Este documento apresenta exemplos e contraexemplos para proposições lógicas e matemáticas, analisa a significado e verdade de proposições quantificadas, e discute transformações como negação, contrapositiva e recíproca de enunciados condicionais.
Resolução dos exercícios da Lista 1 da disciplina de Funções de uma variável, do prof. Cláudio Meneses, da Universidade Federal do ABC.
Dúvidas/Comentários/Comunicação de Erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Mat ii aula 7 - noções de lógica - quantificadoresJD Dantas
Este documento discute quantificadores e como eles podem ser usados para transformar sentenças abertas em proposições. Ele introduz os quantificadores universal e existencial e fornece exemplos de como eles são usados.
O documento discute quantificadores, predicados e validade em lógica matemática. Explica que quantificadores como "para todo" e "para algum" se referem a propriedades de objetos. Predicados descrevem essas propriedades. A validade de uma expressão lógica depende se é verdadeira sob todas as interpretações possíveis dos quantificadores e predicados.
O documento discute diferentes técnicas de demonstração em lógica, incluindo: (1) validade absoluta de argumentos formais vs validade em um contexto específico; (2) técnicas formais vs menos formais; (3) conjecturas, teoremas e contraexemplos.
Matemática Discreta - Parte III definicoes indutivasUlrich Schiel
O documento discute métodos de prova de teoremas em matemática, incluindo prova direta, por contraposição, contradição e indução finita. Fornece exemplos de cada método ao provar teoremas como "se A está contido em B, então a interseção de A e B é igual a A".
Este documento apresenta os conceitos fundamentais do método simplex para resolver problemas de programação linear. Ele explica que o método simplex se baseia no fato de que, se um problema linear possui uma solução ótima, então existe uma solução básica ótima viável. O documento também descreve como o método simplex move de uma solução básica viável para outra de menor custo, até encontrar a solução ótima.
[Robson] 7. Programação Não Linear Irrestritalapodcc
O documento discute conceitos fundamentais de programação não linear, incluindo: (1) o problema geral de otimização, (2) classes de problemas de otimização dependendo das propriedades da função objetivo e do conjunto de restrições, (3) condições necessárias e suficientes de primeira e segunda ordem para otimalidade de problemas contínuos e (4) aplicação destes conceitos em problemas quadráticos.
O documento descreve algoritmos de otimização para problemas de grande porte, como o problema de cortes unidimensional. Ele apresenta formulações de Kantorovich, Gilmore e Gomory para o problema, além de explicar o método de geração de colunas para resolver as formulações de forma implícita evitando enumerar todas as colunas. O documento também discute a geração de planos de corte aplicando o método de geração de colunas ao dual do problema.
Resolução dos exercícios da Lista 1 da disciplina de Funções de uma variável, do prof. Cláudio Meneses, da Universidade Federal do ABC.
Dúvidas/Comentários/Comunicação de Erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Mat ii aula 7 - noções de lógica - quantificadoresJD Dantas
Este documento discute quantificadores e como eles podem ser usados para transformar sentenças abertas em proposições. Ele introduz os quantificadores universal e existencial e fornece exemplos de como eles são usados.
O documento discute quantificadores, predicados e validade em lógica matemática. Explica que quantificadores como "para todo" e "para algum" se referem a propriedades de objetos. Predicados descrevem essas propriedades. A validade de uma expressão lógica depende se é verdadeira sob todas as interpretações possíveis dos quantificadores e predicados.
O documento discute diferentes técnicas de demonstração em lógica, incluindo: (1) validade absoluta de argumentos formais vs validade em um contexto específico; (2) técnicas formais vs menos formais; (3) conjecturas, teoremas e contraexemplos.
Matemática Discreta - Parte III definicoes indutivasUlrich Schiel
O documento discute métodos de prova de teoremas em matemática, incluindo prova direta, por contraposição, contradição e indução finita. Fornece exemplos de cada método ao provar teoremas como "se A está contido em B, então a interseção de A e B é igual a A".
Este documento apresenta os conceitos fundamentais do método simplex para resolver problemas de programação linear. Ele explica que o método simplex se baseia no fato de que, se um problema linear possui uma solução ótima, então existe uma solução básica ótima viável. O documento também descreve como o método simplex move de uma solução básica viável para outra de menor custo, até encontrar a solução ótima.
[Robson] 7. Programação Não Linear Irrestritalapodcc
O documento discute conceitos fundamentais de programação não linear, incluindo: (1) o problema geral de otimização, (2) classes de problemas de otimização dependendo das propriedades da função objetivo e do conjunto de restrições, (3) condições necessárias e suficientes de primeira e segunda ordem para otimalidade de problemas contínuos e (4) aplicação destes conceitos em problemas quadráticos.
O documento descreve algoritmos de otimização para problemas de grande porte, como o problema de cortes unidimensional. Ele apresenta formulações de Kantorovich, Gilmore e Gomory para o problema, além de explicar o método de geração de colunas para resolver as formulações de forma implícita evitando enumerar todas as colunas. O documento também discute a geração de planos de corte aplicando o método de geração de colunas ao dual do problema.
O documento descreve os conceitos fundamentais da programação não linear com restrições, incluindo:
1) Definição do problema de otimização sobre um conjunto convexo com restrições não lineares;
2) Condições de otimalidade para problemas convexos;
3) Noções de pontos estacionários e restrições ativas e inativas.
1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par.
2) Prova que a soma de dois números racionais é também um número racional.
3) Usa o princípio da indução finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).
O documento descreve conceitos básicos de geometria da programação linear, incluindo definições de poliedros, semiespaços, hiperplanos e suas relações. Também apresenta definições equivalentes de pontos extremos, vértices e soluções básicas de um poliedro.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
Este documento fornece uma introdução à programação linear e não linear. Resume os principais conceitos como: 1) Definição de programação matemática e seus modelos geral, linear e não linear; 2) Métodos numéricos e analíticos para resolver problemas de otimização; 3) Noções fundamentais como gradiente, hessiana, convexidade e suas propriedades.
O documento apresenta uma introdução à análise de sensibilidade em problemas de programação linear, descrevendo como pequenas alterações nos parâmetros do problema, como adição de variáveis, restrições ou modificações nos vetores b, c, podem afetar as soluções ótimas. A análise de sensibilidade permite avaliar o impacto dessas alterações sem precisar resolver o problema do zero.
O documento discute regras de L'Hôpital para calcular limites indeterminados na forma 0=0 ou 1=1 usando derivadas. Apresenta exemplos de aplicação das regras para cálculo de limites envolvendo funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Discutem-se também novas formas indeterminadas como 00, 10 e 11 e procedimentos para lidar com estas.
1) O documento apresenta os principais conceitos da lógica matemática, incluindo noções de proposições, tabela verdade, operações lógicas e conectivos.
2) São definidos proposições simples e compostas, valores lógicos verdadeiro e falso, e apresentadas as regras para construção de tabelas verdade.
3) São explicados os principais conectivos lógicos - negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional - e suas respectivas tabelas verdade.
O documento discute a dualidade entre problemas de programação linear primal e dual. Explica como o problema dual é formado a partir do problema primal, com as restrições do primal se tornando a função objetivo do dual e vice-versa. Também mostra como a solução ótima do problema primal está relacionada à solução ótima do problema dual através do princípio da dualidade forte e fraca.
Este documento apresenta vários critérios para determinar se uma série converge ou diverge, incluindo o critério de Cauchy, comparação, razão, D'Alembert, raiz (ou Cauchy), Leibniz para séries alternadas e Raabe.
1) O documento discute indução matemática, incluindo indução fraca e forte;
2) Exemplos são dados para ilustrar como provar que uma cerca com estacas tem seções usando indução fraca e forte;
3) Um segundo exemplo mostra como provar que um número é primo ou produto de primos usando indução forte.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais dos números reais, incluindo:
1) Define os conjuntos N, Z, Q e R e suas relações de inclusão;
2) Apresenta os axiomas da adição, multiplicação e distributividade que definem a estrutura algébrica de R;
3) Demonstra propriedades algébricas dos números reais usando raciocínios lógicos a partir dos axiomas.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo informações sobre lógica, conjuntos numéricos e relações.
2) Inclui seções sobre noções de lógica como proposições, negação, conectivos lógicos e quantificadores, além de teoria dos conjuntos e princípios como o da indução finita.
3) O material didático foi produzido pela IESDE Brasil S.A. para uso em aulas particulares online e contém contribuições de vários aut
Este documento apresenta conceitos básicos de lógica, conjuntos e relações numéricas. Inclui definições de proposição, negação, conectivos lógicos como conjunção e disjunção e suas tabelas-verdade. Também aborda noções de tautologia, proposições logicamente falsas e condicionais.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo informações sobre lógica, conjuntos numéricos e relações.
2) Inclui seções sobre noções de lógica como proposições, negação, conectivos lógicos e quantificadores; e sobre teoria dos conjuntos e princípio da indução finita.
3) Fornece exemplos detalhados para explicar esses conceitos matemáticos fundamentais.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
1) O documento apresenta as regras básicas de cálculo de potências, incluindo que a potência de uma base positiva com expoente par é sempre positiva e com expoente ímpar é sempre negativa.
2) São fornecidos três exercícios para cálculo de potências com respostas alternativas.
(1) O documento é um caderno de questões para uma prova de seleção de pós-graduação em Ciência da Computação. (2) Ele contém instruções gerais sobre o exame e 70 questões sobre Matemática, Fundamentos de Computação e Tecnologia da Computação. (3) As questões vão de números inteiros a probabilidade, álgebra linear e geometria.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre equações algébricas, incluindo definição, teorema da decomposição, multiplicidade de raízes, resolução de equações, teorema das raízes complexas e relações de Girard.
Caderno exercicios 10º ano novo programa jorge penalvabeta2001
Este documento fornece informações sobre um caderno de exercícios de matemática do 10o ano que inclui sínteses com exemplos, mais de 500 exercícios propostos e respostas, e testes online. Aborda temas como introdução à lógica bivalente e teoria dos conjuntos, geometria analítica, álgebra, radicais e potências, polinómios, funções reais e estatística.
O documento descreve os conceitos fundamentais da programação não linear com restrições, incluindo:
1) Definição do problema de otimização sobre um conjunto convexo com restrições não lineares;
2) Condições de otimalidade para problemas convexos;
3) Noções de pontos estacionários e restrições ativas e inativas.
1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par.
2) Prova que a soma de dois números racionais é também um número racional.
3) Usa o princípio da indução finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).
O documento descreve conceitos básicos de geometria da programação linear, incluindo definições de poliedros, semiespaços, hiperplanos e suas relações. Também apresenta definições equivalentes de pontos extremos, vértices e soluções básicas de um poliedro.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
Este documento fornece uma introdução à programação linear e não linear. Resume os principais conceitos como: 1) Definição de programação matemática e seus modelos geral, linear e não linear; 2) Métodos numéricos e analíticos para resolver problemas de otimização; 3) Noções fundamentais como gradiente, hessiana, convexidade e suas propriedades.
O documento apresenta uma introdução à análise de sensibilidade em problemas de programação linear, descrevendo como pequenas alterações nos parâmetros do problema, como adição de variáveis, restrições ou modificações nos vetores b, c, podem afetar as soluções ótimas. A análise de sensibilidade permite avaliar o impacto dessas alterações sem precisar resolver o problema do zero.
O documento discute regras de L'Hôpital para calcular limites indeterminados na forma 0=0 ou 1=1 usando derivadas. Apresenta exemplos de aplicação das regras para cálculo de limites envolvendo funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Discutem-se também novas formas indeterminadas como 00, 10 e 11 e procedimentos para lidar com estas.
1) O documento apresenta os principais conceitos da lógica matemática, incluindo noções de proposições, tabela verdade, operações lógicas e conectivos.
2) São definidos proposições simples e compostas, valores lógicos verdadeiro e falso, e apresentadas as regras para construção de tabelas verdade.
3) São explicados os principais conectivos lógicos - negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional - e suas respectivas tabelas verdade.
O documento discute a dualidade entre problemas de programação linear primal e dual. Explica como o problema dual é formado a partir do problema primal, com as restrições do primal se tornando a função objetivo do dual e vice-versa. Também mostra como a solução ótima do problema primal está relacionada à solução ótima do problema dual através do princípio da dualidade forte e fraca.
Este documento apresenta vários critérios para determinar se uma série converge ou diverge, incluindo o critério de Cauchy, comparação, razão, D'Alembert, raiz (ou Cauchy), Leibniz para séries alternadas e Raabe.
1) O documento discute indução matemática, incluindo indução fraca e forte;
2) Exemplos são dados para ilustrar como provar que uma cerca com estacas tem seções usando indução fraca e forte;
3) Um segundo exemplo mostra como provar que um número é primo ou produto de primos usando indução forte.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais dos números reais, incluindo:
1) Define os conjuntos N, Z, Q e R e suas relações de inclusão;
2) Apresenta os axiomas da adição, multiplicação e distributividade que definem a estrutura algébrica de R;
3) Demonstra propriedades algébricas dos números reais usando raciocínios lógicos a partir dos axiomas.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo informações sobre lógica, conjuntos numéricos e relações.
2) Inclui seções sobre noções de lógica como proposições, negação, conectivos lógicos e quantificadores, além de teoria dos conjuntos e princípios como o da indução finita.
3) O material didático foi produzido pela IESDE Brasil S.A. para uso em aulas particulares online e contém contribuições de vários aut
Este documento apresenta conceitos básicos de lógica, conjuntos e relações numéricas. Inclui definições de proposição, negação, conectivos lógicos como conjunção e disjunção e suas tabelas-verdade. Também aborda noções de tautologia, proposições logicamente falsas e condicionais.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo informações sobre lógica, conjuntos numéricos e relações.
2) Inclui seções sobre noções de lógica como proposições, negação, conectivos lógicos e quantificadores; e sobre teoria dos conjuntos e princípio da indução finita.
3) Fornece exemplos detalhados para explicar esses conceitos matemáticos fundamentais.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
1) O documento apresenta as regras básicas de cálculo de potências, incluindo que a potência de uma base positiva com expoente par é sempre positiva e com expoente ímpar é sempre negativa.
2) São fornecidos três exercícios para cálculo de potências com respostas alternativas.
(1) O documento é um caderno de questões para uma prova de seleção de pós-graduação em Ciência da Computação. (2) Ele contém instruções gerais sobre o exame e 70 questões sobre Matemática, Fundamentos de Computação e Tecnologia da Computação. (3) As questões vão de números inteiros a probabilidade, álgebra linear e geometria.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre equações algébricas, incluindo definição, teorema da decomposição, multiplicidade de raízes, resolução de equações, teorema das raízes complexas e relações de Girard.
Caderno exercicios 10º ano novo programa jorge penalvabeta2001
Este documento fornece informações sobre um caderno de exercícios de matemática do 10o ano que inclui sínteses com exemplos, mais de 500 exercícios propostos e respostas, e testes online. Aborda temas como introdução à lógica bivalente e teoria dos conjuntos, geometria analítica, álgebra, radicais e potências, polinómios, funções reais e estatística.
O documento descreve os conceitos de razão, proporção e as relações entre grandezas direta e inversamente proporcionais. Explica que uma razão é o quociente entre dois números e uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Também apresenta exemplos de como calcular termos faltantes em proporções e aplicar os conceitos em situações reais.
Matemática Para Concursos Militares - Volume1Everton Moraes
Este documento apresenta os principais conceitos da Teoria dos Conjuntos, incluindo elementos, conjuntos, relação de pertinência, variáveis, funções proposicionais, quantificadores universal e existencial, relação de inclusão, conjunto universo, conjunto vazio e conjunto das partes.
Reavaliação gab 1etapa_ 8a_numeros_geometria_2011Joelson Lima
Este documento apresenta as respostas de um aluno para uma prova de matemática do 8o ano com 10 questões. A maioria das respostas está correta, com cálculos e desenhos organizados. A única resposta incorreta é da questão 10, que afirma que as circunferências c e g são internas, quando na verdade são secantes.
1) O documento apresenta os números naturais e os axiomas de Peano que os definem formalmente, incluindo o axioma da indução;
2) É explicado como a adição e multiplicação são definidas recursivamente usando o axioma da indução;
3) A ordenação dos números naturais é definida e suas propriedades como transitividade e monotonicidade são apresentadas.
1) A lista de exercícios apresenta questões sobre propriedades de números pares e ímpares, diferença entre quadrados de números inteiros consecutivos, divisibilidade, mdc, mmc e outras operações com números.
2) Os exercícios incluem cálculos de mdc, mmc e distribuição de itens em grupos iguais.
3) A lista é composta por 22 exercícios sobre tópicos elementares de teoria dos números.
1) O documento apresenta 24 questões sobre equações e sistemas de equações algébricas. Inclui representar situações reais com equações, resolver equações, determinar conjuntos-solução e verificar se pares ordenados são soluções de sistemas.
2) Também aborda conceitos como membros da equação, termos, raízes, inequações e áreas de figuras geométricas.
3) As questões variam entre representar situações reais com equações, resolver equações, determinar conjuntos-solução e verificar se pares ordenados são solu
O documento apresenta técnicas algébricas como fatoração, frações algébricas e racionalização para resolver equações. Inclui exemplos de fatoração de expressões, diferença de quadrados, trinômio perfeito e exercícios para praticar estas técnicas.
O documento descreve o cálculo do preço faturado com a operação de recompra de energia elétrica não utilizada pelo comprador. O preço faturado é menor que o preço contratado se o preço de recompra for maior que o preço contratado, e maior que o preço contratado se o preço de recompra for menor que o preço contratado.
O documento explica como calcular o imposto de renda no Brasil usando duas métodos: 1) aplicando uma alíquota fixa dependendo da faixa de renda ou 2) decompondo a renda em parcelas e aplicando alíquotas progressivas para cada parcela. Exemplos mostram que os métodos produzem os mesmos resultados, com possíveis diferenças de 1 centavo devido a arredondamentos.
O documento apresenta a demonstração algébrica e geométrica da equação de Bhaskara, que é usada para resolver equações do segundo grau. A demonstração algébrica utiliza o método de completar quadrados para chegar à forma x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. A demonstração geométrica representa os termos da equação do segundo grau como áreas para chegar à mesma forma da equação de Bhaskara.
O documento apresenta a demonstração matemática da igualdade 0,999... = 1 através da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A demonstração começa reescrevendo 0,999... como uma soma infinita de termos decrescentes em potências de 0,1. Em seguida, deduz a fórmula geral para a soma de uma progressão geométrica finita e infinita. Aplicando a fórmula para a progressão dada, conclui que a soma é igual a 1, demonstrando a igualdade proposta.
1) A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica na qual cada termo subsequente é a soma dos dois anteriores, começando por 1, 1.
2) São mostradas propriedades matemáticas desta sequência, como fórmulas para a soma dos termos de índice ímpar e par e uma fórmula geral conhecida como fórmula de Binet.
3) As propriedades são demonstradas usando o princípio da indução matemática.
1) O documento explica por que "menos com menos dá mais" através da demonstração matemática da propriedade (-1)×(-1)=1 usando os axiomas dos números reais.
2) Primeiro demonstra-se que qualquer número real multiplicado por zero resulta em zero, e que a multiplicação de um número por -1 resulta em seu oposto.
3) Em seguida, mostra-se que ao multiplicar -1 por si mesmo usando as propriedades anteriores, obtém-se 1, justificando a propriedade.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
A prova analisa quatro casos possíveis para os sinais de x e y e demonstra que em todos eles a desigualdade |x + y| ≤ |x| + |y| é válida. Uma segunda forma de prova nota que |x| ≥ x, |y| ≥ y e |x + y| é igual ao maior entre x + y e -(x + y), o que implica que |x| + |y| ≥ |x + y|. Portanto, a desigualdade é verdadeira para qualquer valor de x e y.
Isaac Newton desenvolveu o cálculo, a lei da gravitação universal e estudou a natureza da luz. Gottfried Leibniz também desenvolveu o cálculo independentemente e teve uma disputa com Newton sobre prioridade. Ambos foram importantes matemáticos e físicos do século XVII.
O documento discute as fontes não renováveis de energia, com foco nos petróleos ultra-pesados. Apresenta as seguintes informações essenciais:
1) Petróleos ultra-pesados têm densidade menor que 10°API e são encontrados em depósitos no Canadá, Venezuela, Rússia e outros países.
2) Na Venezuela, a faixa do Orinoco contém os 2o maiores depósitos de petróleo ultra-pesado do mundo, com estimativas de reservas entre 60-500 bilhões de barris.
3) A
Dedução das equações de tensão média e tensão eficaz para os principais tipos de formas de onda utilizadas em circuitos elétricos.
Sugestões, dúvidas e relatos de erros: rtpsilva@aluno.ufabc.edu.br
- Uma usina tem água de resfriamento saindo a 35°C e entrando em uma torre de resfriamento a 100 kg/s. A água é resfriada a 22°C e o ar entra a 100 kPa e 20°C e sai saturado a 30°C.
- Fazendo balanços de massa e energia, calcula-se a vazão de ar para a torre como 82,03 m3/s e a vazão de água de reposição como 1,802 kg/s.
O documento apresenta a demonstração do binômio de Newton por indução finita, mostrando que a fórmula (x + y)n = ∑ni=0(nCi)xiy(n-i) é válida para qualquer número natural n ≥ 1. A demonstração parte do caso base n = 1 e assume a propriedade válida para k, demonstrando ser válida também para k + 1.
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.
1. ´
LISTA 0 - BASES MATEMATICAS
Resolu¸˜o
ca
Elementos de L´gica e Linguagem Matem´tica
o a
1 — Dˆ exemplos ou contra-exemplos, se existirem, para as seguintes afirma¸˜es:
e co
a) Para todo x ∈ , x + 1 > 2
Exemplos: qualquer n´mero real maior que 1.
u
Contra-exemplos: qualquer n´mero real menor ou igual a 1.
u
b) Todas as letras da palavra “banana” s˜o vogais.
a
Exemplos: as letra ‘a’.
Contra-exemplos: as letras ‘b’ e ‘n’.
c) Para todo x ∈ , x2 < x
Exemplos: Qualquer real pertencente a (0, 1)
Contra-exemplos: Qualquer real pertecente a (−∞, 0] ou [1, ∞)
d) Para todo m, n ∈ N pares, temos que n + m ´ par.
e
Exemplos: m = 10 e n = 20 ou m = 2 e n = 1, entre outros.
Contra-exemplos: N˜o existem.
a
2 — O que as seguintes afirma¸˜es significam? Elas s˜o universais ou particulares?
co a
Elas s˜o verdadeiras? O universo de discurso em todos os casos ´ os n´ meros naturais.
a e u
a) ∀x∃y(x < y)
Para todo natural x existe um y tal que x ´ menor que y.
e
A proposi¸˜o ´ universal e verdadeira.
ca e
b) ∃y∀x(x < y)
Existe um y para todo x tal que y ´ maior que x.
e
A proposi¸˜o ´ particular e falsa, pois se x = y + 1, por exemplo, n˜o ´ maior que y.
ca e a e
c) ∃x∀y(x < y)
Existe um x para todo y tal que x ´ menor que y.
e
A proposi¸˜o ´ particular e falsa, pois se y = x − 1, por exemplo, n˜o ´ menor que x.
ca e a e
d) ∀y∃x(x < y)
Para todo y existe um x tal que y ´ maior que x.
e
A proposi¸˜o ´ universal e verdadeira.
ca e
e) ∃x∃y(x < y)
Existe um x e existe um y tal que x ´ menor que y.
e
A proposi¸˜o ´ particular e verdadeira.
ca e
f) ∀x∀y(x < y)
Quaisquer que sejam x e y, x ´ menor que y.
e
Proposi¸˜o universal e falsa. Contra exemplo: x = 3 e y = 2.
ca
3 — O que as seguintes afirma¸˜es significam? Elas s˜o verdadeiras? Dˆ exemplos e
co a e
contra-exemplos, quando poss´
ıvel. O universo de discurso em todos os casos ´ os n´ meros
e u
1
2. naturais.
a) ∀x∃y(2x − y = 0)
Para todo x existe um y tal que y ´ igual a 2x.
e
A proposi¸˜o ´ verdadeira.
ca e
Exemplo: Para x = 2 temos y = 4.
N˜o existem contra-exemplos.
a
b) ∃y∀x(2x − y = 0)
Existe um y para todo x tal que y ´ igual a 2x.
e
A afirma¸˜o ´ falsa. Pois se x = 1, ent˜o y = 2 e se x = 2, ent˜o y = 4.
ca e a a
c) ∃y∃z(y + z = 100)
Existem y e z tal que a soma de y com z seja igual a 100.
A afirma¸˜o ´ verdadeira.
ca e
Exemplos: y = 40 e z = 60; y = 15 e z = 85.
4 — Negue as seguintes proposi¸˜es:
co
a) 3 > 4 e 2 ´ par.
e
3 ≤ 4 ou 2 ´ ´
e ımpar.
b) N˜o ´ verdade que (3 ´ par ou que 5 ´ ´
a e e e ımpar).
3 ´ par ou 5 ´ ´
e e ımpar
c) 2 ´ um n´mero par e 3k + 1 ´ um n´mero ´
e u e u ımpar
2 ´ um n´mero ´
e u ımpar ou 3k + 1 ´ um n´mero par
e u
d) 2 ´ um n´mero par e n˜o ´ verdade que 3 ´ um n´mero ´
e u a e e u ımpar.
2 ´ um n´mero ´
e u ımpar ou 3 ´ um n´mero ´
e u ımpar
e) Todo elemento do conjunto A ´ elemento do conjunto B.
e
Existem pelo menos um elemento do conjunto A que n˜o ´ elemento do conjunto B.
a e
f) N˜o ´ verdade que (5 ´ um n´mero primo e 4 ´ um n´mero ´
a e e u e u ımpar).
5 ´ um n´mero primo e 4 ´ um n´mero ´
e u e u ımpar.
g) (N˜o ´ verdade que 5 ´ um n´mero primo) ou 4 ´ um n´mero ´
a e e u e u ımpar.
5 ´ um n´mero primo e 4 ´ um n´mero par.
e u e u
5 — Nas seguintes proposi¸˜es abertas o dom´
co ınio do discurso ´ o conjunto dos reais.
e
Para essas proposi¸˜es esboce na reta real o seu conjunto verdade.
co
6 — Ache a contra-positiva, a rec´
ıproca e a inversa das seguintes frases:
a) n˜o p =⇒ q
a
Contra-positiva: p =⇒ n˜o q
a
Rec´ıproca: q =⇒ n˜o p
a
Inversa: p =⇒ n˜o q
a
b) n˜o p =⇒ n˜o q
a a
Contra-positiva: q =⇒ p
Rec´ıproca: n˜o q =⇒ n˜o p
a a
2
3. Inversa: p =⇒ q
c) p =⇒ n˜o q
a
Contra-positiva: q =⇒ n˜o p
a
Rec´ıproca: n˜o q =⇒ p
a
Inversa: n˜o q =⇒ p
a
d) Se chove ent˜o n˜o vou trabalhar.
a a
Contra-positiva: Vou trabalhar ent˜o n˜o chove.
a a
Rec´ıproca: N˜o vou trabalhar ent˜o chove.
a a
Inversa: Se n˜o chove ent˜o eu vou trabalhar.
a a
e) Se x ´ par, ent˜o 2x + 1 ´ ´
e a e ımpar.
Contra-positiva: Se 2x + 1 ´ par ent˜o x ´ ´
e a e ımpar.
Rec´ıproca: Se 2x + 1 ´ ´
e ımpar ent˜o x ´ par.
a e
Inversa: Se x ´ ´
e ımpar, ent˜o 2x + 1 ´ par.
a e
f) Se minha m˜e ´ um trator, ent˜o eu sou uma moto-serra.
a e a
Contra-positiva: Se eu n˜o sou uma moto-serra, ent˜o minha m˜e n˜o ´ um trator.
a a a a e
Rec´ıproca: Se eu sou uma moto-serra ent˜o minha m˜e ´ um trator.
a a e
Inversa: Se minha m˜e n˜o ´ um trator, ent˜o eu n˜o sou uma moto-serra.
a a e a a
g) Se 2k + 1 ´ primo, ent˜o k ´ uma potˆncia de 2.
e a e e
Contra-positiva: Se k n˜o ´ uma potˆncia de 2 ent˜o 2k + 1 n˜o ´ primo.
a e e a a e
Rec´ıproca: Se k ´ uma potˆncia de 2 ent˜o 2k + 1 ´ primo.
e e a e
Inversa: Se 2k + 1 n˜o ´ primo, ent˜o k n˜o ´ uma potˆncia de 2.
a e a a e e
h) Se x2 + y 2 = 0 ent˜o x e y s˜o iguais a 0.
a a
Contra-positiva: Se x e y s˜o diferentes de 0, ent˜o x2 + y 2 = 0
a a
Rec´ıproca: Se x e y s˜o iguais a 0 ent˜o x2 + y 2 = 0.
a a
Inversa: Se x2 + y 2 = 0 ent˜o ent˜o x e y s˜o diferentes de 0.
a a a
7 — Atribua um valor verdade `s proposi¸˜es:
a co
a) Se 2 ´ par, ent˜o 3 ´ ´
e a e ımpar.
Verdadeira.
b) Se 2 n˜o ´ par, ent˜o 3 ´ ´
a e a e ımpar.
Equivale a: Se 2 ´ ´
e ımpar, ent˜o 3 ´ ´
a e ımpar.
Verdadeira.
c) Se 3 n˜o ´ par, ent˜o 3 n˜o ´ ´
a e a a e ımpar.
Equivale a: Se 3 ´ ´
e ımpar, ent˜o 3 ´ par.
a e
Falso.
d) Se minha m˜e ´ um trator, ent˜o eu sou uma moto-serra.
a e a
Verdadeira, pois a premissa ´ falsa.
e
8 — Para os pares de proposi¸˜es p e q diga se p ´ condi¸˜o necess´ria e/ou suficiente
co e ca a
para q. Em todos os exemplos, considere x um n´ mero natural.
u
a) p = “x ´ maior que 2” q = “x ´ maior que 3”.
e e
“x ´ maior que 3” ⇒ “x ´ maior que 2”, ou seja, q ⇒ p
e e
Ent˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria para q.
a e ca a
3
4. b) p = “x ´ maior igual a 2” q = “x ´ maior que 2”.
e e
“x ´ maior igual a 2” “x ´ maior que 2”, ou seja, p ⇒ q
e e
Ent˜o, p ´ condi¸˜o suficiente para q.
a e ca
c) p = “x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2” q = “x ´ menor que 2”.
e e e
x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2” ⇒ “x ´ menor que 2”, ou seja, p ⇒ q
e e e
Entao, p ´ condi¸˜o suficiente para q.
e ca
d) p = “x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2” q = “x = 1”.
e e
“x = 1” ⇒ “x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2”, i.e., q ⇒ p
e e
Ent˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria para q.
a e ca a
e) p = “∆ ´ um triˆngulo is´sceles” q = “∆ ´ um triˆngulo equil´tero”.
e a o e a a
“∆ ´ um triˆngulo equil´tero” ⇒ “∆ ´ um triˆngulo is´sceles”, i.e., q ⇒ p
e a a e a o
Ent˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria para q.
a e ca a
f) p = “M ´ uma matriz com determinante diferente de 0” q = “M ´ uma matriz invert´
e e ıvel”.
“M ´ uma matriz com determinante diferente de 0” ⇒ “M ´ uma matriz invert´
e e ıvel”, i.e., q ⇒ p
“M ´ uma matriz invert´
e ıvel” ⇒ “M ´ uma matriz com determinante diferente de 0”, i.e., p ⇒ q
e
Ent˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria e suficiente para q.
a e ca a
9 — Transcreva as seguintes proposi¸˜es para a forma simb´lica.
co o
a) Existe um n´mero real n tal que n2 = 2.
u
∃n ∈ R|n 2 =2
b) N˜o existe n´mero racional x tal que x2 = 2
a u
∃x ∈ Q|x2 = 2
c) Existe x tal que x2 ´ par e divis´ por 3.
e ıvel
∃x|x2 e par e divis´ por 3 ou ∃x|x2 = 2k1 ∧ x2 = 3k2 ; k1 , k2 ∈ Z
´ ıvel
d) N˜o existe n´mero inteiro x tal que x2 ´ primo ou x2 ´ negativo.
a u e e
2 e primo ou x2 < 0
∃x ∈ Z|x ´
e) Existe um n´mero inteiro x tal que x2 ´ par ou x2 ´ ´
u e e ımpar.
2 e par ou x2 e ´
∃x ∈ Z|x ´ ´ ımpar ou ∃x ∈ Z|x 2 = 2k ∨ x2 = 2k + 1
1 2
f) Para cada n´mero real x existe um n´mero real y tal que x + y = 0.
u u
∀x ∈ R, ∃y ∈ R|x + y = 0
g) Todo elemento do conjunto A ´ elemento do conjunto B.
e
∀a ∈ A, a ∈ B
h) Para todo , existe δ( ) tal que se 0 < |x − a| < δ ent˜o |f (x) − f (l)| < .
a
∀ , ∃δ( )|0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (l)| <
10 — Para cada uma das proposi¸˜es anteriores, escreva a nega¸˜o simb´lica e “em
co ca o
portuguˆs”.
e
a) Qualquer que seja n real n˜o ´ verdade n2 = 2.
a e
∀n ∈ R|n2 = 2
b) Existe n´mero racional x tal que x2 = 2
u
∃x ∈ Q|x 2 =2
4
5. c) Para todo x, x2 ´ ´
e ımpar ou n˜o ´ divis´ por 3.
a e ıvel
∀x, x2 = 2k ∨ x2 = 3k ; k , k ∈ Z
1 2 1 2
d) Existe n´mero inteiro x tal que x2 ´ primo ou x2 ´ negativo.
u e e
∃x ∈ Z|x2 e primo ∨ x2 < 0
´
e) Para todo x inteiro, x2 ´ ´
e ımpar e x2 ´ par.
e
∀x ∈ Z, x2 = 2k + 1 ∧ x2 = 2k ; k , k ∈ Z
1 2 1 2
f) Existe ao menos um x real e existe um n´mero real y tal que x + y = 0
u
∃x ∈ R, ∃y ∈ R|x + y = 0
g) Existe ao menos um elemento do conjunto A que n˜o ´ elemento do conjunto B.
a e
∃a ∈ A|a ∈ B
/
h) Existe ao menos um e existe δ( ) tal que 0 < |x − a| < δ e |f (x) − f (l)| ≥
∃ , ∃δ( )|0 < |x − a| < δ ∧ |f (x) − f (l)| ≥
11 — Para todas as afirma¸˜es a seguir n denota um numero natural. Determine o
co
conjunto verdade das seguintes proposi¸˜es abertas.
co
a) n2 < 12
V = {1, 2, 3}
b) 3n + 1 < 25
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
c) 3n + 1 < 25 e n + 1 > 4
V = {5, 6, 7}
d) n < 5 ou n > 3
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} = N
e) n ´ primo e n˜o ´ verdade que n > 17
e a e
V = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
f) (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) = 0
V = {1, 2, 3, 4}
12 — Demonstre as seguintes afirma¸˜es:
co
a) Se a divide b e a divide c ent˜o a divide b + c.
a
b
Hip´tese: a divide b, i.e., a = k1 ⇒ b = ak1 e a divide c, i.e., c = ak2 ; k1 , k2 ∈ Z
o
Tese: a divide b + c, i.e., b+c = k ⇒ b + c = ak; k ∈ Z
a
Assumindo como verdadeira a hip´tese, temos
o
b + c = ak1 + ak2 = a(k1 + k2 )
Dizemos que k1 + k2 = k e conclu´
ımos que b + c = ak, como se quer demonstrar.
b) Se p e q s˜o n´meros racionais, ent˜o p + q ´ um n´mero racional.
a u a e u
k1 k3
Hip´tese: p e q s˜o n´mero racionais, i.e., p =
o a u k2 eq= k4 ; k1 , k2 , k3 , k4 ∈ Z
5
6. m
Tese: p + q ´ racional, i.e., p + q =
e n; m, n ∈ Z
Assumindo a hip´tese como verdadeira, temos
o
k1 k3 k1 k4 +k3 k2
p+q = k2 + k4 = k2 k4
m
Dizemos que k1 k4 + k3 k2 = m ∈ Z e k2 k4 = n ∈ Z e obtemos p + q = n, como se quer demonstrar.
13 — Use o m´todo da redu¸˜o ao absurdo para mostrar cada uma das seguintes
e ca
proposi¸˜es.
co
a) A raiz de c´bida de 2 ´ irracional.
u e
b) N˜o h´ solu¸˜o racional para a equa¸˜o x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0.
a a ca ca
Devemos tentar mostrar que a equa¸˜o x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0 possui solu¸˜o racional e chegar em
ca ca
uma contradi¸˜o.
ca
c) Dados a, b, c inteiros. Mostre que se a n˜o divide bc, ent˜o a n˜o divide b.
a a a
14 — Prove cada uma das proposi¸˜es pelo m´todo contra-positivo.
co e
a) Se x e y s˜o dois n´meros inteiros cujo produto ´ ´
a u e ımpar, ent˜o ambos tem de ser ´
a ımpar.
Contra-positiva: Se x e y s˜o pares ent˜o o produto xy ´ par.
a a e
Se x ´ par, ent˜o x = 2k1 e se y ´ par, ent˜o y = 2k2 , onde k1 , k2 ∈ Z, temos:
e a e a
xy = 2k1 (2k2 ) = 2(2k1 k2 )
Admitindo 2k1 k2 = k ∈ Z, concluimos que xy = 2k, e, portanto, par.
b) Se a e b s˜o n´meros reais tais que o produto ab ´ um n´mero irracional, ent˜o, ou a ou b deve ser
a u e u a
um n´mero irracional.
u
Contra-positiva: Se a e b s˜o n´meros racionais ent˜o o produto ab ´ racional.
a u a e
Se a e b s˜o racionais, ent˜o, a = p1 e b = p2 , onde pq , q1 , p2 , q2 ∈ Z temos ab = p1 · p2 = p1 q2
a a q
1
q
2
q
1
q
2
q
1 p2
p
Assumindo p1 p2 = p ∈ Z e q1 q2 = q ∈ Z obtemos ab = q , de onde pode-se concluir que ab ´ racional.
e
15 — Mostre que o produto de um n´ mero racional n˜o nulo com um n´ mero irraci-
u a u
onal ´ irracional.
e
16 — Dados a, b, c n´ meros inteiros com c = 0. Mostre que a divide b se, e somente se,
u
ac divide bc.
1a Parte: Deve-se demonstrar que b = ak ⇒ bc = ack; k ∈ Z
bc = ak · c = ack
Logo, ac divide bc.
2a Parte: Deve-se demonstrar que bc = acu ⇒ b = au; u ∈ Z
6
7. bc = acu ÷ (c), pois c = 0
Dai, obtemos
b = au
como se quer demonstrar.
7