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Problemas e exercícios complementares
■ CAPÍTULO 1 – SEMELHANÇA                                                                              ˆ                ˆ      ˆ
                                                                                             De fato: AB C = DÂC = a e AC B = DC A (é o mesmo
                                                                                             ângulo).
Figuras semelhantes
                                                                                        b)                                      A
 1 a) Não.             b) Sim.           c) Sim.          d) Não.        e) Sim.
 2 Exemplo de resposta:
                                                      B
                                              70°
      C
          80°
                                                                                                     a
                                                                                        B                                                     C
              110°                    100°                                                                                  D
          D                                       A
                   C                          B
                       80°         70°
                                                                                                             a
                                                                                                         A                           C


                                                                                        c) AB = BC = CA
                           110°                                                            DA   AC   CD
                                   100°
                                                                                        d) 7 = 8 = 4
                       D
                                  A                                                                                   x = 2 cm e y = 3,5 cm
                                                                                           y   4   x
 3 Exemplo de resposta:
                                                                                   7 Altura da estátua: 34 m, aproximadamente.
          A                   B
                                                                                   8 A 59 m, aproximadamente.
                                                                                            ˆ
                                                                                   9 a) Ê = B (ângulos retos). Em Ô os ângulos opostos
                                                                                        pelo vértice são iguais. Portanto, os triângulos
                                          C
                                                                                        ABO e DEO são semelhantes.
                                                          B'
          D                                                                             b) x = 125 = 15,625
                                                                                                8
                                                                                   10 Em a não se pode garantir que os quadriláteros
                                                                                      são semelhantes. Em b, os triângulos PEF e PAB
                       A'
                                                                                      são semelhantes. Como PA = 3 ⋅ PE, tem-se
                                                                                      AB = 3 ⋅ EF.

                                                                                   11 a) 75 = 60                          b) x = 48 mm
                                                                                         60    x
                                                                    C'

                                                                                   Semelhança no triângulo retângulo

                                                                                   12                        d
                                                                                             a                    x
              D'
                                                                                                 I           II
Os dois quadriláteros foram reduzidos na mesma razão.                                                p
 4 a) 1 para 2          b) Sim.         c) Sim.
   d) Sim. São iguais a 5,4 cm e 10,8 cm, aproximadamente.
   e) São iguais. Medem 45° f) 4 vezes, pois 6 = 4 ⋅ 1,5.
 5 a) F                     b) V                  c) V               d) F
                                                                                        a) Como os dois triângulos retângulos menores são
Triângulos semelhantes
                                                                                             semelhantes, temos: p = x . Multiplicando a
 6 a) Os triângulos ABC e DAC são semelhantes por-                                                                  a     p
      que têm dois ângulos respectivamente iguais.                                           igualdade por a e, depois, por p tem-se: p2 = a ⋅ x.


102
b) A fórmula diz que o quadrado da altura per-                      Mais cálculos com radicais
        pendicular à hipotenusa é igual ao produto dos
        dois segmentos formados sobre a hipotenusa.                      10 a) 4 7             b) 5 6         c) 7 7          d)     7
                                                                                                                                     5
13 Valores aproximados:
   a) 50 mm                             b) 40 mm e 26 mm                 11 a) 41      5       b) 3 7         c) –2
                                                                               2
   c) 26 mm                             d) 26 mm
                                                                         12 a) x = 49          b) x = 50      c) x = 16       d) x = 40
14 a) V               b) F              c) V
                                                                         13 a)     2           b)     10
              p                     h = m = p
15 a) h = m =                                                                      2                  2
      m   x   l                     p   l   a
     b) p2 = h ⋅ a; p ⋅ m = l ⋅ h                                        ■ CAPÍTULO 3 – EQUAÇÕES E FATORAÇÃO

                                                                                      o
O teorema de Pitágoras                                                   Equações de 1- grau
16 6,3 cm                                                                 1 a) x = 10          b) x = 6
17                                                                        2 a) x = 5           b) x = 2
          AB (cm)            AC (cm)                 BC (cm)
             15                   20                      25              3 x = –8
                                                                                 3
             12                     5                     13
                                                                          4 Isolar a incógnita significa deixar apenas um ter-
             15                     8                     17
                                                                            mo com a incógnita em um dos lados da equação
                                                                            e, no outro lado, apenas termos sem a incógnita.
18 a) 16 cm      b) EI = 240 cm
                          17
             450 cm; ME = 128 cm                                         Vários tipos de equações
     c) SE =
              17            17                                            5 a) x = 13          b) x = 25
     d) 240 cm2
                                                                          6 a) z = 3           b) x = 2
19 5 m
                                                                          7 a) –6; 6                          b) Não tem solução.
20 a) 100 km          b) 200 km         c) Resposta pessoal.
                                                                             c) – 97 ; 97                     d) –2; 2
■ CAPÍTULO 2 – A QUINTA E A SEXTA OPERAÇÕES                               8 a2 = b2 + c2 ⇒ a2 – c2 = b2 ⇒ b = a2 – c2
                                                                            (Neste caso, b > 0.)
Potências e notação científica
1 a) 10–4               b) 10–3                 c) 105                   Equações resolvidas por fatoração
  d) 107                e) 10–2                 f) 10–3
                                                                          9 a) 7               b) 5           c) 2            d) 2
                  6                     9            –5
2 a) 6,5 × 10           b) 1,2 × 10             c) 10
  d) 3 × 10–5           e) 3,8 × 10–5           f) 1,3 × 10–6                    a2 + a + 1                         2a2
                                                                         10 a)                                b)
                                                                                   5a – 7                          2a + 5
3 a) 2 × 10–3           b) 1,4 × 108
                                                                         11 a) 0; –1           b) 0; –2       c) –3; 5        d) 5
4 a) 1                b) 1              c) 1              d) 1                     3
     16                  2                 4                 8
                                                                         12 a) – 6 ;       6                  b) 0; –10
5 a) 5 × 10–6 m                         b) 3 × 10–5 m
                                                                                 2
  c) 2 × 10–7 m                         d) 2 × 10–8 m                    13 a) x = 5 ⋅ x                      b) 0; 5

Cálculos com radicais                                                    Fatorando o trinômio quadrado perfeito

6 a) 27,30 m                                                             14 a) x2 + 14x + 49                  b) x2 – 14x + 49
  b) 6 rolos (se fossem 5 rolos, faltaria arame)                            c) 4a2 + 4a + 1                   d) 9a2 – 12ab + 4b2
                                                                                                                             10a2b   a2
7 a) 9        b) 3       c) 80          d) 15      e) 42         f) 20       e) y4 + 10xy2 + 25x2             f) 25a2b2 –          +
                                                                                                                               3     9

8    7 3                                                                 15 a) y2 + 14y + 49                  b) 9x2 + 6x + 1
      9
                                                                            c) 9y2 + 6y + 1                   d) 36y2 + 12y + 1
9    21 3                                                                                                                          b2
                                                                             e) x2 + 18x + 81                 f) a2x2 + abx +
       8                                                                                                                           4

                                                                                                           ASSESSORIA PEDAGÓGICA         103
b)                 a
16 a) 7              b) –1             c) 9           d) 1
                         3                               4                                         b
                                                                                                                c
17 a) 0; –10         b) – 12           c) –3,5; 1,2 d) –2; 3; 5
                          23                                               f
18 Tem-se 4x2 + 12x + 9 = 169. Portanto, (2x + 3)2 = 132                                                                           d
   e 2x + 3 = 13 ou 2x + 3 = –13. Das soluções x = 5 ou
   x = –8, só serve a positiva.                                                                        e

19 a) a              b) –37            c) –a          d) 0; 3              A=a⋅f+c⋅d
                         22               2                 2
                                                                  13 69 % (O lado do quadrado maior é 1,3 . Sua área
■ CAPÍTULO 4 – MEDIDAS                                               é 1,69 2.)

Sistemas decimais e não-decimais                                  ■ CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA

 1 100 ha (Em um quadrado com área de 1 km2, ca-                  Contando possibilidades
   bem 10 fileiras de 10 quadrados menores com
                                                                  1 a) 15                    b) 30
   100 m de lado. São 10 ⋅ 10 quadrados com 100 m
   de lado.)                                                      2 256

 2 107°50′3′′                                                     3 a) 4 231 e 1 243            b) 3
                                                                    c) 2 134, 2 143, 2 314, 2 341, 2 413, 2 431
 3 64°57′7′′                                                        d) 24
 4 130°50′15′′                                                    4 24
 5 a) 378 cm                 b) 7,2 cm          c) 3 500 g
                                                                  Chance e estatística
   d) 138 000 cm2            e) 1,48 cm2        f) 12 830 mL
   g) 35 000 kg              h) 0,005 L                           5 a)                  DADO 1
                                                                                                  1        2        3         4        5        6
                                                                           DADO 2
            3   9    3                                                              1             1        2        3         4        5        6
 6 1 km = 10 m
                                                                                    2             2        4        6         8        10      12
 7 78°54′44′′
                                                                                    3             3        6        9         12       15      18
                                                                                    4             4        8        12        16       20      24
Calculando áreas e volumes
                                                                                    5             5        10       15        20       25      30
 8 225 cm2                                                                          6             6        12       18        24       30      36
 9 a) x; y           b) retângulo; x; h
   c) x ⋅ h          d) paralelogramo; iguais; x ⋅ h                  b) 4                                      c) 4 = 1
                                                                                                                   36  9
10 31,24 cm
                                                                      d) 6 e 12                                 e) 9 = 1 = 25 %
                               m⋅p                                                                                 36  4
11 Área do triângulo amarelo =
                                2                                     f) 27 = 3 = 75 %                          g) 2
                                                                         36   4                                    9
                                          n⋅p
      Área do triângulo laranja =
                                           2                      6 a) 1ª vez                    2ª vez             3ª vez                  produto
                              m⋅p   n⋅p                                                                                 par                   par
      Área do trapézio =          +
                               2     2                                                             par
                                                                                                                    ímpar                     par
                                 (m + n) ⋅ p                                    par
      Área do trapézio =                                                                                                par                   par
                                     2
                                                                                                 ímpar
12 a)           a                                                                                                   ímpar                     par
                         b                                                                                              par                   par
                A1                    c                                                            par
                                                                                                                    ímpar                     par
                                                                               ímpar
        f                    A2                   d                                                                     par                   par
                                                                                                 ímpar
                                                                                                                    ímpar                    ímpar
                             e
                                                                      b) 7 = 87,5%
        A = A1 + A2                                                      8


104
7 a)   3 = 3%                                                Sistemas de equações
       100
    b) Ele ganha o primeiro sorteio em apenas 3 %             5 a) (2; 1), (4; 2), (6; 3), [ 2 ; 1 ]
                                                                                             3 3
       dos casos. Apenas numa fração desses 3 %, ele            b) (3; 6), (6; 3)                c) (6; 3) ou (–6; –3)
       ganha o segundo sorteio. As chances no se-
                                                              6 x=6ey=2
       gundo sorteio são de 2 ≈ 2 %. Temos, então:
                            99                                7 a) x = –1 e y = –4 ou x = 4 e y = 1
       2 % de 3 % =     6   = 0,06 %
                     10 000                                     b) x = 1 e y = 3 ou x = 3 e y = 2
                                                                                        2
 8 Os livros podem estar arrumados da seguinte
                                                              8 Supondo que retângulo tenha dimensões x e y,
   forma:
                                                                                                               2x + 2y = 40
                    Posição       Possibilidades                 temos o seguinte sistema: {                                . O sistema
                                                                                                               xy = 44
                       a
                      1-                5                        tem solução, portanto tal retângulo existe e suas
                       a
                      2-                4                        dimensões são 10 + 2 14 e 10 – 2 14 .
                       a
                      3-                3
                       a
                                                              9 Se x2 + 4 = 4x, então x = 2.
                      4-                2
                       a
                      5-                1                     10 a)
                                                                                       3
                                                                                       8
    No total, são 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 possibilidades.
    Porém, só existe uma possibilidade dos livros se-
                                                                            :2                      – 1
    rem arrumados na ordem certa. Portanto, a pro-                           15                       2
    babilidade de Maria Rita recolocar o livro na or-
                      1                                                 1                                 1
    dem certa é de        ≈ 0,8 %.                                                                    –
                     120                                               20                                 8
                                                                                        2
                                                                                   ( )–
                                                                                        5
Amostras
                                                                 b)
 9 Resposta pessoal. Observação: Em 70 % dos casos,
                                                                                       6
   a amostra de 36 feijões contém de 9 a 15 feijões
   roxinhos, o que dá uma idéia razoável daquilo que
   ocorre na população.
                                                                            +4                  –2
10 Sim, mas a chance de isso ocorrer é quase nula.
11 a) O retângulo tem 21 cm2 de área e há 11 ponti-
      nhos no quadradinho azul. Portanto, estimamos                    2                                  4
                                                                                       :2
      231 pontos dentro do retângulo.
   b) Existem 230 pontos. A quantidade real é bem                No caso b, resolve-se a equação x – 2 + 4 = x.
                                                                                                   2
      próxima da estimada.
                                                                 c)          x
12 Aproximadamente, 174 [ 50 = 23 ] .
                           x   80
                                                                           :2               x

■ CAPÍTULO 6 – EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
  DE 2- GRAU
      º                                                                           –3
                                                                                                      2
A fórmula de Bhaskara                                                 O diagrama leva à equação x – 3 = x. Desta,
                                                                                                        2
                                                                      obtém-se x2 – 2x – 3 = 0. Logo, x = +3 ou x = –1.
 1 a) – 7 ;     7     b) – 8 ; 0      c) 4         d) 2 ; 2
                           3             3            3                           3                                     –1

 2 a) –5; – 1         b) 1 ; –5       c) 1; – 3    d) –1; 1
            2            2                    2           5                :2               3        ou            :2        (–1)

 3 a) –1 – 11 ; –1 + 11            b) 1; 3
                                                                       6                        9             –2               1
 4 6, 8, 10                                                                       –3                                    –3


                                                                                                      ASSESSORIA PEDAGÓGICA         105
11 Resolvendo o sistema: L – 10 = J + 10                                                     r

                               L + 10 = 2(J –10)                 s           C
      descobrimos que Luís tem R$ 70,00 e João, R$ 50,00.
12 10
13 x = 149; y = 21                                                       A
                                                                                        O              B
■ CAPÍTULO 7 – GEOMETRIA DEDUTIVA
                                                             4 Chamaremos o menor dos números consecutivos
Matemática, detetives e dedução                                de x e o maior de x + 1. Temos que o quadrado do
 1 A chave está em perceber quais são as afirmações            menor é x2 e o quadrado do maior é (x + 1)2 = x2 +
                                                      a
   contraditórias. Por exemplo, Amábile diz ser a 4- a         + 2x + 1. Ao efetuarmos a diferença entre eles,
                                              a
   chegar. Se ela disse a verdade, não foi a 1- , mas, se      temos: x2 + 2x + 1 – x2 = 2x + 1, ou seja, 2x + 1 é
               a                                        a
   não foi a 1-, ela mentiu. Conclusão: ela não é a 4-,        igual ao dobro do menor somado com uma
             a
   nem a 1-! Prosseguindo com o raciocínio: por mo-            unidade.
                                                a
   tivos similares, Dulce mentiu e não é a 3-, nem a
     a                                                       5 Sabemos que um número é múltiplo de três se ele
   1-. Isso mostra que Carmo mentiu. Logo, Bigode
           o                a                                  for formado por um produto em que o 3 apareça
   foi o 1- e Carmo foi a 4-. Para Dulce sobra apenas
       o                                                       como um dos fatores. Tomaremos os números con-
   o 2- lugar, o que significa que ela é a criminosa!
                                                               secutivos x, x + 1 e x + 2, por exemplo. Efetuando a
 2 Comece montando uma tabela como a abaixo.                   soma deles, temos x + x + 1 + x + 2, resultando em
                         Ana      Bela     Clara   Dália       3x + 3. Se colocarmos o 3 em evidência, o resulta-
                                                               do será 3 ⋅ (x + 1), isto é, o resultado é um número
       Bancária
                                                               formado pelo produto de 3 por (x + 1). Portanto, o
       Comerciária                                             resultado é um número múltiplo de 3.
       Dentista
       Professora                                           Ângulos nos polígonos
                                                             6 Uma maneira de resolver seria escrever a equação
      Como na questão anterior, deve-se perceber quais
      são as afirmações contraditórias. Assim, podem-se         (n – 2)180° = 5 ⋅ 360° . Obtém-se n = 12.
                                                                     n            n
      eliminar possibilidades e anotá-las na tabela. Por
      exemplo:                                               7 15
      • Ana e Bela são vizinhas e revezam-se na carona       8 120º
         de automóvel;
      • A bancária vai a pé para o trabalho;                    ˆ                                 ˆ
                                                             9 AC B = 180º – 70º – 30º = 80º. Se AC B = 80º, então
      Das duas afirmações acima se conclui que Ana e                     ˆ
                                                                AC P = ABC = 40º. No triângulo ACQ, CÂQ = 70º
                                                                  ˆ
      Bela não podem ser bancárias.                                      2
      • Freqüentemente Ana vence Dália no xadrez;                   ˆ                                 ˆ
                                                                e AQ C = 90º, donde podemos obter AC Q = 20º.
      • A única vez que a dentista encontrou-se com a                 ˆ     ˆ                  ˆ       ˆ
                                                                Se AC P = AC Q + x, então x = AC P – AC Q, donde
        professora foi no consultório, para o tratamento
                                                                x = 20º.
        de uma cárie.
      Das duas afirmações acima se conclui que Ana e
                                                            Ângulos na circunferência
      Dália não podem ser dentista ou professora. As-
      sim, Ana é comerciária e Dália é bancária.            10 a) AÔB = 180º
      • O salário da professora é maior de que o da               ˆ
                                                               b) P = 90º, porque esse ângulo inscrito corresponde
         comerciária ou da dentista.                              ao ângulo central AÔB (ambos correspondem
      • O salário de Bela é maior que o de Clara.                          )
                                                                  ao arco AB).
      Das duas afirmações acima se conclui que Bela é              ˆ                 ˆ
                                                            11 Se LK M = 35º, então LMK + 90º + 35º = 180º, donde
      professora e Clara é dentista.                             ˆ
                                                               LMK = 55º.

 3 Se AÔB = AÔC + CÔB = 180º, então AÔC + CÔB =                           ˆ ˆ ˆ
                                                            12 Os ângulos a , b e c são inscritos e correspondentes
                                     2     2                   ao mesmo arco. Logo, a = b = c = 31º.
   =  AÔB = 180° = 90° .
       2      2                                             13 a) 65º
      Portanto, rÔs = 90º, de onde podemos concluir que        b) 230º
      a reta r é perpendicular à reta s.                       c) 115º


106
Paralelismo                                                  7 R$ 18 000,00
14 a) Se r // s, a = x (ângulos correspondentes). Como       8 As opções de que Dorinha dispunha eram as se-
      a = y (opostos pelo vértice), resulta que: x = y.        guintes:
   b) x + b = 180º. Como a = x, vem: a + b = 180º.
                                                                  Pagamento      Saldo        Rendimentos
15 Se r // BC, os triângulos ABC e AMN têm ângulos                  à vista    poupança       após 30 dias
                                                            Opção
   iguais e, por isso, são semelhantes. Logo, se AM =                (R$)         (R$)            (R$)
                                                              I
   MB, isto é, se AM = AB , então:                                  322,00  450,00 – 322,00 =     1,25
                          2
             AC e portanto AN = NC.                                              128,00
   a) AN =
              2
                                                                      Entrada            Saldo               Rendimentos
     b) MN = BC                                                         (R$)           poupança              após 30 dias
              2                                             Opção
                                                                                          (R$)                   (R$)
        B                                      C              II
                                                                         165,00    450,00 – 165,00 =               2,79
                                                                                        285,00
                                           r
                    M            N                              Na opção I, ao final dos 30 dias, Dorinha não teria
                                                                dívida e o saldo da poupança, já somados os ren-
                             A                                  dimentos, seria de R$ 129,25.
16 x = 10                                                       Na opção II, decorridos 30 dias, o saldo da pou-
                        m  x p  z x  y y  z                     pança, já somados os rendimentos, seria de
17 São verdadeiras:       = ;  = ;  = ;  = .                    R$ 287,79. Porém, ela ainda deveria pagar uma par-
                        n  y n  y m n n p
                                                                cela de R$ 165,00. Portanto, sobraria um total de
                                                                R$ 122,79. Logo, por ter optado pelo pagamento
■ CAPÍTULO 8 – MATEMÁTICA, COMÉRCIO E INDÚSTRIA                 a prazo, Dorinha perdeu R$ 6,46.

Produção e proporcionalidade                                Problemas variados
 1 2 kg                                                      9 Parcela 1 = R$ 226,00; parcela 2 = R$ 186,00; par-
 2 18 costureiras                                              cela 3 = R$ 186,00

 3                                                          10 a) 48; 24; 72                  b) 200; 600
                                                               c) 44; 44 %                    d) 20; 20 %
            a (m)   b (m)        c (m)             P (R$)
                                                            11 a) 35 %         b) 35,5 %      c) 17,5 %       d) 10 %
             1          2            0,5           2 000
                                                               e) 10 %         f) 1 %         g) 100 %        h) 115 %
             2          2            0,5           4 000
                                                            12 a) 64
             2          2            2             16 000      b) Não. Porque cada aluno votou em dois nomes.
             1          2            4             16 000         Se todos votaram, a soma dessas porcentagens
             1          8            1             16 000         será 200 %.
                                                               c) 4
 4                                                          13 a) 75 %         b) Aproximadamente 33 %.
             x          y            z
             10         20        100                       ■ CAPÍTULO 9 – TRIGONOMETRIA
             20         40        100
                                                            Medindo o que não se alcança
             15         30        100
                                                             1 14,5 m
             15         15        200
                                                             2 a) AI = 5 3 ≈ 8,5 cm           b) tg  =     3 ≈ 0,57
             15         60           50                                                                     3
                                                               c) 30°
             30       120            50
                                                             3 18 m, aproximadamente.
                                                             4 ê ≈ 15°
Juros
                                                                     ˆ
                                                             5 a) tg R = 2,14          b) R ≈ 65°             c) I ≈ 25°
 5 1 % a.m.                                                  6 a) 9 %, aproximadamente.                       b) 100 %
 6 Aproximadamente 6 % a.m.                                    c) 214 %, aproximadamente.

                                                                                           ASSESSORIA PEDAGÓGICA       107
Razões trigonométricas                                                   c) Para obter a quantidade de palitos da figura n,
                                                                            pode-se pensar assim:
 7 a) x ≈ 15 cm
   b) x ≈ 35°                                                                Número da figura              Quantidade de palitos
 8 Dedução: no triângulo ABC: sen B = b . No
                                      ˆ                                                    1               4
                                           a
                      ˆ
   triângulo ABH: sen B = h . Logo, b = h . Final-                                         2               4+6
                          c         a   c
   mente, ah = bc.                                                                         3               4+6+8
                                                                                           n               4 + 6 + 8 + ... + 2(n+1)
 9 a)                                A
                                                                            Usando a idéia de Gauss, de somar “das pontas
                     9 cm            h                                      para o meio”, vem:
                                                                                                      4n + 2n2 + 2n
                                                                            fn = [4 + 2(n + 1)] ⋅ n =               = n2 + 3n
               30°                                                                                2         2
        B                                              C
                             12 cm                                   4 É a fórmula do item a.
      b) h = 4,5 cm
                                                                    Funções e seus gráficos
      c) 27 cm2
                                                                     5           y
10 12,2 m, aproximadamente.

11 BC = 2 3 cm; AC = 4 3 cm                                                    4


Polígonos inscritos e circunscritos
                                                                               1
12 a) Se o decágono regular for construído com ca-                                 0               x
                                                                                       1
      pricho, cada lado deverá medir aproximadamen-
      te 3,1 cm.
   b) Neste caso, cada lado deverá medir aproxima-
      damente 7,3 cm.                                                6           y

13 a) 9 cm
   b) 18 cm                                                                    3
                              3

14 Teremos cos 30° = 2 . Portanto,              3   =5 3.
                     5                                                           O                     x
                                                                                       1       3
15 A = 2r2

16 a)       = 2 3 r         b) A =       3 r2       c) A = 2 3 r2
               3                         3                           7 (2; –1)
                                                                     8 (0; 0) e (8; 0)
17 Resposta pessoal.
                                                                    Usando funções

■ CAPÍTULO 10 – FUNÇÕES                                              9 9
                                                                    10 II
Funções, suas tabelas e suas fórmulas                               11 II – Como o cone “se alarga”, o nível da água sobe
 1 a) Número de quilômetros rodados, ou seja, dis-                     cada vez mais devagar.
      tância percorrida.                                            12 A-I                 B-III           C-II
   b) Porque, se x = 0, y = 1,10 ⋅ x + 2,15 = 2,15. Deve-
      se pagar a bandeirada.                                        ■ CAPÍTULO 11 – CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
   c) 18,5 km
                                                                    Simetrias
 2 a) 28
   b) p = 10 + 2 (f – 1), isto é p = 2f + 8                          1 a) Não tem simetria axial. Tem simetria central.
   c) 46                                                                  Tem simetria 90° rotacional.
                                                                       b) Tem simetria axial (7 eixos). Não tem simetria
 3 a) 40
   b) 130                                                                 central. Tem simetria 360° rotacional.
                                                                                                 7

108
c) Não tem simetria axial. Tem simetria central.           3                 B
     Tem simetria 90° rotacional.
  d) Não tem simetria axial. Tem simetria central.
                                                                               D
     Tem simetria 180° rotacional.
                                                                           A
2 a)              e1
                                                                                                C
                                                                  C'           O
                  0
                           e2                                                          A'

                                                                               D'


       Retângulo                                                               B'
       Tem simetria axial (2 eixos). Tem simetria central.
       Tem simetria 180° rotacional.                         4 Resposta pessoal.
                                                             5 Resposta pessoal.

  b)                                                         6 Resposta pessoal. Um exemplo:
         e1       e2
                           e3



                           e4




       Quadrado
       Tem simetria axial (4 eixos). Tem simetria central.
       Tem simetria 90° rotacional.

                                                             7 Resposta pessoal.
  c)                           e1
                                                             Dá pra construir?
                                                             8 16. Exemplos de resposta:
                            O
                                              e2                 a)                         A




       Losango
       Tem simetria axial (2 eixos). Tem simetria central.             B                                       D
       Tem simetria 180° rotacional.


  d)              e1
                          e2

                                    e3
                                                                                                C

                                     e4                                A

                                                                 b)

                                    e5

                                                                                        D
       Pentágono regular
       Tem simetria axial (5 eixos). Não tem simetria                                                               C
       central. Tem simetria 72° rotacional.                                       B


                                                                                            ASSESSORIA PEDAGÓGICA       109
9 Estão determinados somente os triângulos dos ca-                 b)
   sos a e c. Em b, há infinitos; em d, o triângulo não
   existe e em e, há dois triângulos diferentes.
10 a) Sim.
   b) Não, porque, dependendo das medidas dos ân-
      gulos internos, pode-se construir losangos dife-                    vista lateral                    vista frontal
      rentes.
   c) Sim.
   d) Não, porque, dependendo das medidas dos ân-
      gulos internos, pode-se construir pentágonos
      eqüiláteros diferentes.
   e) Sim.
                                                                                          vista superior
   f) Não, porque, dependendo das medidas dos ân-
      gulos da base ou dos outros lados, pode-se cons-          15 a) F         b) V           c) V          d) F            e) V
      truir triângulos diferentes.
11 É preciso saber a largura da faixa preta e a medida          ■ CAPÍTULO 12 – CÍRCULO E CILINDRO
   do lado do quadrado. (Se o tamanho da figura
   puder variar, basta saber a largura da faixa em fun-         Perímetro e área do círculo
   ção da medida do lado do quadrado.)
                                                                1 a) 31,4 cm                          b) 78,5 cm2
Desenhando em 3D                                                2 10 914,64 km
12 Exemplo de solução:                                          3 a) Construção pessoal.
                                                                  b) 257 cm2, aproximadamente.
                                                                  c) e d) Respostas pessoais.

                                                                4 a) x = 1           b) x ≈ 16 cm          c) x ≈ 16 m            d) Não
                                                                         2π

                                                                Volume do cilindro

                                                                5 Na figura I, pois o lado maior do retângulo é igual
                                                       h
                                                                  ao perímetro do círculo da base.
                                                   F
13 Exemplo de solução:                                          6 a) F              b) V              c) F                 d) V

                                                                7 Aproximadamente 16 m.

                                                                8 cilindro de altura 1 m: volume = 1 m3 ≈ 0,32 m3
                                                                                                   π
                                                                  cilindro de altura 2 m: volume = 1 m3 ≈ 0,16 m3
                                                                                                   2π

                                                                ■ CAPÍTULO 13 – CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS
                                                   h
       F                                                        Conjuntos
14 Exemplo de solução:                                          1 a) F              b) V              c) F                 d) V
   a)                                                             e) V              f) F              g) F
                           vista superior
  F1                                                       F2
                                                                2 a) x = 24         b) x = 12         c) x = 6
                                                                  d) x = 0          e) x = 6          f) x = 30

                                                                3 ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

                                                                4 a) 0, 30, 60, 90, 120               b) 0, 5, 10, 15, 20
                                                                  c) 0, 30, 60, 90, 120               d) 0, 6, 10, 12, 18
           vista lateral           vista frontal                5 a) 10             b) 2              c) 9                 d) 0

110
6 a) I                                       D             15        A                     C     B
                                                                 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0        1   2 3    4    5   6   7   8

                                                            16 Em A há 3 números inteiros; em B não há nenhum
                                                               e em C há 2.
     b) Não.         c) Sim.                                17 a) V           b) V              c) F
 7 24 elementos.                                               d) F           e) F              f) V


Conjuntos numéricos                                         ■ CAPÍTULO 14 – TÉCNICA ALGÉBRICA

 8                                                          Produtos notáveis e fatoração
                     Q                  I
             Z                                              1 a)   (40 – 3)(40 + 3) = 1 600 – 9 = 1 591
                                                     R
                                                              b)   (40 + 2)2 = 1 600 + 2 ⋅ 40 ⋅ 2 + 4 = 1 764
                                                              c)   (500 + 2)(500 – 2) = 250 000 – 4 = 249 996
                 N
                                                              d)   1 000 000 – 2 ⋅ 1 000 ⋅ 2 + 4 = 996 004
                                                            2 a)   x2 + 8x + 16
 9 a) 0 ∈ N, 0 ∈ Z, 0 ∈ Q, 0 ∈ R.
                                                              b)   25x2 – 20x + 4
   b) Pertencem a N, Z, Q, R. (Não esquecer que N
                                                              c)   a2 – 25x2
      está contido nos outros três.)
                                                              d)   m2x2 + 2mxnd + n2d2
   c) Esses números pertencem a Q (e portanto a R),
                                                              e)   a4 – b 2
      podendo pertencer a N.
                                                              f)   25a2x2 – 1
   d) π ∈ I e portanto π ∈ R.
                                                            3 a)   x3 + 15x2 + 75x + 125
10 a) 28                         b) – 1 = 125                 b)   x3 + 15x2 + 75x + 125
       9                              8 1 000
                                                              c)   4x – 2
     c) 60 = 20                  d) – 4 137                   d)   2xy – 2y2
        99 33                         1 000

11 a) (I) x = 5 ou x = – 5                                  4 a) 3 – 3                          b)     6 –2
                                                                    2
      (II) Não existe solução.
                                                            5 a)   (x2 + 4)(x + 2)(x – 2)
        (III) x = 7 + 5 ou x = 7 – 5                          b)   3x(4x2 – 2x + 3)
                     2            2
        (IV) Não existe solução.                              c)   3(2x + 1)(2x – 1)
                                                              d)   2(2a + 3b)2
     b) Em (I) e (III).
     c) (II) e (IV).                                        Equações fracionárias

12 a) Sim.           b) Não.     c) Não.          d) Sim.   6 a) x = ± 2                        b) x = 20

Reta numérica                                                    c) x = 2 ou x = – 1      d) x = – 3
                                                                                   2               4
13 a) C              b) E        c) D                            e) x = 3; o número 2 não pode ser solução.
   d) A              e) A        f) B                       7 x = 2 e y = 6 ou x = 16 e y = – 8

14 a) – 13           b) 15
         4               7                                  8 Resolvendo a equação 60 000 + 1 000 = 60 000
                                                                                       x             x–3
     c) 91           d) – 314 = – 157                         obtemos x = 15 produtos.
         5                100      50
                                                            9 x = 2 e y = 4 ou x = 4 e y = 2
                                                                  3       3        3       3




                                                                                            ASSESSORIA PEDAGÓGICA           111

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Respostas De Exercicios 8ª

  • 1. Problemas e exercícios complementares ■ CAPÍTULO 1 – SEMELHANÇA ˆ ˆ ˆ De fato: AB C = DÂC = a e AC B = DC A (é o mesmo ângulo). Figuras semelhantes b) A 1 a) Não. b) Sim. c) Sim. d) Não. e) Sim. 2 Exemplo de resposta: B 70° C 80° a B C 110° 100° D D A C B 80° 70° a A C c) AB = BC = CA 110° DA AC CD 100° d) 7 = 8 = 4 D A x = 2 cm e y = 3,5 cm y 4 x 3 Exemplo de resposta: 7 Altura da estátua: 34 m, aproximadamente. A B 8 A 59 m, aproximadamente. ˆ 9 a) Ê = B (ângulos retos). Em Ô os ângulos opostos pelo vértice são iguais. Portanto, os triângulos C ABO e DEO são semelhantes. B' D b) x = 125 = 15,625 8 10 Em a não se pode garantir que os quadriláteros são semelhantes. Em b, os triângulos PEF e PAB A' são semelhantes. Como PA = 3 ⋅ PE, tem-se AB = 3 ⋅ EF. 11 a) 75 = 60 b) x = 48 mm 60 x C' Semelhança no triângulo retângulo 12 d a x D' I II Os dois quadriláteros foram reduzidos na mesma razão. p 4 a) 1 para 2 b) Sim. c) Sim. d) Sim. São iguais a 5,4 cm e 10,8 cm, aproximadamente. e) São iguais. Medem 45° f) 4 vezes, pois 6 = 4 ⋅ 1,5. 5 a) F b) V c) V d) F a) Como os dois triângulos retângulos menores são Triângulos semelhantes semelhantes, temos: p = x . Multiplicando a 6 a) Os triângulos ABC e DAC são semelhantes por- a p que têm dois ângulos respectivamente iguais. igualdade por a e, depois, por p tem-se: p2 = a ⋅ x. 102
  • 2. b) A fórmula diz que o quadrado da altura per- Mais cálculos com radicais pendicular à hipotenusa é igual ao produto dos dois segmentos formados sobre a hipotenusa. 10 a) 4 7 b) 5 6 c) 7 7 d) 7 5 13 Valores aproximados: a) 50 mm b) 40 mm e 26 mm 11 a) 41 5 b) 3 7 c) –2 2 c) 26 mm d) 26 mm 12 a) x = 49 b) x = 50 c) x = 16 d) x = 40 14 a) V b) F c) V 13 a) 2 b) 10 p h = m = p 15 a) h = m = 2 2 m x l p l a b) p2 = h ⋅ a; p ⋅ m = l ⋅ h ■ CAPÍTULO 3 – EQUAÇÕES E FATORAÇÃO o O teorema de Pitágoras Equações de 1- grau 16 6,3 cm 1 a) x = 10 b) x = 6 17 2 a) x = 5 b) x = 2 AB (cm) AC (cm) BC (cm) 15 20 25 3 x = –8 3 12 5 13 4 Isolar a incógnita significa deixar apenas um ter- 15 8 17 mo com a incógnita em um dos lados da equação e, no outro lado, apenas termos sem a incógnita. 18 a) 16 cm b) EI = 240 cm 17 450 cm; ME = 128 cm Vários tipos de equações c) SE = 17 17 5 a) x = 13 b) x = 25 d) 240 cm2 6 a) z = 3 b) x = 2 19 5 m 7 a) –6; 6 b) Não tem solução. 20 a) 100 km b) 200 km c) Resposta pessoal. c) – 97 ; 97 d) –2; 2 ■ CAPÍTULO 2 – A QUINTA E A SEXTA OPERAÇÕES 8 a2 = b2 + c2 ⇒ a2 – c2 = b2 ⇒ b = a2 – c2 (Neste caso, b > 0.) Potências e notação científica 1 a) 10–4 b) 10–3 c) 105 Equações resolvidas por fatoração d) 107 e) 10–2 f) 10–3 9 a) 7 b) 5 c) 2 d) 2 6 9 –5 2 a) 6,5 × 10 b) 1,2 × 10 c) 10 d) 3 × 10–5 e) 3,8 × 10–5 f) 1,3 × 10–6 a2 + a + 1 2a2 10 a) b) 5a – 7 2a + 5 3 a) 2 × 10–3 b) 1,4 × 108 11 a) 0; –1 b) 0; –2 c) –3; 5 d) 5 4 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 3 16 2 4 8 12 a) – 6 ; 6 b) 0; –10 5 a) 5 × 10–6 m b) 3 × 10–5 m 2 c) 2 × 10–7 m d) 2 × 10–8 m 13 a) x = 5 ⋅ x b) 0; 5 Cálculos com radicais Fatorando o trinômio quadrado perfeito 6 a) 27,30 m 14 a) x2 + 14x + 49 b) x2 – 14x + 49 b) 6 rolos (se fossem 5 rolos, faltaria arame) c) 4a2 + 4a + 1 d) 9a2 – 12ab + 4b2 10a2b a2 7 a) 9 b) 3 c) 80 d) 15 e) 42 f) 20 e) y4 + 10xy2 + 25x2 f) 25a2b2 – + 3 9 8 7 3 15 a) y2 + 14y + 49 b) 9x2 + 6x + 1 9 c) 9y2 + 6y + 1 d) 36y2 + 12y + 1 9 21 3 b2 e) x2 + 18x + 81 f) a2x2 + abx + 8 4 ASSESSORIA PEDAGÓGICA 103
  • 3. b) a 16 a) 7 b) –1 c) 9 d) 1 3 4 b c 17 a) 0; –10 b) – 12 c) –3,5; 1,2 d) –2; 3; 5 23 f 18 Tem-se 4x2 + 12x + 9 = 169. Portanto, (2x + 3)2 = 132 d e 2x + 3 = 13 ou 2x + 3 = –13. Das soluções x = 5 ou x = –8, só serve a positiva. e 19 a) a b) –37 c) –a d) 0; 3 A=a⋅f+c⋅d 22 2 2 13 69 % (O lado do quadrado maior é 1,3 . Sua área ■ CAPÍTULO 4 – MEDIDAS é 1,69 2.) Sistemas decimais e não-decimais ■ CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA 1 100 ha (Em um quadrado com área de 1 km2, ca- Contando possibilidades bem 10 fileiras de 10 quadrados menores com 1 a) 15 b) 30 100 m de lado. São 10 ⋅ 10 quadrados com 100 m de lado.) 2 256 2 107°50′3′′ 3 a) 4 231 e 1 243 b) 3 c) 2 134, 2 143, 2 314, 2 341, 2 413, 2 431 3 64°57′7′′ d) 24 4 130°50′15′′ 4 24 5 a) 378 cm b) 7,2 cm c) 3 500 g Chance e estatística d) 138 000 cm2 e) 1,48 cm2 f) 12 830 mL g) 35 000 kg h) 0,005 L 5 a) DADO 1 1 2 3 4 5 6 DADO 2 3 9 3 1 1 2 3 4 5 6 6 1 km = 10 m 2 2 4 6 8 10 12 7 78°54′44′′ 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 Calculando áreas e volumes 5 5 10 15 20 25 30 8 225 cm2 6 6 12 18 24 30 36 9 a) x; y b) retângulo; x; h c) x ⋅ h d) paralelogramo; iguais; x ⋅ h b) 4 c) 4 = 1 36 9 10 31,24 cm d) 6 e 12 e) 9 = 1 = 25 % m⋅p 36 4 11 Área do triângulo amarelo = 2 f) 27 = 3 = 75 % g) 2 36 4 9 n⋅p Área do triângulo laranja = 2 6 a) 1ª vez 2ª vez 3ª vez produto m⋅p n⋅p par par Área do trapézio = + 2 2 par ímpar par (m + n) ⋅ p par Área do trapézio = par par 2 ímpar 12 a) a ímpar par b par par A1 c par ímpar par ímpar f A2 d par par ímpar ímpar ímpar e b) 7 = 87,5% A = A1 + A2 8 104
  • 4. 7 a) 3 = 3% Sistemas de equações 100 b) Ele ganha o primeiro sorteio em apenas 3 % 5 a) (2; 1), (4; 2), (6; 3), [ 2 ; 1 ] 3 3 dos casos. Apenas numa fração desses 3 %, ele b) (3; 6), (6; 3) c) (6; 3) ou (–6; –3) ganha o segundo sorteio. As chances no se- 6 x=6ey=2 gundo sorteio são de 2 ≈ 2 %. Temos, então: 99 7 a) x = –1 e y = –4 ou x = 4 e y = 1 2 % de 3 % = 6 = 0,06 % 10 000 b) x = 1 e y = 3 ou x = 3 e y = 2 2 8 Os livros podem estar arrumados da seguinte 8 Supondo que retângulo tenha dimensões x e y, forma: 2x + 2y = 40 Posição Possibilidades temos o seguinte sistema: { . O sistema xy = 44 a 1- 5 tem solução, portanto tal retângulo existe e suas a 2- 4 dimensões são 10 + 2 14 e 10 – 2 14 . a 3- 3 a 9 Se x2 + 4 = 4x, então x = 2. 4- 2 a 5- 1 10 a) 3 8 No total, são 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 possibilidades. Porém, só existe uma possibilidade dos livros se- :2 – 1 rem arrumados na ordem certa. Portanto, a pro- 15 2 babilidade de Maria Rita recolocar o livro na or- 1 1 1 dem certa é de ≈ 0,8 %. – 120 20 8 2 ( )– 5 Amostras b) 9 Resposta pessoal. Observação: Em 70 % dos casos, 6 a amostra de 36 feijões contém de 9 a 15 feijões roxinhos, o que dá uma idéia razoável daquilo que ocorre na população. +4 –2 10 Sim, mas a chance de isso ocorrer é quase nula. 11 a) O retângulo tem 21 cm2 de área e há 11 ponti- nhos no quadradinho azul. Portanto, estimamos 2 4 :2 231 pontos dentro do retângulo. b) Existem 230 pontos. A quantidade real é bem No caso b, resolve-se a equação x – 2 + 4 = x. 2 próxima da estimada. c) x 12 Aproximadamente, 174 [ 50 = 23 ] . x 80 :2 x ■ CAPÍTULO 6 – EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2- GRAU º –3 2 A fórmula de Bhaskara O diagrama leva à equação x – 3 = x. Desta, 2 obtém-se x2 – 2x – 3 = 0. Logo, x = +3 ou x = –1. 1 a) – 7 ; 7 b) – 8 ; 0 c) 4 d) 2 ; 2 3 3 3 3 –1 2 a) –5; – 1 b) 1 ; –5 c) 1; – 3 d) –1; 1 2 2 2 5 :2 3 ou :2 (–1) 3 a) –1 – 11 ; –1 + 11 b) 1; 3 6 9 –2 1 4 6, 8, 10 –3 –3 ASSESSORIA PEDAGÓGICA 105
  • 5. 11 Resolvendo o sistema: L – 10 = J + 10 r L + 10 = 2(J –10) s C descobrimos que Luís tem R$ 70,00 e João, R$ 50,00. 12 10 13 x = 149; y = 21 A O B ■ CAPÍTULO 7 – GEOMETRIA DEDUTIVA 4 Chamaremos o menor dos números consecutivos Matemática, detetives e dedução de x e o maior de x + 1. Temos que o quadrado do 1 A chave está em perceber quais são as afirmações menor é x2 e o quadrado do maior é (x + 1)2 = x2 + a contraditórias. Por exemplo, Amábile diz ser a 4- a + 2x + 1. Ao efetuarmos a diferença entre eles, a chegar. Se ela disse a verdade, não foi a 1- , mas, se temos: x2 + 2x + 1 – x2 = 2x + 1, ou seja, 2x + 1 é a a não foi a 1-, ela mentiu. Conclusão: ela não é a 4-, igual ao dobro do menor somado com uma a nem a 1-! Prosseguindo com o raciocínio: por mo- unidade. a tivos similares, Dulce mentiu e não é a 3-, nem a a 5 Sabemos que um número é múltiplo de três se ele 1-. Isso mostra que Carmo mentiu. Logo, Bigode o a for formado por um produto em que o 3 apareça foi o 1- e Carmo foi a 4-. Para Dulce sobra apenas o como um dos fatores. Tomaremos os números con- o 2- lugar, o que significa que ela é a criminosa! secutivos x, x + 1 e x + 2, por exemplo. Efetuando a 2 Comece montando uma tabela como a abaixo. soma deles, temos x + x + 1 + x + 2, resultando em Ana Bela Clara Dália 3x + 3. Se colocarmos o 3 em evidência, o resulta- do será 3 ⋅ (x + 1), isto é, o resultado é um número Bancária formado pelo produto de 3 por (x + 1). Portanto, o Comerciária resultado é um número múltiplo de 3. Dentista Professora Ângulos nos polígonos 6 Uma maneira de resolver seria escrever a equação Como na questão anterior, deve-se perceber quais são as afirmações contraditórias. Assim, podem-se (n – 2)180° = 5 ⋅ 360° . Obtém-se n = 12. n n eliminar possibilidades e anotá-las na tabela. Por exemplo: 7 15 • Ana e Bela são vizinhas e revezam-se na carona 8 120º de automóvel; • A bancária vai a pé para o trabalho; ˆ ˆ 9 AC B = 180º – 70º – 30º = 80º. Se AC B = 80º, então Das duas afirmações acima se conclui que Ana e ˆ AC P = ABC = 40º. No triângulo ACQ, CÂQ = 70º ˆ Bela não podem ser bancárias. 2 • Freqüentemente Ana vence Dália no xadrez; ˆ ˆ e AQ C = 90º, donde podemos obter AC Q = 20º. • A única vez que a dentista encontrou-se com a ˆ ˆ ˆ ˆ Se AC P = AC Q + x, então x = AC P – AC Q, donde professora foi no consultório, para o tratamento x = 20º. de uma cárie. Das duas afirmações acima se conclui que Ana e Ângulos na circunferência Dália não podem ser dentista ou professora. As- sim, Ana é comerciária e Dália é bancária. 10 a) AÔB = 180º • O salário da professora é maior de que o da ˆ b) P = 90º, porque esse ângulo inscrito corresponde comerciária ou da dentista. ao ângulo central AÔB (ambos correspondem • O salário de Bela é maior que o de Clara. ) ao arco AB). Das duas afirmações acima se conclui que Bela é ˆ ˆ 11 Se LK M = 35º, então LMK + 90º + 35º = 180º, donde professora e Clara é dentista. ˆ LMK = 55º. 3 Se AÔB = AÔC + CÔB = 180º, então AÔC + CÔB = ˆ ˆ ˆ 12 Os ângulos a , b e c são inscritos e correspondentes 2 2 ao mesmo arco. Logo, a = b = c = 31º. = AÔB = 180° = 90° . 2 2 13 a) 65º Portanto, rÔs = 90º, de onde podemos concluir que b) 230º a reta r é perpendicular à reta s. c) 115º 106
  • 6. Paralelismo 7 R$ 18 000,00 14 a) Se r // s, a = x (ângulos correspondentes). Como 8 As opções de que Dorinha dispunha eram as se- a = y (opostos pelo vértice), resulta que: x = y. guintes: b) x + b = 180º. Como a = x, vem: a + b = 180º. Pagamento Saldo Rendimentos 15 Se r // BC, os triângulos ABC e AMN têm ângulos à vista poupança após 30 dias Opção iguais e, por isso, são semelhantes. Logo, se AM = (R$) (R$) (R$) I MB, isto é, se AM = AB , então: 322,00 450,00 – 322,00 = 1,25 2 AC e portanto AN = NC. 128,00 a) AN = 2 Entrada Saldo Rendimentos b) MN = BC (R$) poupança após 30 dias 2 Opção (R$) (R$) B C II 165,00 450,00 – 165,00 = 2,79 285,00 r M N Na opção I, ao final dos 30 dias, Dorinha não teria dívida e o saldo da poupança, já somados os ren- A dimentos, seria de R$ 129,25. 16 x = 10 Na opção II, decorridos 30 dias, o saldo da pou- m x p z x y y z pança, já somados os rendimentos, seria de 17 São verdadeiras: = ; = ; = ; = . R$ 287,79. Porém, ela ainda deveria pagar uma par- n y n y m n n p cela de R$ 165,00. Portanto, sobraria um total de R$ 122,79. Logo, por ter optado pelo pagamento ■ CAPÍTULO 8 – MATEMÁTICA, COMÉRCIO E INDÚSTRIA a prazo, Dorinha perdeu R$ 6,46. Produção e proporcionalidade Problemas variados 1 2 kg 9 Parcela 1 = R$ 226,00; parcela 2 = R$ 186,00; par- 2 18 costureiras cela 3 = R$ 186,00 3 10 a) 48; 24; 72 b) 200; 600 c) 44; 44 % d) 20; 20 % a (m) b (m) c (m) P (R$) 11 a) 35 % b) 35,5 % c) 17,5 % d) 10 % 1 2 0,5 2 000 e) 10 % f) 1 % g) 100 % h) 115 % 2 2 0,5 4 000 12 a) 64 2 2 2 16 000 b) Não. Porque cada aluno votou em dois nomes. 1 2 4 16 000 Se todos votaram, a soma dessas porcentagens 1 8 1 16 000 será 200 %. c) 4 4 13 a) 75 % b) Aproximadamente 33 %. x y z 10 20 100 ■ CAPÍTULO 9 – TRIGONOMETRIA 20 40 100 Medindo o que não se alcança 15 30 100 1 14,5 m 15 15 200 2 a) AI = 5 3 ≈ 8,5 cm b) tg  = 3 ≈ 0,57 15 60 50 3 c) 30° 30 120 50 3 18 m, aproximadamente. 4 ê ≈ 15° Juros ˆ 5 a) tg R = 2,14 b) R ≈ 65° c) I ≈ 25° 5 1 % a.m. 6 a) 9 %, aproximadamente. b) 100 % 6 Aproximadamente 6 % a.m. c) 214 %, aproximadamente. ASSESSORIA PEDAGÓGICA 107
  • 7. Razões trigonométricas c) Para obter a quantidade de palitos da figura n, pode-se pensar assim: 7 a) x ≈ 15 cm b) x ≈ 35° Número da figura Quantidade de palitos 8 Dedução: no triângulo ABC: sen B = b . No ˆ 1 4 a ˆ triângulo ABH: sen B = h . Logo, b = h . Final- 2 4+6 c a c mente, ah = bc. 3 4+6+8 n 4 + 6 + 8 + ... + 2(n+1) 9 a) A Usando a idéia de Gauss, de somar “das pontas 9 cm h para o meio”, vem: 4n + 2n2 + 2n fn = [4 + 2(n + 1)] ⋅ n = = n2 + 3n 30° 2 2 B C 12 cm 4 É a fórmula do item a. b) h = 4,5 cm Funções e seus gráficos c) 27 cm2 5 y 10 12,2 m, aproximadamente. 11 BC = 2 3 cm; AC = 4 3 cm 4 Polígonos inscritos e circunscritos 1 12 a) Se o decágono regular for construído com ca- 0 x 1 pricho, cada lado deverá medir aproximadamen- te 3,1 cm. b) Neste caso, cada lado deverá medir aproxima- damente 7,3 cm. 6 y 13 a) 9 cm b) 18 cm 3 3 14 Teremos cos 30° = 2 . Portanto, 3 =5 3. 5 O x 1 3 15 A = 2r2 16 a) = 2 3 r b) A = 3 r2 c) A = 2 3 r2 3 3 7 (2; –1) 8 (0; 0) e (8; 0) 17 Resposta pessoal. Usando funções ■ CAPÍTULO 10 – FUNÇÕES 9 9 10 II Funções, suas tabelas e suas fórmulas 11 II – Como o cone “se alarga”, o nível da água sobe 1 a) Número de quilômetros rodados, ou seja, dis- cada vez mais devagar. tância percorrida. 12 A-I B-III C-II b) Porque, se x = 0, y = 1,10 ⋅ x + 2,15 = 2,15. Deve- se pagar a bandeirada. ■ CAPÍTULO 11 – CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS c) 18,5 km Simetrias 2 a) 28 b) p = 10 + 2 (f – 1), isto é p = 2f + 8 1 a) Não tem simetria axial. Tem simetria central. c) 46 Tem simetria 90° rotacional. b) Tem simetria axial (7 eixos). Não tem simetria 3 a) 40 b) 130 central. Tem simetria 360° rotacional. 7 108
  • 8. c) Não tem simetria axial. Tem simetria central. 3 B Tem simetria 90° rotacional. d) Não tem simetria axial. Tem simetria central. D Tem simetria 180° rotacional. A 2 a) e1 C C' O 0 e2 A' D' Retângulo B' Tem simetria axial (2 eixos). Tem simetria central. Tem simetria 180° rotacional. 4 Resposta pessoal. 5 Resposta pessoal. b) 6 Resposta pessoal. Um exemplo: e1 e2 e3 e4 Quadrado Tem simetria axial (4 eixos). Tem simetria central. Tem simetria 90° rotacional. 7 Resposta pessoal. c) e1 Dá pra construir? 8 16. Exemplos de resposta: O e2 a) A Losango Tem simetria axial (2 eixos). Tem simetria central. B D Tem simetria 180° rotacional. d) e1 e2 e3 C e4 A b) e5 D Pentágono regular Tem simetria axial (5 eixos). Não tem simetria C central. Tem simetria 72° rotacional. B ASSESSORIA PEDAGÓGICA 109
  • 9. 9 Estão determinados somente os triângulos dos ca- b) sos a e c. Em b, há infinitos; em d, o triângulo não existe e em e, há dois triângulos diferentes. 10 a) Sim. b) Não, porque, dependendo das medidas dos ân- gulos internos, pode-se construir losangos dife- vista lateral vista frontal rentes. c) Sim. d) Não, porque, dependendo das medidas dos ân- gulos internos, pode-se construir pentágonos eqüiláteros diferentes. e) Sim. vista superior f) Não, porque, dependendo das medidas dos ân- gulos da base ou dos outros lados, pode-se cons- 15 a) F b) V c) V d) F e) V truir triângulos diferentes. 11 É preciso saber a largura da faixa preta e a medida ■ CAPÍTULO 12 – CÍRCULO E CILINDRO do lado do quadrado. (Se o tamanho da figura puder variar, basta saber a largura da faixa em fun- Perímetro e área do círculo ção da medida do lado do quadrado.) 1 a) 31,4 cm b) 78,5 cm2 Desenhando em 3D 2 10 914,64 km 12 Exemplo de solução: 3 a) Construção pessoal. b) 257 cm2, aproximadamente. c) e d) Respostas pessoais. 4 a) x = 1 b) x ≈ 16 cm c) x ≈ 16 m d) Não 2π Volume do cilindro 5 Na figura I, pois o lado maior do retângulo é igual h ao perímetro do círculo da base. F 13 Exemplo de solução: 6 a) F b) V c) F d) V 7 Aproximadamente 16 m. 8 cilindro de altura 1 m: volume = 1 m3 ≈ 0,32 m3 π cilindro de altura 2 m: volume = 1 m3 ≈ 0,16 m3 2π ■ CAPÍTULO 13 – CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS h F Conjuntos 14 Exemplo de solução: 1 a) F b) V c) F d) V a) e) V f) F g) F vista superior F1 F2 2 a) x = 24 b) x = 12 c) x = 6 d) x = 0 e) x = 6 f) x = 30 3 ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} 4 a) 0, 30, 60, 90, 120 b) 0, 5, 10, 15, 20 c) 0, 30, 60, 90, 120 d) 0, 6, 10, 12, 18 vista lateral vista frontal 5 a) 10 b) 2 c) 9 d) 0 110
  • 10. 6 a) I D 15 A C B –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 Em A há 3 números inteiros; em B não há nenhum e em C há 2. b) Não. c) Sim. 17 a) V b) V c) F 7 24 elementos. d) F e) F f) V Conjuntos numéricos ■ CAPÍTULO 14 – TÉCNICA ALGÉBRICA 8 Produtos notáveis e fatoração Q I Z 1 a) (40 – 3)(40 + 3) = 1 600 – 9 = 1 591 R b) (40 + 2)2 = 1 600 + 2 ⋅ 40 ⋅ 2 + 4 = 1 764 c) (500 + 2)(500 – 2) = 250 000 – 4 = 249 996 N d) 1 000 000 – 2 ⋅ 1 000 ⋅ 2 + 4 = 996 004 2 a) x2 + 8x + 16 9 a) 0 ∈ N, 0 ∈ Z, 0 ∈ Q, 0 ∈ R. b) 25x2 – 20x + 4 b) Pertencem a N, Z, Q, R. (Não esquecer que N c) a2 – 25x2 está contido nos outros três.) d) m2x2 + 2mxnd + n2d2 c) Esses números pertencem a Q (e portanto a R), e) a4 – b 2 podendo pertencer a N. f) 25a2x2 – 1 d) π ∈ I e portanto π ∈ R. 3 a) x3 + 15x2 + 75x + 125 10 a) 28 b) – 1 = 125 b) x3 + 15x2 + 75x + 125 9 8 1 000 c) 4x – 2 c) 60 = 20 d) – 4 137 d) 2xy – 2y2 99 33 1 000 11 a) (I) x = 5 ou x = – 5 4 a) 3 – 3 b) 6 –2 2 (II) Não existe solução. 5 a) (x2 + 4)(x + 2)(x – 2) (III) x = 7 + 5 ou x = 7 – 5 b) 3x(4x2 – 2x + 3) 2 2 (IV) Não existe solução. c) 3(2x + 1)(2x – 1) d) 2(2a + 3b)2 b) Em (I) e (III). c) (II) e (IV). Equações fracionárias 12 a) Sim. b) Não. c) Não. d) Sim. 6 a) x = ± 2 b) x = 20 Reta numérica c) x = 2 ou x = – 1 d) x = – 3 2 4 13 a) C b) E c) D e) x = 3; o número 2 não pode ser solução. d) A e) A f) B 7 x = 2 e y = 6 ou x = 16 e y = – 8 14 a) – 13 b) 15 4 7 8 Resolvendo a equação 60 000 + 1 000 = 60 000 x x–3 c) 91 d) – 314 = – 157 obtemos x = 15 produtos. 5 100 50 9 x = 2 e y = 4 ou x = 4 e y = 2 3 3 3 3 ASSESSORIA PEDAGÓGICA 111