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AULA 3

                              MECÂNICA
  VETORES
  1- INTRODUÇÃO

    Na Física usamos dois grupos de grandezas: as grandezas escalares e as
grandezas vetoriais. São escalares as grandezas que ficam caracterizadas com
os seus valores numéricos e suas respectivas unidades. São vetoriais as
grandezas que se caracterizam com a indicação de seus valores numéricos, suas
unidades e suas orientações (direção e sentido).
   Algumas grandezas serão estudadas em dois momentos: num primeiro
momento, não devemos nos preocupar com suas orientações, portanto, neste
momento elas farão parte do grupo das grandezas escalares. Já num segundo
momento, onde as orientações serão relevantes, elas farão parte do grupo das
grandezas vetoriais. Podemos citar como exemplo de grandezas que serão
estudadas nos dois aspectos, a velocidade e a aceleração
   Estudaremos a seguir as grandezas vetoriais

  2- ORIENTAÇÃO.

   A orientação de uma grandeza consiste na indicação de sua direção e seu
sentido. Para que você não confunda direção e sentido, observe o exemplo abaixo.

             s


             r
   As retas r e s são paralelas indicando então que elas têm a mesma direção
(direção horizontal). Observe que os sentidos são indicados sobre a direção (direita
ou esquerda) indicando então que r e s têm sentidos opostos.


  3- VETOR.

   O vetor reúne três características: módulo, direção e sentido.
A grandeza vetorial será representada geometricamente por um vetor. O vetor é
um segmento de reta orientado (direção e sentido). A orientação de tal segmento
será a mesma orientação da grandeza que ele representa e a sua dimensão será
proporcional ao módulo da grandeza vetorial.
V
                       m m m m
                   A          B
   este vetor pode ser representado assim:
   V = AB = (B - A)
                           origem
                             extremidade


o módulo deste vetor pode ser representado,assim: V = V = 4 m



  4- ADIÇÃO DE VETORES

      Para somar vetores, podemos utilizar dois métodos: o método do
paralelogramo (para a soma de dois vetores) e o método polígono (para a soma de
vários vetores).

     4.1- MÉTODO DO PARALELOGRAMO.
                                              r     r
      Vamos somar as grandezas vetoriais      a  e   b , usando o método do
paralelogramo. Observe que o vetor resultante terá seu módulo determinado pela
lei dos co-senos.


               a
                                 R
               q
                       b
          2        2         2
      R       = a + b + 2. a.b . cos q

                       2            2
      R =          a       + b          + 2. a.b . cos q
RESULTANTE MÁXIMA.

  - A resultante será máxima se o cosq for máximo (cosq = 1).

  q = 0° fi cos 0° = 1 :
      a                                      2           2
                           R máx =       a + b + 2. a . b
    b
   b           a                                             2
                           R máx =       Êa + bˆ fi
                                         Á
                                         Ë
                                               ˜
                                               ¯                     R máx = a + b
           R

  q = 180º fi cos 180° = -1 :
   b               a                             2       2
                              R mín =        a + b - 2.a.b
    b      a                  R mín =        (a - b ) fi  2

                                                                     R         = a- b
                                                                         mín
            R


   è = 90° fi cos 90° = 0
                                                     2           2
                                     R =             a +b
   b
                       R                 2           2           2
                                     R       = a + b (Pitágoras)
                       a

  4.2- MÉTODO DO POLÍGONO

   O método do polígono é usado para somar mais de dois vetores. O método
consiste em ligar a extremidade do primeiro vetor na origem do segundo a
extremidade do segundo na origem do terceiro e este procedimento segue até o
último vetor. O vetor resultante é um vetor que deverá ser construído por nós,
ligando a origem do primeiro com a extremidade do último vetor. Veja o
exemplo a seguir.
b
                      b
   a                                        a
                                        c                             e
                           d
        e
                                                     R                    c



   R = a+b+e+c

  5- VETOR OPOSTO.

   Imagine dois vetores com a mesma direção, sentidos opostos e com as mesmas
dimensões. Neste caso podemos dizer que um é o oposto do outro. Observe o
exemplo:


                  Y

                  Z
  Observe que o vetor     Z é oposto ao vetor YO que na verdade significa dizer
                                              .
que:



                                Z = (-1).Y

  6- DIFERENÇA DE VETORES.

  A diferença entre dois vetores (a e   b), é   na verdade a soma do vetor   a   com o
  oposto

  do vetor   b.
D = a - b, mas D = a + (-b)

                                                                           a
             a              b
                                    fi                 D          ou         q       D

                                                b          a                b


                                2       2
                 D =        a + b - 2. a.b . cos q


   7- COMPONENTES PERPENDICULARES DE UM VETOR.

    As componentes perpendiculares de um vetor, são projeções deste vetor em duas
direções perpendiculares não coincidentes com a direção dele.


         Y
                                a
                                                    ay = a. cos b ou ay = a.senq
    ay
             b
                 q                          X       ax = a. cos q ou ax = a.senb

                       ax
   8- VERSOR.

   O versor é um vetor unitário (módulo 1) que nós usamos para indicar direção e
   sentido.

                                b                           Expressões :

         a                                                  a = 1x + 2y
                                                      c
                                                            b = 3x
                                                            c = -2y
                 e                  d
                                                            d = -2x - 2y
  y
                                                            e = 2x - 3y
         x
EXERCÍCIOS

  1. (FATEC) – Duas forças têm intensidades F1 = 10N e F2 = 15N. O modulo da
     resultante             não pode ser:
  a) 4N    b) 10N   c) 15N    d) 20N    e) 25N




                                          r    r
  2. (ESAM-SP) – Duas forças constantes, F1 e F2 , de intensidades F1 = 6,0N e F2 =
  8,0N formam, entre si, um angulo de 60º. Qual o valor aproximado da
  intensidade da r      r
  resultante entre F1 e F2 ?
                    3            1
  Dados: sen60° =     e cos60° =
                    2            2


  3. (MACKENZIE – SP) - Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se o
  hexágono regular abaixo.
                    r
                    V2               r
   r                                 V3
   V1


  r                                  r
  V4                                 V6
                    r
                    V5
  O módulo do vetor resultante desses seis vetores é igual a:
  a) 64u   b) 32u    c) 16u    d) 8u   e) zero


4. (ALFENAS – MG) – Um móvel entra numa curva, em um ponto A, com velocidade
de módulo 3,0m/s. Ao sair da curva, em um ponto B, sua velocidade tem módulo
de 4,0m/s e uma direção que faz um ângulo de 60º com a direção de velocidade no
ponto A. Calcule o módulo da variação da velocidade vetorial entre os pontos A e B.
r
                           VA

          A                          60°
                           B               r
                                           VB




                                      r    r      r         r
5. (UFOP –MG) – Os módulos das forças F1 e F2 são F1 = 3N e F2 = 5N . Então é
sempre verdade que:
     r    r
I)   F1 - F2 = 2N
            r  r
II) 2N £ F1 - F2 £ 8N
     r    r
III) F1 + F2 = 8N
             r  r
IV) 2N £ F1 + F2 £ 8N

Marque a alternativa correta.
  a) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
  b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras.
  c) apenas (II) e (III) são verdadeiras.
  d) apenas (I) e (IV) são verdadeiras.
  e) nenhuma sentença é sempre verdadeira.


6. (VUNESP) – No ensino médio, as grandezas físicas costumam ser classificadas
em duas categorias. Na primeira categoria, estão as grandezas definidas apenas
por um numero e uma unidade de medida; as grandezas da segunda categoria
requerem, além disso, o conhecimento de sua direção e de seu sentido.
a) Como são denominadas as duas categorias, na seqüência apresentada?
b) Preencha corretamente as lacunas, indicando uma grandeza física da área de
mecânica e outra da área de eletricidade, para cada uma dessas categorias.

área            1ª categoria                 2º categoria
mecânica       ...................   ...................
eletricidade   ...................   ...................


7 . (UELON – PR) – São grandezas vetoriais a:
a) energia cinética e a corrente elétrica.
b) corrente elétrica e o campo elétrico.
c) força e o calor.
d) aceleração e o trabalho.
e) aceleração e o campo elétrico.


8. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Os quatro vetores, cada um de módulo V,
representados na figura, tem soma vetorial de modulo:
r
                                      V1

a) zero                   r                   r
                          V4                  V2
b) V
c) 3.V
d) 2.V                                r
e) 4.V                                V3



                                               r r r r r
9. (MACKENZIE-SP) – A figura mostra os vetores r , s, t, u, v . O resultado da
         r r r
operação v - t + u é o vetor:
     r              r
     r              s

              r
              t
          r                r
          v                u


   r                  r               r r             r r        r r
a) r              b) 2u            c) r + s        d) t + u   e) r + u


10. (CEFET-PR) – Considere os vetores representados na figura que se segue.
Dentre as alternativas fornecidas, é possível afirmar que é correta a expressão:
                           r
                           B
                   r
     r             D           r
     A                         C


                                                       2cm

                                              2cm
     r r
a)   A + B = 22cm
     r
b)   C = 4cm
     r r
c)   B - D = 6cm
     r r r
d)   A + B + C = 10cm
     r   r
e)   B - C = 5cm
RESPOSTAS

1. ALTERNATIVA A

FR min = 15 - 10 = 5N e FR máx = 15 + 10 = 25N
A resultante deve estar entre 5N e 25N, então, não pode ser 4N

2. FR @ 12N
      2    2                                                                               1
FR = F1 + F2 + 2.F1.F2 . cos q fi FR =   6 2 + 82 + 2.6.8. cos 60° fi FR =   36 + 64 + 96.
                                                                                           2

FR = 148 fi FR @ 12N


3. ALTERNATIVA B

                     r
                     V2                 r
   r                                    V3
   V1
                     r                                                     r
                                                   r                       VR = 32u
                     VR1          60°              VR1 = 16u
     60°
     4u              8u           4u
                      r                             r
                     VR 2                           VR 2 = 16u
  r                                     r
  V4                                    V6
                      r
                      V5

4. DV =   13 m / s
1
DV =    VA + VB - 2.VA .VB . cos q fi DV = 32 + 42 - 2.3.4. cos 60° fi DV =
         2    2
                                                                            9 + 25 - 24.
                                                                                           2

DV = 13 m / s

5. ALTERNATIVA B

6. a) 1ª grandezas escalares e 2ª grandezas vetoriais

  b)
       área         1ª categoria                     2ª categoria
       mecânica massa                                força
       eletricidade intensidade de corrente eletrica força eletrostática

7. ALTERNATIVA E

8. ALTERNATIVA A

9. ALTERNATIVA B                 r
                                -t
   r            r
   r            s               r               r      r    r r r
                                v               v + (- t) = v - t = u fi     r r r        r
                                                                            v - t + u = 2u
            r               fi
            t
        r               r
        v               u


10. ALTERNATIVA D
            r
            B

  r    r            r
  A                 C
       R
                6
                                          2cm
            8
                                    2cm
Por Pitagoras, temos :
R 2 = 6 2 + 82 fi R 2 = 36 + 64 fi R 2 = 100 fi R = 100 fi R = 10cm

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Vetores: propriedades e cálculos

  • 1. AULA 3 MECÂNICA VETORES 1- INTRODUÇÃO Na Física usamos dois grupos de grandezas: as grandezas escalares e as grandezas vetoriais. São escalares as grandezas que ficam caracterizadas com os seus valores numéricos e suas respectivas unidades. São vetoriais as grandezas que se caracterizam com a indicação de seus valores numéricos, suas unidades e suas orientações (direção e sentido). Algumas grandezas serão estudadas em dois momentos: num primeiro momento, não devemos nos preocupar com suas orientações, portanto, neste momento elas farão parte do grupo das grandezas escalares. Já num segundo momento, onde as orientações serão relevantes, elas farão parte do grupo das grandezas vetoriais. Podemos citar como exemplo de grandezas que serão estudadas nos dois aspectos, a velocidade e a aceleração Estudaremos a seguir as grandezas vetoriais 2- ORIENTAÇÃO. A orientação de uma grandeza consiste na indicação de sua direção e seu sentido. Para que você não confunda direção e sentido, observe o exemplo abaixo. s r As retas r e s são paralelas indicando então que elas têm a mesma direção (direção horizontal). Observe que os sentidos são indicados sobre a direção (direita ou esquerda) indicando então que r e s têm sentidos opostos. 3- VETOR. O vetor reúne três características: módulo, direção e sentido. A grandeza vetorial será representada geometricamente por um vetor. O vetor é um segmento de reta orientado (direção e sentido). A orientação de tal segmento será a mesma orientação da grandeza que ele representa e a sua dimensão será proporcional ao módulo da grandeza vetorial.
  • 2. V m m m m A B este vetor pode ser representado assim: V = AB = (B - A) origem extremidade o módulo deste vetor pode ser representado,assim: V = V = 4 m 4- ADIÇÃO DE VETORES Para somar vetores, podemos utilizar dois métodos: o método do paralelogramo (para a soma de dois vetores) e o método polígono (para a soma de vários vetores). 4.1- MÉTODO DO PARALELOGRAMO. r r Vamos somar as grandezas vetoriais a e b , usando o método do paralelogramo. Observe que o vetor resultante terá seu módulo determinado pela lei dos co-senos. a R q b 2 2 2 R = a + b + 2. a.b . cos q 2 2 R = a + b + 2. a.b . cos q
  • 3. RESULTANTE MÁXIMA. - A resultante será máxima se o cosq for máximo (cosq = 1). q = 0° fi cos 0° = 1 : a 2 2 R máx = a + b + 2. a . b b b a 2 R máx = Êa + bˆ fi Á Ë ˜ ¯ R máx = a + b R q = 180º fi cos 180° = -1 : b a 2 2 R mín = a + b - 2.a.b b a R mín = (a - b ) fi 2 R = a- b mín R è = 90° fi cos 90° = 0 2 2 R = a +b b R 2 2 2 R = a + b (Pitágoras) a 4.2- MÉTODO DO POLÍGONO O método do polígono é usado para somar mais de dois vetores. O método consiste em ligar a extremidade do primeiro vetor na origem do segundo a extremidade do segundo na origem do terceiro e este procedimento segue até o último vetor. O vetor resultante é um vetor que deverá ser construído por nós, ligando a origem do primeiro com a extremidade do último vetor. Veja o exemplo a seguir.
  • 4. b b a a c e d e R c R = a+b+e+c 5- VETOR OPOSTO. Imagine dois vetores com a mesma direção, sentidos opostos e com as mesmas dimensões. Neste caso podemos dizer que um é o oposto do outro. Observe o exemplo: Y Z Observe que o vetor Z é oposto ao vetor YO que na verdade significa dizer . que: Z = (-1).Y 6- DIFERENÇA DE VETORES. A diferença entre dois vetores (a e b), é na verdade a soma do vetor a com o oposto do vetor b.
  • 5. D = a - b, mas D = a + (-b) a a b fi D ou q D b a b 2 2 D = a + b - 2. a.b . cos q 7- COMPONENTES PERPENDICULARES DE UM VETOR. As componentes perpendiculares de um vetor, são projeções deste vetor em duas direções perpendiculares não coincidentes com a direção dele. Y a ay = a. cos b ou ay = a.senq ay b q X ax = a. cos q ou ax = a.senb ax 8- VERSOR. O versor é um vetor unitário (módulo 1) que nós usamos para indicar direção e sentido. b Expressões : a a = 1x + 2y c b = 3x c = -2y e d d = -2x - 2y y e = 2x - 3y x
  • 6. EXERCÍCIOS 1. (FATEC) – Duas forças têm intensidades F1 = 10N e F2 = 15N. O modulo da resultante não pode ser: a) 4N b) 10N c) 15N d) 20N e) 25N r r 2. (ESAM-SP) – Duas forças constantes, F1 e F2 , de intensidades F1 = 6,0N e F2 = 8,0N formam, entre si, um angulo de 60º. Qual o valor aproximado da intensidade da r r resultante entre F1 e F2 ? 3 1 Dados: sen60° = e cos60° = 2 2 3. (MACKENZIE – SP) - Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular abaixo. r V2 r r V3 V1 r r V4 V6 r V5 O módulo do vetor resultante desses seis vetores é igual a: a) 64u b) 32u c) 16u d) 8u e) zero 4. (ALFENAS – MG) – Um móvel entra numa curva, em um ponto A, com velocidade de módulo 3,0m/s. Ao sair da curva, em um ponto B, sua velocidade tem módulo de 4,0m/s e uma direção que faz um ângulo de 60º com a direção de velocidade no ponto A. Calcule o módulo da variação da velocidade vetorial entre os pontos A e B.
  • 7. r VA A 60° B r VB r r r r 5. (UFOP –MG) – Os módulos das forças F1 e F2 são F1 = 3N e F2 = 5N . Então é sempre verdade que: r r I) F1 - F2 = 2N r r II) 2N £ F1 - F2 £ 8N r r III) F1 + F2 = 8N r r IV) 2N £ F1 + F2 £ 8N Marque a alternativa correta. a) apenas (I) e (III) são verdadeiras. b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras. c) apenas (II) e (III) são verdadeiras. d) apenas (I) e (IV) são verdadeiras. e) nenhuma sentença é sempre verdadeira. 6. (VUNESP) – No ensino médio, as grandezas físicas costumam ser classificadas em duas categorias. Na primeira categoria, estão as grandezas definidas apenas por um numero e uma unidade de medida; as grandezas da segunda categoria requerem, além disso, o conhecimento de sua direção e de seu sentido. a) Como são denominadas as duas categorias, na seqüência apresentada? b) Preencha corretamente as lacunas, indicando uma grandeza física da área de mecânica e outra da área de eletricidade, para cada uma dessas categorias. área 1ª categoria 2º categoria mecânica ................... ................... eletricidade ................... ................... 7 . (UELON – PR) – São grandezas vetoriais a: a) energia cinética e a corrente elétrica. b) corrente elétrica e o campo elétrico. c) força e o calor. d) aceleração e o trabalho. e) aceleração e o campo elétrico. 8. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Os quatro vetores, cada um de módulo V, representados na figura, tem soma vetorial de modulo:
  • 8. r V1 a) zero r r V4 V2 b) V c) 3.V d) 2.V r e) 4.V V3 r r r r r 9. (MACKENZIE-SP) – A figura mostra os vetores r , s, t, u, v . O resultado da r r r operação v - t + u é o vetor: r r r s r t r r v u r r r r r r r r a) r b) 2u c) r + s d) t + u e) r + u 10. (CEFET-PR) – Considere os vetores representados na figura que se segue. Dentre as alternativas fornecidas, é possível afirmar que é correta a expressão: r B r r D r A C 2cm 2cm r r a) A + B = 22cm r b) C = 4cm r r c) B - D = 6cm r r r d) A + B + C = 10cm r r e) B - C = 5cm
  • 9. RESPOSTAS 1. ALTERNATIVA A FR min = 15 - 10 = 5N e FR máx = 15 + 10 = 25N A resultante deve estar entre 5N e 25N, então, não pode ser 4N 2. FR @ 12N 2 2 1 FR = F1 + F2 + 2.F1.F2 . cos q fi FR = 6 2 + 82 + 2.6.8. cos 60° fi FR = 36 + 64 + 96. 2 FR = 148 fi FR @ 12N 3. ALTERNATIVA B r V2 r r V3 V1 r r r VR = 32u VR1 60° VR1 = 16u 60° 4u 8u 4u r r VR 2 VR 2 = 16u r r V4 V6 r V5 4. DV = 13 m / s
  • 10. 1 DV = VA + VB - 2.VA .VB . cos q fi DV = 32 + 42 - 2.3.4. cos 60° fi DV = 2 2 9 + 25 - 24. 2 DV = 13 m / s 5. ALTERNATIVA B 6. a) 1ª grandezas escalares e 2ª grandezas vetoriais b) área 1ª categoria 2ª categoria mecânica massa força eletricidade intensidade de corrente eletrica força eletrostática 7. ALTERNATIVA E 8. ALTERNATIVA A 9. ALTERNATIVA B r -t r r r s r r r r r r v v + (- t) = v - t = u fi r r r r v - t + u = 2u r fi t r r v u 10. ALTERNATIVA D r B r r r A C R 6 2cm 8 2cm Por Pitagoras, temos : R 2 = 6 2 + 82 fi R 2 = 36 + 64 fi R 2 = 100 fi R = 100 fi R = 10cm