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Geometria Prof.:Carlinhos.
Lista n°09 15/04/2013
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER
(LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS)
1. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são
triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a,
respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 .  Portanto, o
comprimento do segmento CE é:
a)
5
a
3
b)
8
a
3
c)
7
a
3
d) a 2
2. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a
partir da planta a seguir:
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias
construídas no interior da praça, sendo que AB 80 m. De
acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO
afirmar que a medida de R é igual a:
a)
160 3
m
3
b)
80 3
m
3
c)
16 3
m
3
d)
8 3
m
3
e)
3
m
3
3. (Uftm 2012) Na figura estão posicionadas as cidades
vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha
reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância
entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre
B e C é igual a
a) 8 17. b) 12 19. c) 12 23.
d) 20 15. e) 20 13.
4. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi
sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala
Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de
Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a
nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do
tsunami após 13 minutos.
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que
cos 0,934  , onde  é o ângulo Epicentro-Tóquio-
Sendai, e que
8 2
2 3 93,4 215 100   , a velocidade
média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a
cidade de Sendai foi de:
a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600.
5. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância
entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra
a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias
mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na
tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.
Visada Ângulo
^
ACB
^
BCD
^
ABC
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Calcule a distância entre B e D.
6
π
3
π
6
π
2
6. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de
uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do
rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o
objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em
linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se
encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro,
avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e o
vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5. b) 12,5 2 . c) 25,0. d) 25,0 2 . e) 35,0.
7. (Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta do rio
Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele
se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante
parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a
região metropolitana torna-o suscetível aos impactos
ambientais causados pela atividade humana.
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A
mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma maneira de estimar
quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano
é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância,
em km, é
a)
8 6
3
b) 4 6 c) 8 2 3
d) 8( 2 3) e)
2 6
3
8. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende
escalar uma montanha ate o topo, representado na figura
abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do
acampamento B e de 60° do acampamento A.
Dado: sen 20º 0,342
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e
realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da
montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de,
aproximadamente,
a) 190. b) 234. c) 260. d) 320.
9. (G1 - ifal 2011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo
mede 30° e os lados que formam cada um desses ângulos
medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das
diagonais desse paralelogramo.
a) 6 cm b) 3 cm c) 3 3 cm
d) 7 cm e) 15 3 cm
10. (Ufpb 2011) Para explorar o potencial turístico de uma
cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o
governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal
de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a
figura a seguir.
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de
transportes coletivos (ponto A), com uma parada
intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado
no pico do morro (ponto C);
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de
chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária.
Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m,  BÂP =
20º e ˆCBN 50 , é correto afirmar que a distância entre
os pontos A e C é de:
a) 700 m b) 702 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m
11. (Ufpb 2010) A prefeitura de certa cidade vai construir,
sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser
reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens
opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos,
um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200m
do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o
ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para
medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito
empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo
observou que os ângulos B ˆC A e C ˆA B mediam,
respectivamente, 30º e 105º, conforme ilustrado na figura a
seguir.
3
Com base nessas informações, é correto afirmar que a
distância, em metros, do ponto A ao ponto
B é de:
a) 200 2 b) 180 2 c) 150 2
d) 100 2 e) 50 2
12. (Uerj 2010) Observe abaixo a ilustração de um pistão e
seu esquema no plano.
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira
em torno do centro A.
Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1
polegada e 4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente
para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo
BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a
distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela
seguinte equação:
a) y = 4 + sen(x) b) y = 4 + cos(x)
c) 2
y sen(x) 16 cos (x)  
d) 2
y cos(x) 16 sen (x)  
13. (Pucsp 2008) Leia com atenção o problema proposto a
Calvin na tira seguinte.
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um
triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60
°
, então a
resposta correta que Calvin deveria encontrar para o
problema é, em centímetros,
a)
(5 3)
3
b)
(8 3)
3
c)
(10 3)
3
d) 5 3 e) 10 3
14. (G1 - cftce) Na figura a seguir, determine o valor de x e
o perímetro do triângulo.
15. (Ufsm) Na instalação das lâmpadas de uma praça de
alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a
distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do
triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é
a) 50 2 m b) 50
( 6)
3
m c) 50 3 m
d) 25 6 m e) 50 6 m
16. (Unicamp) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um
mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir.
a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos
A, B e N.
b) Calcule o comprimento do segmento NB.
17. (Ufpe) Uma ponte deve ser construída sobre um rio,
unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir.
Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na
mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos
CBA = 57
°
e ACB = 59
°
. Sabendo que BC mede 30m,
indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as
aproximações sen(59
°
) ≈ 0,87 e sen(64
°
) ≈ 0,90)
4
18. (G1 - cftmg) Um dos ângulos internos de um
paralelogramo de lados 4 m e 6 m mede 120
°
. A maior
diagonal desse paralelogramo mede, em metros
19. (Unesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas
por rodovias, conforme mostra a figura.
A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os
ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que
senx =
3
4
e seny =
3
7
. Deseja-se construir uma nova
rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição
destas cidades, será paralela a BC.
a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros
tem a rodovia BC.
b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos
quilômetros terá a rodovia DE.
20. (Ufrj) O objetivo desta questão é que você demonstre a
lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando o
triângulo da figura a seguir, mostre que
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cosè
21. (Ufrj) Os ponteiros de um relógio circular medem, do
centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro,
o das horas.
Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros
quando o relógio marca 4 horas.
22. (Unicamp) Os lados de um triângulo têm, como
medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma
é 15.
a) Quais são esses números?
b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.
23. (Ufpi) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60
°
e os
lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e 2cm. O valor
do perímetro deste triângulo, em centímetros, é:
a) 3 + 5 b) 5 + 3 c) 3 + 3
d) 3 + 7 e) 5 + 7
24. (Unirio)
Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre
um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80 km e AC = 120
km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura
anterior. Logo, a distância entre B e C, em km, é:
a) menor que 90.
b) maior que 90 e menor que 100.
c) maior que 100 e menor que 110.
d) maior que 110 e menor que 120.
e) maior que 120.
25. (Cesgranrio) No triângulo ABC, os lados AC e BC
medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale
30
°
.
O seno do ângulo B vale:
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6
26. (Fei) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o
lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os
lados AB e BC mede 60
°
, então o lado AC mede:
a) 37 cm b) 13 cm c) 2 3 cm
d) 3 3 cm e) 2 2 cm
27. (Cesgranrio) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O
cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:
a) 11/24 b) - 11/24 c) 3/8 d) - 3/8 e) - 3/10
28. (Fuvest) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O
cosseno do maior ângulo de T é:
a) 5/6. b) 4/5. c) 3/4. d) 2/3. e) 1/8.
29. (Unesp) Os lados de um triângulo medem 2 3 , 6 e
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Determine o ângulo oposto ao lado que mede 6 .

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Resolução de triângulos com lei dos senos e coss

  • 1. 1 Geometria Prof.:Carlinhos. Lista n°09 15/04/2013 RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER (LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS) 1. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 .  Portanto, o comprimento do segmento CE é: a) 5 a 3 b) 8 a 3 c) 7 a 3 d) a 2 2. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: a) 160 3 m 3 b) 80 3 m 3 c) 16 3 m 3 d) 8 3 m 3 e) 3 m 3 3. (Uftm 2012) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km. Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a a) 8 17. b) 12 19. c) 12 23. d) 20 15. e) 20 13. 4. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. (O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.) Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,934  , onde  é o ângulo Epicentro-Tóquio- Sendai, e que 8 2 2 3 93,4 215 100   , a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. 5. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito. Visada Ângulo ^ ACB ^ BCD ^ ABC a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D. 6 π 3 π 6 π
  • 2. 2 6. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura: a) 12,5. b) 12,5 2 . c) 25,0. d) 25,0 2 . e) 35,0. 7. (Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana. A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é a) 8 6 3 b) 4 6 c) 8 2 3 d) 8( 2 3) e) 2 6 3 8. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A. Dado: sen 20º 0,342 Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 234. c) 260. d) 320. 9. (G1 - ifal 2011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e os lados que formam cada um desses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse paralelogramo. a) 6 cm b) 3 cm c) 3 3 cm d) 7 cm e) 15 3 cm 10. (Ufpb 2011) Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir. Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: • o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C); • o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária. Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m,  BÂP = 20º e ˆCBN 50 , é correto afirmar que a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m b) 702 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m 11. (Ufpb 2010) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos B ˆC A e C ˆA B mediam, respectivamente, 30º e 105º, conforme ilustrado na figura a seguir.
  • 3. 3 Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em metros, do ponto A ao ponto B é de: a) 200 2 b) 180 2 c) 150 2 d) 100 2 e) 50 2 12. (Uerj 2010) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano. O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A. Considere que: • o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas; • à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC. Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y = 4 + sen(x) b) y = 4 + cos(x) c) 2 y sen(x) 16 cos (x)   d) 2 y cos(x) 16 sen (x)   13. (Pucsp 2008) Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte. Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60 ° , então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros, a) (5 3) 3 b) (8 3) 3 c) (10 3) 3 d) 5 3 e) 10 3 14. (G1 - cftce) Na figura a seguir, determine o valor de x e o perímetro do triângulo. 15. (Ufsm) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é a) 50 2 m b) 50 ( 6) 3 m c) 50 3 m d) 25 6 m e) 50 6 m 16. (Unicamp) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir. a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N. b) Calcule o comprimento do segmento NB. 17. (Ufpe) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57 ° e ACB = 59 ° . Sabendo que BC mede 30m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as aproximações sen(59 ° ) ≈ 0,87 e sen(64 ° ) ≈ 0,90)
  • 4. 4 18. (G1 - cftmg) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 4 m e 6 m mede 120 ° . A maior diagonal desse paralelogramo mede, em metros 19. (Unesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3 4 e seny = 3 7 . Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE. 20. (Ufrj) O objetivo desta questão é que você demonstre a lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando o triângulo da figura a seguir, mostre que a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosè 21. (Ufrj) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas. Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas. 22. (Unicamp) Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15. a) Quais são esses números? b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo. 23. (Ufpi) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60 ° e os lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e 2cm. O valor do perímetro deste triângulo, em centímetros, é: a) 3 + 5 b) 5 + 3 c) 3 + 3 d) 3 + 7 e) 5 + 7 24. (Unirio) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80 km e AC = 120 km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura anterior. Logo, a distância entre B e C, em km, é: a) menor que 90. b) maior que 90 e menor que 100. c) maior que 100 e menor que 110. d) maior que 110 e menor que 120. e) maior que 120. 25. (Cesgranrio) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30 ° . O seno do ângulo B vale: a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6 26. (Fei) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC mede 60 ° , então o lado AC mede: a) 37 cm b) 13 cm c) 2 3 cm d) 3 3 cm e) 2 2 cm 27. (Cesgranrio) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale: a) 11/24 b) - 11/24 c) 3/8 d) - 3/8 e) - 3/10 28. (Fuvest) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O cosseno do maior ângulo de T é: a) 5/6. b) 4/5. c) 3/4. d) 2/3. e) 1/8. 29. (Unesp) Os lados de um triângulo medem 2 3 , 6 e 3+ 3 . Determine o ângulo oposto ao lado que mede 6 .