O documento apresenta vários produtos notáveis e suas aplicações em fatoração. Inclui o quadrado da soma e da diferença de termos, a diferença de quadrados, o cubo da soma e da diferença de termos e o uso do fator comum em fatorações.

1. Fatoração
8ª Ano
Unidade Temática:
Produtos Notáveis

2. Produtos Notáveis:
Quadrado
da Soma de
dois termos: b
a
b
a
2
)
( b
a 
2
b
2
a
b
a.
b
a.
2
2
.
.
2 b
b
a
a 

Soma das Áreas=
)
).(
( b
a
b
a 



3. Produtos Notáveis:
Quadrado da
diferença de dois
termos:
b
a
b
a
2
)
( b
a 
2
)
( b
a 

4. Produtos Notáveis:
Quadrado da
diferença de dois
termos.
a - b
a - b
2
)
( b
a 
2
)
( b
a 
2
2
.
.
2 b
b
a
a 

Calculando a área
que sobrou teremos:
)
).(
( b
a
b
a 



5. Produtos Notáveis:
Diferença de
quadrados:
2
2
b
a 
b
a
a
b
2
a
2
b

6. Após a subtração
da maior área pela
menor área,
marcamos com uma
diagonal separando
a área restante
dividindo-a em duas
partes, que são dois
trapézios.

7. Após separarmos
as áreas,
registramos
algebricamente as
partes que sobraram
(lados do trapézio). b
a
a
b
a - b
a - b
Diferença de
quadrados:

8. b
a.

b
a.

Agora se juntarmos
os trapézios
formaremos um
retângulo de lado
(a + b) e (a - b) e se
calcularmos a sua
área vamos encontrar
(a2 - b2).
a + b
a
-
b
)
).(
( b
a
b
a 
 2
a
  2
2
b
a 
b
2
b

2
2
b
a 

9. a
b
b
a
a
b
Considere um cubo
de aresta “a + b”,
como o da figura ao
lado.
O volume de um cubo
de arestas ℓ é ℓ3,
então o volume do
cubo representado
pela figura é (a+b)3.
O Cubo da soma de
dois termos:

10. Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:
Um cubo de aresta “a”.
Volume: a3.
a
a
a3
a

11. Três paralelepípedos
que têm arestas
a, a e b.
Cada paralelepípedo
tem volume a2b.
O volume dos três
paralelepípedos é
3a2b.
b
b
a2b
a
a2b
a
a
a
b
a
a

12. Três paralelepípedos
que têm arestas
a, b e b.
Cada paralelepípedo
tem volume ab2.
O volume dos três
paralelepípedos é
3ab2.
ab2
ab2
b
b
a
b
a
a
b
b
b

13. Um cubo de aresta “b”.
Volume: b3.
b3
b
b
b

14. a2b
a3
Somando todos esses
volumes temos:
3
a 3
b

b
a2
3
 2
3ab

Como o volume do todo é igual à
soma dos volumes das partes,
temos:
3
2
2
3
3
3
3
)
( b
ab
b
a
a
b
a 




a2b
ab2
ab2
b3

15. Projeto Educacional Diadema
Monteiro Lobato
Profº Amarildo
Esse mesmo resultado pode ser obtido através do
seguinte cálculo:




 2
3
)
(
.
)
(
)
( b
a
b
a
b
a




 )
2
(
.
)
( 2
2
b
ab
a
b
a
Aplicando a propriedade distributiva:
3
a 3
b

b
a2
 2
2ab

b
a2
2
 2
ab


16. Portanto:
3
2
2
3
3
3
3
)
( b
ab
b
a
a
b
a 



  
1º
Termo
2º Termo
Cubo do 1º Termo.
Cubo 2º Termo.
3 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo).
3 x (1º termo) x (o quadrado do 2º termo).

17. Esse mesmo resultado pode ser obtido através do
seguinte cálculo:




 2
3
)
(
.
)
(
)
( b
a
b
a
b
a




 )
2
(
.
)
( 2
2
b
ab
a
b
a
Aplicando a propriedade distributiva:
3
a 3
b

b
a2
 2
2ab

b
a2
2
 2
ab

O Cubo da diferença de dois termos:

18. Portanto:
3
2
2
3
3
3
3
)
( b
ab
b
a
a
b
a 



  
1º
Termo
2º Termo
Cubo do 1º Termo.
Cubo 2º Termo.
3 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo).
3 x (1º termo) x (o quadrado do 2º termo).

19. Hora da revisão:
Diferença de quadrados:
Quadrado da soma de dois termos:
Quadrado da diferença de dois termos:
2
)
( b
a  2
2
.
.
2 b
b
a
a 

2
)
( b
a  2
2
.
.
2 b
b
a
a 

)
).(
( b
a
b
a 


2
2
b
a 


Cubo da soma de dois termos:
Cubo da diferença de dois termos:
3
2
2
3
3
3
3
)
( b
ab
b
a
a
b
a 




3
2
2
3
3
3
3
)
( b
ab
b
a
a
b
a 





20. 
)
.( a
x
x  2
x
 Fator Comum
Fatoração:
x
a
x
2
x x
a.
 x
a.
Calculando-se a
Área:

21.  Fator Comum
Fatoração:

)
2
.(
2 
a
a 2
.
2 a
2a
4
a
2
2a
a
.
4
 a
.
4
a
Colocando o fator
em evidência
teremos:
Fazendo o fator
comum entre as
áreas
encontraremos :2a

22.  por agrupamento:
am
b
a
m n
)
).(
( n
m
b
a 
 m
a.
 n
a. n
b.
m
b.
  
Fatoração:
bm
an
bn

23. Fazendo o fator comum entre os
termos apresentados, volta-se ao início.
)
).(
( n
m
b
a 


m
a. n
a.
  n
b.
m
b.  )
.( n
m
a  )
.( n
m
b 


Aplicando o fator comum duplamente: