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  1. 1. MECÂNICA CLÁSSICA – NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL 1.1 – VETORES E ESCALARES Algumas grandezas físicas ficam completa- mente definida quando informamos um número e uma unidade. Quando dizemos que a temperatura de uma pessoa é 37ºC a informação está completa. A temperatura é uma grandeza escalar. Se dissermos que a velocidade de um automóvel é de 50km/h não definimos completa-mente a informação. Não foi dito em que direção e sentido esse corpo se movimentava. A necessidade dessa informação complementar - direção e sentido - caracteriza a velocidade como um vetor. Os vetores são representados por setas, e costuma-se representar um vetor com módulo maior que outro por uma seta de tamanho maior. Usamos basicamente de dois modos de representar os vetores, o método geométrico e o método analítico. 1.2 – TRIÂNGULO RETÂNGULO Vamos considerar um triângulo retângulo com hipotenusa a e catetos b e c respectiva-mente. O teorema de Pitágoras diz que: 222 cba  As funções seno e cosseno são definidas como:   sen a b a c sen   cos cos Do Teorema de Pitágoras, temos: c b sentg g b csen tg sen            cos1 cot cos 1cos22 1.3 – VETOR Vetor é uma grandeza física que tem módulo ou valor absoluto, direção e sentido, tais como deslocamento, velocidade força e aceleração. Vamos representar os vetores como: 1.4 – SOMA DE VETORES Quando a análise do problema envolve dois ou mais vetores, podemos calculara o vetor resultante (ou a soma vetorial). Para isso, existem duas regras: a) Regra do paralelogramo: utilizada para dois vetores. b) Regra do polígono fechado: para efetuarmos a soma vetorial escolhemos um dos vetores como ponto de partida e traçamos os vetores seguintes, colocando a origem do 2º vetor coincidindo com a extremidade do 1º e, assim, sucessivamente, até traçarmos todos os vetores. O vetor soma ( S  ) ou resultante (R  ) é determinado pela origem do 1º vetor e pela extremidade do último vetor traçado. 1.5 – SUBTRAÇÃO DE VETORES Dados dois vetores a e b , define-se a diferença )( babad  , onde b é o vetor oposto a b . 1 FísicaProf.AlexandreSchmitz 1 Mecânica Clássica
  2. 2. Regra do paralelogramo: cos222 abbad  1.6 – PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM VETOR Vamos considerar um sistema de coordenadas bidimensional, definido pelos eixos x e y, como mostrados na figura ao lado. O vetor a tem componentes cartesianas ax e ay que tem a forma:   senaa aa y x . cos.   Uma maneira de representar vetores é através de suas componentes num dado sistema de coordenadas, como foi antecipado na figura anterior. Desse modo:   jaiaa yx Onde  i e  j são vetores unitários que apontam nas direções dos eixos x e y respectivamente e têm módulos iguais a um. 1 ji Podemos definir a soma de dois vetores como:   jAiAA yx e   jBiBB yx , consideremos a soma   BAC , tal que:       jCiCjBAiBAC yxyyxx yyy xxx BAC BAC   1.7 – MULTIPLICAÇÃO DE VETORES As operações com vetores são utilizadas de maneira muito ampla na Física, para expressar as relações que existem entre as diversas grandezas. 1º CASO: multiplicação de um escalar por um vetor. Sejam dois vetores  a e  b e um escalar k. Definimos a multiplicação mencionada como:   akb . 2º CASO: produto escalar. Define-se o produto escalar de dois vetores  a e  b como a operação: cos..baba   onde φ é o ângulo formado pelos dois vetores. Podemos dizer que o produto escalar de dois vetores é igual ao módulo do primeiro vezes a componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro, ou vice-versa. Isso se pode resumir na propriedade:   abba Uma aplicação do produto escalar é a definição de trabalho W executado por uma força constante que atua ao longo de um percurso d: cos..dFdFW   3º CASO: produto vetorial. Define-se o produto vetorial de dois vetores  a e  b como a operação:   bac Onde o módulo é dado por: senbac .. Onde  c é um vetor perpendicular ao plano defino pelos vetores  a e  b e φ é o ângulo formado por esses dois últimos dois vetores. Uma aplicação do produto vetorial é a definição da força  F que atua em uma carga elétrica 2 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.
  3. 3. q que penetra com velocidade  v numa região que existe um campo magnético  B :   BvqF Onde em módulo senbvqF ... Usando as propriedades de matrizes, encontramos que o produto vetorial pode ser expresso como o determinante da matriz definida a seguir: EXERCÍCIOS 01 - Considere as seguintes grandezas físicas mecânicas: TEMPO, MASSA, FORÇA, VELOCIDADE e TRABALHO. Dentre elas, têm caráter vetorial apenas a) força e velocidade. b) massa e força. c) tempo e massa. d) velocidade e trabalho. e) tempo e trabalho. 02 – Dados os vetores A, B e C, representados na figura em que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 03 – Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero 04 - Num bairro, onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas distam 100m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada no esquema a seguir. O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, em metros, igual a: a) 300 b) 350 c) 400 d) 500 e) 700 05 - Na figura são dados os vetores , e : Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor tem módulo: a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima. b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo. c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita. d) ( u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido horário. e) ( )u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido anti-horário. 06 - Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário indicado pelos vetores deslocamentos d1 e d2 ilustrados na figura. Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e para a segunda entrega, percorreu uma distância de 6 km. Ao final da segunda entrega a distância a que o caminhoneiro se encontra do ponto de partida é: a) 4 km. b) 8 km. c) 19 km. d) 8 km. e) 16 km. 07 – Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta. 3Mecânica Clássica
  4. 4. a) CB + CD + DE = BA + EA b) BA + EA + CB = DE + CD c) EA - DE + CB = BA + CD d) EA - CB + DE = BA - CD e) BA - DE - CB = EA + CD 08 - Um gancho é puxado pela força , conforme a figura. Dados: F = 50 N, sen θ = 0,8 e cos θ = 0,6 A componente de na direção do eixo x vale: a) 30 N. b) 37,5 N. c) 40 N. d) 48 N. e) 50 N. 09 - A soma dos módulos de dois vetores é 23, e a diferença entre os módulos é 9. Qual das alternativas abaixo representa um possível valor para o módulo do vetor soma desses dois vetores? a) zero b) 5 c) 7 d) 10 e) 35 10 - M e N são vetores de módulos iguais (|M|=|N|= M). O vetor M é fixo e o vetor N pode girar em torno do ponto O (veja figura) no plano formado por M e N. Sendo R = M + N, indique, entre os gráficos abaixo, aquele que pode representar a variação de |R| como função do ângulo θ entre M e N. 11 - Um paciente é submetido a uma tração conforme indicada na figura, onde as roldanas P e R e o ponto de apoio Q no queixo estão no mesmo plano horizontal. Nessas condições, pode-se afirmar que a intensidade da força resultante, aplicada no queixo do paciente, vale aproximadamente: a) 12 kgf b) 22 kgf c) 32 kgf d) 42 kgf e) 52 kgf 12 – Com respeito ao polígono orientado abaixo, fechado em forma de hexágono: 13 - Analisando a figura a seguir, pode-se afirmar: 4 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.
  5. 5. 14 - A figura apresenta uma “árvore vetorial” cuja resultante da soma de todos os vetores representados tem módulo, em cm, igual a: a) 8 b) 26 c) 34 d) 40 e) 52 15 - Dois vetores têm a mesma direção, sentidos opostos e módulos 3 e 4, respectivamente. A diferença entre estes vetores tem módulo igual a: a) 1 b) 5 c) 7 d) 12 e) 6 16 - Uma partícula é submetida à ação de duas forças, uma de 60 N e a outra de 80 N. Sobre o módulo da força resultante sobre essa partícula, pode-se afirmar que será: a) de 140 N, necessariamente. b) de 20 N em qualquer situação. c) de 100 N se as forças forem perpendiculares entre si. d) obrigatoriamente diferente de 80 N. 17 – A figura mostra 5 forças representadas por vetores de origem comum, dirigindo-se aos vértices de um hexágono regular. Sendo 10 N o módulo da força , a intensidade da resultante dessas 5 forças é: a) 50 N b) 45 N c) 40 N d) 35 N e) 30 N 18 – As forças , e , cujas intensidades são, respectivamente, 2,0 N, 6,0 N e 3,0 N, têm direções coincidentes com as arestas de um bloco retangular, conforme esquema abaixo. A intensidade da resultante dessas três forças vale, em newtons, a) 3,7 b) 5,5 c) 7,0 d) 9,3 e) 11,0 19 – A equação que descreve o diagrama vetorial abaixo é: 20 – Na figura abaixo estão representados os vetores , e e os vetores e . Assinale a expressão errada: 21 – A soma de dois vetores cujos módulos são 12 e 18 tem certamente o módulo compreendido entre: a) 29 e 31 b) 12 e 18 c) 6 e 18 d) 6 e 30 e) 12 e 30 22 - Com base nesta representação de vetores, podemos afirmar que é correto escrever: 23 – Sobre a composição dos vetores abaixo, podemos dizer: 5Mecânica Clássica
  6. 6. 24 - (EEAR) Uma força de intensidade igual a N foi decomposta em duas componentes ortogonais, de modo que a intensidade de uma é o triplo da outra. Qual é, em newtons, a intensidade de cada componente? a) 3 e 9 b) 9 e 27 c) 10 e 30 d) 81 e 243 25 – (EEAR) Dado os vetores , e dispostos no diagrama da figura, o comprimento, em cm, do vetor resultante da operação , é de: a) b) c) 4 d) 5 GABARITO 01) A 02) A 03) B 04) D 05) B 06) C 07) D 08) A 09) D 10) B 11) E 12) C 13) E 14) C 15) C 16) C 17) E 18) C 19) C 20) D 21) D 22) D 23) C 24) D 25) D – 1.1– CINEMÁTICA É a parte da Mecânica que descreve os movimentos. Mas ela não estabelece relações com suas causas. 1.2– MÓVEL O foco de concentração dos estudos da Cinemática é o móvel. Ele é, portanto, o corpo cujo movimento é descrito. De acordo com as dimensões envolvidas em um fenômeno cinemático, o móvel é classificado em: a) Ponto material: corpo de dimensões desprezíveis dentro do fenômeno como um todo: é também chamado de partícula. Exemplo: aeronave sobrevoando o oceano Atlântico, de Londres a Nova York. b) Corpo extenso: corpo cujas dimensões não podem ser desprezadas no fenômeno, pois interferem nos valores das grandezas medidas. Exemplo: automóvel sendo manobrado numa garagem. 1.3– ESPAÇO OU POSIÇÃO (s) Sempre que precisar localizar certo corpo, uma pessoa deve estar habituada a determinar a distância que separa o referido corpo de algo que seja tomado como referência. Concluindo, a posição de um automóvel tem um valor relativo, pois ela depende do ponto ou reta de referência utilizada. ⤇ Trajetória: conjunto de todas as posições que podem ser ocupadas por um móvel durante seu movimento. Exemplo: uma composição do metrô, à medida que se desloca, descreve um movimento ao longo de uma trajetória. (Figura 1.1) ⤇ Espaço (s): valor algébrico da distância medida sobre a trajetória entre o móvel e a origem (O) dos espaços. O ponto O é o ponto de referência. Exemplo: na figura 1.1, teremos as seguintes posições: SA = 0 km; SB = 1 km; SC = 2 km ou SF = 7 km 1.4– MOVIMENTO E REPOUSO Um corpo ou sistema físico que sirva como referência para o posicionamento de móveis recebe o nome de referencial ou sistema de referência. Uma vez escolhido o referencial, é possível definir se há movimento ou repouso. 6 FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA2 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.
  7. 7. Dizemos que um corpo está em movimento quando sua posição muda, com o passar do tempo, em relação a um referencial adotado. Dizemos que um corpo está em repouso quando sua posição se mantém, com o passar do tempo, em relação a um referencial adotado. Os conceitos de movimento, repouso, bem como o conceito de trajetória são relativos, dependem do referencial adotado. Exemplo: um objeto pode estar, simultaneamente, em movimento em relação a um referencial e em repouso em relação a outro referencial. Essa situação se aplica à lâmpada L, da figura a seguir: Observações: toda vez que afirmamos que um corpo está em movimento ou em repouso, sem dizer explicitamente qual é o referencial, estaremos considerando um referencial fixo na superfície da Terra. 1.5– AXIOMAS FUNDAMENTAIS Axioma 1 – “As dimensões lineares de um corpo são as mesmas qualquer que seja o referencial adotado.” Axioma 2 – “A duração de um evento é a mesma qualquer que seja o referencial adotado.” Os axiomas acima são válidos apenas na Mecânica Clássica. 1.6– DESLOCAMENTO ESCALAR A variação de o espaço escalar ou deslocamento escalar indica numericamente a diferença algébrica entre os espaços de chegada e de partida. Δs = s – s0 O conceito de deslocamento é diferente do conceito de distância efetivamente percorrida (d). Atenção! s: indica a posição sobre a trajetória; Δs: indica a diferença entre duas posições; D: indica quanto que o móvel percorreu 1.7– VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA Seja Δs a variação de espaço de um ponto material, num intervalo de tempo Δt. Defini-se velocidade escalar média , no intervalo de tempo considerado como: Unidades de velocidade: SI (MKS): m/s Unidades práticas: km/h; cm/s; m/min etc 1.8– VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA A velocidade escalar média nos dá uma idéia geral do movimento. Para sabermos o que aconteceu em cada instante devemos definir a velocidade escalar instantânea. Esta pode ser entendida como uma velocidade escalar média para um intervalo de tempo muito pequeno, isto é, Δt → 0. Quando Δt → 0, Δs também tende para zero, mas o quociente Δs/Δt tende a um valor limite que é a velocidade instantânea. Cada função matemática tem a sua derivada específica. Para o estudo da Cinemática, no ensino médio, tem grande importância a derivada de uma função polinomial, a qual é calculada de acordo com a técnica descrita a seguir: 2.9– NOÇÕES BÁSICAS DE DERIVADA DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 1º) Derivada da função constante Dada a função f(x) = c, c IR, temos: 0)('  xf dx df Ex.: f(x) = 6 → 0)(' xf 2º) Derivada da função potência Dada a função f (x) = x n , * INn , temos: 7Mecânica Clássica
  8. 8. 1' .)(   n xnxf dx df Ex.: a) f(x) = x 6 → 5' 6)( xxf  b) f(x) = 3x 4 +2x 3 +1 → 23' 612)( xxxf  3º) Derivada da função seno Dada a função f(x) = sen x, temos: xxf dx df cos)('  4º) Derivada da função cosseno Dada a função f(x) = cos x, temos: senxxf dx df  )(' EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01 - A equação horária do espaço de um móvel é )(65 3 SIts  . Determine a velocidade no instante t = 2 s. 02 - Determine as equações horárias da velocidade nos movimentos cujas equações horárias do espaço são dadas abaixo: a) 125 23  ttts b) 452 2  tts c) ts 47 03 - Sendo 2 55 tts  , a equação horária do espaço, em unidades do SI, pede-se o instante em que a velocidade se anula. 2.10– ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA Define-se aceleração escalar média am, no intervalo de tempo Δt, como sendo o quociente entre a variação de velocidade Δv e o correspondente intervalo de tempo Δt: t v am    (m/s 2 ; km/h 2 etc.) 2.11– ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA A aceleração escalar instantânea a é o limite para o qual tende t v   quando Δt tende para zero, e escreve-se: dt dv t v a t      0 lim EXERÍCIOS DE FIXAÇÃO 01 - Uma partícula movimenta-se segundo a equação horária do espaço: 2 345 tts  (SI). Determine a aceleração escalar do movimento. 02 - A equação horária da velocidade de um móvel é dada por 2 45 tv  (SI). Qual sua aceleração escalar no instante t = 1s? EXERCÍCIOS 01 – Considere um ponto material que se desloca, em relação a um dado referencial, com a seguinte função horária do espaço: S = t 2 – 5t +2 (SI) Determine a velocidade escalar média entre os instantes 0 e 1 segundo. 02 – Um ponto material percorre um trajeto ABC de uma trajetória, tal que os trechos AB e BC possuem comprimentos iguais (AB = BC = d). Sejam v1 e v2 as respectivas velocidades escalares médias nos trechos AB e BC. Calcule a velocidade escalar média do ponto material no trajeto ABC. 03 – Um ponto material percorre um trajeto ABC de uma trajetória de tal forma que o trecho AB é percorrido com velocidade v1 num intervalo de tempo Δt1 e o trecho BC com velocidade v2 num intervalo de tempo Δt2. Calcule a velocidade escalar média no trajeto ABC. 04 – (UFSM) Uma partícula realizando um movimento retilíneo, desloca-se segundo a equação x = -2 -4 t + 2t 2 (SI). Qual o módulo da velocidade média, em m/s, dessa partícula entre t = 0s e t = 4s? 05 – (FCM) Um professor, ao aplicar uma prova a seus 40 alunos, passou uma lista de presença. A distância média entre cada dois alunos é de 1,2 m e a lista gastou cerca de 13 min para ser assinadas por todos. Qual foi a velocidade média dessa lista de presença? 06 – (AFA) De uma aeronave que voa horizontalmente, com velocidade constante, uma bomba é abandonada em queda livre. Desprezando- se o efeito do ar, a trajetória da bomba, em relação à aeronave, será um: a) arco de elipse. b) arco de parábola. c) segmento de reta vertical. d) ramo de hipérbole. e) um ponto. 07 – Duas pequenas esferas, A e B, colidem na origem (0) do sistema cartesiano (x,y) representado na figura, no instante t = 0. Imediatamente após o choque, elas passam a trafegar, respectivamente, 8 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.
  9. 9. sobre os eixos x e y obedecendo às seguintes funções horárias: x = 3 · t e y = 4 · t, sendo as posições x e y medidas em metros e t em segundos. Qual a distância (d) entre as esferas no instante t = 1 s? a) 8 m b) 7 m c) 5 m d) 2 m e) 1 m 08 – (UFMG) Um automóvel fez uma viagem de 100 km, sem paradas, e sua velocidade escalar média, nesse percurso, foi de 60 km/h. Tendo em vista essas informações, pode-se concluir que o tempo gasto pelo automóvel para percorrer os primeiros 30 km da viagem foi: a) 0,50 h. b) 0,30 h. c) 0,60 h. d) 1,0 h. e) um valor impossível de se determinar. 09 – (UFPE) Em uma corrida de 400 m, o vencedor cruza a linha de chegada 50 s depois da largada. Sabendo-se que nesse tempo o último colocado fez seu percurso com uma velocidade escalar média 10% menor que a do primeiro, a que distância, em metros, da linha de chegada ele estava quando o vencedor chegou? 10 – (AFA) Um terço de percurso retilíneo é percorrido por um móvel com velocidade escalar média de 60 km/h e o restante do percurso, com velocidade escalar média da 80 km/h. Então, a velocidade escalar média do móvel, em km/h em todo percurso, é: a) 70 b) 72 c) 73 d) 75 11 – (ITA) Um automóvel faz a metade de seu percurso com velocidade escalar média igual a 40 km/h e a outra metade com velocidade escalar média de 60 km/h. Determine a velocidade escalar média do carro no percurso total. 12 – Um avião decola de Fernando de Noronha às 8 hora da manhã e chega a Rio Branco, no Acre, às 8 horas da mesma manhã. Sabendo que a distância entre essas localidades é de aproximadamente 3990 km e que o Brasil tem quatro fusos horários, calcule a velocidade escalar média do avião em km/h. 13 – A função horária do espaço referente ao movimento de uma partícula é s = 5t 3 – 5 t (SI). Determine: a) a função horária da velocidade escalar instantânea b) a velocidade escalar no instante 2 s 14 - (OBF) Um adolescente de altura h caminha, com velocidade constante v, em um corredor reto e passa sob uma lâmpada pendurada a uma altura H acima do solo. A velocidade da sombra da cabeça do adolescente no solo é dada por: a) v hH H vS         b) v hH hH vS         . c) v hH hH vS          d) vhHvS )(  e) vvS  15 - Um automóvel viajando com determinada velocidade média completou um percurso de 480 km em x horas. Caso essa velocidade fosse aumentada em 20 km/h, a viagem poderia ter durado duas horas a menos. Quantos minutos duraram a viagem? a) 360 b) 390 c) 420 d) 480 e) 510 16 – (Saraeva) Crazy Turtles – Três tartarugas encontram-se nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado L. Simultaneamente, elas começam a se movimentar com uma velocidade V, sendo que a primeira se dirige em direção à segunda, a segunda em direção à terceira e a terceira, em direção à primeira. a) Após quanto tempo as tartarugas vão se encontrar? b) Qual a distância percorrida por uma tartaruga qualquer nesse episódio? 17 – (EFOMM) Qual das unidades abaixo NÃO pertence ao Sistema Internacional de Unidades (S.I.)? a) Quilograma. b) Libra massa. c) Segundo. d) Mol. e) Candela. 18 – (EFOMM) Um navegador solitário completa certo percurso com velocidade média de 9 nós (1 nó = 1 milha/hora = aproximadamente 1,852 km/h) em 24 dias; a distância percorrida, em km, foi de: a) 5401 b) 6507 c) 8723 9Mecânica Clássica
  10. 10. d) 9601 e) 10202 GABARITO 01) – 4m/s 02) 03) 04) 4 05) 6 cm/s 06) C 07) C 08) E 09) 40 m 10) B 11) 48 km/h 12) 1330 km/h 13) a) v = 15t 2 – 6 b) 54 m/s 14) A 15) D 16) a) 2L/V b) 2L/3 17) B 18) D –MOVIMENTO UNIFORME 3.1- DEFINIÇÃO Se observarmos atentamente os movimentos que ocorrem ao nosso redor, encontraremos vários exemplos de movimentos nos qual a velocidade escalar permanece constante. Uma estrela no céu, as extremidades dos ponteiros de um relógio movimentam- se com velocidade escalar constante. Também um pára-quedista, com o pára-quedas aberto há algum tempo, cai com velocidade praticamente constante. Num modelo simplificado do átomo de hidrogênio, dizemos que o elétron gira em torno do próton com velocidade escalar constante. Esses movimentos, nos quais a velocidade escalar permanece constante, são denominados movimentos uniformes. Podemos definir então, que Movimento Uniforme (MU) é aquele onde o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, isto é, o módulo de sua velocidade é constante e diferente de zero. A figura a seguir representa um movimento uniforme, em trajetória retilínea, com velocidade escalar constante de 4 m/s. 3.2- FUNÇÃO HORÁRIA Sendo a velocidade instantânea de um móvel dada por: Onde s = s(t), teremos que , logo, integrando membro a membro, teremos: Considerando que t0 = 0 e v é constante, teremos: tvss 0  s Posição ou espaço final; so  Posição ou espaço inicial; v  velocidade; t  tempo. 3.3- VELOCIDADE ESCALAR RELATIVA Consideremos duas partículas A e B movendo-se em uma mesma trajetória e com velocidades escalares vA e vB , em duas situações distintas: movendo-se no mesmo sentido e em sentidos opostos. A velocidade escalar que uma das partículas possui em relação à outra (tomada como referência) é chamada de velocidade relativa ( REL) e o seu módulo é calculado como relatamos a seguir: → Móveis em sentidos opostos BA rel rel vv t s v     → Móveis no mesmo sentido BA rel rel vv t s v     3.4– GRÁFICOS DO MU Conhecendo-se o diagrama horário de uma das grandezas de um movimento (espaço, velocidade ou aceleração), podemos tirar conclusões a respeito das outras grandezas, bem como construir seus respectivos diagramas horários. O quadro a seguir relaciona os diagramas horários com as informações que podem ser obtidas em cada um deles. Para interpretarmos um gráfico, devemos observar o significado da inclinação da reta ou da área delimitada pelo gráfico. Veja os gráficos abaixo: 10 3 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.
  11. 11. PROPRIEDADES GRÁFICO V x t sΔÁREA n  GRÁFICO S x t 12 12 tt ss tΔ sΔ αtg    eVelocidadαtg n  EXERCÍCIOS 01 – (Fuvest) Um automóvel e um ônibus trafegam em uma estrada plana, mantendo velocidades constantes em torno de 100km/h e 75km/h, respectivamente. Os dois veículos passam lado a lado em um posto de pedágio. Quarenta minutos (2/3 de hora) depois, nessa mesma estrada, o motorista do ônibus vê o automóvel ultrapassá-lo. Ele supõe, então, que o automóvel deve ter realizado, nesse período, uma parada com duração aproximada de a) 4 minutos b) 7 minutos c) 10 minutos d) 15 minutos e) 25 minutos 02 – (Unifest) A foto, tirada da Terra, mostra uma seqüência de 12 instantâneos do trânsito de Vênus em frente ao Sol, ocorrido no dia 8 de junho de 2004. O intervalo entre esses instantâneos foi, aproximadamente, de 34 min. a) Qual a distância percorrida por Vênus, em sua órbita, durante todo o transcorrer desse fenômeno? Dados: velocidade orbital média de Vênus: 35 km/s; distância de Vênus à Terra durante o fenômeno: 4,2 × 10 10 m; distância média do Sol à Terra: 1,5 × 10 11 m. b) Sabe-se que o diâmetro do Sol é cerca de 110 vezes maior do que o diâmetro de Vênus. No entanto, em fotos como essa, que mostram a silhueta de Vênus diante do Sol, o diâmetro do Sol parece ser aproximadamente 30 vezes maior. Justifique, baseado em princípios e conceitos da óptica geométrica, o porquê dessa discrepância. 03 – (UFMG) Um pequeno bote, que navega a uma velocidade de 2,0 m/s em relação à margem de um rio, é alcançado por um navio, de 50 m de comprimento, que se move paralelamente a ele, no mesmo sentido, como mostrado nesta figura: Esse navio demora 20 segundos para ultrapassar o bote. Ambos movem-se com velocidades constantes. Nessas condições, a velocidade do navio em relação à margem do rio é de, aproximadamente, a) 0,50 m/s. b) 2,0 m/s. c) 2,5 m/s. d) 4,5 m/s. 04 - (Challenging Problems) Uma coluna de soldados de 600 m de comprimento marcha ao longo de uma estrada com uma velocidade constante de 4,5 km/h. Na mesma direção da coluna, mas em sentido oposto, aproxima-se um oficial superior caminhando a uma velocidade constante de 3,0 km/h. Quando ele passa ao lado de cada soldado, ordena que estes se movam no sentido oposto. Cada soldado instantaneamente (tão logo recebe a sua ordem) inverte o sentido da sua marcha e continua com a mesma velocidade, mas no sentido oposto. Após algum tempo, toda a coluna está se 11Mecânica Clássica
  12. 12. movendo no sentido contrário. Pode-se afirmar que o novo comprimento da fila de soldados será: a) 600 m b) 120 m c) 450m d) 150 m e) 320 m 05 – (Saraeva) Um guarda caminha todos os dias ao longo de uma linha de bondes até uma estação ferroviária, retornando ao entardecer. No seu percurso de ida, percebeu ser ultrapassado pelos bondes que trafegam pela linha a cada seis segundos. Chegando à estação, o guarda sentou para almoçar e notou que os bondes passavam pela estação a cada T segundos. Já ao entardecer, caminhando no percurso de volta com a mesma velocidade usual, o guarda percebeu que agora os bondes passavam por ele a cada três segundos. Admitindo que os bondes trafeguem pela linha sempre com a mesma velocidade escalar o tempo inteiro, determine T: a) 3,5 s b) 4 s c) 4,5 s d) 5 s e) 5,5 s 06 – (Saraeva) Um barco a motor, que ia subindo um rio, encontrou uma bolsa que se movia no sentido da correnteza. Após uma hora do encontro, o motor do barco parou. O conserto do motor durou 30 min e durante esse tempo o barco moveu-se livremente no sentido da correnteza. Depois do conserto, o barco começou a se mover na direção da correnteza, seguindo rio abaixo com a mesma velocidade relativa à água e encontrou a bolsa a uma distância de 7,5 km em relação ao primeiro encontro. Determine a velocidade da correnteza. a) 5 km/h b) 4 km/h c) 3 km/h d) 2 km/h e) 6 km/h 07 - (EEAR) "O guepardo, também conhecido como chitá, é o mais rápido dos animais terrestres. Ele depende de sua velocidade de até 120 km/h para alcançar animais velozes como gazelas e antílopes..." (revista SuperInteressante, dezembro de 2000). Admitindo que o guepardo desenvolva sua velocidade máxima, como descrita acima, e sendo constante essa velocidade por 10 segundos, a distância percorrida, em linha reta, por esse animal durante este intervalo de tempo vale aproximadamente: a) 333 m. b) 333 km. c) 360 km. d) 360 m. 08 - (Tore Nils Johnson) A e B são duas estações de uma estrada de ferro linha dupla. Num dado instante, passa pela estação A um trem T1 que se dirige para B com velocidade de 54 km/h. Decorrido um certo intervalo de tempo, outro trem T2, que move-se a 72 km/h, passa por A rumo à estação B. O intervalo de tempo que separa as passagens de T1 e T2 pela estação A é tal que ambos passariam simultaneamente pela estação B. Acontece, entretanto, que após ter percorrido 2/3 da distância que separa as duas estações, o trem T1 reduz sua velocidade à metade e em conseqüência é ultrapassado por T2 num ponto situado 10 km antes da estação B. A distância entre as duas estações é: a) 37,5 km b) 10 km c) 24,5 km d) 100 km e) 50 km 09 – A figura mostra uma escada rígida que escorrega apoiada numa parede vertical. Num certo instante, a extremidade inferior da escada tem velocidade v perpendicular ao plano vertical da parede e a escada tem inclinação α em relação à parede. Qual a velocidade vertical da extremidade superior da escada no referido instante? a) zero b) v c) v/2 d) –v/2 e) -3v/4 10 – *(Saraeva) Três turistas, que possuem uma bicicleta, devem chegar ao centro turístico no menor espaço de tempo (o tempo conta-se até que o último turista chegue ao centro). A bicicleta pode transportar apenas duas pessoas e por isso o terceiro turista deve ir a pé. Um ciclista leva o segundo turista até um determinado ponto do caminho, de onde este continua a andar a pé e o ciclista regressa para transportar o terceiro. Qual a velocidade média dos turistas, sendo a velocidade do que vai a pé 4 km/h e o do ciclista 20 km/h? a) 10 km/h b) 15 km/h c) 20 km/h d) 5 km/h 11 - A motorboat going downstream overcame a raft at a point A; Τ= 60 min later it turned back and after some time passed the raft at a distance L = 6,0 km from the point A. Find the flow velocity assuming the duty of the engine to be constant. a) 1 km/h b) 3 km/h c) 6 km/h d) 10 km/h 12 - Three points are located at the vertices of an equilateral triangle whose site equals a. They all satrt moving simultaneously with velocity v constant in modulus, with the first point heading continually for the second, the second for the third, and the third for the first. How soon will the points converge? a) t = 2a/v b) t = a/v c) t = 3v/2a d) t =v/a 13 - Considere um relógio de pulso em que o ponteiro dos segundos tem um comprimento, r(s) =7 mm, e o ponteiro dos minutos tem um comprimento, r(m) =5 mm (ambos medidos a partir do eixo central do relógio). Sejam v(s) a velocidade da extremidade do ponteiro dos segundos, e v(m), a velocidade da extremidade do ponteiro dos minutos. A razão v(s)/v(m) é igual a: a) 35 b) 42 c) 70 d) 84 e) 96 14 - Uma pessoa está observando uma corrida a 170 m do ponto de largada. Em dado instante, dispara-se a pistola que dá início à competição. Sabe-se que o tempo de reação de um determinado corredor é 0,2 s, sua velocidade é 7,2 km/h e a velocidade do som no ar é 340 m/s. A distância desse atleta em relação 12 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.
  13. 13. à linha de largada, quando o som do disparo chegar ao ouvido do espectador, é: a) 0,5 m b) 0,6 m c) 0,7 m d) 0,8 m e) 0,9 m 15 – (Fuvest) Tem-se uma fonte sonora no vértice A de uma pista triangular eqüilátera e horizontal, de 340m de lado. A fonte emite um sinal que após ser refletido sucessivamente em B e C retorna ao ponto A. No mesmo instante em que a fonte é acionada um corredor parte do ponto X, situado entre C e A, em direção a A, com velocidade constante de 10m/s. Se o corredor e o sinal refletido atingem A no mesmo instante, a distância AX é de: a) 10m b) 20m c) 30m d) 340m e) 1020m 16 – (UFPE) Um terremoto normalmente dá origem a dois tipos de onda, s e p, que se propagam pelo solo com velocidades distintas. No gráfico anexo, está representada a variação no tempo da distância percorrida por cada uma das ondas a partir do epicentro do terremoto. Com quantos minutos de diferença essas ondas atingirão uma cidade situada a 1.500 km de distância do ponto 0? 17 – (Fuvest) Em um prédio de 20 andares (além do térreo) o elevador leva 36 s para ir do térreo ao 20° andar. Uma pessoa no andar x chama o elevador, que está inicialmente no térreo, e 39,6 s após a chamada a pessoa atinge o andar térreo. Se não houve paradas intermediárias e o tempo de abertura e fechamento da porta do elevador e de entrada e saída do passageiro é desprezível, podemos dizer que o andar x é o: a) 9º b) 11º c) 16º d) 18º e) 19º 18 – (Fuvest) Uma composição ferroviária com 19 vagões e uma locomotiva desloca-se a 20 m/s. Sendo o comprimento de cada elemento da composição 10 m, qual é o intervalo de tempo que o trem gasta para ultrapassar completamente: a) um sinaleiro? b) uma ponte de 100 m de comprimento? 19 – (ITA) Um avião voando horizontalmente a 4.000 m de altura, em movimento retilíneo uniforme, passou por um ponto A e depois por um ponto B, situado a 3.000 m do primeiro. Um observador no solo, parado no ponto verticalmente abaixo de B, começou a ouvir o som do avião, emitido em A, 4,00 s antes de ouvir o som proveniente de B. Se a velocidade do som no ar era de 320 m/s, a velocidade do avião era de: a) 960 m/s b) 750 m/s c) 390 m/s d) 421 m/s e) 292 m/s 20 – Uma formiga caminha sobre um cubo de aresta 0,4 m em qualquer direção, com velocidade constante 0,1 m/s. Calcule o tempo mínimo para a formiga ir do vértice A ao ponto B, localizado no centro da face superior, onde foi colocada uma gota de mel. 21 – (ITA) A figura representa uma vista aérea de um trecho retilíneo de ferrovia Duas locomotivas a vapor, A e B, deslocam-se em sentidos contrários com velocidades constantes de módulos 50,4 km/h e 72 km/h, respectivamente. Uma vez que AC corresponde ao rastro da fumaça do trem A, BC ao rastro da fumaça de B e AC = BC, determine a intensidade da velocidade do vento. Despreze a distância entre os trilhos de A e B. a) 5,00 m/s b) 4,00 m/s c) 17,5 m/s d) 18,0 m/s e) 14,4 m/s 22 – (Mackenzie) Correndo com uma bicicleta, ao longo de um trecho retilíneo de uma ciclovia, uma criança mantém a velocidade constante de módulo igual a 2,50 m/s. O diagrama horário da posição para esse movimento está ilustrado na figura. Segundo o referencial adotado, no instante t = 15,00 s, a posição x da criança é igual a: a) - 37,50 m b) - 12,50 m c) 12,50 m d) 37,50 m e) 62,50 m 13Mecânica Clássica
  14. 14. 5 – MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 4.1- DEFINIÇÃO Um objeto encontra-se em movimento uniformemente variado (MUV) quando a sua velocidade escalar varia de quantidades iguais em intervalos de tempo iguais. Nestas condições, podemos dizer que a aceleração escalar média coincide com o valor da aceleração escalar instantânea e podemos chamá-la simplesmente de aceleração escalar (a). 4.2 - A – VELOCIDADE Considere uma partícula que descreve um MUV, com aceleração escalar instantânea dada por: Onde v = v(t), teremos . Integrando membro a membro, teremos: Considerando t0 = 0 e a constante, teremos: tavv 0  B – ESPAÇO Considere numa partícula que se move segundo a função horária , tal que: Supondo t0 = 0 e a constante, teremos: 2 ta tvss 2 00   4.3- EQUAÇÃO DE TORRICELLI O deslocamento, a velocidade e a aceleração podem ser relacionados numa única expressão, independente do tempo. Tal expressão é denominada Equação de Torricelli. Como v = v(s) e s = s(t), derivando v para t, teremos: Portanto, supondo a constante e t0 = 0, teremos: SΔa2vv 2 0 2  4.4- VELOCIDADE MÉDIA NO MUV No MUV, a velocidade média entre dois instantes qualquer é igual à média aritmética das velocidades instantâneas nos instantes considerados, ou seja: 2 o m vv t s v      4.5- GRÁFICOS DO MUV Como já estudamos no movimento uniforme, podemos representar a variação de uma grandeza física em relação a outra utilizando gráficos (ou diagramas). No caso do movimento uniformemente variado, temos uma diferença: a função horária dos espaços é do segundo grau e, conseqüentemente, seu gráfico do espaço em função do tempo será uma parábola. O estudo matemático das funções do MUV mostra que a aceleração é importantíssima para determinar o traçado do gráfico. 1. DIAGRAMAS DO MUV No MUV, as funções horárias são as representadas pelo quadro abaixo: Graficamente, terem os: 14 01) C 02) a) 7,9.10 km b) 30,8 03) D 04) B 05) B 06) C 07) E 08) A 09) E 10) A 11) B 12) A 13) D 14) B 15) C 16) 2 min 17) B 18) a) 10 s b) 15 s 19) D 20) 6,3 21) A 22) E 23) GABARITO 4 FUNÇÕES HORÁRIAS DA VELOCIDADE E DOS ESPAÇOS Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.
  15. 15. 2. PROPRIEDADES GRÁFICO tv  No gráfico vxt, a área compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos é numericamente igual ao deslocamento escalar sofrido pelo móvel. A tangente do ângulo que a reta faz com o eixo dos tempos é numericamente igual a aceleração do móvel. SΔÁREA n  Atenção! A tangente do ângulo , marcado no gráfico, fornece a aceleração escalar do móvel: 0t vv αtg 1 0    aceleraçãoαtg n  GRÁFICO ta  No gráfico a x t, a área abaixo do gráfico é numericamente igual a variação da velocidade sofrida pelo móvel. vΔÁREA n  EXERCÍCIOS 01 - (UFPR) Em uma prova de atletismo, um corredor de 100m rasos parte do repouso, corre com aceleração constante nos primeiros 50 m e depois mantém a velocidade constante até o final da prova. Sabendo que a prova foi completada em 10 s, o valor da aceleração é: a) 2,25 m/s 2 . b) 1,00 m/s 2 . c) 1,50 m/s 2 . d) 3,20 m/s 2 . e) 2,50 m/s 2 . 02 - (ITA) Um avião de vigilância aérea está voando a uma altura de 5,0 km, com velocidade de 50 10 m/s no rumo norte, e capta no radio goniômetro um sinal de socorro vindo da direção noroeste, de um ponto fixo no solo. O piloto então liga o sistema de pós-combustão da turbina, imprimindo uma aceleração constante de 6,0 m/s 2 . Após 40 10 /3s, mantendo a mesma direção, ele agora constata que o sinal está chegando da direção oeste. Neste instante, em relação ao avião, o transmissor do sinal se encontra a uma distância de: a) 5,2 km b) 6,7 km c) 12 km d) 13 km e) 28 km 03 - (UFES) Um predador, partindo do repouso, alcança sua velocidade máxima de 54 km/h em 4 s e mantém essa velocidade durante 10 s. Se não alcançar sua presa nesses 14 s, o predador desiste da caçada. A presa, partindo do repouso, alcança sua velocidade máxima, que é 4/5 da velocidade máxima do predador, em 5 s e consegue mantê-la por mais tempo que o predador. Suponha-se que as acelerações são constantes, que o início do ataque e da fuga são simultâneos e que predador e presa partem do repouso. Para o predador obter sucesso em sua caçada, a distância inicial máxima entre ele e a presa é de: a) 21 m b) 30 m c) 42 m d) 72 m e) 80 m 04 - (Unifest) Uma ambulância desloca-se a 108 km/h num trecho plano de uma rodovia quando um carro, a 72 km/h, no mesmo sentido da ambulância, entra na sua frente a 100 m de distância, mantendo sua velocidade constante. A mínima aceleração, em m/s 2 , que a ambulância deve imprimir para não se chocar com o carro é, em módulo, pouco maior que: a) 0,5. b) 1,0. c) 2,5. d) 4,5. e) 6,0. 05 - (UERJ) O movimento uniformemente acelerado de um objeto pode ser representado pela seguinte progressão aritmética: 7 11 15 19 23 27... Esses números representam os deslocamentos, em metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Portanto, a função horária que descreve a posição desse objeto é: a) 3t + 4t 2 b) 5t + 2t 2 c) 1 + 2t + 4t 2 d) 2 + 3t + 2t 2 15Mecânica Clássica
  16. 16. 06 – (ITA) Um móvel parte da origem do eixo x com velocidade constante igual a 3 m/s. No instante t = 6 s o móvel sofre uma aceleração de – 4 m/s 2 . A equação horária a partir do instante t = 6 s será: a) x = 3t – 2t 2 b) x = 18 + 3t – 2t 2 c) x = 18 – 2t 2 d) x = -72 + 27t – 2t 2 e) x = 27t – 2t 2 07 – (UFU) Um carro trafega por uma avenida, com velocidade constante de 54 km/h. A figura a seguir ilustra essa situação. Quando o carro encontra-se a uma distância de 38 m do semáforo, o sinal muda de verde para amarelo, permanecendo assim por 2,5 s. Sabendo que o tempo de reação do motorista é de 0,5 s e que a máxima aceleração (em módulo) que o carro consegue ter é de 3 m/s 2 , responda: a) verifique se o motorista conseguirá parar o carro (utilizando a desaceleração máxima) antes de chegar ao semáforo. A que distância do semáforo ele conseguirá parar? b) considere que, ao ver o sinal mudar de verde para amarelo, o motorista decide acelerar, passando pelo sinal amarelo. Determine se ele conseguirá atravessar o cruzamento de 5 m antes que o sinal fique vermelho. 08 – Um rato, em sua ronda à procura de alimento, está parado em um ponto P, quando vê uma coruja espreitando-o. Instintivamente, ele corre em direção à sua toca T, localizada a 42 m dali, em movimento retilíneo uniforme e com velocidade v = 7 m/s. Ao ver o rato, a coruja dá início à sua caçada, em um mergulho típico, como o mostrado na figura. Ela passa pelo ponto P, 4 s após a partida do rato e a uma velocidade de 20 m/s. a) Considerando a hipótese de sucesso do rato, em quanto tempo ele atinge a sua toca? b) Qual deve ser a aceleração média da coruja, a partir do ponto P, para que ela consiga capturar o rato no momento em que ele atinge a entrada de sua toca? 09 – (ITA) Billy sonha que embarcou em uma nave espacial para viajar até o distante planeta Gama, situado a 10,0 anos-luz da Terra. Metade do percurso é percorrida com aceleração de 15 m/s 2 , e o restante com desaceleração de mesma magnitude. Desprezando a atração gravitacional e efeitos relativistas, estime o tempo total em meses de ida e volta da viagem do sonho de Billy. Justifique detalhadamente. 10 - Em uma pista retilínea, um atleta A com velocidade escalar constante de 4,0 m/s passa por outro B, que se encontra parado. Após 6,0 s desse instante, o atleta B parte em perseguição ao atleta A, com aceleração constante, e o alcança em 4,0 s. A aceleração do corredor B tem o valor de: a) 5,0 m/s 2 b) 4,0 m/s 2 c) 3,5 m/s 2 d) 3,0 m/s 2 e) 2,5 m/s 2 11 – (ITA) Um automóvel com velocidade escalar de 90 km/h passa por um guarda num local em que a velocidade escalar máxima é 60 km/h. O guarda começa a perseguir o infrator com a sua motocicleta, mantendo aceleração escalar constante, até que atinge 108 km/h em 10 s e continua com essa velocidade escalar até alcançá-lo, quando lhe faz sinal para parar. O automóvel e a moto descrevem trajetórias retilíneas paralelas. Pode-se afirmar que: a) o guarda levou 15 s para alcançar o carro. b) o guarda levou 60 s para alcançar o carro. c) a velocidade escalar do guarda, ao alcançar o carro, era de 25 m/s. d) o guarda percorreu 750 m desde que saiu em perseguição até alcançar o motorista infrator. e) o guarda não consegue alcançar o infrator. 12 – (ITA) Uma partícula, partindo do repouso, percorre, no intervalo de tempo t, uma distância D. Nos intervalos de tempo seguintes, todos iguais a t, as respectivas distâncias percorridas são iguais a 3D, 5D, 7D etc. A respeito desse movimento, pode- se afirmar que: a) a distância percorrida pela partícula desde o ponto em que inicia seu movimento cresce exponencialmente com o tempo. b) a velocidade escalar da partícula cresce exponencialmente com o tempo. c) a distância percorrida pela partícula desde o ponto em que inicia seu movimento é diretamente proporcional ao tempo de movimento elevado ao quadrado. d) a velocidade escalar da partícula é diretamente proporcional ao tempo de movimento elevado ao quadrado. e) nenhuma das opções acima está correta 16 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.
  17. 17. 13 – (Fei) Na figura, estão representados os gráficos das velocidades de dois móveis A e B, em função do tempo. Esses móveis partem de um mesmo ponto, a partir do repouso, e percorrem uma mesma trajetória retilínea. Em que instantes eles voltam a se encontrar? 14 – (ITA) Três carros percorrem uma estrada plana e reta com as velocidades, em função do tempo, representadas pelo gráfico abaixo. No instante t = 0, os três carros passam por um semáforo. A 140 m deste semáforo há outro sinal luminoso permanentemente vermelho. Quais os carros que ultrapassarão esse segundo farol? 15 - Nas planícies africanas, o jogo entre predador e presa encontra um limite delicado. A gazela, sempre atenta, vive em grupos. É rápida e seu corpo sustenta a aceleração de 0 m/s a 14 m/s em 3 s. O quepardo, com sua cabeça pequena e mandíbulas curtas projetadas para um abate preciso por estrangulamento, está bem camuflado e com seu corpo flexível, amplia sua passada, sobrevoando o solo na maior parte de sua corrida.Mais ágil que a gazela, vai de 0 m/s a 20 m/s em 3 s. O esforço, no entanto, eleva a sua temperatura a níves perigosos de sobrevivência e, em virtude disto, as perseguições não podem superar 20 s. Um guepardo aproxima-se 27 m de uma gazela. Parados, gazela e guepardo fitam-se simultaneamente, quando, de repente, começa a caçada. Supondo que ambos corram em uma trajetória retilínea comum e, considerando o gráfico do desempenho de cada animal, a duração da caçada, em s, será: a) 3,0 b) 4,0 c) 6,0 d) 10 e) 11 16 – (EFOMM) Uma lancha da guarda–costeira, atracada à costa, recebe a denúncia de que um navio, carregado de contrabando, a 50 milhas afastado da costa, vem avançando a uma velocidade constante de 12 nós. A distância mínima que qualquer navio estranho deve estar da costa é de 20 milhas. A aceleração constante mínima que a lancha deverá ter, em milhas/h 2 , para que o navio não adentre o perímetro da costa é a) 0,8 b) 1,6 c) 3,2 d) 6,4 e) 16 17 – (AFA) Uma partícula move-se com velocidade de 50 m/s. Sob a ação de uma aceleração de módulo 0,2 m/s 2 , ela chega a atingir a mesma velocidade em sentido contrário. O tempo gasto, em segundos, para ocorrer essa mudança no sentido da velocidade é: a) 500 b) 250 c) 100 d) 50 18 – (AFA) O diagrama abaixo representa as posições de dois corpos A e B em função do tempo. Por este diagrama, afirma-se que o corpo A iniciou o seu movimento, em relação ao corpo B, depois de : a) 2,5 s b) 5,0 s c) 7,5 s d) 10 s 19 – (AFA) Uma bola rola com velocidade v, constante, sobre uma superfície de vidro plana e horizontal, descrevendo uma trajetória retilínea. Enquanto a bola se desloca, a sua sombra percorre os planos representados pelos trechos 1 e 2 da figura abaixo, com velocidades escalares médias v1 e v2 , respectivamente. 17Mecânica Clássica
  18. 18. Considerando que a sombra está sendo gerada por uma projeção ortogonal à superfície de vidro, pode-se afirmar que o seu movimento é: a) acelerado no trecho 1 e retardado no trecho 2, sendo v1>v>v2 b) acelerado nos dois trechos, sendo v1 = v2 > v c) uniforme nos dois trechos, sendo v1 = v2 > v d) uniforme nos dois trechos, sendo v1 = v2 = v 20 – (IME) O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a é t4: a) v/t b) 3v/4t c) v/4t d) – v/4t e) – 3v/4t GABARITO 01) A 02) D 03) C 04) A 05) B 06) D 07) a) 7 m após o semáforo. b) Sim, com folga de 0,5 m, no fechar do semáforo. 08) a) 6s b) 1m/s 2 09) 8.10 7 s 10) A 11) D 12) C 13) 6 s 14) B 15) C 17) A 18) B 19) C 20) D EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 01 – Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, em uma estrada reta, com velocidades constantes VA = 100 km/h e VB = 80 km/h, respectivamente. a) Qual é, em módulo, a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A? b) Em um dado instante, o carro B está 600 m à frente do carro A. Quanto tempo, em horas, decorre até que A alcance B? 02 – Um trem percorre uma via no sentido norte-sul, seu comprimento é 100 m e sua velocidade de 72 km/h. Um outro trem percorre uma via paralela no sentido sul- norte com velocidade de 72 km/h. Considere o instante t = 0 aquele que os trens estão com as frentes na mesma posição. O tempo que o segundo trem leva para ultrapassar totalmente o primeiro é de 6s. O comprimento do segundo trem é: a) 42 m. b) 58 m. c) 240 m. d) 140 m. e) 100 m. 03 – Uma possível solução para a crise do tráfego aéreo no Brasil envolve o emprego de um sistema de trens de alta velocidade conectando grandes cidades. Há um projeto de uma ferrovia de 400 km de extensão que interligará as cidades de São Paulo e Rio de Janeiro por trens que podem atingir até 300 km/h. a) Para ser competitiva com o transporte aéreo, estima-se que a viagem de trem entre essas duas cidades deve durar, no máximo, 1 hora e 40 minutos. Qual é a velocidade média de um trem que faz o percurso de 400 km nesse tempo? b) Considere um trem viajando em linha reta com velocidade constante. A uma distância de 30km do final do percurso, o trem inicia uma desaceleração uniforme de 0,06m/s 2 , para chegar com velocidade nula a seu destino. Calcule a velocidade do trem no início da desaceleração. 04 – Em uma prova de atletismo, um corredor de 100m rasos parte do repouso, corre com aceleração constante nos primeiros 50 m e depois mantém a velocidade constante até o final da prova. Sabendo que a prova foi completada em 10 s, o valor da aceleração é: a) 2,25 m/s 2 . b) 1,00 m/s 2 . c) 1,50 m/s 2 . d) 3,20 m/s 2 . e) 2,50 m/s 2 . 05 – Em um piso horizontal um menino dá um empurrão em seu caminhãozinho de plástico. Assim que o contato entre o caminhãozinho e a mão do menino é desfeito, observa-se que em um tempo de 6 s o brinquedo foi capaz de percorrer uma distância de 9 m até cessar o movimento. Se a resistência oferecida ao movimento do caminhãozinho se manteve constante, a velocidade inicial obtida após o empurrão, em m/s, foi de a) 1,5. b) 3,0. c) 4,5. d) 6,0. e) 9,0. 06 - Um automóvel que trafega com velocidade constante de 10 m/s, em uma pista reta e horizontal, passa a acelerar uniformemente à razão de 60 m/s em cada minuto, mantendo essa aceleração durante meio minuto. A velocidade instantânea do automóvel, ao final desse intervalo de tempo, e sua velocidade média, no mesmo intervalo de tempo, são, respectivamente: a) 30 m/s e 15 m/s. 18 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.
  19. 19. b) 30 m/s e 20 m/s. c) 20 m/s e 15 m/s. d) 40 m/s e 20 m/s. e) 40 m/s e 25 m/s. 07 - O gráfico da velocidade em função do tempo de um ciclista, que se move ao longo de uma pista retilínea, é mostrado a seguir. Considerando que ele mantém a mesma aceleração entre os instantes t = 0 e t = 7 segundos, determine a distância percorrida neste intervalo de tempo. Expresse sua resposta em metros. 08 - Um trem anda sobre trilhos horizontais retilíneos com velocidade constante igual a 80 km/h. No instante em que o trem passa por uma estação, cai um objeto, inicialmente preso ao teto do trem. A trajetória do objeto, vista por um passageiro parado dentro do trem, será: 09 - Um carteiro, ao fazer sua entrega, caminha por uma rua retilínea descrevendo a trajetória indicada, com velocidade média de 30 m/min. Os segmentos formam com a rua triângulos eqüiláteros de 20 m de lado. a) Quantos metros o carteiro caminhou desde o ponto A até o ponto B? b) Quanto tempo ele levou para ir de A até B? 10 - Os pontos A, B, C e D representam pontos médios dos lados de uma mesa quadrada de bilhar. Uma bola é lançada a partir de A, atingindo os pontos B, C e D, sucessivamente, e retornando a A, sempre com velocidade de módulo constante v1. Num outro ensaio a bola é lançada de A para C e retorna a A, com velocidade constante v2 e levando o mesmo tempo que o do lançamento anterior. Podemos afirmar que a relação v1 / v2 vale: a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2 . 11 - (AFA) Um atleta pretende percorrer a distância de 42 km em 2 horas e 20 minutos. Por dificuldades no percurso, percorreu os primeiros 5 km a uma velocidade média de 15 km/h e os 21 km seguintes com uma velocidade média de 18 km/h. Com que velocidade média, em km/h, deverá o atleta percorrer a distância restante, para cumprir o percurso no tempo previsto? a) 10,5 b) 15,3 c) 19,2 d) 25 GABARITO 01) a) 20 km/h b) 3,0.10 -2 h 02) D 03) a) 240 km/h b) 60 m/s 04) A 05) B 06) E 07) 77 m 08) A 09) a) 120 m b) 4 10) C 11) C 19Mecânica Clássica
  20. 20. 20 Curso Oficina -Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares.

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