1. Arquivo: lsencos.pdf Page 1/14
Triângulos Quaisquer – algumas questões resolvidas
leicos.htm
Num triângulo ABC, a=2, e . Calcular o ângulo B. Resp. B=300
Resolução:` (lei dos cosssenos)
( 2) = (
2
)2
(
3 − 1 + 2 2 − 2. 3 − 1 . cos B )
(
2 = 3 − 2 3 + 1 + 4 − 2. 3 − 1 . cos B )
( )
2. 3 − 1 . cos B = 6 − 2 3 → 2 ( )
3 − 1 . cos B = 3 − 3 ↔ cos B =
3− 3
2.( 3 − 1)
cos B =
(3 − 3 )(
. )
3 +1
=
3
→ B = 30 0
2.(3 − 1) 2
leicos1.htm
Num triângulo ABC, a=2, b=4 e c=600. Calcular o lado c. Resp.
Resolução: (lei dos cossenos)
c2=22+42-2.2.4.cos600 à c2=4+16-8=12 à c = 2. 3
leicos2.htm
Num triângulo ABC, sendo B um ângulo agudo, , b=2 e c=300. Calcule c, os
ângulos A e B. Resp. ; B=450 e A=1050
Resolução: (lei dos cossenos)
( )
2
(
c 2 = 2 2 + 2 + 3 − 2.2. 2 + 3 . cos 30 0 )
(
c2 = 4 + 4 + 4 3 + 3 − 4 2 + 3 . ) 2
3
↔ c 2 = 3 + 4 3 − 4 3.
2
3
c2 = 4 3 − 3
leicos3.htm
Num triângulo, a=7 cm, b= 5 cm e c=3 cm. Calcule o ângulo A. Resp. A=1200
Resolução: (lei dos cossenos)
1
7 2 = 5 2 + 3 2 − 2.5.3. cos α ↔ cos α = − ↔ α = 120 0
2
leicos4.htm
Sendo a= 1 cm, b=2 cm e C=600, calcule o lado c do triângulo ABC. Resp.
Resolução:
c = 2 2 + 12 − 2.1.2. cos 60 0 ↔ c 2 = 5 − 2 = 3 ↔ c = 3
2

2. Arquivo: lsencos.pdf Page 2/14
leicos5.htm
Determine o maior ângulo de um triângulo, cujos lados são proporcionais aos números 7, 8
e 13. (Obs: e usar a lei dos cossenos) Resp. c=1200
Resolução:
c = a 2 + b 2 − 2.a.b. cos C ↔ 2.a.b. cos C = a 2 + b 2 − c 2
2
2.7 k .8k . cos C = 49k 2 + 64k 2 − 169k 2
1
cos C = − ↔ C = 120 0
ˆ
2
leicos7.htm
Num triângulo ABC, cm, cm e A=600. Calcule o lado c e os
ângulos B e C. (Usar: a2=b2+c2-2.b.c.cosA) R. c= 2 cm
Resolução:
3 2 − 6 2 3 −1
=
( )
↔ senB =
[(
sen 60 0. 2. 3 − 1 )]
↔ senB =
2
3 2− 6
0
sen60 senB 2
↔ B = 45 0 → 60 0 + 45 0 + C = 180 0 → C = 75 0
ˆ


( 2
) (
Cálculo do lado c: c 2 =  2. 3 − 1 + 3 2 − 6 )
2
( )( )
− 2.2. 3 − 1 . 3 2 − 6 . cos 75 0 


c=2 cm
leisecoaárea.htm
Um triângulo tem lados a=6 cm e b=4 cm. Sendo C=450, calcular a áárea do triângulo. R.
cm
leisecoaárea1.htm
Determine c em um triângulo de lados a=b=1 cm e áárea cm2, sabendo que o
ângulo C agudo. R. C=450
leisecos01.htm
(Cesgranrio) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede 1200. A
maior diagonal desse paralelogramo mede:
a) 5
b) 6
c)
d)
e) 6,5

3. Arquivo: lsencos.pdf Page 3/14
leisecos02.htm
(Mack-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 e 12 e formam um
ângulo de 600. As diagonais medem:
a) 4 e 4
b) 4 e4
c) 4 e4
d) 4 e4
e) 4 e 4,5
leisecos03.htm
(ITA-SP) Num losango ABCD, a soma das medidas dos ângulos obtusângulos o triplo da
soma das medidas dos ângulos agudos. Se a sua diagonal menor mede d cm, então sua
aresta medir:
a)
b)
c)
d)
e)
leisecos04.htm
(FGV-SP) A áárea do triângulo da figura :
a) 9
b) 10
c) 18
d) 36
e) 40

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leisecos05.htm
(FGV-SP) Qual a área do triângulo da figura
a)
b)
c) 4
d) 2.
e) 8.
Resolução:
 3 2 2 1
A = .8.4 2 .sen(105 0 ) = 16. 2 .sen(60 0 + 45 0 ) = 16 2 .
1
.
 2 2 + . 
2  2 2
A = 16 2.
2  3 + 1
2 
.  3 +1
 2  = 16. 2 = 8 3 + 1 ( )

leisecos06.htm
(FGV-SP) Considere o triângulo retângulo da figura seguinte e indique por S a sua área.
Qual das seguintes afirmações verdadeira?
a) S=a.senB Resolução:
S = .a.c.senB = .a.(b.tgC ).
b) S= 1 1 b
2 2 a
2
c) S= b .tgC
S=
2
d) S=
e) S=a.c
leisecos07.htm
(PUC-SP) A áárea do triângulo ABC em função da altura hA e dos ângulos
, que ela forma com os dois lados adjacentes, :

5. Arquivo: lsencos.pdf Page 5/14
a)
b)
c)
d)
e)
leisecos08.htm
(ITA-SP) Num triângulo de lados a=3 m e b= 4 m, diminuindo-se de 600 o ângulo que esses
lados formam, obtém-se uma diminuição de 3 m2 em sua área. Portanto, a área do triângulo
inicial de:
a) 4 m2
b) 5 m2
c) 6 m2
d) 9 m2
e) 12 m2
leisecos09.htm
(PUC-SP) Com os dados da figura, qual o valor de cos ?
a) 0,092
b) 0,125
c) 0,150
d) 0,222
e) 0,375
leisecos10.htm
Num triângulo ABC, o ângulo B=105 , e . Calcule as medidas dos
ângulos A e ângulo C.
leisecos11.htm

6. Arquivo: lsencos.pdf Page 6/14
Num triângulo ABC, , e . Calcule a medida de b.
leisecos12.htm
Num triângulo ABC, a=3, b=1 e . Calcular o lado c.
leisecos13.htm
Num triângulo ABC, o lado a=2, o lado e o lado . O ângulo B desse
triângulo igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
leisecos14.htm
Num triângulo ABC, a=2 cm, b=4 cm e A=300. Calcular a medida do ângulo B. R. B=900
leisecos15.htm
Um triângulo ABC está inscrito em um círculo de 3 cm de raio. Sabendo que o triângulo
tem o lado a medindo 3 cm, determinar a medida do ângulo A. Resp. 300 ou 1500
leisecos16.htm
Num triângulo ABC, temos b= cm, B=300 e C=750. Calcule o lado a e o ângulo A.
Resp. cm
leisecos17.htm
Calcule os lados a e c do triângulo ABC, sabendo que A=1200, B=450 e b=8 cm. Resp.
cm
leisecos18.htm
Calcule o raio do crculo no qual est inscrito um triângulo ABC de lado a=12 cm e ângulo
A=300. (Lembre-se que ) Resp. R=12 cm
leisecos19.htm

7. Arquivo: lsencos.pdf Page 7/14
Calcule o perímetro do triângulo da figura, com aproximação de 0,01. (Dados: AB=10 cm;
sen700=0,94; sen500 =0,77). Resp. 2p= 26,63 cm
Resolução:
leisecos20.htm
Determine a medida do lado a de um triângulo inscrito em um círculo cujo diâmetro mede
60 cm, sabendo que A=600. Resp. cm
leisecos21.htm
Calcule x e y com base nos dados da figura: Resp. x=8 cm e y= 4 cm
Resolução:
x+ y 3
cos 30 0 = = ↔ x + y = 12
8 3 2
( ) 2
Lei dos cos senos do triângulo isósceles : 8 3 = x 2 + x 2 − 2.x.x. cos120 0
1
64.3 = 2 x 2 + 2 x 2 . ↔ 3 x 2 = 3.64 ↔ x 2 = 64 ↔ x = 8
2
Como x + y = 12 → y = 4
leisecos22.htm
Na figura, AB=3 e BC=2. A :

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Resolução:
3 2 3 2 1 / 2x2 1
= ↔ = ↔ senα = =
sen30 0
senα 1 / 2 senα 3 3
1 3
A cos sec ante de α : cos ecα = = =3
senα 1
leisecos23.htm
Na figura, radianos, radianos e AC mede . A distância de B a C :
leisecos24.htm
O valor de x no triângulo ao lado igual a:
Resolução:
x = 5 2 + 10 2 − 2.5.10 cos120 0
2
1
x 2 = 125 + 100. = 175 → x = 5 2.7 = 5 7
2
leisecos25.htm
Um triângulo ABC tal que AB=AC=4. Se o ângulo A=1200, a medida do lado BC :

9. Arquivo: lsencos.pdf Page 9/14
leisecos26.htm
Para traçar uma circunferência de cm de comprimento usa-se um compasso com
pernas de 20 cm cada. O ângulo de abertura do compasso deve ser:
a) 450
b) 500
c) 550
d) 600 *
e) 750
Resolução:
Comprimento da circunferência: C = 2.π .r = 40π ↔ r = 20 cm logo o ângulo α = 60 0 .
leisecos27.htm
Num triângulo ABC, os segmentos BC e CE são alturas, BD=CE e o ângulo A=400. O
ângulo CBD vale:
a) 100
b) 150
c) 200 *
d) 250
e) 300
leisecos28.htm
A figura representa a trajetória ABC de um helicóptero que percorreu 12 km em AB, 14 km
em BC, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de A. O cosseno da inclinação :

10. Arquivo: lsencos.pdf Page 10/14
Resolução:
113
12 2 = 14 2 + 20 2 − 2.14.20. cos α → cos α =
140
leisecos29.htm
Num triângulo ABC, tem-se que a medida do ângulo de vértice A 600, AB=4 e BC= .
Então, AC igual a:
leisecos30.htm
leisecosaárea2.htm
Num triângulo issceles, , b=1 e A=1200. Determine os ângulos B e C, o lado c e a
área desse triângulo. R. B=C=300 e c=1
leisecosaárea3.htm

11. Arquivo: lsencos.pdf Page 11/14
Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a=3 cm, b=2 cm e C=450. R. cm2
leisecosaárea4.htm
Sendo cm, b= 2 cm e C=300, calcule a área do triângulo ABC.
R. cm2
leisecosaárea5.htm
Num triângulo ABC, m, me . Calcule a área desse
triângulo. R. m2
leisecosaárea6.htm
Calcule a área do triângulo ABC da figura: ® 1 dm2
Resolução:
1 1 2
Area = .2. 2 .sen 45 0 = .2. 2 . = 1 dm
2 2 2
leisecosaárea7.htm
O triângulo ABC tem lados a=3 e b=2 e o ângulo C mede 300 . Se triplicarmos o ângulo C,
o que acontecer com a área do triângulo.
Resp. S1=3/2 e S2=3, portanto a área do triângulo duplica.
leisecosaárea8.htm
A área de um triângulo ABC cm2. Calcule as medidas do ângulo A e do lado a,
sabendo que b=8 cm e c=4 cm. R. Para A=600 temos cm; para A=1200, temos
cm.
leisecosaárea9.htm

12. Arquivo: lsencos.pdf Page 12/14
No triângulo da figura, o valor do ,:
a)
razaotrigo17.htm
Resolução:
( 4)2
= 2 + 3 − 2. 2 . 3. cos α ↔ 2 6 cos α = 1 ↔ cos α =
1 6
=
2 6 12
(Mack-SP) Sabendo-se que, na figura, BA CA, o ângulo C=600, MB=MC e AB= 12
cm, então:
a) AM=4
m
b) AM=6 m
c) AM=7,5 m
d) 6 m
e) 8 m
Resolução:
12 3 24 3 24 3
cos 30 0 = = ↔ BC = . = = 8 3 , M é ponto médio da hipotenusa,
BC 2 3 3 3
logo AM é a mediana, assim: AM=MC=MB= 4 3 .
razaotrigo22.htm
(Cesgranrio) O trapézio retângulo MNPQ tem as medidas indicadas na figura. O cosseno do
ângulo QMN vale:

13. Arquivo: lsencos.pdf Page 13/14
a)
b)
c) -1
d)
e)
Resolução:
NP=4; usando o teorema de Pitágoras: QN2=82+42 à QN = 4 5
cos α = ?
( ) 2
2.5.5. cos α = − 4 5 + 5 2 + 5 2 ↔ 50 cos α = −30 ↔ cos α = −
30
50
=−
3
5
razaotrigo23.htm
(Cesgranrio) Em um triângulo ABC, o lado AB=3, o lado BC=4 e o ângulo B=600. O lado
AC mede:
a)
b)
c) 2
d) 5
e)
Código: razaotrigo24.htm
(Univ.Fed. GO) No triângulo abaixo, os valoes de x e y, nesta ordem, são:
a) 2 e
b) e2
c)
d)
e) 2 e
Resolução:

14. Arquivo: lsencos.pdf Page 14/14
2 x y
0
= 0
=
sen30 sen135 sen15 0
x 2 x 2 2 x 2
0
= ↔ 0
= ↔ =2 2↔x= .2 2 = 2
sen135 1/ 2 sen 45 1 2 2
2
y 2 2 y y
= ↔ =2 2↔ =2 2
sen15 0
1 sen (45 − 30 )
0 0
2 3 1 2
. − .
2 2 2 2
 6− 2 12 − 2 2 3 − 2
y = 2 2 
=
 = = 3 −1
 4  2 2
razaotrigo25.htm
(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo
interno deste triângulo , oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as
relações: 3a=7c e 3b=8c.
a) 300
b) 450
c) 600
d) 1200
e) 1350