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  1. 1. c) (F) As diagonais são sempre perpendiculares REMEMBER X d) (F) Não possuem diagonais. Cod. 959 (26/04/07) e) (V) 01. Cada aresta de um cubo é aumentada 50%.O 04. Se 78 é dividido em 3 partes proporcionais a aumento percentual da superfície do cubo é: 1, 1/3 e 1/6, então a parte do meio deve medir: a) 50 b) 125 c) 150 d) 300 e) 750 a) 9 1/3 b) 13 c) 17 1/3 d) 18 1/3 e) 26 Sol. ( B ) Sol: ( C ) Considerando aresta cubo inicial = a; Denominando as partes de: A; B e C e que: Sua superfície (Área total= At) = 6 a²; A + B + C = 78; temos: A B C 78 = = = = 52 Aresta aumentada = a + ½ a = 3/2 a = 1,5 a. 1 1 1 6 + 2 +1 3 6 Nova superfície =6 (3/2 a)² =6(9/4 a²) = 27/2 a² 6  A = 52; B = 17 1/3 e C = 78 1/3. Aumento em superfície = 27/2 a² - 6 a² = 7,5 a² Logo a parte média é 17 1/3. Aumento da superfície em percentual = 05. O valor de (256)0,16. (0,256)0,09 é: = 7,5 a² / 6 a² = 1,25 = 125%. a) 4 b) 16 c) 64 d) 256, 25 e) -16 02. Pelo ponto G interno ao triângulo ABC Sol. ( A ) desenha-se uma linha paralela à base AB, Temos então que: (256)0,16. (256)0,09 = dividindo-se o  em duas partes de igual área. (256)0,16+0,09 = (2 8)0,25 = (2 8) ¼ = 2 8/4 = 2 2 = 4. Se a altura com relação à AB tem comprimento 1 então à distância de G até AB é: 06. Dada a afirmação verdadeira: se um a) ½ b) ¼ c) 2 - a2 d) ( 2 - 22)/ 2 quadrilátero é um quadrado, então ele é um e) (2 + e2)/ 2. retângulo, pode-se então dizer do converso e o inverso dessa afirmação que: Sol. ( D ) a) apenas o converso é verdadeiro Pelo enunciado do problema temos: CG = ? b) apenas o inverso é verdadeiro C c) ambos são verdadeiros d) nenhum é verdadeiro e) o inverso é verdadeiro, mas o converso é D E verdadeiro algumas vezes. G A B Sol. ( D ) F CF = 1; CG = 1 -d; GF = d Converso (convertido) = “Se um quadrilátero é Considerando ainda figura acima: um retângulo, então ele é um quadrado”. i)  ABC ~  CDE Inverso = “Se um quadrilátero não é um ii) Área ABC = 2  CDE quadrado, então ele não é um retângulo”. iii) Duas figuras semelhantes numa razão k terão Verifica-se então que ambas são falsas. suas áreas numa razão k². 2 2 07. Os lados de um triângulo retângulo são a,  CG  1 1− d  1 Então:   = =>   = => a+d e a+2d, onde a e d são ambos positivos. A  CF  2  1  2 proporção entre a e d é: 2± 2 a) 1:3 b) 1:4 c) 2:1 d) 3:1 e) 3:4 d² -2d + ½ = 0 => d = . 2 Sol. ( D ) 2− 2 Como GF < 1 => GF = d = Temos como lados do triângulo retângulo: a, a+d 2 e a+2 d onde a > 0 e b > 0 e perguntado a/d = ? Usando o Teorema de Pitágoras: 03. Se as diagonais de um quadrilátero são (a + 2d) ² = a² + (a + d) ² => perpendiculares uma à outra, então a figura pode a² + 4ad + 4d² = a² + a² + 2 ad + d² => ser sempre classificada como um: 4d² = a² - 2ad + d² => (2d) ² = ( a – d) ² => a) losango b) retângulo c) quadrado 3d = a – d => a / d = 3/1 = 3:1. d) trapézio isóscele e) n.r.a. 08. O valor de x² - 6x + 13 nunca pode ser Sol. ( E ) menor que: a)(F) As diagonais são sempre perpendiculares. a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 7 e) 13 b) (F) As diagonais podem ser ou não ⊥ . Colégio Cascavelense – Prof. Edir Reis Bessa – Remember X 1 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO Cc
  2. 2. Sol. ( A ) 50 + k 100 + k = => (50 + k )² = (20 + k )(1000 + k ) Sendo f(x) = x² - 6x + 13 temos; a = 1; b = -6 e 20 + k 50 + k c = 13. Daí então  = b² - 4ac = 36 – 52 = -16. => k = 25. Logo a P.G é:( 45; 75; 125)  y min = - / 4 a = -(-16) / 4.1 = 4. Daí então q = 75/25 = 5/3. è o valor mínimo para qualquer valor x. 13. A média aritmética de um conjunto de 50 09. Um fazendeiro divide seu rebanho de n vacas números inteiros e positivos é 38. Se Dois entre seus quatro filhos de modo que um recebe números, a saber, 45 e 55, são retirados, a média a metade do rebanho, o segundo filho, um do conjunto restante é: quarto, o terceiro, um quinto, e o quarto, 7 a) 36,5 b) 37 c) 37,2 d) 37,5 e) 37,52 vacas. Qual o tamanho do rebanho? a) 80 b) 100 c) 140 d) 180 e) 240 Sol: ( D ) Temos várias maneiras de resolver o problema: Sol. ( C ) x1 x2 x Total de vacas: v = ? 1ª) M.A. = + + ... + 50 = 38. => 50 50 50 Se: v/2 + v/4 + v/5 + 7 = v => v = 140. x x 45 55 x => 1 + 2 + ... + + + ... + 50 = 38 10. Em um triângulo ABC, com AB = AC = 3,6; 50 50 50 50 50 um ponto D é localizado em AB a uma distância x1 x2 x50 => + + ... + 2 + ... + = 38 de 1,2 de A. O ponto D é ligado ao ponto E no 50 50 50 prolongamento de AC de tal forma que o => x1 + x2 + ...+ x48 = (38 – 2) . 50 = 1800 triângulo AED é igual em área ao triângulo x + x2 + ... + x48 1800 ABC. Então AE mede: => 1 = = 37,5 (Nova MA). a) 4,8 b) 5,4 c) 7,2 d) 10,8 e) 12,6 48 48 Sol. ( D ) Somadosnúmeros 2ª) Temos que: MA = Considerando a figura do  ABC abaixo, Quantidadedosnúmeros temos: B Para o caso: Soma = 50. 38 = 1900, daí então: 1900 − 45 − 55 NovaMédia = = 37,5. B = H F 48 D H DG = h 14. Seja S um conjunto contendo o número zero, h A e os números inteiros pares positivos e G F C E negativos. Quais das operações a seguir que, Pelos dados do problema: AD = 1/3 AB. aplicadas a um par de elementos quaisquer do Como  ADG ~  ABF => h/1,2 = H/3,6 => conjunto, produzem apenas elementos do h = H/3. próprio conjunto S? As operações são: Como os  possuem áreas iguais, ou seja: ( 1 ) soma ( 2 ) subtração ( 3 ) multiplicação Área ( ADE =  ABC) => ( 4 ) divisão ( 5 ) média aritmética ( 6 ) todas => ½ h.AE = ½ H.AC => H/3 .AE = H.(3,6) => AE = 10,8. a) soma b) 1, 2, 3 e 4 c) 1, 2, 3 e 5 d) 1, 2 e 3 e) 1, 3 e 5. 11. O logarítmo de 0,0625 na base 2 é: a) 0,025 b) 0,25 c) 5 d) -4 e) -2 Sol. ( D ) Seja S = {...,-4, -2, 0, 2, 4, ..., 2n, 2n + 2,...}0 Z Sol. ( D ) Verifica-se que, para: log 2 0,0625 = log 2 (54/104) = log 2 (10/5)- 4 = i) Adição: 2n + (2n+2) = 4n + 2 = log 2 2 -4 = -4. log2 2 = -4. =2(2n+1) 0 S, n∈ Z. 12. Somando-se uma mesma constante a 20, 50 e ii) Subtração: (2n+2) – 2n = 20 S ∀ n0 100 resulta uma progressão geométrica. A razão Z dessa progressão é: iii) Multiplicação: (2n+2)2n=4n²+4n = a) 5/3 b) 4/3 c) 3/2 d) ½ e) 1/3 4n(n+1) 0 S ∀ 0 Z. n A divisão e a Média aritmética com números Sol. ( A) pares nem sempre são pares. Temos então a P.G. (20+k; 50+k; 100+k). Ex. a) 6 / 4 = 1,5 ∉ S; (2 + 6 + 0) / 3 = 8/3 ∉ S. Pela razão: q = a2/a1 = a3/a2 => 15. Em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual ao dobro do produto dos Colégio Cascavelense – Prof. Edir Reis Bessa – Remember X 2 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO Cc
  3. 3. catetos. Um dos ângulos agudos desse triângulo pesados e com os pesos dados colocados em mede: qualquer dos pratos da balança? a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 75º a) 15 b) 13 c) 11 d) 9 e) 7 Sol. ( C) Sol: ( B ) Considere um triângulo retângulo de hipotenusa Trata-se de um problema que podemos resolver com medida a e os catetos b e c. de várias maneiras, inclusive por análise Como dado do problema: a2 = 2bc ( i ) combinatória, mas abaixo temos uma solução Usando o Teor. de Pitágoras :a2 = b2 + c2 (ii ) interessante: Fazendo ( i ) = ( ii ), temos: #Com um peso pode-se medir 3 massas (1 kg, b2 + c2 = 2bc => b2 -2bc +c2=0 =>( b – c )2 = 0 3 kg, 9 kg)* => b – c = 0 => b = c (catetos iguais) =>Trata-se #Com dois pesos mede-se 6 massas (4kg, 10kg, de um triângulo retângulo isóscele: 90º+2d b= 12 kg, 2kg, 8kg, 6kg)** 180º => 1 b = c = 45º. #Com três pesos mede-se 4 massas (13kg, 5kg, x ² − 3x + 2 x² − 5 x + 4 7kg, 11kg)*** 16. A expressão : quando x ² − 5 x + 6 x ² − 7 x + 12 simplificada, resulta na expressão: -No caso * coloca-se um peso em um dos pratos ( x − 1)( x − 6) e a massa a pesar no outro prato. a) ( x − 3)( x − 4) b) (x+3) / (x – 3) -No caso ** (para 4kg, 10kg e 12kg) coloca-se c) (x+1) / (x – 1) d) 1 e) 2 dois pesos em um dos pratos e a massa a se pesar no outro prato. (para 2 kg, 8 kg e 6 kg) coloca-se Sol. ( D ) uma massa em cada prato e massa a se pesar no Fatorando os quatro termos da expressão, temos: prato que contiver o peso de menor massa. ( x − 1)( x − 2) ( x − 1)( x − 4) -No caso *** (para 13 kg) coloca-se os três E = : = (vamos pesos num dos pratos e a massa a se pesar no ( x − 2)( x − 3) ( x − 3)( x − 4) outro prato. (Para 5 kg, 7 kg e 11 kg) coloca-se conservar a 1ª fração e multiplic. inversa da 2ª dois pesos num dos pratos, o outro peso no outro => prato e a massa a se pesar no prato "mais ( x − 1)( x − 2) ( x − 3)( x − 4) maneiro". E= ⋅ = 1. ( x − 2)( x − 3) ( x − 1)( x − 4) Daí então: Número de objetos = 3 + 4 + 6 = 13. 20. Se x varia diretamente com o valor de y e b 17. Se y = a + onde a e b são constantes e se com o inverso do quadrado de z. e se x = 10 x quando y = 4 e z = 14, então, quando y = 16 e z y = 1 quando x = - 1, e y = 5 quando x = - 5, = 7, o valor de x deverá ser: então a + b é igual a: a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120 a) – 1 b) 0 c) 1 d) 10 e) 11. Sol: ( B ) Sol: ( E ) Pelos dados iniciais do problema temos: Atribuindo os valores y = 1 e x = -1 => 1  1 = a + b/ (-1) => a – b = 1 ( i ) x = y ⋅ 2 ⋅ k . Para x=10; y=4 e z =14 => z E para y = 5 e x = - 5 => 5 = a + b/(-5) 10 = 4. 1/14². k => k = 490. => 5 a – b = 25 ( ii ) Para y = 16 e z = 7 => x = 16. 1/7². 490 => Formando um sistema com ( i ) e ( ii) temos que x = 160. a = 6 e b = 5. Daí então: a + b = 11. 21. Se p é o perímetro de um triângulo eqüilátero 18. A média aritmética dos primeiros n inteiros inscrito em um círculo, então a área desse positivos é: círculo mede: a) n/2 b) n²/2 c) n d)(n - 1)/2 e)(n +1)/2 a) π p³/3 b) π p²/9 c) π p²/27 d) π p²/27 e) π p² 3 / 27 A Solo: ( E ) 30º L/2 Sendo Z*+ = { 1, 2, 3, . . . , n}, onde 1, 2, 3, ..., n L D formam uma P. A onde a soma de seus termos = Sol. ( C ) 0 L /2 Na figura o  ABC é eqüilátero B 30º n(a1 + an ) n(1 + n) C Sn = = . Daí a M. A será: de lado L e perímetro p = 3L. L 2 2 No triângulo retângulo AOD temos: Sn n + 1 cos 30º = AD / AO = (L/2)/R = c 3/2=>L=R 3 MA = = . n 2 => R = L/= 3. Assim a área do círculo: Ac = π R² = π (L/ 3)²= 19. Usando-se 3 pesos distintos de 1, 3 e 9 kg, =π (L²/3) = π (p²/9)/3=> Ac = π p²/27. quantos objetos de pesos distintos podem ser Colégio Cascavelense – Prof. Edir Reis Bessa – Remember X 3 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO Cc
  4. 4. d) -1 < x < 7 e) -7 < x < 1. 22. A linha ligando os pontos médios das Sol. ( D ) diagonais de um trapézio tem comprimento 3. Se Temos então: T 3 – x < 4 => -4 < 3 – x < 4 a base maior mede 97, então a base menor mede: => a) 94 b) 92 c) 91 d) 90 e) 89 -4 – 3 < - x < 4 – 3 => -7 < - x < 1 ( -1 ) => => - 1 < x < 7. Sol. ( C ) A D 26. A base de um triângulo isóscele mede 2 2. As medianas relativas aos lados de igual M E F N comprimento se cortam em ângulo reto. A área do triangulo é: B C a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3,5 e) 4 b' M = M é d io d e A B; N = M é d io d e C D ; Sol. ( A ) b = B a se m e n o r; b ' = B a se m a io r; A E F = M e d ia n a d e E U LE R b'−b 97 − b EF = => 3 = => b = 91 2z 2 2 o 23. O conjunto de soluções da equação log 10 ( a² - 15 a) = 2 consiste de: z B m n C a) dois inteiros b) um inteiro e uma fração D c) dois números irracionais d) dois números 2 não reais e) nenhum número, o conjunto de Como BO = 2 , temos : BD = DC = 2 soluções é vazio Usando uma das relações de  retângulo no  BOC (que é retângulo),temos: Sol. ( A ) 2 2 2 2 Aplicando a definição dos logarítmos temos: z² = m.n = ⋅ = 4 = 1 / 2 => z = . 2 2 2 log 10 ( a² - 15 a) = 2 => a² - 15 a - 100 =0 onde a ‘ = - 5 e a “ = 20. 3 2 Usando as condições dos logarítmos: Como a altura = AD = h = 3z = . 2 i) Para a = -5 => 5² - 15.(-5) = 100 > 0 ii) Para a = 20 => 20² -15.20 = 100 > 0 2. 3 2 Então: Área = BasexAltura = 2 = 3 / 2 = 1,5. Verifica-se então que o solução da equação 2 2 acima é S = { -5; 20}. 27. Qual das seguintes afirmações não é 24. Um ajudante de laboratório tem m gramas de verdadeira para a equação solução salina, com m% de sal. Quantas gramas ix² - x + 2i = 0, onde i = i -1. de sal ele precisa acrescentar à solução para que a) a soma das raízes é 2 b) o discriminante é 9 a concentração de sal seja 2m5? c) as raízes são imaginárias a) m / (100 + m) b) 2m / ( 100 – 2m) d) as raízes são encontradas usando-se a fórmula c) m² / (100 - 2m) d) m² / (100 + 2m) quadrática e) 2m / (100 + m) e) as raízes podem ser encontradas por fatoração, usando-se números imaginários. Sol. ( C ) Seja m' a massa de sal inicialmente na solução. Sol. (A ) Como a concentração de sal é de m% Na equação ix² - x + 2i = 0 temos os ==> m/100 . m = m' (1) coeficientes: a = i; b = -1 e c = 2i. Então: Seja de x gramas o acréscimo de sal para obter a a) a soma das raízes = -b/a = 1/i = nova concentração que será de: (m'+x)/v (g/ml) 1 (−i ) (−i ) − i Portanto: 2m/100 .(m+x) = m' + x, substituindo = ⋅ = = = −i (Falsa) i (−i ) (−i 2 ) 1 o valor de m' encontrado em (1) => m2 +2mx - 100x = 0 b) o discriminante = b² - 4ac = ( -1)² -4i2i = 1 - 8i² = 9 (Verdadeira) => x(2m-100) = -m2 ==> x=m2/(100-2m), assim a resposta é a opção c. − 1 ± 9 (−1 ± 3) (−2i ) 2i ± 6i c) x= = ⋅ = 2i 2i (−2i ) 4 25. O conjunto de valores de x que satisfazem à x1 = 2i e x2 = -i .(Verdadeira) desigualdade d 3 – x < 4 consiste dos valores x d) (Verdadeira) Veja alternativa c. tais que: a) x² < 49 b) x² > 1 c) 1 < x² < 49 Colégio Cascavelense – Prof. Edir Reis Bessa – Remember X 4 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO Cc
  5. 5. 28. Em um triângulo ABC, AL bissecta o ângulo A e CM bissecta o ângulo C. Os pontos L e M O caminho percorrido pelo corredor A : estão sobre BC e AB, respectivamente. Os lados Sa =So +Va.t e pelo corredor B: Sb = Vb.t. do triângulo ABC são a, b e c. Então O corredor A dá uma volta na pista circular em AM CL 40 segundos => 2π R = Va. 40 => Va=π /20 m/s =K onde k é: => Sa = S0 + (π R/20). t, como So = 0 => MB LB a) 1 b) bc/a² c) a²/bc d) c/b e) c/a => Sa = (π R/20). t Para o corredor B temos: So = 2π R e então: Sol. ( E ) Usando o teorema da bissetriz interna: Sb = So + Vb.t => Sb = 2π R – Vb.t. A Como para t = 15s, Sa = Sb (ponto de encontro) (π R/20). t = 2π R – Vb. t => a / 2 a /2 (π R/20). 15 = 2π R – Vb. 15=> M Vb = π R/12 m/s. Para o cálculo do tempo de uma volta; c /2 Fazendo Sb = 2πR ;Vb = π R/12 m/s e So = 0 => B c /2 C Vb = Sb/ t =>  t = 2πR/(π R/12)=24 s. L La d o : A B = c ; A C = b ; B C = a 31. Um quadrado de área igual a 40 é inscrito em No  ABC temos a bissetriz CM, então: um semicírculo. A área de um quadrado que AC/AM = BC/MB => AM /MB = AC/BC ( i ) seria inscrito no círculo completo de mesmo raio No  ABC temos a bissetriz AL, então: é: AB/LB = AC/CL => CL/LB = AC/AB ( ii ) a) 80 b) 100 c) 120 d) 160 e) 200 Usando ( i ) e ( ii ) na igualdade dada, temos: AC/BC = K AC/AB => K = AB/BC = c/a. Sol. ( B ) B C 29. Num exame de n questões um estudante F F responde corretamente 15 das 20 primeiras questões. Das restantes ele responde corretamente um terço. Todas as questões são de igual valor. Se a nota de desse estudante é 50%, A E D quantos valores distintos, para n podem existir? A B C D q u a d ra d o d e la d o L a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) o problema não pode ser resolvido. Cálculo do lado quad: Aq = L² = 40 => L = 2C10 No  EDC (retângulo), usando o Teorema de Sol. ( D ) Pitágoras: EC² = CD² + DE² => R² = L² + (L/2)² Total de questões = n; reponde correta = 15; = 5L²/4 => R = 5= 2. erradas = 5; Para o quadrado inscrito no círculo completo, restam = n – 20 das quais: acerta = ( n -20)/3 . temos: Como todas as questões são de igual valor e a Diagonal do quadrado = LD2 = 2R =2(5 2) => nota de desse estudante é 50%, então: L = 10. Questões corretas = 50% da prova, então: Daí então a área do quadrado = 10² = 100 15 + ( n – 20)/3 = n. 50% => n = 50 (Único valor para o nº de questões). 32. O comprimento L de uma tangente traçada de um ponto A até um círculo, é 4/3 do raio r. A distância mínima de A até o círculo é: 30. O corredor A, dá a volta em uma pista a) 1/(2r) b) r c) (1/2)L d) (2/3)L circular em 40 segundos. O corredor B, e) algum valor entre r e L percorrendo em sentido contrário, cruza A a cada 15 segundos. Em quantos segundos B dá Sol. ( C ) uma volta completa na pista? T L a) 12 ½ b) 24 c) 25 d) 27 ½ e) 55 A x R B Sol. ( B ) A R O o A T= L = 4 /3 R = > R = 3 /4 L B Usando o Teor. de Pitágoras no  retângulo OTA temos: (x+R)² = R² + L² => x² +2Rx- L² =0 Colégio Cascavelense – Prof. Edir Reis Bessa – Remember X 5 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO Cc
  6. 6. x = -3/4 L ∀ L => x1 = -3/4 L + 5/4 L = L/2 5/4 e x2 = -3/4 L - 5/4 L = - 2L (não satisfaz) 36. A base de um triângulo mede 80 e um dos Daí então x1 = AB = ½ L (Distância mínima) ângulos da base, 60º. A soma dos comprimentos 33. Uma progressão harmônica é uma seqüência dos outros 2 lados mede 90. O lado menor mede: de números tais que seus inversos formam uma a) 45 b) 40 c) 36 d) 17 e) 12 progressão aritmética. Seja Sn a soma dos primeiros n termos da Sol. ( D ) progressão harmônica. Por exemplo, S3 C representa a soma dos 3 primeiros termos. Se os primeiros 3 termos de uma progressão A B= 9 0 - a harmônica são 3, 4 e 6, então: a) S4 = 20 b) S4 = 25 c) S5 = 49 60º d) S6 = 49 e) S2 = ½ S4 A x B D Considerando ;AC = h Bcomo altura do  ABC e Te m o s: A B = 8 0 A C + C = 9 0 Sol. ( B ) o triangulo retângulo CDB, temos: Pelos dados temos: i)tg 60º = CD / BC => i 3 = h / x => h = 3 . x Prog. harmônica: (3; 4; 6) logo a Prog. ii) sen 60º = h / CB => i 3 / 2 = 3.x / a => Aritmética é: (1/3; ¼; 1/6) onde a razão r = ¼ - => a = 2x. 1/3 = - 1/12. iii) Temos que AC + CB = 90 => b + a = 90. Daí então: a 4 = a 3 + r = 1/6 + ( -1/12) = 1/12. Passando a usar o  ACD (retângulo), temos: a 5 = a 4 + r = 1/12 + ( -1/12) = 0. AC² = CD² + AD² (Pitágoras) => a 6 = a 5 + r = 0 + ( -1/12) = - 1/12. (90 – 2x) ² = () 3. x) ² + (80 – x) ² => Temos então a P. A. (1/3; ¼; 1/6; 1/12; 0 ; -1/12) 8100 – 360x + 4x² + 3x² + 6400 – 160x + x² => e daí a P.H (3, 4, 6, 12, 0, -12). 1700 = 200x => x = 17 / 2. Logo: S 4 = 3 + 4 + 6 + 12 = 25; Como a = 2x = 17 e b = 90 – 2x = 73. S 5 = 3 + 4 + 6 + 12 +0 = 25; Logo o menor lado do triângulo é = 17. S 6 = 3 + 4 + 6 + 12 +0 +(-12) = 13. Assim S 4 = 25 é a alternativa correta. 37. Quando simplificado, o produto; (1 – 1/3)(1 – ¼)(1 – 1/5). . . (1 – 1/n) resulta: 34. Sejam r e s as raízes de x² - 3x + 1 = 0. Então a) 1/n b) 2/n c) 2( n - 1)/n d) 2/(n+1) a expressão r² + s² é: e) 3/ n(n+1) a) um inteiro positivo b) uma fração positiva maior que 1 Sol. (B) c) uma fração positiva menor que 1 Operando cada fator e em seguida simplificando d) um número irracional o produto, temos: e) um número imaginário (1 – 1/3)(1 – ¼)(1 – 1/5). . . (1 – 1/n) = = (2/3)(3/4)(4/5). . . [(n – 1)/n] = 2 / n. Sol. ( A ) Considerando r e s raízes da equação temos: 38. Se 4 x + 2 x = 1 então x: Soma: r + s = -b / a = -(-3) / 1 = 3. ( i ) Produto: r. s = c / a = 1 / 1 = 1. ( ii ) a) é um número inteiro b) é uma fração Quadrando ( i ), temos: c) é um número irracional d) é imaginário ( r + s )² = 3² => r² + 2rs + s² = 3² => e) pode assumir dois valores diferentes r² + s² = 3² - 2 rs = 9 – 2. 1 => r² + s² = 7. Sol. ( B ) 35. Na equação (x – m)² - (x – n)² = (m – n)², m Temos uma equação irracional. Iniciamos é um número inteiro positivo fixado. O conjunto isolando, no 1º membro, o termo com radical e de valores x que satisfazem à equação é: em seguida, vamos quadrá-lo. a) x ≥ 0 b) x ≤ n c) x = 0 ( 2 ) 4 x + 2 x = 1 => 2 x = (1 − 4 x ) 2 => d) o conjunto de todos os números reais 16x² - 10x +1 = 0 => x1 = ½ e x2 = 1/8. e) nra Verificação: i)Para x = ½ => 4 . ½ + 2.1 / 2 = 1 => 3 = 1 Sol. ( E ) (F) Desenvolvendo os quadrados e operando os termos semelhantes, obtemos: ii) Para x = 1/8 => 4.1/8 + 2.1 / 8 = 1 => 1 = 1 (x – m)² - (x – n)² = (m – n)² => (V). Assim temos S = {1/8}. x² - 2mx + m² - x² + 2nx – n² = m² - 2mn + n² => 39. Seja S a soma dos primeiros nove termos da  x(2n – 2m) = 2n² - 2mn = 2n (n - m) => seqüência x+ a, x² + 2 a, x³ + 3 a , . . . Então o  2(n - m) x = 2n ( n – m ) => x = n. valor de S é: Colégio Cascavelense – Prof. Edir Reis Bessa – Remember X 6 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO Cc
  7. 7. 50a + x + x 8 x + x10 e o menor de raio 4 cm. Na figura do  a) b) 50 a - retângulo ABC temos: x +1 x −1 ( R+4)² = R² + ( R - 4)² => R² - 16R = 0 => x9 − 1 x10 − x c) + 45a d) + 45a R’ = 16 e R” = 0 (Não satisfaz) x +1 x −1 Temos então R = 16. x11 − x e) + 45a x −1 42. Sejam 3 inteiros positivos a, b e c. Seja D o máximo divisor comum desses 3 números, seja Sol. ( D ) M o mínimo múltiplo comum. Então quais duas A seqüência: x+ a, x² + 2 a, x³ + 3 a , . . . = das afirmações a seguir são verdadeiras: = ( x + x² + x³ + . . . + x 9) + (a + 2 a + 3 a + . . . + ( 1 ) o produto MD não pode ser menor que abc 9 a) = S1 + S2. ( 2 ) o produto MD não pode ser maior que abc S1 é uma P.G onde: a1 = x; q = x e a9 = x9, então ( 3 ) MD é igual a abc se e só se a, b e c são an q − a1 x 9 .x − x x10 − x primos. a soma = Sn = = = ( 4 ) MD é igual a abc se e só se a, b e c são q −1 x −1 x −1 primos dois a dois (isto é, cada par de números S2 é uma P.A onde: a1 = a; r = a; a9 = 9a e n = 9. não tem fator comum maior que 1). n(a1 + an ) 9( a + 9a) a) 1 e 2 b) 1 e 3 c) 1 e 4 d) 2 e 3 e) 2 e 4 Sua soma Sn = = = 45a 2 2 x10 − x Sol. ( E ) Logo S1 + S2 = + 45a x −1 Representando a, b e c em forma de seus fatores primos, então D (que é o MDC(a,b,c)) é o 40. Num triângulo ABC, BD é uma mediana. CF produto de todos os fatores primos comuns onde corta BD em E de forma que BE = ED. O ponto cada fator possui a menor freqüência comum de F está sobre AB. Sendo BF = 5, BA é igual a: ocorrência em a, b ou c. a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) nra M (que é o MMC(a,b,c)) é o produto de todos os fatores primos não comuns, cada fator tomado Sol. ( C ) na maior freqüência comum de vezes em a, b e A c. Logo MD pode ser menor que abc mas não pode ser maior que abc ( 2 ). D MD será igual a abc quando não houver fatores F E comuns ( 4 ). G C 43. Os lados de um triângulo são 25, 39 e 40. O B BE = ED ; BF= 5 ; BA = ? diâmetro do círculo circunscrito é: Formando o paralelogramo FDGB temos: a) 133/3 b) 125/3 c) 42 d) 41 e) 40 O  CDG ~  CAF, pois tomamos o ponto G sobre EC tal que FE = EG para formação do Sol. ( B ) C paralelogramo e FG é uma de suas diagonais. O  ACD ~  o Daí então,usando a semelhança: 40 DG/DC = AF/AC => 5/(AC/2) = AF/AC A 25 EBC e são AF = 10. h retângulos e Ê = A o Logo AB = AF + FB = 10 + 5 = 15. 39 Â. D B Logo: AC/EC = 41. No mesmo lado de uma reta são desenhados DC/CD => 40/2R E 3 círculos assim: um círculo tem 4 cm de raio e d = 2 R = E C ?;BC = a = 2 5 ;A C = b = 4 0 ; = h/25 ( i ) A B = c = 3 9 ; C D = h (a ltu ra triâ n g u lo A B C ) tangencia a reta, os outros dois círculos são Cálculo da altura iguais e cada um tangencia a reta e os outros do  ABC. dois círculos. O raio dos círculos iguais é: Usaremos a fórmula de Harão (Área) a) 24 b) 20 c) 18 d) 16 e) 12 Sendo o semi-perímetro = p = (a+b+c)/2 = 104/2 = 52. Sol. ( D ) Temos como área do  ABC = (Base x Altura)/ 2 ,então: (Base x Altura)/2 = p ( p − a )( p − b)( p − c) A B 1 C Na figura, considere os ⋅ 39 ⋅ h = 52(52 − 25)(52 − 40)(52 − 39) A R B 2 círculos maiores de raio R  h = 24. R -4 R+ 4 C Substituindo h em ( i ), temos: Colégio Cascavelense – Prof. Edir Reis Bessa – Remember X 7 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO Cc
  8. 8. 40/2R = 24/25 => 2R = d = 125/3. (2) alguns humanos pensam (3) nenhum calouro pensa 44. As raízes de x² + b x + c = 0 são ambas reais (4) alguns humanos que pensam não são e maiores que 1. Seja s = b + c + 1. Então s: estudantes. a) pode ser negativo b) pode ser igual a zero Então, as sentenças que são conseqüências c) é necessariamente maior que zero lógica de I, II e III são: d) é necessariamente menor que zero a) 2 b) 4 c) 2 e 3 d) 2 e 4 e) 1 e 2 e) é necessariamente um número entre -1 e 1. Sol. ( A ) Sol. ( C ) Vamos considerar os seguintes conjuntos Fazendo x1 = m + 1 e x2 = n + 1 (Com m e n estruturados por I; II e III; inteiros e positivos). Daí então: Humanos = H = {a, b, c, d, e, f} Soma das raízes = (m+1) + ( n+1) = -b e o Calouros = C = {a, b, c} Produto = (m+1) ( n+1) = c. Estudantes = E = {a, b, c, d} Logo s = b + c + 1 = -[(m+1) + ( n+1)] + (m+1) Pessoas pensam = P = {d, c} ( n+1) + 1 = m.n > 0 , pois m e n são inteiros e Daí então temos, de: positivos . I. C δ H II. E δ H 45. Se (log3 x) (log x 2x) (log2x y) = log x x² então y é igual a: III. P δ E a) 9/2 c) 9 c) 10 d) 27 e) 8 E então as afirmações: (1); (3) e (4) falsas; (2) Verdadeira. Sol. ( B ) Aplicando a propriedade de mudança de base no 48. Dado o polinômio aoxn+a1xn-1+. . .+a n-1x+an 1º membro (para base 3) e propriedade da onde n é um número inteiro positivo ou zero e ao potência no 2º,temos: é um inteiro positivo e o resto dos a’s são números inteiros ou zero. Seja h = n + n a11 + log 3 2 x log 3 y log 3 x. . = 2. log x x => a22 +. . . + a nn . O número de polinômios com log 3 x log 3 2 x h = 3 é: Cancelando os termos comuns temos: a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9 log 3 y = 2 => y = 3² => y = 9. Sol: ( B ) 46. Um estudante, durante seus d dias de férias, Seja o polinômio: observou que: ( 1 ) choveu 7 vezes, pela manhã P(x) = aoxn+a1xn-1 +. . .+ a n-1x + an onde n0 Z+ ; ou a de tarde; ( 2 ) quando choveu de tarde, a a o 0 Z*+ e { a1; a2; . . . , an} δ Z. manhã foi ensolarada; ( 3 ) houve 5 tardes claras; Usaremos uma tabela em que atribuímos ( 4 ) houve 6 manhãs de sol. Quantos dias possíveis valores a n e aos a’s para determinar os esteve o estudante de férias? polinômios: a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 Para n = 0 e a0 = 3 => P(x) = 3x0 => h = 0+h 3 =3 Sol. ( B ) Manh.chuvosas___Manh.N.Ch Para n = 1 e a0 = 2 => P(x) = 2x1 => Tardes chuvosas - a b h = 1+h 2 = 3 Tardes não chuv. - c e Para n = 1; a0 = a1=1 => P(x) = 1x1+1 => Vamos considerar esta tabela de dupla entrada. h = 1+1+1 = 3 Então: Para n = 1; a0 = -1; a1 = 1 => P(x) = 1x1- 1 => Dias de férias: d = a + b + c + e; h = 1+h 1 + -1 = 3 ( 1 ): a + b + c = 7 Para n = 2 e a0 = 1 => P(x) = 1x² => (2):a=0 h = 2+ 1 = 3. ( 3 ): c + e = 5 => c = 5 - e Temos então um total de cinco polinômios. ( 4 ): b + e = 6 => b = 6 - e Usando ( 2 ); ( 3 ) e ( 4 ) em ( 1 ), temos: 49. Seja S a soma da série: 0 + 6 – e + 5 – e = 7 => e = 2. 1 1 1 1 1 1 1 1− − + − − + − − ... Então: d = 7 + 2 = 9. 2 4 8 16 32 64 128 Então o valor de S é: 47. São verdadeiras as seguintes afirmações: a) 0 b) 2/7 c) 6/7 d) 9/32 e) 27/32 I. Todos os calouros são humanos. II. Todos os estudantes são humanos. Sol. ( B) III. Alguns estudantes pensam. Vamos arranjar a série S em três séries, ou seja: Dadas as quatro afirmações abaixo: S = S 1 + S 2 + S 3, onde: (1) todos os calouros são estudantes Colégio Cascavelense – Prof. Edir Reis Bessa – Remember X 8 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO Cc
  9. 9. 1 1 i)S = 1+ + + ... que é uma P.G. infinita, EDUCAÇÃO NESTE 1 8 64 onde: a1 1 1 S1 = = = =8 ; 1− q 1− 1 8 7 8 7 CHÃO. −1 1 1 ii) S 2 = + (− ) + (− ) + ... que é uma 2 16 128 P.G. infinita, onde: −1 −1 S2 = 2 = 2 =−4 . 1− 1 7 7 8 8 iii) S 3 = − 1 4 + (− 132) + (− 1 256) + ... que é uma P.G. infinita, onde: −1 −1 S3 = 4 = 4 =−2 . 1− 1 7 7 8 8 Daí então, temos: S = S 1 + S 2 + S 3 = 8/7 + (-4/7) + (-2/7) = 2/7. 50. Um clube de x elementos é dividido em 4 comitês de acordo com as duas regras: ( 1 ) cada membro deve pertencer a 2 e apenas 2 comitês. ( 2 ) dois comitês quaisquer podem ter no máximo 1 membro em comum. Então o valor de x: a) não pode ser determinado b) tem um valor entre 8 e 16 c) tem 2 valores entre 8 e 16 d) tem um valor entre 4 e 8 e) tem 2 valores entre 4 e 8. Sol. ( D ) Uma possível solução é usando as combinações simples, ou seja: 4! 4.3.2! C4, 2 = = = 6 , conforme o quadro 2!2! 2!.2.1 abaixo: Vamos considerar os membros: {a,b,c,d,e,f} Comitês A B C D Membros a b d f c e a e b d f c INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC. HÁ 15 ANOS FAZENDO Colégio Cascavelense – Prof. Edir Reis Bessa – Remember X 9 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO Cc

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