Relações métricas no triângulo retângulo e Teorema de Pitágoras

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS -
Matemática
Ensino Médio, 1ª Série
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1

MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Olá, pessoal ! Eu sou
o famoso filósofo e
matemático Pitágoras
Vamos estudar juntos,
nesta aula, as Relações
Métricas no Triângulo
Retângulo
São estas Relações que
nos levam ao mais
famoso Teorema da
história da matemática...
O incrível Teorema de
Pitágoras que, claro, leva
meu nome porque fui eu
quem o descobriu...
Mas antes, deem uma
olhadinha na história de
como tudo isso
começou...
Vamos fazer um viagem
ao passado em que as
descobertas levavam
séculos para acontecer...
Apertem os
cintos ...
2
Imagem: Vatican Museum / Public Domain.

É quase uma unanimidade entre os historiadores que Pitágoras viveu no
séc. VI a.C., na Grécia, entre os anos 583 e 507. Acredita-se que ele nasceu
numa ilha chamada Samos, daí ele se chamar Pitágoras de Samos.
Fixou residência numa cidade no sul da Itália chamada Crotona. Lá fundou
a chamada Escola Pitagórica, onde se estudava Filosofia, Matemática,
Música dentre outras Ciências.
Grandes descobertas são atribuídas aos pitagóricos, entre elas o sistema
de numeração decimal e o mais conhecido e aplicado teorema que leva o
seu nome, o Teorema de Pitágoras.
Os pitagóricos tinham várias superstições. Uma delas
relacionada à Matemática, cujo símbolo, o pentagrama,
segundo eles, os protegia do mal.
Existem inúmeras demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Um
matemático americano chamado Elisha Scott Loomis conseguiu organizar
um total de 367 demonstrações diferentes, todas reunidas em um livro
chamado The Pythagorean Proposition.
3

MATEMÁTICA- 1º Ano
Chegou a hora de
estudar todas as
relações métricas das
quais falamos...
Vocês vão ver que todas estão
interligadas e que, com elas,
conseguimos encontrar todas as
medidas de qualquer segmento
em um triângulo retângulo.
Começa aqui, então,
outra viagem. Agora
vamos aos triângulos
retângulos...
Boa viagem
e bom estudo!
4

ˆ
Ângulo de 90º
Conforme vocês já sabem,
a soma dos ângulos
internos de qualquer
triângulo é 180º. Logo, se
Â = 90º, a soma dos
outros dois ângulos (B e
C) é igual a 90º.
Observe o triângulo ABC ao lado:
Note que ele é retângulo em Â,
isto é, a medida de Â é 90º.
Logo, os ângulos B e C são ditos complementares.
5
h
A
B C
b
n
m
H
c
a

ˆ
Observe que, entre os triângulos ABH e ABC, existem
em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice B
(amarelo), além do lado AB = c. Entre ACH e ABC,
existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice
C (vermelho), além do lado AC = b. Por semelhança do
tipo A.L.A. nos dois casos, podemos concluir que
Se dividirmos o triângulo
ABC pela altura relativa a
sua hipotenusa a, surgem
dois triângulos ABH e
ACH, retângulos em Ĥ.
Sendo assim, dividimos o
ângulo Â nos dois ângulos
já conhecidos do triângulo
ABC, que são C e B.
 ABH ~  ACH ~  ABC 6
h
A
B C
b
n
m
c
h
A
H H
Triângulo ABH Triângulo ACH

Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH
Vamos destacar a semelhança da tela anterior:
7
C
h
A
B
b
n
m
c
h
A
H H

Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH
Vamos destacar a semelhança da tela anterior:
8
h
A C
b
n
A
H
B
m
c
h
H

Vamos fazer algumas observações sobre os lados do  ABC:
O lado AB vai do ângulo de 90º
até o ângulo amarelo.
O lado AC vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho.
O lado BC vai do ângulo pintado
de amarelo até o ângulo pintado
de vermelho.
Lado AB
Lado BC
Lado AC
9
c
B C
b
a
A
H
Ângulo de 90º

B
H A
m
h
c
A
B
C
b
a
c
 ABH ~  ACH ~  ABC
Como já vimos, é verdade que
Vamos analisar a semelhança entre ABC e ABH.
Essa semelhança garante também a proporcionalidade entre seus lados.
Sendo assim, observem as relações que podemos estabelecer entre eles.
10

B
H A
m
h
c
A
B
C
b
a
c
Lados do Δ ABC
Lados do Δ ABH
11
a = b = c
c h m

Da proporção que obtivemos, e
trabalhando com as razões duas a
duas, temos:
12
a = b = c
c h m
a = b
c h
b = c
h m
a = c
c m
a . h = b. c
b . m = c. h
c² = a . m

Vamos analisar a semelhança entre ABC e ACH.
Também pela semelhança, a proporcionalidade entre os lados desses dois
triângulos determinam as seguintes relações:
13
B
H A
m
c
A
B
C
b
a
c

A
B
C
b
a
c
Lados do Δ ABC
Lados do Δ ACH
14
a = b = c
b n h
A
H C
h
b
n

Dessa nova proporção, a partir das
razões duas a duas, teremos:
15
a = b = c
b n h
a = b
b n
b = c
n h
a = c
c m
b² = a . n
b . h = c. n
a . h = b . c

Por último, vamos analisar a semelhança entre ABH e ACH.
A semelhança está mantida e dela vêm as seguintes relações:
B
H A
m
h
c
16
n
H
A
b
h
C

Lados do Δ ABH
Lados do Δ ACH
B
H A
m
h
c
17
A
H C
h
n
b
c = h = m
b n h

Dessa última proporção e comparação
das razões duas a duas, vem:
18
c = h = m
b n h
c = h
b n
h = m
n h
c = m
b h
c . n = b . h
h² = m. n
c . h = b . m

Agora, um relação muito importante é a da hipotenusa com as projeções do
catetos sobre ela. Observe o  ABC inicial que trabalhamos:
Veja que, sobre a hipotenusa a, estão
determinados dois segmentos:
CH = n
BH = m
Esses segmentos recebem
o nome de projeções.
Seria como se o sol
surgisse sobre os
catetos...
... e produzisse “sombra”
sobre a hipotenusa. Essas
sombras são então as
projeções.
19
h
A
B C
b
n
m
c

Teorema de Pitágoras
Chegou a hora
dele... o meu
teorema...
Vamos começar com sua
definição e, em seguida,
demonstraremos o mais
famoso Teorema da
história da Matemática
20

21
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. São eles:
O lado oposto ao ângulo
reto é denominado de
hipotenusa.
Os outros dois, opostos aos
ângulos agudos do triângulo,
são chamados de catetos.
Aqui vale a pena destacar uma
propriedade: a hipotenusa sempre
será o lado de maior medida de um
triângulo retângulo.
A
B
C
b
a
c

22
O quadrado da medida da
hipotenusa é igual a soma dos
quadrados da medida dos catetos.
O enunciado do Teorema de
Pitágoras é o seguinte:
a2 = b2 + c2
Nesse caso, com as denominações
de a, b e c, respectivamente para a
hipotenusa e os catetos, teremos:
A
B
C
b
a
c

23
Apenas para verificar essa relação, observem os seguinte triângulos
retângulos:
.
6
8
x
Quanto deve medir a hipotenusa
designada por x?
É bem simples: basta lançar os valores na
expressão do Teorema. Ou seja:
x2 = 62 + 82
x2 = 36 + 64
x2 = 100
x = 10

24
y
12
15
E agora? Quanto deve medir o cateto y?
É tão simples quanto o anterior: lançando
também os valores na expressão do
teorema. Ou seja:
152 = y2 + 122
225 = y2 + 144
y2 = 225 – 144
y = 9
y2 = 81

25
Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para
analisá-las a partir da observação do triângulo.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
A relação (1) pode ser definida como:
“A hipotenusa multiplicada pela altura
relativa a ela é igual ao produto dos
catetos”.
As relações (2) e (3) podem ser definidas como:
“Cada cateto multiplicado pela altura
relativa à hipotenusa é igual ao produto do
outro cateto pela projeção do primeiro”.
h
A
B
b
n
m
c
H
a . h = b. c
c² = a . m
b . h = c . n
h² = m. n
c . h = b . m
b² = a . n

26
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
As relações (4) e (5) podem ser definidas como:
“Cada cateto é a média geométrica entre a
hipotenusa e a sua projeção sobre ela”.
A relação (6) pode ser definida como:
“A altura relativa à hipotenusa é a média
geométrica entre as projeções dos
catetos”.
Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para
analisá-las a partir da observação do triângulo.
h
A
B
b
n
m
c
H
a . h = b. c
c² = a . m
b . h = c . n
h² = m. n
c . h = b . m
b² = a . n

Imagem:
Vatican
Museum
/
Public
Domain.
27
Como vocês podem ver, as relações simplesmente permitem que sejam
encontradas todas as medidas de um triângulo retângulo.
Todas são importantes, como já dissemos, mas o Teorema de Pitágoras é
o mais aplicado deles, pois há muito mais relação com situações práticas,
como poderemos observar daqui a pouco.
Vamos fazer uma demonstração que vocês
poderão fazer em sala de aula, junto com o
professor. Peguem o material e mãos à obra !
Vocês vão ver como será divertido provar que
Pitágoras e seus seguidores estavam certos.
A sugestão dada é que este triângulo a ser
usado seja o de medidas 3, 4 e 5. É mais
simples e fácil de construir.
Sigam os passos um
a um e vocês verão
como é legal a
demonstração !!

28
• Construam 4 triângulos retângulos de hipotenusa a e catetos b e c.
• Construam também 1 quadrado cujo lado tenha medida b + c.
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b + c
b + c

29
• No quadrado e a partir de cada um de seus vértices, coloquem cada
um dos 4 triângulos iniciais que vocês construíram.
Como os 4 triângulos são idênticos e sua hipotenusa mede a, temos
então um quadrado menor de área a2 dentro do quadrado maior de área
(b + c)2.
a a
a
a

30
Desenvolvendo a expressão da área do quadrado maior, que é um produto
notável, temos:
(b + c)2 = b2 + 2 . b . c + c2
Mas a área do quadrado maior pode ser vista também como a soma das
áreas dos 4 triângulos iniciais que construímos somada com a área do
quadrado menor. Podemos então definir essa mesma área da seguinte
forma:
Área do quadrado menor + 4 . Área do triângulo
a2 + 4 .
2
b.c
Simplificando 4 com 2, temos:
a2 + 2 . b . c
(1)
(2)
Como as expressões são iguais, pois representam a mesma figura,
teremos:

31
(1) = (2)
b2 + 2 . b . c + c2 = a2 + 2 . b . c
Ao simplificar 2 . b . c dos dois lados, a expressão restante é:
b2 + c2 = a2
As medidas a, b e c que aparecem nessa expressão final são exatamente a
medida dos lados do triângulo inicial, exatamente como queríamos
mostrar.
Logo, a relação descoberta pelos pitagóricos vale, então, para qualquer
triângulo retângulo.
Que tal, agora, nós vermos uma outra demonstração desse Teorema ???
Vamos assistir a um vídeo bem legal que traz esta outra demonstração. É
só visitar o link abaixo...
http://www.youtube.com/watch?v=GMy5z3nhVeQ

32
Agora que vocês são
especialistas em
Relações Métricas,
especialmente no meu
Teorema ...
... vamos meter bronca nos
exercícios, inclusive
aplicações do Teorema na
Geometria. Vamos lá ?!?
...depois é com vocês. Se
houver alguma dificuldade,
o professor vai dar uma
ajudinha. Sucesso !!
Pitágoras está certo... Agora
é exercitar. Primeiro, vamos
resolver alguns para vocês
observarem como é...
Imagem: Clip-art do Power Point.

Resolução:
Seja um quadrado de lado 5 cm.
A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa
de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos
lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais.
Observe:
Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema
de Pitágoras, teremos:
x2 = 52 + 52  x2= 25 + 25  x2 = 50  x = 5
Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de
qualquer quadrado:
33
EXERCÍCIOS
Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm?
1ª Questão
5 cm
5 cm
x
d = l
2

Resolução:
Seja um triângulo equilátero de lado 10cm.
A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em
destaque. Observe:
Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo
destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos:
102 = x2 + 52
O outro cateto mede 5cm, pois a altura divide a base ao meio
e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo:
100 = x2 + 25  x2 = 100 – 25  x = 75  x = 5
Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de
qualquer triângulo equilátero:
34
Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm.
2ª Questão
10cm
10cm 10cm

35
Resolução:
Observando a figura, notamos que a fixação faz a torre estar perpendicular ao chão.
Isso quer dizer que os pontos A da fixação de um dos cabos e B e C da torre formam
entre si um triângulo retângulo.
A distância entre o ponto A de fixação do cabo e B da fixação da torre ao chão,
formam o cateto menor, que mede 15m, conforme mostra a figura.
A distância entre B e C na torre mede 20m, sendo este o outro cateto.
O comprimento do cabo AC, portanto, é a hipotenusa (que chamaremos de x).
Por essas informações e usando o Teorema de Pitágoras, temos:
x2 = 152 + 202
x2 = 225 + 400
x2 = 625
x = 25
(UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço
fixos no chão, em um terreno plano horizontal,
conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B
da torre e C está a 20m de altura, determine o
comprimento do cabo AC.
3ª Questão
C
B
A

36
Resolução:
A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a.
Como vimos nas relações, cada um dos catetos será a média geométrica entre sua
projeção e a hipotenusa. Logo, vamos determinar inicialmente a hipotenusa.
Por Pitágoras, vem :
a2 = 82 + 62  a2 = 64 + 36  a2 = 100  a = 10
Agora que temos a hipotenusa, podemos usar a relação acima para cada cateto e sua
projeção. Assim, teremos:
c2 = a . m  62 = 10 . m  36 = 10 . m  m = 36/10  m = 3,6cm
b2 = a . n  82 = 10 . n  64 = 10 . n  n = 64/10  m = 6,4cm
Os catetos do triângulo retângulo ao lado
medem: AB = c = 6cm e AC = b = 8cm.
Determine a medida da projeção dos catetos
sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a
ela.
4ª Questão
h
A
B C
b
n
m
c
H

37
(UFPE) Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a
hipotenusa medem 16cm e 9cm. Calcule o perímetro desse triângulo.
5ª Questão
Resolução:
Com a medida das projeções, imediatamente
determinamos a medida da hipotenusa, pois
sua medida é a soma das medidas das
projeções. Logo:
a = m + n  a = 9 + 16  a = 25cm
Para o perímetro, nos falta a medida dos
catetos.
Usando a relação da questão anterior, teremos:
b2 = a . n  b2 = 25 . 16  b2 = 400  b = 20 cm
c2 = a . m  c2 = 25 . 9  c2 = 225  c = 15 cm
Agora, basta somarmos a medida dos lados que acabamos de encontrar.
a + b + c = 25 + 20 + 15 = 60cm
A
B C
h
H
9 cm 16 cm

38
Chegou a hora de vocês
assimilarem de vez as
relações. Não deixem
nenhum exercício para trás,
ok?!?
EXERCÍCIOS
1. Determine a medida x em cada um dos triângulos retângulos a seguir:
a) b) c)
4
x
8
2
x
6
12
x
Imagem: Clip-art do Power Point.

39
2. (MOJI-SP) Uma escada mede 4m e tem uma
de suas extremidades apoiada no topo de
um muro, e a outra extremidade dista 2,4m
da base do muro, conforme figura a seguir.
Determine a altura do muro.
3. (Fuvest – SP) Qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujo
perímetro é igual a 2?
4. Na figura ao lado, determine as medidas a, h, m e n .
h
A
B C
4
n
m
3
H
4m
2,4m

40
1. Um marceneiro cortou uma tábua retangular de 75cm de
comprimento por 20cm de largura, separando-a em dois
trapézios congruentes. Sabendo que o comprimento do corte
foi de 25cm, calcule a medida da base menor de um dos
trapézios.
2. O lampião representado na figura ao lado está suspenso por
duas cordas perpendiculares entre si presas ao teto. Sabendo
que essas cordas medem 1/6 e 2/5, determine a distância do
lampião ao teto.
3. Em um terreno plano e horizontal, um topógrafo marcou
um ponto M a 9m do centro H da base de uma torre
vertical. A seguir, marcou um ponto N na semirreta oposta
de HM, a 16m de H, observando que os pontos M, N e o
pico da torre determinavam um triângulo retângulo. Qual
a altura da torre?
20cm 25cm
75cm
M 9m H 16m N

41
Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do
Acesso
2, 3 e
20
Vatican Museum / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythag
oras_Bust_Vatican_Museum_(cropped).jpg
18/04/2012
27 Vatican Museum / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythag
18/04/2012
32b e
38
Clip-art do Power Point 18/04/2012
32a Vatican Museum / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythag
18/04/2012
Tabela de Imagens

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