos soluções, temos que a opção correta é a (B).
Portanto o valor de b é indeterminado, podendo assumir
31(D) Sejam Am; Ao e Atrap as áreas do triângulo menor; qualquer valor inteiro da forma 2  6b para b b 1, 2, ...
do ∆original e do trapézio. Pelo enunciado Atrap = ½ Ao.
Veja pela figura que então: Am = Atrap = ½ Ao, pois 36(E)A área da superfície retangular é dada por:
Am + Atrap = Ao ∴ Am / Ao = 1 Área = comprimento x largura ∴ 40 = 10.2x ∴ x = 2. No
/ 2. ∆retângulo raio² = y² + x² ∴ 3² = y² + 2² ∴ y = √5 .
Usando o teorema das áreas, A profundidade é : 3 - √5 ou 3 + √5 (veja as figuras).
temos:
Am / Ao = DE²/ 2² = 1 / 2 ∴ DE
= √2.
A mediana m de um trapézio é a média aritmética de seus
lados paralelos (suas bases)
∴ m = ( DE + 2) / 2 = = (√2 + 2) / 2.
32(B) Se ∆= 0 temos: (2b)² - 4 a.c = 0 ∴ 4b² - 4 a.c = 0 (:4)
37(B) O número original é 100c + 10 d + u. Quando o
∴ b² - ac = 0 ∴ b² = a.c . Temos que b é média geométrica
número é revestido temos 100u +10 d + c. Como c > u, para
de a e c, logo (a,b,c) formam uma progressão geométrica.
subtrairmos, é necessário acrescentar 10 a u (transformar 1 d
= 10 ). O mesmo acontece com as centenas e dezenas, ou
33(A) Seja x o número de graus que o
seja, 10 a d (transformar 1c = 10 d) ∴
ponteiro das horas se move entre 8
100(c – 1) + 10(d + 9) + u + 10
horas e o começo da viagem e por sua
100u + 10 d +c
vez é 240° + x o deslocamento em
graus do ponteiro dos minutos. Como o 100( c – 1 – u ) + 10( d + 9 – d) + ( u + 10 – c ) =
ponteiro dos minutos é 12 vezes mais = 100(c – 1 – u) + 10 .9 + u + 10 – c.
rápido que o das horas, em qualquer Pelo enunciado do problema: u + 10 – c = 4 ∴ c – u = 6.
intervalo de tempo, temos: Então: 100(6 – 1) + 9.10 + 4 = 5.100 + 9.10 + 4 ∴
12x = 240°+ x ∴ x = 240° / 11 21,82° as dezenas d = 9 e as centenas c = 5.
43,6 minutos ∴
Horário da saída 8h 43,6minutos. 38(B) Considerando os quatro números inteiros e positivos
como a, b, c e d e escolhendo sempre três para executar a
Para a CHEGADA, entre 2 e 3 horas média aritmética adicionada ao quarto número, formamos o
da tarde, vamos considerar que: (i) seja y = deslocamento do
5

6. sistema de equações abaixo, que resolvendo por 44(A) Um modo de resolução do problema usando a
escalonamento temos: propriedade do ângulo externo de um ∆.Na figura, temos:
i) O ∆OBC (é isóscele), pois OB = BC = r (raio) ∴
1/33a  b  cc  d d 29 a  b  c  3d d 87 ]O = ]C = y.
1/33b  c  dd  a a 23 3a  b  c  d d 69 ii) O ∆OBC (é isóscele), pois AO = OB = r e ] OBA =
7
1/33c  d  aa  b b 21 a  3b  c  d d 63 ] OAB
1/33d  a  bb  c c 17 a  b  3c  d d 51
= 2y pois
] OBA é
a  b  c  3d d 87 externo ao
a  b  3c  d d 51 ∆OBC.
iii) Então
a  3b  c  d d 63
] x =
3a  b  c  d d 69
]OAC + y
Escalonando o sistema, temos: ( ]x é
a  b  c  3d d 87 a  b  c  3d d 87 a  b  c  3d d 87 externo ∆OAC ) ∴
2c c 2d d d36 c c d d d18 b b d d d12 ]x = 2y + y = 3y.
2 6
2b b 2d d d 24 b bdd d 12 c cdd d 18
42b b 2c c 8d d d192 2b b c c 4d d d96 8b b c c 4d d d96
Fazendo L2 L4 e finalmente L3  L4, temos:
a  b  c  3d d 87 a  b  c  3d d 87 d d 21
45(A) Sendo a PG (a, aq, aq², . . . ) e a PA ( 0, r, 2r, . . . )
b b d d d12 b b d d d12 cc 3
8 6 Logo B é a opção onde PA + PG (1, 1, 2, . . . ), logo: a + 0 = 1 ∴ a = 1 (i);
c cdd d 18 c cd d d 18 bb 9
aq + r = 1 ∴ q + r = 1 (ii); aq² + 2r = 2 ∴ q² + 2r = 2 (iii).
8c c 5d d d108 86d d d126 a a 12
Em (ii), r = 1 – q que substituído em (iii), temos:
q² + 2 – 2q = 2 ∴ q(q – 2) = 0 ∴ q = 0 (não satisfaz) e q = 2.
e então r = 1 – 2 = 1.
39(B) Logo PG ( 1, 2, 4, ... ) ∴ Sn = a1 (qn – 1) / (q – 1)
p² S10 = 1.(210 – 1) / (2 – 1) ∴ S10 ‘= 1 023.
y min m mm a 0 0 0 0 0 0 p² ² 4. 1. q q 0 0 q q
4a 4
.
. Veja REMEMBER I, problema 41) a PA (0, -1, -2, . . . ) ∴Sn = n (a1 + a n) / 2 =n(a 1+(n –1)r)/2
∴ S10 = 10( 0 + 9.(-1)) = -45 ∴ S10 “ = - 45.
40(A) Se diferenciado as frações dadas, temos:
ax b Assim: S10’ + S10” = 1 023 +(-45) = 978.
cx d
d b a adx  bd b bcx  bd b x x adabc
a
1
b a
ad a bc b 0 0 ad a bc b d c 1 1 d c 46(B) Temos que resolver o sistema abaixo, para determinar
b b d ; a a c e x x 0. o ponto interseção das quatro retas.
A fração terá seu valor alterado somando-se qualquer valor x não
2x  3y y 6
nulo ao seu numerador e ao denominador. Logo (A) é a opção.
41(A) Sendo x a distância do ponto do acidente ao final da 4x x 3y y 6
viagem, e v a velocidade do trem antes do acidente. O tempo x x 2
normal da viagem, em horas, é dado por: 1
x/v + 1 = (x + v) / v . yy 2
Considerando o tempo em cada viagem temos:
1 x x v 4v 2v 5x 4x 4v 8v
a) 1  2
 4v
5 v  22 4v
v 4v
v x x 6v vii Pode-se verificar que x = 2 e y = ½ é solução do sistema.
5
80 1 xx80 x v 320 2v 5xx 400 4x 4v Logo (B) é a opção correta.
bb 1  v  2
 4v
5 v  11 4v
v 4v
5
v v80 0 0x  2v v x x 2v  80 (ii). 42(C) 47(C) Para que a + bc = a² + ab + ac + bc → a = a²+ ab + ac
∴ a + b + c = 1.
Fazendo (i) ) (ii),temos: 6v v 2v  80 0 v v 20km/h.
Devemos considerar nas operações abaixo a, b e c sempre 48(A) Analisado cada opção, verifica-se:
números inteiros e positivos. (A) é verdadeira porque FH é paralela a AE.
(C) é verdadeira porque, quando se estende HE, que é
b b b paralela a CA, esta encontra AB em D. DC e BH são lados
Temos: a  c c a c cquad rand oo o a  c c a² b c
c correspondentes dos ∆s congruentes ACD e HDB.
ac b a²b bba²² 11 (D) é verdadeira
c c c c ac a a²b b b b c c a FG = FE + EG = AD + ½ DB = ¾ AB.
43(E) Armando um sistema com as duas equações, temos (E) é verdadeira porque G é o ponto médio de HB.
(B) não pode ser provada a partir da informação dada. Um
desafio: que informação é necessária para provar (B)?
49(C) Sendo y = (x²- 4) / (x – 2) = (x – 2)(x + 2) / (x – 2) =
x + 2 ( para x x 2, ou então y 4; que é a condição de
domínio da função) , é uma reta excluindo no ponto (2, 4).
A reta y = 2x cruza a reta anterior no ponto que não faz
parte do gráfico. Logo (C) é a opção correta. Para melhor
entendimento faça os gráficos das funções no mesmo plano.
50(C)
:
6