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                                               1
1. A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma
ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º
e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o comprimento
da ponte.

                           Inicialmente, vamos colocar os dados no
                30°        triângulo e identificar o que se pretende
                      x    calcular.
                           Aplicando a Lei dos senos, temos:


     45°    100 m




O comprimento da ponte é
                                                                       2
2. Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo do qual
se conhecem um lado AB = 10m e o ângulo oposto C = 60º.

Representando geometricamente a situação, temos:

          C
                                 Aplicando a lei dos senos:
           60°
                 R




A
            10          B




                                 Racionalizando:

Assim, o raio da circunferência circunscrita é
                                                                           3
3. Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um
ângulo de 120º. Determinar a medida do terceiro lado.

Representando geometricamente a situação, temos:
                    x                C
B
             120°        10 cm
    6 cm
             A

Aplicando a Lei dos cossenos:




O terceiro lado mede 14 metros.
                                                                    4
4. (FUVEST – SP) Em um triangulo ABC o lado AB mede          eo
ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45º. Determine o raio da
circunferência que circunscreve o triângulo.

Representando geometricamente a situação, temos:
          C
                                Aplicando a lei dos senos:
          45°   R




A                      B




Assim, o raio da circunferência circunscrita é

                                                                  5
5. (Mack) - Na figura, a área do triângulo ABC é:
                                     Inicialmente, vamos aplicar a Lei
                                     dos cossenos no triângulo ACD
                    30°              para determinar o ângulo C:


             120°   60°
         4


Como cos C = 0,5; temos que C = 60°.
Concluímos assim que ACB = 120° e BAC = 30°.
Com base nos ângulos internos, verificamos que o triângulo ABC é
isósceles, e com isso, segue que AC = BC = 4.
Agora podemos determinar a área (ABC) com a expressão:




Portanto, a área do triângulo (ABC) é igual a                            6
6. (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C
sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km,
onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, a
distância entre B e C, em km, é:
a) menor que 90                                      x
b) maior que 90 e menor que 100
c) maior que 100 e menor que 110       80
d) maior que 110 e menor que 120
                                                    120
e) maior que 120

Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC:
Aplicando a Lei dos cossenos:




Como            ; temos que
                                                                     7
7. (FEI) – Calcule c, sabendo que a = 4, b =    e C = 45º.




                             4=
                                          45°




Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC:
Aplicando a Lei dos cossenos, temos:




Concluímos que a medida do lado c é
                                                             8
8. (CESGRANRIO) – No triângulo ABC, os lados AC e BC medem
8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. Quanto vale o
seno do ângulo B?

Geometricamente temos:
               C

                      6 cm
     8 cm


     30°
                             B
A

Aplicando a Lei dos senos, segue que:




                                                                   9
9. (FUVEST)
a) Na figura 1, calcular x.

                              Aplicando a Lei dos senos:
        60°




                              Racionalizando:

b) Na figura 2, calcular y.
                              Aplicando a Lei dos cossenos:




                                                              10
10. (PUC – MG) – Na figura, AB = 5dm, AD =                 dm, DBC = 60º e
DCA = 90º. Qual é a medida de CD, em decímetros?
                                       Vamos colocar os dados no triângulo e
                                       identificar o que se pretende calcular.
                             30°       Chamando BC de y, segue que BD = 2y.
                                       (A medida da hipotenusa sempre será o
                                   x
                      2y               dobro da medida do cateto oposto ao
                                       ângulo de 30º).
         120°
                60°           .        Como o ângulo ABD = 120º, aplicaremos
     5                y =5             a Lei dos cossenos em ABD para obter o
                                       valor de y.

Segue que:




Finalmente, do triângulo BCD:



Com isso, a medida de CD é
                                                                                 11
11. (FGV) – Na figura a seguir, são dados DA =             cm e AB = 3cm.
Qual é a área do triângulo CDB, em centímetros quadrados?

                                         Identificando os dados da questão,
                        30°
                           30°           temos:
                                 3       Uma vez que a altura do triângulo
                        60°              CDB é 3cm, precisamos apenas
                 120°
         = 30°                           calcular a base CD para encontrar
                                         a área.

Vamos determinar o ângulo ɵ:

Com isso                             .
Verificamos que ABD = 30º, BDC = 120º e CBD = 30º. Ora, como o lado
BD =      (hipotenusa é igual ao dobro da cateto oposto a 30º) e, como
BD = CD, temos que CD também tem medida          .

Assim:
                                                                              12
12. (Mack) – Qual é a área de um triângulo ABC onde c = 2cm,
b = 3cm e  = 60º?

Representando geometricamente:

                 B

    2 cm

           60°
   A                        C
                     3 cm


Temos que Área (ABC) =




                                                           13
13. (UNICAMP) – A água utilizada na casa de um sítio é captada e
bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa
está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas
direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60º. Se se
pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa,
quantos metros de encanamento são necessários?
A situação pode ser representada
pelo esquema:

             80 m                    Pela lei dos cossenos, temos:



 50 m               x



                                   São necessários 70 metros de
                                   encanamento para bombear água
                                   diretamente do rio até a casa.
                                                                     14
14. (FEI) – Num triângulo ABC, BC = a, AC = b, Â = 45º e B = 30º. Qual
é o valor de a, sendo                         ?

De acordo com os dados:
                 C

       b                   a

           45°             30°
   A                                B

Aplicando a Lei dos senos:



Como                           , segue que:



Mas                  , assim
                                                                     15
15. (Fatec) - Na figura seguinte, qual é a área do triângulo ABC?



                           1º modo:
                   .       Basta observar que a base do triângulo
             h = 0,5
                           ABC é     e a altura é 0,5.

                          Assim:




  2º modo:




                                                                    16
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Resoluções de problemas geométricos com leis dos senos e cossenos

  • 1. Resolução comentada Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos 1
  • 2. 1. A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o comprimento da ponte. Inicialmente, vamos colocar os dados no 30° triângulo e identificar o que se pretende x calcular. Aplicando a Lei dos senos, temos: 45° 100 m O comprimento da ponte é 2
  • 3. 2. Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo do qual se conhecem um lado AB = 10m e o ângulo oposto C = 60º. Representando geometricamente a situação, temos: C Aplicando a lei dos senos: 60° R A 10 B Racionalizando: Assim, o raio da circunferência circunscrita é 3
  • 4. 3. Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um ângulo de 120º. Determinar a medida do terceiro lado. Representando geometricamente a situação, temos: x C B 120° 10 cm 6 cm A Aplicando a Lei dos cossenos: O terceiro lado mede 14 metros. 4
  • 5. 4. (FUVEST – SP) Em um triangulo ABC o lado AB mede eo ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45º. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo. Representando geometricamente a situação, temos: C Aplicando a lei dos senos: 45° R A B Assim, o raio da circunferência circunscrita é 5
  • 6. 5. (Mack) - Na figura, a área do triângulo ABC é: Inicialmente, vamos aplicar a Lei dos cossenos no triângulo ACD 30° para determinar o ângulo C: 120° 60° 4 Como cos C = 0,5; temos que C = 60°. Concluímos assim que ACB = 120° e BAC = 30°. Com base nos ângulos internos, verificamos que o triângulo ABC é isósceles, e com isso, segue que AC = BC = 4. Agora podemos determinar a área (ABC) com a expressão: Portanto, a área do triângulo (ABC) é igual a 6
  • 7. 6. (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, a distância entre B e C, em km, é: a) menor que 90 x b) maior que 90 e menor que 100 c) maior que 100 e menor que 110 80 d) maior que 110 e menor que 120 120 e) maior que 120 Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC: Aplicando a Lei dos cossenos: Como ; temos que 7
  • 8. 7. (FEI) – Calcule c, sabendo que a = 4, b = e C = 45º. 4= 45° Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC: Aplicando a Lei dos cossenos, temos: Concluímos que a medida do lado c é 8
  • 9. 8. (CESGRANRIO) – No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. Quanto vale o seno do ângulo B? Geometricamente temos: C 6 cm 8 cm 30° B A Aplicando a Lei dos senos, segue que: 9
  • 10. 9. (FUVEST) a) Na figura 1, calcular x. Aplicando a Lei dos senos: 60° Racionalizando: b) Na figura 2, calcular y. Aplicando a Lei dos cossenos: 10
  • 11. 10. (PUC – MG) – Na figura, AB = 5dm, AD = dm, DBC = 60º e DCA = 90º. Qual é a medida de CD, em decímetros? Vamos colocar os dados no triângulo e identificar o que se pretende calcular. 30° Chamando BC de y, segue que BD = 2y. (A medida da hipotenusa sempre será o x 2y dobro da medida do cateto oposto ao ângulo de 30º). 120° 60° . Como o ângulo ABD = 120º, aplicaremos 5 y =5 a Lei dos cossenos em ABD para obter o valor de y. Segue que: Finalmente, do triângulo BCD: Com isso, a medida de CD é 11
  • 12. 11. (FGV) – Na figura a seguir, são dados DA = cm e AB = 3cm. Qual é a área do triângulo CDB, em centímetros quadrados? Identificando os dados da questão, 30° 30° temos: 3 Uma vez que a altura do triângulo 60° CDB é 3cm, precisamos apenas 120° = 30° calcular a base CD para encontrar a área. Vamos determinar o ângulo ɵ: Com isso . Verificamos que ABD = 30º, BDC = 120º e CBD = 30º. Ora, como o lado BD = (hipotenusa é igual ao dobro da cateto oposto a 30º) e, como BD = CD, temos que CD também tem medida . Assim: 12
  • 13. 12. (Mack) – Qual é a área de um triângulo ABC onde c = 2cm, b = 3cm e  = 60º? Representando geometricamente: B 2 cm 60° A C 3 cm Temos que Área (ABC) = 13
  • 14. 13. (UNICAMP) – A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60º. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? A situação pode ser representada pelo esquema: 80 m Pela lei dos cossenos, temos: 50 m x São necessários 70 metros de encanamento para bombear água diretamente do rio até a casa. 14
  • 15. 14. (FEI) – Num triângulo ABC, BC = a, AC = b, Â = 45º e B = 30º. Qual é o valor de a, sendo ? De acordo com os dados: C b a 45° 30° A B Aplicando a Lei dos senos: Como , segue que: Mas , assim 15
  • 16. 15. (Fatec) - Na figura seguinte, qual é a área do triângulo ABC? 1º modo: . Basta observar que a base do triângulo h = 0,5 ABC é e a altura é 0,5. Assim: 2º modo: 16
  • 17. 17