O documento apresenta vários teoremas sobre derivadas, incluindo: (1) a derivada de uma constante é zero; (2) a regra da potência para derivar xn; (3) a derivada de um escalar vezes uma função é o escalar vezes a derivada da função. Também apresenta regras para derivar soma, produto, quociente e função recíproca.

1. TÉCNICAS DE
DIFERENCIAÇÃO
Teorema: A derivada de uma função
constante é zero, isto é, se c for um número
real qualquer, então d / dx [c] =0 ou f’(x) =0.
A reta tangente ao gráfico de f(x) = c
tem inclinação zero para todo x.

2. Teorema: Regra da Potência
Se n for um numero inteiro positivo, então
d / dx [xn] =n (x) n-1
Teorema: Se f for diferenciável em x e c for
um número real qualquer então, cf
também é diferenciável em x e
d / dx [c f(x) ] = c. d / dx [ f(x) ]

3. Teorema
Se f e g forem diferenciáveis em x, então:
d /dx [ f(x) + g(x) ] = d /dx [f(x)] + d /dx [g(x)]
A derivada da soma é a soma das derivadas.
d /dx [ f(x) - g(x) ] = d /dx [f(x)] - d /dx [g(x)]
A derivada da diferença é a diferença das
derivadas.

4. Teorema: Regra do Produto
Se f e g forem diferenciáveis em x, então:
d /dx [ f(x) . g(x) ] = f(x) . d /dx [g(x)] + g(x). d /dx [f(x)]
A derivada do Produto de duas funções é a
primeira vezes a derivada da segunda mais a
segunda vezes a derivada da primeira.

5. Teorema: Regra do Quociente
Se f e g forem diferenciáveis em x, então:
d /dx [ f(x) / g(x) ] ={ g(x) . d /dx [f(x)] - f(x). d /dx [g(x)] } / [g(x)]2
A derivada do Quociente de duas funções é igual
ao denominador vezes a derivada do
numerador menos o numerador vezes a
derivada do denominador, tudo dividido pelo
quadrado do denominador.

6. Teorema: Regra do Recíproco
• Se a função g for diferenciável em x e g(x) ≠ 0
então d /dx [ 1 / g(x) ] = - d /dx [ g(x) ]
[ g(x) ] 2
(DERIVADA DO QUOCIENTE)

7. Exemplos
Achar a derivada de:
f(x) = x6
f’(x) = 6.x5
Achar a derivada de:
x
f(x) = 1/ 6
f(x) = x-6
F’(x) =
-6 . x-7

8. Achar a derivada de:
d / dx [4x8] = 4. d /dx [x8 ] = 4. [ 8.x7] = 32 x7
d/ dx [-x12] = (-1) d /dx [x12] = -12x11

9. Achar a derivada de
d/dx [x4 +x2] = d/dx [x4] + d/dx [x2] =
4x3 + 2x
d/dx [6x11 – 9] = d/dx [6x11] – d/dx [9] =
66x10 – 0 = 66x10

10. Calcular dy/dx se:
y = ( 4x2 -1) ( 7x3 +x)
dy/dx = d /dx [( 4x2 -1) ( 7x3 +x) ] =
( 4x2 -1). d/dx [7x3 +x] + ( 7x3 +x) . d/dx [ 4x2 -1]
= ( 4x2 -1). (21 x2 +1) + ( 7x3 +x) . (8x) =
= 140x4 – 9x2 -1

11. Achar a derivada do quociente
f(x) = (x2 -1 ) / (x4 + 1)
f’(x) = { (x4 + 1). d /dx [(x2 -1 ) ] - (x2 -1 ).
d /dx (x4 + 1) } / (x4 + 1)2 =
= {(x4 + 1). (2x) - (x2 -1 ). (4x3) } / (x4 + 1)2 =
= (-2x5 +4x3 +2x ) / (x4 + 1)2 = - [2x. (x4 -2x2 -1) ] /
(x4 + 1)2

12. Achar a derivada do Recíproco
d/dx [ 1 /x] = {- d /dx [ x] } / x2 = -1 / x2