O documento aborda diversos problemas de trigonometria, utilizando a lei dos senos e dos cossenos para resolver questões relacionadas a alturas, distâncias e ângulos em triângulos e polígonos. Exemplos práticos incluem a análise de distâncias no delta do rio Jacuí, a determinação da altura de um mastro e a construção de um teleférico em uma cidade montanhosa. Cada problema é seguido de um gabarito com as respostas corretas e as explicações necessárias para a resolução.

1. Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton
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1. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto
Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação
ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos
ambientais causados pela atividade humana.
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo µA mede 45° e o ângulo µC mede 75°.
Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada
pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é
a)
8 6
3
b) 4 6
c) 8 2 3+
d) 8( 2 3)+
e)
2 6
3
2. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro
lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura
h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e
marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e o
vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5.
b) 12,5 2 .
c) 25,0.
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d) 25,0 2 .
e) 35,0.
3. Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura
abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento
A.
Dado: sen 20º 0,342=
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em
relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente,
a) 190.
b) 234.
c) 260.
d) 320.
4. Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e os lados que formam cada um desses
ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse
paralelogramo.
a) 6 cm
b) 3 cm
c) 3 3 cm
d) 7 cm
e) 15 3 cm
5. Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens
montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes
coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma
parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem
parada intermediária.
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Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m,= = BÂP = 20º e ˆCBN 50= ° , é correto afirmar que
a distância entre os pontos A e C é de:
a) 700 m
b) 702 m
c) 704 m
d) 706 m
e) 708 m
6. No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB
, N é o ponto médio de BC e 14MN
4
= .Então, DM é igual a
a)
2
4
b)
2
2
c) 2
d)
3 2
2
e)
5 2
2
7. Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio R
Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os
quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a
a) ( )2 2+
b) ( )2 2 2+
c) ( )2 2 2−
d) 2 2−
8. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) A equação sen 2x+cos x = 0 admite 4 soluções no intervalo [ ]0,3π .
02) Um antigo mapa escondido embaixo de uma rocha continha as seguintes instruções para
se encontrar uma panela de moedas de ouro enterrada pelos tropeiros naquela região: a
partir da rocha ande 4 km, em linha reta, no sentido leste-oeste. Depois disso, gire 60° para
norte e caminhe, em linha reta, 3 km. A menor distância entre o local onde está enterrada a
panela de moedas de ouro e a rocha onde estava escondido o mapa é de
aproximadamente 6 km.
04) O valor numérico de y na expressão
tg240º cos330º
y é 3.
sen870º sec11π
+
=
−
08) Se
3
sec x 5 e x ,
2
π
π
 
= − ∈ 
 
então tgx+cotgx é igual a
3
2
.
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16) A figura a seguir mostra parte do gráfico de uma função periódica f, de IR em IR, de
período 2.
9. As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a 2,2 e1. Os cossenos de seus
ângulos internos são, portanto,
a)
1 1 1
, , .
8 8 2
b)
1 1 1
, , .
4 4 8
c)
1 1 7
, , .
4 4 8
d)
1 1 1
, , .
2 2 4
e)
1 1 7
, , .
2 2 8
10. Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio
fechado, representado pelo polígono da figura a seguir.
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na
figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão
instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3000
m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do
polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono.
11. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras a seguir ilustram a
rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.
a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) =
0,99 . Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a
altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100
pedaladas.
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b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da
figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da
roda ao eixo dos pedais.
12. Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo
retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e = 900 .
Qual a medida do segmento AD?
a) 3
b) 4 3
c) 100 3+
d) 25 12 3+
e) 2 3
13. Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A.
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Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando
a distância AC e o ângulo BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas,
pode ser obtida pela seguinte equação:
a) y = 4 + sen(x)
b) y = 4 + cos(x)
c) 2
y sen(x) 16 cos (x)= + −
d) 2
y cos(x) 16 sen (x)= + −
14. Sejam α , β e γ , as medidas dos ângulos internos de um triângulo.
Se senα /senβ = 3/5, senα /sen γ = 1 e o perímetro do triângulo é 44, então a medida do
maior lado desse triângulo é:
a) 5.
b) 10.
c) 15.
d) 20.
e) 25.
15. Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também
que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120°
, então o produto dos
comprimentos dos lados é igual a:
a) 25
b) 45
c) 75
d) 105
e) 125
16. Dois observadores, situados nos pontos A e B, a uma distância d um do outro, como
mostra a figura a seguir, avistam um mesmo ponto no topo de um prédio de altura H, sob um
mesmo ângulo è com a horizontal.
Sabendo que o angulo A ˆB C também mede è e desconsiderando a altura dos observadores, a
altura H do prédio e dada pela expressão:
a) H =
d
2
 
 
 
sen
2
θ 
 
 
cos è
b) H = d cos è sen è
c) H =
d
2
 
 
 
tg è sen è
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d) H =
d
2
 
 
 
tg è sec è
e) H = d sen
2
θ 
 
 
sec è
17. Em um triângulo, as medidas de seus lados, em metros, são três números inteiros
consecutivos e a medida do maior ângulo é o dobro da medida do menor. A medida do menor
lado deste triângulo é
a) 3 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 6 m
18. Considere as seguintes informações:
- De dois pontos A e B, localizados na mesma margem de um rio, avista-se um ponto C, de
difícil acesso, localizado na margem oposta;
- Sabe-se que B está distante 1000 metros de A;
- Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado para medir ângulos) foram obtidas as
seguintes medidas: BÂC=30°
e A $B C= 80°
.
Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o ponto C a um ponto D entre A e B, de
modo que seu comprimento seja mínimo. Podemos afirmar que o comprimento da ponte será
de aproximadamente
Dado: Considere sen 80°
= 0,985, sen 70°
= 0,940, cos 80°
= 0,174 e cos 70°
= 0,340
a) 524 metros
b) 532 metros
c) 1048 metros
d) 500 metros
e) 477 metros
Dado: Considere sen 80°
= 0,985, sen 70°
= 0,940, cos 80°
= 0,174 e cos 70°
= 0,340
19. Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte.
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede
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60°
, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros,
a)
(5 3)
3
b)
(8 3)
3
c)
(10 3)
3
d) 5 3
e) 10 3
20. Em relação a um quadrilátero ABCD, sabe-se que med(BÂD) =120°
, med(ABC) =
med(ADC) = 90°
, AB = 13 e AD = 46. A medida do segmento AC é
a) 60.
b) 62.
c) 64.
d) 65.
e) 72.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
α= o o o o
180 75 45 60− − =
Aplicando o teorema dos senos, temos:
o o
AC 8
sen60 sen45
2 3
AC. 8.
2 2
AC 4 6
=
=
=
Resposta da questão 2:
[B]
No triângulo ABC $ o
ABC 45= , aplicando o teorema dos senos, temos:
o o
50 BC
BC. 2 50 BC 25 2
sen45 sen30
= ⇔ = ⇔ =
No triângulo BDC, temos:
o h 1 h
sen30 h 12,5 2
225 2 25 2
= ⇔ = ⇔ =
Resposta da questão 3:
[B]
Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos:
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o
o
x 160
0,342sen150
0,342.x 160.sen150
0,342x 80
x 233,9
=
=
=
=
Aproximadamente 234m.
Resposta da questão 4:
[D]
Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
d2
= 52
+ (3 3 )2
– 2.5. 3 3 .cos30
o
d2
= 25 + 27 -30
3
3.
2
d2
= 52 – 45
d = 7
Resposta da questão 5:
[A]
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:
( )
22 2
2
3
AC 300 3 200 2.300 3.200.
2
AC 270000 40000 180000
AC 490000
AC 700m
 
= + − −  
 
= + +
=
=
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Resposta da questão 6:
[B]
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:
2 2 2
14 1 1 1 1
2. . .cos
4 2 2 2 2
     
= + − β           
Resolvendo, temos
3
cos
4
β = − e que cos o3
( 180 )
4
α = α + β =
Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:
( )
( )
2
22
2
22
1 1
(AD) 1 2. .1.cos
2 2
1 1 3
(AD) 1 2. .1.
2 2 4
 
= + − α 
 
   
= + − −   
   
AD =
1 3
1
4 4
+ −
AD =
2
2
Resposta da questão 7:
[C]
A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os
quadrados dos raios.
Observe a figura.
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Na figura, temos:
No Δ OMB temos: 2 2
x R r= −
Aplicando agora o teorema dos cossenos no Δ OAB:
( )2 2 2 o
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2x R R 2.R.R.cos45
4(R r ) 2.R R . 2
R (2 2) 4.r
R 4
2 2r
R
2.(2 2)
r
= + −
− = −
+ =
=
+
= −
Resposta da questão 8:
02 + 04 = 06.
01) Falso:
sen2x + cos x = 0
2senx.cosx + cosx = 0
cosx.(2senx + 1) = 0 logo cosx = 0 ou senx = -1/2
Temos, então, 5 soluções:
3 5 7 11
, , , e
2 2 2 6 6
π π π π π
.
02) Verdadeira
2 2 2 o
x 4 3 2.4.3.cos120= + −
2
2
2
1
x 16 9 2.12.( )
2
x 25 12
x 37
x 37
x 6,08km
= + + −
= +
=
=
;
04) Verdadeira
o
3 3 3 3 3
3
tg240º cos330º 2 2 2y = 3
1 3sen870º sec11 sen150 sec 1
2 2
π π
+
+
= = = =
− − +
08) Falsa
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13. Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton
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2 2
2 2
2
sec x 1 tg x
5 1 tg x
tg x 4 tgx 2(III quadrante)
1
tgx 2 e cotgx =
2
1 5
cot gx tgx 2
2 2
= +
= +
= ⇔ = ±
=
+ = + =
16) Falsa: o período é 4.
Resposta da questão 9:
[C]
Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
12
=22
+ 22
– 2.2.1cos A ⇔ cosA = 7/8
E= cosB = CosC =
4
1
2
2
1
=
1/4, 1/4 e 7/8
Resposta da questão 10:
Como AQ AR AS AT AP RS ST TP PQ,= = = = = = = = segue que os triângulos ARS, AST,
ATP e APQ são equiláteros. Logo, ˆ ˆ ˆ ˆRAS SAT TAP PAQ 240+ + + = ° implica em:
ˆQAR 360 240 120 .= ° − ° = °
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Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo QAR, obtemos:
2 2 2
2 22
2 2
2 2
ˆQR AQ AR 2 AQ AR cosQAR
1
3000 2 AQ 2 AQ
2
3 AQ 3000
3000
( 3 AQ) 3000 AQ 1000 3 m.
3
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔
 
= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⇔ 
 
⋅ = ⇒
⋅ = ⇒ = =
Portanto, a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono é:
1000 3 m.
Resposta da questão 11:
100 passos = 100. 3,15 = 315m
a) Na figura 1
sen2
α = 1 – cos2
α
sen2
α = 1 - 2
99,0
sen2
α = 0,01
sen α = 1/100
logo mh
h
5,31
31510
1
=⇔=
b) na figura 2
aplicando o teorema dos cossenos.
222
= b2
+ b2
– 2b.b.
2
3
cmb
b
b
3222
)32.(22
32
32
.
31
22
2
2
2
+=
+=
+
+
−
=
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Resposta da questão 12:
[D]
AC2
=32
+ 42
– 2.3.4.cos150o
AC2
= 9 + 16 – 2.3.4. 







−
2
3
AC2
= 25 +12 3
AC = 31225+
Resposta da questão 13:
[D]
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC, vem:
2
22 2 2 2
2
2
1 sen x
2
4 AC 1 2 AC cosx 15 (AC cosx) cos x
AC cosx 15 cos x
AC 15 cos x cosx
AC 16 sen x cosx.
−
= + − ⋅ ⋅ ⇔ = − −
⇒ − = +
⇒ = + +
⇒ = − +
1 2 3
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16. Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton
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Resposta da questão 14:
[D]
Resposta da questão 15:
[D]
Resposta da questão 16:
[D]
Resposta da questão 17:
[B]
Resposta da questão 18:
[A]
Resposta da questão 19:
[C]
Resposta da questão 20:
[B]
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração: 30/09/2011 às 00:27
Nome do arquivo: Seno
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo
1..................104247.............Matemática.........Ufsm/2011..............................Múltipla escolha
2..................100550.............Matemática.........Unesp/2011............................Múltipla escolha
3..................104846.............Matemática.........G1 - cftmg/2011......................Múltipla escolha
4..................102802.............Matemática.........G1 - ifal/2011..........................Múltipla escolha
5..................104159.............Matemática.........Ufpb/2011...............................Múltipla escolha
6..................100949.............Matemática.........Fuvest/2011............................Múltipla escolha
7..................104946.............Matemática.........G1 - epcar (Cpcar)/2011.........Múltipla escolha
8..................103733.............Matemática.........Ufsc/2011................................Somatória
9..................91132...............Matemática.........Ufrgs/2010..............................Múltipla escolha
10................103220.............Matemática.........Ufg/2010.................................Analítica
11................93738...............Matemática.........Unicamp/2010.........................Analítica
12................97209...............Matemática.........Unemat/2010..........................Múltipla escolha
13................97350...............Matemática.........Uerj/2010................................Múltipla escolha
14................86454...............Matemática.........Fatec/2009..............................Múltipla escolha
15................86458...............Matemática.........Fuvest/2009............................Múltipla escolha
16................78329...............Matemática.........Ufg/2008.................................Múltipla escolha
17................79355...............Matemática.........Uece/2008..............................Múltipla escolha
18................83476...............Matemática.........Ufpa/2008...............................Múltipla escolha
19................78140...............Matemática.........Pucsp/2008.............................Múltipla escolha
20................78762...............Matemática.........Fgv/2008.................................Múltipla escolha
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