Os documentos resumem problemas envolvendo cálculos geométricos de quadriláteros, principalmente paralelogramos e retângulos. As informações essenciais incluem medidas de lados e ângulos, propriedades geométricas utilizadas nos cálculos e resultados numéricos obtidos.

1. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 1
1) Nomeamos o paralelogramo de ABCD, onde:
Aˆ 12x – 25º
Bˆ y
Cˆ 7x + 32
Dˆ y
Figura auxiliar
Para o cálculo de x utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo os
ângulos opostos são congruentes → DBeCA ˆˆˆˆ 
Fazendo CA ˆˆ  e substituindo, teremos:
Cálculo de x
12x – 23 = 7x + 32
12x – 7x = 32 + 23
5x = 55
x =
5
55
→ x = 11º
Cálculo do Aˆ
Aˆ 12x – 23º
Aˆ 12. 11 – 23
Aˆ 132 – 23
Aˆ 132 – 23
Aˆ 109º
CA ˆˆ  → Aˆ Cˆ 109º
Para o cálculo de y utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo a
soma dos ângulos adjacentes é igual a 180º, logo: º180ˆˆ  CA .
Calculo de y Calculo de DeB ˆˆ
º180ˆˆ  BA DB ˆˆ  → DB ˆˆ  = 71º
109º º180 y
y = 180 -109
y = 71º
R: Os ângulos são 71º, 71º, 109º e 109º.

2. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 2
2) Nomeamos um lado de x e o outro de y.
Figura auxiliar →
Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = 45,2 cm, logo:
2p = x + x + y + y = 45,2
2x + 2y = 45,2
2(x + y ) = 45,2
x + y =
2
2,45
→ x + y = 22,6 cm → equação 1
Do enunciado temos: a diferença de dois ângulos consecutivos é igual a 11 →
x – y = 11 → equação 2
Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.
x + y = 22,6
x – y = 11
Resolvemos o sistema (método da adição)
x + y = 22,6 x + y = 22,6
x – y = 11 x – y = 11
2x = 33,6 → x =
2
6,33
→ x = 16,8 cm
Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y.
x + y = 22,6
16,8 + y = 22,6
y = 22,6 – 16,8
y = 5,8 cm
R: Os lados medem 5,8 cm e 16,8cm

3. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 3
3) Plotamos os pontos P, S, Q e R no paralelogramo.
Figura auxiliar →
As diagonais de um paralelogramo se interceptam no ponto médio, ponto O,
Assim:
OQPOPQ  e ORSOSR 
Cálculo de OR
ORSOSR  , sendo que ORSO  e cmSR 17 , efetuando as substituições,
teremos:
ORSOSR 
OROR 17
OR217 
cmOROR 5,8
2
17

Cálculo de PQ
OQPOPQ  , sendo que OQPO  e cmOQ 5,11 , efetuando as
substituições, teremos:
OQPOPQ 
OQOQPQ 
OQPQ 2
5,112 PQ
cmPQ 23
R: cmOR 5,8 e cmPQ 23

4. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 4
4) Nomeamos o paralelogramo de A, B, C e D.
Um ângulo obtuso chamamos de x.
E um ângulo agudo de
3
1
. x
Para o cálculo de x utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo a
soma dos ângulos adjacentes é igual a 180º, logo: º180ˆˆ  DA .
º180ˆˆ  DA , onde xA ˆ e xD 
3
1ˆ , efetuando as substituições, teremos:
º180
3
1
 xx → multiplicando tudo por 3
31803
3
1
3  xx
540
3
3
3 
x
x → simplificar 3 do numerador com o 3 do denominador
5403  xx
5404 x
4
540
x
º135x , então:
xA ˆ → º135ˆ A
xD 
3
1ˆ →
3
135
135
3
1ˆ D → º45ˆ D
R: Um ângulo agudo mede 45º e um ângulo obtuso mede 135º.

5. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 5
5) Nomeamos um lado de x e o outro de y.
Figura auxiliar →
Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = 48 cm, logo:
2p = x + x + y + y = 48
2x + 2y = 48
2(x + y ) = 48
x + y =
2
48
→ x + y = 24 cm → equação 1
Do enunciado temos: a diferença de dois ângulos consecutivos é igual a 11 →
x – y = 10 → equação 2
Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.
x + y = 24
x – y = 10
Resolvemos o sistema (método da adição)
x + y = 24
x – y = 10
2x = 34 → x =
2
34
→ x = 17 cm
Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y.
x + y = 24
17 + y = 24
y = 24 – 17
y = 7 cm
R: Os lados medem 17 cm e 7 cm

6. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 6
6) ABCD é um paralelogramo AB = 2x + 1, BC = 3x + 4, CD = y – 6 e AD = y + 1.
Calcular o perímetro desse quadrilátero.
Figura auxiliar →
Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = AB + BC + CD + AD , logo:
2p = (2x – 1) + (3x + 4) +(y – 6) +(y + 1)
2p = 2x - 1 + 3x + 4 + y – 6 + y + 1
2p = 5x + 2y
Para calcularmos o perímetro do paralelogramo temos que encontrar x e y, logo:
Para o cálculo de x e y utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo os
lados opostos são congruentes → ADBCeCDAB 
Efetuando as substituições teremos:
CDAB  → 2x + 1 =y – 6 → 2x – y = - 6 – 1 → 2x – y = - 7 → equação 1.
ADBC  → 3x + 4 = y + 1 → 3x – y = 1 – 4 → 3x – y = - 3 → equação 2.
Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.
2x – y = - 7
3x – y = - 3
Resolvemos o sistema (método da adição)
2x – y = - 7 → multiplicando por . (-1) - 2x + y = + 7
3x – y = 11 3x – y = - 3
x = 4
Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y
2x - y = - 7 → 2 . 4 - y = - 7 → 8 - y = - 7 → y = 8 + 7 → y = 15
Calculo do perímetro
2p = 5x + 2y → substituindo os valores de x e y, teremos:
2p = 5 . 4 + 2 . 15 → 2p = 20 + 30 → 2p = 50
R: O perímetro mede 50.

7. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 7
7) ABCD é um paralelogramo com diagonais AC e BD .
AC e BD se interceptam em M.
Temos: AM = 2x + 1, CM = 3y, BM = 4x – 1 e DM = 5y + 2.
Para o cálculo de AC e BD utilizamos a propriedade que diz: As diagonais de
um paralelogramo se interceptam no ponto médio, ponto M, Assim:
CMAMAC  , onde CMAM 
DMBMBD  , onde DMBM 
Efetuando as substituições teremos:
CMAM  → 2x + 1 = 3y → 2x – 3y = – 1 → equação 1.
DMBM  → 4x - 1 = 5y + 2 → 4x – 5y = 3 → equação 2.
Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.
2x – 3y = - 1
4x – 5y = + 3
Resolvemos o sistema (método da adição)
2x – 3y = - 1 → multiplicando por . (- 5) -10x + 15y = + 5
4x – 5y = + 3 → multiplicando por . (3) 12x – 15y = + 9
2x = 14 → x =
2
14
→ x = 7
Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y
2x - 3y = - 1 → 2 . 7 - 3y = - 1 → 14 - 3y = - 1 → 3y = 14 + 1 → 3y = 15 →
y =
3
15
→ y = 5
Calculo da diagonais
CMAMAC 
AC 2x + 1 + 3y → substituindo os valores de x e y, teremos:
AC 2 . 7 + 1 + 3 . 5 → AC 14 + 1 + 15 → AC 30

8. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 8
DMBMBD 
BD 4x - 1 + 5y + 2 → substituindo os valores de x e y, teremos:
BD 4 . 7 - 1 + 5 . 5 + 2 → BD 28 - 1 + 25 + 2 → BD 54
R: A diagonal AC mede 30 e a diagonal BD mede 54.
8) 2p = 64 cm
Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = AB + BC + CD + AD , logo:
2p = (x + 7) + x + (x + 7) + x
64 = x + 7 + x + x + 7 + x
64 = 4x + 14 → 4x = 64 -14 → 4x = 50 → x =
4
50
→ x = 12,5 cm
64 = 4x + 14 → 4x = 64 -14 → 4x = 50 → x =
4
50
→ x = 12,5 cm
ADBC  → ADBC  = x = 12,5 cm
CDAB  → CDAB  = x + 7 = 12,5 + 7 = 19,5 cm
R: Os lados medem 12,5 cm e 19,5 cm.
9) Um lado chamaremos de x
O outro lado excede o lado x em 6,5, isto é, chamaremos de x + 6,5
a) Calcule as medidas dos lados.

9. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 9
Sabemos que a razão de um lado para o outro é de
20
7
, temos:
20
7
5,6

x
x
→ multiplicando cruzado, teremos:
20 . x = 7 . (x + 6,5) → aplicando a distributiva no segundo termo
20x = 7x + 45,5 → 20x – 7x = 45,5 → 13x = 45,5 → x =
13
5,45
→ x = 3,5 cm
Em um retângulo os lados opostos são congruentes, logo:
CDAB  = x + 6,5 = 3,5 + 6,5 = 10 cm → CDAB  = 10 cm
ADBC  = x = 3,5 → ADBC  = 3,5 cm
R: Os lados medem CDAB  = 10 cm e ADBC  = 3,5 cm.
b) Determine o perímetro do retângulo.
Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = AB + BC + CD + AD , logo:
2p = 10 + 3,5 + 10 + 3,5 → 2p = 27 cm
R: O perímetro é 27 cm.
10) Chamaremos aos ângulos formados pelas diagonais x e y.
As diagonais de um retângulo se interceptam no ponto médio e são iguais, então:
O triângulo MDC é isósceles →

10. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 10
Em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruente, logo:
Dˆ = Cˆ → Dˆ = 23º
Calculo de x
Em todo triângulo a soma dos ângulos internos é 180º, logo:
Mˆ + Cˆ + Dˆ = 180º
x + 23 + 23 = 180 → x + 46 = 180 → x = 180 – 46 → x = 134º
Calculo de y
x + y = 180º → são suplementares, efetuando a substituição de x, teremos:
134 + y = 180 → y = 180 – 134 → y = 46º
R: Os ângulos formados pelas diagonais são 134º e 46º.
11) Chamaremos aos lados do retângulo de x e y, lembrando que os lados opostos, de
um retângulo são congruentes, logo: CDAB  = y e ADBC  = x
O perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = AB + BC + CD + AD ,
logo:
2p = y + x + y + x → 192 = 2y + 2x → 192 = 2 (x + y) → x + y =
2
192
→
x + y = 96
Como as medidas dos lados estão na razão 3 para 5 e o perímetro mede 192 cm,
montamos um sistema de duas equações e duas incógnitas, assim temos:
Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.

11. LISTA 1 - QUADRILÁTEROS
PROFESSOR: LIMA 11
5
3

y
x
→ 5x = 3y → 5x – 3y = 0
x + y = 96
Resolvemos o sistema (método da adição)
5x – 3y = 0 5x – 3y = 0
x + y = 96→ multiplicando por . (3) 3x + 3y = 288
8x = 288 → x =
8
288
→ x = 36
Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y
5x - 3y = 0 → 5 . 36 - 3y = 0 → 180 - 3y = 0 → 3y = 180 → y =
3
180
→ y = 60
R: Os lados medem 36 cm e 60 cm.
Os exercícios 12 e 13 são para você fazer.
12) Num retângulo, uma diagonal forma com um dos lados um ângulo de 52º.
Calcular a medida de um dos ângulos obtusos formados pelas diagonais.
R: Um dos ângulos obtusos formados pelas diagonais mede 104º.
13) Num retângulo a medida de um lado excede a medida de um outro em 9 cm, e a
razão da medida de um lado para a do outro é
7
4
. Calcular a área desse
quadrilátero. (lembrete: área do retângulo é base x altura)
R: A área do retângulo é de 252 2
cm