O documento apresenta conceitos básicos de geometria como figuras geométricas planas e sólidos, suas fórmulas de área e perímetro, classificação de triângulos e quadriláteros, posições relativas de retas e planos. Também aborda aritmética, incluindo números, operações e equações do 1o grau.
O documento discute proporcionalidade direta, definindo-a como uma relação onde a razão entre os valores de duas grandezas é constante. Apresenta a constante de proporcionalidade e explica como representar graficamente e por expressão algébrica uma relação de proporcionalidade direta.
O documento discute a importância da estatística para entender dados e populações. A estatística é uma ferramenta matemática para organizar, analisar e interpretar conjuntos de dados de forma a extrair informações úteis. Governos usam estatística desde o século XIX para melhor compreender as necessidades das populações. A estatística é cada vez mais reconhecida como importante para entender a sociedade, seu progresso e empoderar indivíduos.
As três frases são:
1) Retas coplanares podem ser paralelas, concorrentes ou perpendiculares dependendo se possuem ponto comum ou distância constante entre elas.
2) Retas não coplanares ou reversas nunca possuem ponto comum pois estão em planos diferentes.
3) Duas retas podem ser classificadas como paralelas, concorrentes ou reversas dependendo se possuem ou não ponto comum e se estão no mesmo plano.
O documento discute os tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista exemplos de quadriláteros convexos e côncavos. Também descreve os tipos de paralelogramos, incluindo seus ângulos, lados, diagonais e eixos de simetria. Finalmente, fornece exercícios sobre propriedades dos paralelogramos.
O documento lista diferentes figuras geométricas planas e sólidas, incluindo suas fórmulas para calcular área e volume. Ele fornece as fórmulas para calcular a área do retângulo, losango, triângulo, polígonos regulares, círculo, trapézio, quadrado e paralelogramo. Também fornece as fórmulas para calcular o volume e área de sólidos como cubo, paralelipípedo retangular, prisma regular, cilindro de revolução, pirâmide regular e cone de
O documento descreve a axiomatização da geometria por Euclides, que estabeleceu cinco axiomas e cinco postulados como as bases da geometria euclidiana. O quinto postulado de Euclides sobre paralelas era mais complexo que os demais e levantou questões ao longo dos séculos. Geometrias não euclidianas substituíram esse postulado.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos de áreas e volumes de sólidos geométricos. Explica que sólidos são conjuntos de pontos tridimensionais e classifica-os em poliedros e não-poliedros. Define o que são áreas e volumes e apresenta as fórmulas para calcular a área e volume das figuras planas e sólidos mais comuns como quadrados, cubos, retângulos, cilindros e esferas.
O documento descreve a vida e obra de Euclides, um matemático grego do século IV a.C. considerado o "pai da geometria". Ele é mais conhecido por seu livro "Os Elementos", que foi por séculos o texto de referência para o ensino da matemática e um dos livros mais publicados no mundo.
O documento discute proporcionalidade direta, definindo-a como uma relação onde a razão entre os valores de duas grandezas é constante. Apresenta a constante de proporcionalidade e explica como representar graficamente e por expressão algébrica uma relação de proporcionalidade direta.
O documento discute a importância da estatística para entender dados e populações. A estatística é uma ferramenta matemática para organizar, analisar e interpretar conjuntos de dados de forma a extrair informações úteis. Governos usam estatística desde o século XIX para melhor compreender as necessidades das populações. A estatística é cada vez mais reconhecida como importante para entender a sociedade, seu progresso e empoderar indivíduos.
As três frases são:
1) Retas coplanares podem ser paralelas, concorrentes ou perpendiculares dependendo se possuem ponto comum ou distância constante entre elas.
2) Retas não coplanares ou reversas nunca possuem ponto comum pois estão em planos diferentes.
3) Duas retas podem ser classificadas como paralelas, concorrentes ou reversas dependendo se possuem ou não ponto comum e se estão no mesmo plano.
O documento discute os tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista exemplos de quadriláteros convexos e côncavos. Também descreve os tipos de paralelogramos, incluindo seus ângulos, lados, diagonais e eixos de simetria. Finalmente, fornece exercícios sobre propriedades dos paralelogramos.
O documento lista diferentes figuras geométricas planas e sólidas, incluindo suas fórmulas para calcular área e volume. Ele fornece as fórmulas para calcular a área do retângulo, losango, triângulo, polígonos regulares, círculo, trapézio, quadrado e paralelogramo. Também fornece as fórmulas para calcular o volume e área de sólidos como cubo, paralelipípedo retangular, prisma regular, cilindro de revolução, pirâmide regular e cone de
O documento descreve a axiomatização da geometria por Euclides, que estabeleceu cinco axiomas e cinco postulados como as bases da geometria euclidiana. O quinto postulado de Euclides sobre paralelas era mais complexo que os demais e levantou questões ao longo dos séculos. Geometrias não euclidianas substituíram esse postulado.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos de áreas e volumes de sólidos geométricos. Explica que sólidos são conjuntos de pontos tridimensionais e classifica-os em poliedros e não-poliedros. Define o que são áreas e volumes e apresenta as fórmulas para calcular a área e volume das figuras planas e sólidos mais comuns como quadrados, cubos, retângulos, cilindros e esferas.
O documento descreve a vida e obra de Euclides, um matemático grego do século IV a.C. considerado o "pai da geometria". Ele é mais conhecido por seu livro "Os Elementos", que foi por séculos o texto de referência para o ensino da matemática e um dos livros mais publicados no mundo.
O documento discute os tipos de dados estatísticos e como organizá-los e representá-los. Apresenta dados qualitativos sobre estado civil e dados quantitativos discretos e contínuos sobre número de irmãos e altura respectivamente. Explica como calcular média, mediana e moda para cada tipo de dado e como construir tabelas de frequências e gráficos para sua representação.
1) O documento resume os principais conteúdos de Matemática do 7o e 8o ano, incluindo teorema de Pitágoras, funções, semelhança de triângulos e estatística.
2) Fornece detalhes sobre como aplicar o teorema de Pitágoras e os critérios de semelhança de triângulos na resolução de problemas.
3) Discutem conceitos como múltiplos e divisores, potências, notação científica, lugares geométricos e medidas estatísticas.
O documento descreve as simetrias no plano e no espaço. No plano, apresenta os simétricos de um ponto P(4,2) em relação aos eixos x, y e às bissectrizes dos quadrantes. No espaço, explica sete tipos de simetrias de um ponto P(5,3,2) em relação aos planos de coordenadas e à origem.
Dois triângulos são semelhantes se tiverem ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes forem proporcionais. O Teorema Fundamental da Semelhança estabelece que se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo cortar os outros dois, determina um triângulo semelhante.
Teorema de Pitágoras - Matemática 8º ano - Resumo da matériaO Bichinho do Saber
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras, incluindo sua decomposição, aplicações e extensão ao espaço em três dimensões. Explica como decompor um triângulo retângulo pela altura da hipotenusa em dois triângulos semelhantes e aplicar proporções. Demonstra também como usar o teorema para calcular lados desconhecidos e identificar ternos pitagóricos. Por fim, estende o teorema à diagonal de um paralelopipedo e cubo.
1) O documento discute conceitos básicos de geometria de posição, incluindo pontos, retas e planos. 2) Aborda as relações entre esses objetos geométricos, como incidência, concidência e paralelismo. 3) Também explica projeções ortogonais de retas sobre planos.
O documento descreve elementos básicos de circunferências e polígonos regulares, incluindo: (1) Elementos de uma circunferência como corda, diâmetro, arco e raio; (2) Retas secante e tangente de uma circunferência; (3) Diferentes tipos de ângulos em relação a uma circunferência como ângulo central, inscrito, de segmento e excêntrico; (4) Polígonos regulares são aqueles com lados e ângulos de medidas iguais e podem ser inscritos em uma
As três principais isometrias do plano são a translação, a reflexão e a rotação. Uma translação desloca uma figura sem alterar distâncias ou ângulos. Uma reflexão cria uma imagem simétrica através de um eixo. Uma rotação gira uma figura em torno de um ponto central sem alterar tamanhos ou ângulos. Estas transformações preservam medidas e propriedades geométricas essenciais.
1) O documento discute lugares geométricos, que são conjuntos de pontos que compartilham uma propriedade comum no plano ou espaço.
2) Exemplos de lugares geométricos incluem circunferências, círculos, coroas circulares, mediatrizes de segmentos de reta e ângulos, e superfícies e esferas.
3) Dois problemas exemplificam a interseção e reunião de lugares geométricos.
Este documento discute o conceito de semelhança de figuras geométricas. Explica que figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma, ou seja, se uma for uma ampliação ou redução da outra mantendo os mesmos ângulos. A razão de semelhança k representa a proporção de mudança de tamanho entre as figuras, sendo k>1 para ampliações e k<1 para reduções. Dois polígonos são semelhantes se seus ângulos correspondentes forem congruentes e as medidas dos lados correspondentes forem
As retas do b13 formam o mesmo ângulo com o eixo x quando passantes, ou são paralelas a x e à mesma distância quando fronto-horizontais. As retas paralelas ao b13 formam o mesmo ângulo com x. Já as retas do b24 têm projeções coincidentes e as paralelas a b24 têm projeções paralelas.
Este documento descreve os conceitos básicos de linhas, retas, semirretas e segmentos de reta. Ele explica como representar e identificar diferentes tipos de linhas e a posição relativa de duas retas no plano, incluindo retas paralelas, concorrentes, perpendiculares e oblíquas. O documento também fornece instruções sobre como traçar essas linhas geometricamente usando régua e esquadro.
O documento descreve diferentes sólidos geométricos, incluindo suas características principais como número de vértices, arestas e faces. Apresenta poliedros como cubos, pirâmides e prismas, e sólidos não poliédricos como esferas, cones e cilindros. Explica a relação de Euler para poliedros e fornece exemplos de planificações de vários sólidos.
O documento fornece um resumo sobre trigonometria no 9o ano. Apresenta a origem da trigonometria nos egípcios e babilônios há mais de 2000 anos atrás. Também menciona fórmulas para seno, cosseno e tangente e lista valores destes para ângulos notáveis como 30, 45 e 60 graus.
O documento discute vetores, translações e isometrias em geometria. Apresenta conceitos como segmentos de reta orientados, vetores e suas propriedades, e translações como deslocamentos ao longo de uma reta que não alteram forma nem tamanho.
Este documento discute propriedades geométricas da circunferência, incluindo:
1) Elementos básicos como centro, raio, diâmetro, corda e arco.
2) Ângulos ao centro e seus correspondentes arcos e cordas.
3) Igualdade de arcos, cordas e ângulos ao centro correspondentes.
O documento descreve funções de proporcionalidade direta e linear. Explica que nestas funções, a variável dependente (y) é diretamente proporcional à variável independente (x) com uma constante de proporcionalidade (k). Isso significa que y = kx ou f(x) = kx representa a relação entre as variáveis.
O documento apresenta definições e propriedades geométricas relacionadas à circunferência, incluindo circunferência, círculo, raio, diâmetro, corda, arco, ângulo central, ângulo inscrito, ângulo de segmento e posições relativas entre retas e circunferências.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
A ficha de trabalho de matemática para o 6o ano apresenta 15 exercícios sobre isometrias geométricas como simetrias e eixos de simetria em figuras planas, solicitando aos alunos identificar e desenhar os eixos de simetria em figuras e indicar quais simetrias contêm cada uma das letras fornecidas.
Este documento fornece uma série de exercícios de geometria para avaliação. Inclui questões sobre classificação de triângulos e quadriláteros, construção de figuras geométricas com medidas especificadas, propriedades de ângulos, simetria e proporções. O aluno deve responder às perguntas, justificando as respostas e mostrando os cálculos e raciocínios quando necessário.
O documento discute os tipos de dados estatísticos e como organizá-los e representá-los. Apresenta dados qualitativos sobre estado civil e dados quantitativos discretos e contínuos sobre número de irmãos e altura respectivamente. Explica como calcular média, mediana e moda para cada tipo de dado e como construir tabelas de frequências e gráficos para sua representação.
1) O documento resume os principais conteúdos de Matemática do 7o e 8o ano, incluindo teorema de Pitágoras, funções, semelhança de triângulos e estatística.
2) Fornece detalhes sobre como aplicar o teorema de Pitágoras e os critérios de semelhança de triângulos na resolução de problemas.
3) Discutem conceitos como múltiplos e divisores, potências, notação científica, lugares geométricos e medidas estatísticas.
O documento descreve as simetrias no plano e no espaço. No plano, apresenta os simétricos de um ponto P(4,2) em relação aos eixos x, y e às bissectrizes dos quadrantes. No espaço, explica sete tipos de simetrias de um ponto P(5,3,2) em relação aos planos de coordenadas e à origem.
Dois triângulos são semelhantes se tiverem ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes forem proporcionais. O Teorema Fundamental da Semelhança estabelece que se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo cortar os outros dois, determina um triângulo semelhante.
Teorema de Pitágoras - Matemática 8º ano - Resumo da matériaO Bichinho do Saber
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras, incluindo sua decomposição, aplicações e extensão ao espaço em três dimensões. Explica como decompor um triângulo retângulo pela altura da hipotenusa em dois triângulos semelhantes e aplicar proporções. Demonstra também como usar o teorema para calcular lados desconhecidos e identificar ternos pitagóricos. Por fim, estende o teorema à diagonal de um paralelopipedo e cubo.
1) O documento discute conceitos básicos de geometria de posição, incluindo pontos, retas e planos. 2) Aborda as relações entre esses objetos geométricos, como incidência, concidência e paralelismo. 3) Também explica projeções ortogonais de retas sobre planos.
O documento descreve elementos básicos de circunferências e polígonos regulares, incluindo: (1) Elementos de uma circunferência como corda, diâmetro, arco e raio; (2) Retas secante e tangente de uma circunferência; (3) Diferentes tipos de ângulos em relação a uma circunferência como ângulo central, inscrito, de segmento e excêntrico; (4) Polígonos regulares são aqueles com lados e ângulos de medidas iguais e podem ser inscritos em uma
As três principais isometrias do plano são a translação, a reflexão e a rotação. Uma translação desloca uma figura sem alterar distâncias ou ângulos. Uma reflexão cria uma imagem simétrica através de um eixo. Uma rotação gira uma figura em torno de um ponto central sem alterar tamanhos ou ângulos. Estas transformações preservam medidas e propriedades geométricas essenciais.
1) O documento discute lugares geométricos, que são conjuntos de pontos que compartilham uma propriedade comum no plano ou espaço.
2) Exemplos de lugares geométricos incluem circunferências, círculos, coroas circulares, mediatrizes de segmentos de reta e ângulos, e superfícies e esferas.
3) Dois problemas exemplificam a interseção e reunião de lugares geométricos.
Este documento discute o conceito de semelhança de figuras geométricas. Explica que figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma, ou seja, se uma for uma ampliação ou redução da outra mantendo os mesmos ângulos. A razão de semelhança k representa a proporção de mudança de tamanho entre as figuras, sendo k>1 para ampliações e k<1 para reduções. Dois polígonos são semelhantes se seus ângulos correspondentes forem congruentes e as medidas dos lados correspondentes forem
As retas do b13 formam o mesmo ângulo com o eixo x quando passantes, ou são paralelas a x e à mesma distância quando fronto-horizontais. As retas paralelas ao b13 formam o mesmo ângulo com x. Já as retas do b24 têm projeções coincidentes e as paralelas a b24 têm projeções paralelas.
Este documento descreve os conceitos básicos de linhas, retas, semirretas e segmentos de reta. Ele explica como representar e identificar diferentes tipos de linhas e a posição relativa de duas retas no plano, incluindo retas paralelas, concorrentes, perpendiculares e oblíquas. O documento também fornece instruções sobre como traçar essas linhas geometricamente usando régua e esquadro.
O documento descreve diferentes sólidos geométricos, incluindo suas características principais como número de vértices, arestas e faces. Apresenta poliedros como cubos, pirâmides e prismas, e sólidos não poliédricos como esferas, cones e cilindros. Explica a relação de Euler para poliedros e fornece exemplos de planificações de vários sólidos.
O documento fornece um resumo sobre trigonometria no 9o ano. Apresenta a origem da trigonometria nos egípcios e babilônios há mais de 2000 anos atrás. Também menciona fórmulas para seno, cosseno e tangente e lista valores destes para ângulos notáveis como 30, 45 e 60 graus.
O documento discute vetores, translações e isometrias em geometria. Apresenta conceitos como segmentos de reta orientados, vetores e suas propriedades, e translações como deslocamentos ao longo de uma reta que não alteram forma nem tamanho.
Este documento discute propriedades geométricas da circunferência, incluindo:
1) Elementos básicos como centro, raio, diâmetro, corda e arco.
2) Ângulos ao centro e seus correspondentes arcos e cordas.
3) Igualdade de arcos, cordas e ângulos ao centro correspondentes.
O documento descreve funções de proporcionalidade direta e linear. Explica que nestas funções, a variável dependente (y) é diretamente proporcional à variável independente (x) com uma constante de proporcionalidade (k). Isso significa que y = kx ou f(x) = kx representa a relação entre as variáveis.
O documento apresenta definições e propriedades geométricas relacionadas à circunferência, incluindo circunferência, círculo, raio, diâmetro, corda, arco, ângulo central, ângulo inscrito, ângulo de segmento e posições relativas entre retas e circunferências.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
A ficha de trabalho de matemática para o 6o ano apresenta 15 exercícios sobre isometrias geométricas como simetrias e eixos de simetria em figuras planas, solicitando aos alunos identificar e desenhar os eixos de simetria em figuras e indicar quais simetrias contêm cada uma das letras fornecidas.
Este documento fornece uma série de exercícios de geometria para avaliação. Inclui questões sobre classificação de triângulos e quadriláteros, construção de figuras geométricas com medidas especificadas, propriedades de ângulos, simetria e proporções. O aluno deve responder às perguntas, justificando as respostas e mostrando os cálculos e raciocínios quando necessário.
O documento fornece uma lista de vocabulário em espanhol sobre materiais escolares e alimentos, além de perguntas e respostas comuns em espanhol sobre nomes, idade, telefone e localização. Também apresenta a conjugação de alguns verbos e a estrutura da família hispânica.
España ganó su partido contra Paraguay cuando pudo mantener a su equipo con buena posición, pero sufrió cuando no pudo hacerlo. El gol en propia puerta de Puyol, jugador de España, resaltó los desequilibrios del equipo español.
El documento presenta el alfabeto español, que consta de 29 símbolos incluyendo 27 letras y 2 dígrafos. Explica los nombres femeninos de las letras y algunas reglas ortográficas como la pronunciación de la letra "q" y la prohibición de usar dos consonantes iguales seguidas, a excepción de "c", "n" y "r". Además, enumera los "Diez Mandamientos del Español" con sustituciones y excepciones ortográficas comunes. Finalmente, propor
Isometrias 6º ano (translação, rotação, reflexão) - exercíciosAna Tapadinhas
Este documento fornece apoio escolar em Matemática para o 6o ano em 2013/2014, elaborado pelo professor Nuno Faria para a Ana Tapadinhas Explicações - Apoio escolar.
El documento presenta actividades de español para el 6o año que incluyen completar oraciones con verbos en presente de indicativo e irregular y responder preguntas sobre una consulta médica escuchada. Los estudiantes deben identificar los síntomas del paciente, su enfermedad y si es grave, y el remedio recomendado por el doctor.
El documento lista varios animales, verbos en presente regulares e irregulares en español, actividades de ocio, deportes, términos relacionados con el cine y géneros cinematográficos.
O documento apresenta exercícios sobre semelhança de figuras, operações com números racionais e irracionais, equações de 1o grau e sistemas lineares. Inclui também problemas sobre áreas, volumes, porcentagem e probabilidade. Os exercícios abordam conceitos matemáticos fundamentais do ensino médio.
El documento presenta varias actividades para completar los días de la semana, meses del año y nombres de frutas en portugués y español. Se pide completar oraciones con los días de la semana y meses del año, y seleccionar la traducción correcta para varias frutas del portugués al español.
Este documento proporciona vocabulario y expresiones en español relacionadas con saludos, despedidas, presentaciones, información personal, números, meses, días, estaciones, direcciones y verbos. Incluye saludos comunes, formas de despedirse, cómo presentarse e incluir detalles personales. También cubre los números del 0 al 99, los meses, días de la semana y estaciones. Explica cómo hablar sobre direcciones y calles. Por último, presenta la conjugación de verbos regulares e irregulares en presente.
1) O documento apresenta conceitos básicos de geometria como perímetros e áreas de figuras geométricas, posições relativas de retas e planos, classificação de triângulos e quadriláteros, e introduz noções de aritmética e álgebra.
2) Inclui fórmulas para calcular áreas e perímetros de quadrados, retângulos, triângulos e circunferências, além de abordar volumes de sólidos geométricos.
3) Discutem conceitos como razão, proporção
1) O documento descreve conceitos básicos da geometria plana, incluindo pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos.
2) É apresentada a definição e representação de pontos, retas, segmentos de reta e suas propriedades.
3) São descritos os tipos de ângulos e triângulos com base em suas medidas e relações.
O documento descreve as propriedades geométricas de triângulos e quadriláteros. Detalha os tipos de triângulos com base em seus lados e ângulos, assim como a condição de existência de um triângulo. Também define os tipos básicos de quadriláteros e suas propriedades, incluindo paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados.
Geometria plana ângulos, triângulos, quadriláteros, cálculo de áreasCamila Rodrigues
O documento apresenta os principais conceitos de Geometria Plana, incluindo: definição da disciplina e seus principais estudiosos na Grécia Antiga; elementos básicos como ponto, reta e plano; classificação e propriedades de ângulos, triângulos e quadriláteros; e cálculo de áreas de figuras planas.
O documento descreve conceitos básicos de geometria, incluindo:
(1) Ponto, reta e plano são conceitos primitivos estudados em geometria; (2) Um ponto é definido pelo cruzamento de duas linhas, retas ou curvas; (3) Uma reta é o prolongamento de um ponto e contém infinitos pontos.
1. O documento apresenta conceitos básicos de geometria plana, incluindo definições de polígonos, quadriláteros, triângulos e suas propriedades.
2. Também apresenta fórmulas para calcular áreas de figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos, losangos, trapézios, polígonos regulares e círculos.
3. As definições, propriedades e fórmulas fornecem informações essenciais sobre objetos geométricos planos e como calcular
O documento lista e descreve as principais figuras planas da geometria incluindo losango, quadrado, retângulo, triângulo equilátero, isósceles e escaleno, círculo e trapézio, definindo suas propriedades como número de lados, ângulos e se são ou não paralelogramos.
O documento fornece definições e propriedades de polígonos, triângulos, quadriláteros e teoremas geométricos. Aborda conceitos como polígonos convexos e côncavos, elementos de um polígono, polígonos regulares, classificação de triângulos, congruência e semelhança de triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, tipos de quadriláteros e teoremas de Tales e da bissetriz.
1) Um quadrilátero é um polígono com quatro lados.
2) A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°.
3) Existem diferentes tipos de quadriláteros definidos pelas propriedades dos seus lados e ângulos, incluindo trapézios, paralelogramos e losangos.
1) O documento apresenta os principais conceitos de geometria plana e espacial como ângulos, triângulos, polígonos, quadriláteros, sólidos geométricos, retas e planos.
2) Inclui definições e propriedades de ângulos, classificação de triângulos e quadriláteros, teorema de Pitágoras, polígonos regulares e sólidos geométricos como prismas e pirâmides.
3) Fornece detalhes sobre critérios de paralelismo, perpendicularidade
O documento introduz os conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) os elementos primitivos de ponto, reta e plano; (2) as noções de figuras geométricas como triângulos e ângulos; (3) as propriedades e classificações de triângulos e ângulos.
O documento discute vários conceitos fundamentais de geometria plana, incluindo: 1) A definição de polígonos e seus elementos; 2) As classificações e propriedades de triângulos e quadriláteros; 3) Teoremas importantes como o de Tales e da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo.
[1] O documento apresenta os conceitos básicos da geometria espacial, incluindo pontos, retas, planos e suas posições relativas no espaço tridimensional. [2] Aborda também os axiomas e postulados sobre esses elementos geométricos, bem como a definição de ângulos diedrais formados por planos concorrentes. [3] Tem como objetivo fornecer uma introdução aos principais conceitos e propriedades da geometria no espaço.
O documento apresenta conceitos geométricos como ângulos, triângulos, polígonos e quadriláteros. Inclui definições de ângulos opostos pelo vértice, soma dos ângulos internos de polígonos, elementos de triângulos e quadriláteros como paralelogramos e trapézios.
O documento descreve vários conceitos geométricos como retas, semi-retas, segmentos de reta, ângulos, polígonos e circunferências. Detalha as classificações de triângulos, quadrílataros e polígonos com base em seus lados e ângulos. Explica também os conceitos de eixos de simetria, raios, diâmetros e cordas de uma circunferência.
O documento discute conceitos geométricos como circunferências, áreas de figuras planas, e resolução de triângulos. Inclui definições de circunferências tangentes, secantes e externas, posições relativas entre circunferências, ângulos em circunferências, relações métricas, polígonos regulares inscritos, fórmulas para área de quadrados, retângulos, triângulos, trapézios, losangos e polígonos regulares. Também aborda resolução de triângulos retângulos e
Este documento apresenta os objetivos e conteúdo de um módulo de geometria plana, abordando conceitos básicos como ponto, reta, plano e suas posições, bem como polígonos, ângulos, congruência e semelhança de segmentos e triângulos. Inclui exercícios para fixação dos conceitos.
Este documento resume conceitos fundamentais de geometria, incluindo: 1) definições de retas, semirretas e segmentos de reta; 2) classificação e propriedades de ângulos; 3) tipos de triângulos e propriedades; 4) definição e propriedades de paralelogramos. Também fornece fórmulas para calcular perímetros e áreas de figuras geométricas comuns e define sólidos geométricos como prismas e pirâmides.
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.numerosnamente
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano, incluindo referenciais ortonormados, distância entre pontos, equações de retas e circunferências, e conceitos básicos sobre vetores.
2. São definidos conceitos como ponto médio de um segmento, mediatriz de um segmento, elipses, semiplanos definidos por retas, círculos e suas partes, vetores, operações com vetores e coordenadas de vetores.
3. São apresentadas fórmulas e exemplos para calcular dist
Semelhante a Resumo do 7º,8º e 9º anos para t.i (20)
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.
Resumo do 7º,8º e 9º anos para t.i
1. 7º Ano
Geometria
Abordagem básica: Perímetros e áreas de figuras geométricas
[incluindo fórmulas]
Quadrado
Área = lado x lado (A = l x l)
Perímetro = lado + lado + lado + lado ou 4 x lado ( P = l + l + l + l ou 4 x l)
Retângulo
Área = comprimento x largura (A = c x l)
Perímetro = comprimento + comprimento + largura + largura ou 2 x
comprimento + 2 x largura (P = c + c + l + l ou 2 x c + 2 x l)
Triângulo
Área = base x altura sobre 2 (A = b x h /2)
Perímetro = Soma de todos os lados (no caso dos triângulos retângulos, altura,
comprimento e hipotenusa)
Circunferência
2
Área = raio ao quadrado x Pi (A = r x Pi)
Perímetro = diâmetro x Pi ou 2 x raio x Pi (A = d x Pi ou 2 x r x Pi)
Característica: qualquer diâmetro (linha reta que vai de um lado ao outro da
circunferência, passando pelo centro) é um eixo de simetria.
Abordagem básica: Áreas e volumes de sólidos de uma base e
duas bases
Sólidos de duas bases (cubo, prisma, paralelepípedo, cilindro)
Volume: Área da base x altura (V = Ab x h)
Área total: Área das bases + Área lateral (AT = 2 Ab + Al)
1
2. Sólidos de uma base (pirâmide, cone)
Volume: 1/3 x Área da base x altura (V = 1/3 x Ab x h)
Área total: Área da base + área lateral (AT = Ab + Al)
[Área lateral = perímetro da base x geratriz (altura)]
Posições relativas de retas e planos
Definições
• Reta: duas letras maiúsculas ou uma minúscula (AB ou s)
• Segmento de Reta: [AB]
• Semirreta com origem em A: ‘AB
• Plano: três letras maiúsculas (ABC)
Reta – Define-se com 2 pontos
Plano – Define-se com 3 pontos
Posições relativas entre Retas
• Paralelas (não têm nenhum ponto em comum; os pontos estão todos e
sempre à mesma distância)
• Coincidentes (estão sobrepostas: todos os pontos em comum)
• Concorrentes (têm apenas um ponto em comum)
- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)
- Oblíquas (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)
• Complanares (no mesmo plano)
• Não Complanares (não estão no mesmo plano)
Posições Relativas entre Planos
• Paralelos (não têm nenhum ponto em comum: os pontos mantêm a
mesma distância)
• Coincidentes (estão sobrepostos: todos os pontos em comum)
• Concorrentes (têm um segmento de reta em comum)
- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)
- Oblíquos (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)
2
3. Posições relativas entre Retas e Planos
• Paralelos (não têm nenhum ponto em comum: os pontos mantêm a
mesma distância)
• Reta Aposta ao Plano (reta contida no plano)
• Concorrentes (têm um ponto em comum)
- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)
- Oblíquos (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)
Classificação de triângulos
Em relação aos lados
Equilátero: Todos os lados iguais (um eixo de simetria)
Isósceles: Dois lados iguais (um eixo de simetria)
Escaleno: Todos os lados diferentes (nenhum eixo de simetria)
Em relação aos ângulos
Retângulo: Um ângulo reto
Acutângulo: Todos os ângulos agudos
Obtusângulo: Um ângulo obtuso
Classificação de Quadriláteros
Quadrilátero : polígono de quatro lados
Polígono: região do plano delimitado por segmentos de reta
Quadrado
- Todos os lados iguais;
- Todos os ângulos retos;
- 4 Eixos de simetria;
- As 2 diagonais iguais bissectam-se e são perpendiculares.
Paralelogramo
- Lados iguais e paralelos dois a dois;
3
4. - Ângulos opostos iguais;
- Não tem eixo de simetria;
- As diagonais bissectam-se.
Losango
- Todos os lados iguais;
- Ângulos opostos iguais;
- Tem 2 eixos de simetria;
- Diagonais bissectam-se e são perpendiculares.
Trapézio
- Tem sempre 2 lados paralelos;
- Trapézios Retângulos e Escalenos não têm eixo de simetria;
- Trapézios isósceles têm um eixo de simetria.
Retângulo
- Lados iguais e paralelos dois a dois;
- Todos os ângulos retos;
- Tem 2 eixos de simetria;
- Tem 2 diagonais iguais que se bissectam.
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero: 360º.
Ângulos de um triângulo; Semelhança de triângulos
Ângulos internos/externos
A soma dos três ângulos internos é sempre igual a 180º.
Cada ângulo externo somado com o interno corresponde vale 180º. Estes
ângulos são suplementares: a sua soma equivale a 180º.
Relações entre lados e ângulos do triângulo
Propriedades:
- A lados iguais correspondem ângulos iguais e vice-versa.
4
5. - Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e vice-versa.
- Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e vice-versa.
Regra básica de construção de triângulos; igualdade/desigualdade triangular
- Para se poder construir um triângulo, cada um dos seus lados têm que ser
menor que a soma da medida dos outros dois.
Diz-se que dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos iguais.
Classificação de Ângulos
Um ângulo é:
- Agudo quando menor que 90º
- Obtuso quando maior que 90º
- Reto quando igual a 90º
- Raso quando igual a 180º
- Giro quando igual a 360º
- Nulo quando igual a 0º
Dois ângulos são:
- Complementares quando a sua soma é de 90º
- Suplementares quando a sua soma é de 180º
- Verticalmente opostos quando se encontram em planos paralelos [Estes
ângulos são sempre iguais ou suplementares]
Figuras semelhantes; construção de figuras semelhantes
Figuras semelhantes: são geometricamente iguais ou uma delas é a ampliação
ou redução da outra.
Ampliação: Todas as medidas da figura inicial são multiplicadas pelo mesmo
número (diferente de um 1).
5
6. Redução: Todas as medidas da figura inicial são divididas pelo mesmo número
(diferente de 1).
Aritmética e aritmética combinada
Conjuntos Numéricos
• Conjunto N – Contém os números naturais: inteiros positivos (exclui o 0).
• Conjunto Z – Contém os números inteiros relativos: inteiros positivos e
negativos (inclui o 0).
• Conjunto Q – Contém os números racionais: inteiros relativos e números
fracionários, positivos ou negativos (inclui o 0). (Nota: Não confundir
números decimais com dízimas infinitas: um número decimal tem sempre
um número finito de casas decimais.)
Números simétricos e valor absoluto
Cada número tem um simétrico: é o número na Reta Numérica que está à
mesma distância de 0, na ordem contrária. Exemplos: 3 e -3 são simétricas, tal
como ½ e -½, 678 e -678, etc. Estes números têm sempre o mesmo valor
absoluto.
O valor absoluto de um número é o valor da distância desse número à
origem: é sempre esse número positivo.
Representação de pontos no Plano: Referencial Cartesiano
O Referencial Cartesiano é constituído por duas retas paralelas, em que a
horizontal se chama eixo das abcissas (x) e a vertical, eixo das ordenadas (y).
Têm quatro quadrantes definidos pelos eixos.
6
7. Nos eixos são representados números (a cada ponto do eixo corresponde um
valor), que devem estar sempre à mesma distância, e o intervalo entre eles tem
que ter sempre o mesmo valor.
Quando se conhecem as coordenadas de um ponto, é possível representá-lo
no Referencial Cartesiano: o primeiro número indicado é marcado no eixo x e o
segundo no eixo y. As coordenadas são sempre indicadas da seguinte forma:
A –> (1,2). 1 será marcado no eixo x e 2 no eixo y: a interseção das retas
originadas nestes pontos é o ponto A.
Adição e subtração de números racionais
Regra 1: Com sinais iguais dá-se o mesmo sinal e somam-se os números.
Regra 2: Com sinais diferentes dá-se o sinal do número com maior valor
absoluto e subtraem-se os números.
Na adição/subtração de números fracionários, primeiro reduz-se a expressão
ao mesmo denominador.
Multiplicação e Divisão de números racionais; Prioridade das
Operações
Regra 1: As operações são sempre feitas pela seguinte ordem: primeiro as
expressões dentro de parênteses, depois as divisões e multiplicações pela
ordem em que aparecem, depois as adições e subtrações pela ordem em que
aparecem.
Regra 2: Se os números tiverem o mesmo sinal, dá-se o sinal +.
Regra 3: Se os números tiverem sinais diferentes, dá-se o sinal –.
7
8. Para multiplicar frações não se retiram os parênteses e não se reduzem as
frações ao mesmo denominador: multiplicam-se os denominadores pelos
denominadores e numeradores por numeradores.
Para dividir frações, a primeira fração mantém-se e a segunda inverte-se (o
numerador passa a denominador e vice-versa). O sinal de dividir passa ao de
multiplicar.
Potências: Adição, subtração, divisão e multiplicação de potências
Adição e subtração: Calcula-se o valor de cada potência e efetuam-se os
cálculos.
Divisão e multiplicação: Quando não existem bases ou expoentes em comum,
também se determina o valor das potências e realizam-se os cálculos.
Critérios de Divisibilidade por 2, 3, e 5
Por 2
-> Um número é divisível por 2 quando o seu algarismo das unidades é 0,2, 4,
6 ou 8
Por 3
-> Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um
múltiplo de 3.
Por 5
-> Um número é divisível por 5 quando o seu algarismo das unidades é 5 ou 0.
Números Primos e decomposição de números em fatores primos
Números primos são números divisíveis apenas por 1 e por si próprios.
Os primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53
8
9. Para decompor um número em fatores primos, o número inicial é dividido pelo
maior número primo possível. O número resultante é novamente dividido pelo
maior primo possível e assim sucessivamente, até se obter 1.
Exemplo: 540 540|5
108|3
36|3
12|3
4|2
2|2
1
3 2
540= 5 x 3 x 2
Sequências
As sequências são listas ordenadas de números que se relacionam entre si.
Uma sequências de números é representada pelo seu termo geral.
Por exemplo, 2n representa a sequência dos números pares.
n=1 =» 2 x 1 = 2
n=2 =» 2 x 2 = 4
n=3 =» 2 x 3 = 6
...
Simplificação de expressões com incógnitas
Para simplificar expressões com incógnitas, reduzem-se (adicionam-se,
subtraem-se, multiplicam-se ou dividem-se) os termos semelhantes (termos
com a mesma parte literal).
Exemplo: P = 5x + 10 + 5x + 7 + x + 10 + 2x + 6 + 4x + 3x + 1
P = 20x + 34
Equações do 1º grau
9
10. Equação é uma igualdade onde aparece pelo menos uma variável.
A equação tem sempre dois membros: são definidos pela igualdade (=). Cada
um dos valores da equação é um termo.
A solução da equação é o valor que torna a expressão verdadeira.
Nota: Quando numa equação do 1º grau há parênteses, quando atrás dos
parênteses temos:
- Sinal positivo (+), não se alteram os sinais dos termos que estão dentro
de parênteses.
- Sinal negativo (–), todos os sinais dentro de parênteses são trocados
- Um número, então todos os valores dentro da equação são multipli-
cados por esse número.
As equações do 1º grau classificam-se em:
• Possíveis determinadas: quando têm apenas uma solução;
• Possíveis indeterminadas: quando têm infinitas soluções.
• Impossíveis: quando não têm solução.
Razão e Proporção
Razão é uma comparação entre duas quantidades.
A razão entre b e a é b/a ou b:a, em que b é o antecedente e a o consequente.
Proporção é a igualdade entre duas razões.
Exemplo: 2/4 = ½ => Proporção (2 está para 4, tal como 1 está para 2)
Propriedade Fundamental das Proporções : Numa proporção o produto
dos extremos é sempre igual ao produto dos meios.
10
11. Percentagem
Divisão do valor em 100. Por exemplo, 68% (de algum valor), corresponde a 68
partes por cada 100. 100% é sempre a totalidade do valor.
Para calcular a percentagem, utiliza-se uma regra de três simples.
Exemplo: 70% de 28.
100 – 28 (100% corresponde a 28)
70 – x (70% corresponde a x: a incógnita que se vai calcular)
x = 28 x 70 / 100
x = 19.6
70% de 28 é 19,6.
Proporcionalidade Direta
Diz-se que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão
entre elas é constante: têm uma relação de proporcionalidade direta.
Este valor constante chama-se constante de proporcionalidade direta .
Se não existir esta constante não há proporcionalidade direta.
As relações de proporcionalidade direta são traduzidas por expressões
analíticas. Os elementos da proporção são y e x. O valor da razão entre eles é
sempre k. Traduzido graficamente, isto significa que a proporcionalidade direta
é sempre representada, em gráficos, por uma reta que passa pela origem do
referencial.
y/x= k
11
12. Numa relação de proporcionalidade direta, há sempre dois fatores em
comparação.
8º Ano
Geometria
Teorema de Pitágoras:
● Num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa (h) é igual à soma do
quadrado dos catetos (c).
h²=c²+c²
● Por outro lado para sabermos o cateto ao quadrado temos de subtrair a
hipotenusa ao quadrado ao cateto ao quadrado.
c²=h²-c²
Diagonal de um paralelepípedo
12
13. Diagonal facial
Diagonal espacial: é o segmento que une 2 vértices não pertencentes à
mesma face. Calcula-se somando o quadrado do comprimento com o quadrado da
largura e com o quadrado da altura.
Aritmética e aritmética combinada
Máximo divisor comum:
O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números decompostos em
fatores primos (tanto para o m.d.c. como para o m.m.c. temos de decompor os
números em fatores primos) é igual ao produto dos fatores comuns cada um
elevado ao menor dos expoentes.
Mínimo múltiplo comum:
O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números decompostos em
fatores primos é o produto dos fatores comuns e não comuns elevado cada um
ao maior expoente.
Ex: m.d.c.(24;90): 24 2 90 2
12 2 45 3
13
14. m.d.c= 2x3=6 6 2 15 3
3 3 5 5
1 1
24=2³x3 90=3²x2x5
m.m.c.(24;90)= 2³x3²x5=360
Potências:
● Potências de expoente inteiro:
Nº Base Exp. Potência ½= 2-¹
8 2 3 2³ (1/dª)=d-ª, d≠0
4 2 2 2² ¼=1/2²=2-²
2 2 1 2¹
1 2 0 2º
½ 2 -1 2-¹
● Potências com a mesma base:
O produto de 2 potências de igual base è uma potência com a mesma
base e expoente igual à soma dos expoentes dos fatores.
dªxd°=aª+°
O quociente de 2 potências de igual base é uma potência com a mesma base e
expoente igual à diferença entre o expoente do divisor e o expoente do
dividendo.
14
15. dª÷d°=dª-°
● Potências com o mesmo expoente:
O produto de 2 potências de igual expoente é uma potência com o mesmo
expoente e a base é igual ao produto das bases dos fatores.
dªxtª=(dxt)ª
O quociente de 2 potências de igual expoente é uma potência com o mesmo
expoente e a base è igual ao quociente entre a base do divisor e a base do
dividendo.
dª÷tª=(d/t)ª
● Potência de potência:
Uma potência de potência é igual a uma potência com a mesma base e o
expoente é o produto dos expoentes.
(d°)ª=d°×ª
Escrita de números utilizando a base 10 (notação científica):
1 – 10º 0,1 – 10-¹
10 – 10¹ 0,01 – 10-²
100 – 10² 0,001 – 10-³
1000 – 10³
Um gogol é um número elevado a 100 zeros [(10¹º)¹º]
Ex: 73000 000 000 000 000 000 000= 7,3x10²²
Notação científica
15
16. 0,000 000 000 000 000 000 026= 2,6x10-²¹
Equações de 1º grau:
3x – 4=- x=
= x+3 x = 4=
=4 x= 4=
= x= 4/4=1
Nota: As equações de 1º grau têm só uma incógnita. Por isso para
resolvermos estas equações temos de:
- Tirar denominadores;
- Isolar a incógnita num dos membros e resolver.
Quando nos dizem para verificarmos se um determinado nº é solução da
equação, temos de substituir a incógnita por esse número.
Determinadas Ex: x=3, tem uma única
Possíveis solução.
Indeterminadas Ex: 0x=0, tem infinitas
Equações soluções.
Impossíveis Ex: 0x =-1, não tem solução.
Equações literais: monómios e polinómios; adição algébrica e
graus de polinómios:
3 x – monómio
2-3 x – binómio
16
17. 2-3 x+ 5 – polinómio
Monómio é um nº ou um produto de números em que alguns podem ser
representados por letras.
Polinómio é a soma algébrica de polinómios.
● Adição e subtração:
4xy²+3xy²= xy²-5y²=
=(4+3)xy²= 7xy² =(x-5)y²
Para resolver as somas e subtrações de polinómios utiliza-se a propriedade
distributiva.
Aos monómios que têm partes literais iguais chamamos monómios
semelhantes.
● Multiplicação e divisão
4 xy²x 5x² y³= (5x¹y¹)²=
=4x5 xxx² y²xy³ = =5² (x¹)² (y¹)²=
=20x³y(²+³) =25x²y²
● Grau de um polinómio
Grau de um polinómio é o maior dos graus dos seus termos (não nulos).
7+x³-2x²+3x o grau deste polinómio é 3.
Casos Notáveis:
Quadrado da soma: (a+b)²=a²+2ab+b²
Quadrado da diferença: (a-b)²=a²-2ab+b²
Diferença de quadrados: (a+b)(a-b)=a²-b²
17
18. Lei do anulamento do produto:
a×b=0 «=» a=0 ou b=0
Translação:
Propriedades das translações:
-conservam a direção;
-conservam os comprimentos dos segmentos de reta;
-conservam as amplitudes dos ângulos.
5cm 5cm
4cm
18
19. 9º Ano
Funções: tipos de funções; gráficos de funções; proporcionalidade
direta e inversa; grandezas diretamente e inversamente
proporcionais;constante de proporcionalidade direta e inversa e
seu significado:
(1) y=ax (2) y=ax+b
(3) y=b
(1): Se b=0, f(x)=ax é uma reta que passa na origem do referencial. (Linear)
(2): Se f(x)=0 é uma reta que não passa pela origem. (Afim)
(3): Se a=0, f(x)=b é uma função constante.
Sendo f(x)=ax+b, a a chamamos o declive da reta.
● se a maior que zero a reta é crescente, penetra os quadrantes ímpares.
● se a menor que zero a reta é decrescente, penetra os quadrantes pares.
● se a igual a zero a reta é constante.
Quando a função é do 2º grau, ou seja, a expressão analítica tem
incógnitas elevadas ao quadrado (f(x)=x²+9), o gráfico que a representa é
senpre uma parábola:
19
21. ● se quisermos descobrir os x’s da equação temos de substituir o f(x) ou y pelo
valor dado e resolver em ordem a x.
● se quisermos descobrir o y temos de substituir todos os x’s pelo valor dado e
revolver em ordem a y.
Proporcionalidade direta e inversa
Direta: duas variáveis x e y são diretamente proporcionais quando o quociente
entre elas é constante, isto é: y/x=k. Numa função de proporcionalidade direta,
se uma variável duplica a outra também duplica e assim sucessivamente. O
gráfico desta função é uma reta que passa na origem do referêncial e é
representado por uma expressão do tipo y=kx.
Inversa: duas variáveis x e y são inversamente proporcionais quando o produto
entre elas é constante. Isto é: xxy=k. Quando uma das variáveis aumenta a
outra diminui na proporção inversa, isto é: se uma variável duplica a outra é
reduzida a metade e assim sucessivamente.
O gráfico de uma função de
proporcionalidade inversa é uma
hipérbole. Se k for positivo
penetra os quadrantes ímpares.
Se k for negativo penetra os
quadrantes pares.
21
22. As variáveis não podem tomar o valor de 0 e a hipérbole, embora se aproxime
dos eixos nunca os interceta.
22
23. Probabilidade:
Experiência aleatória: são aquelas em que não se consegue prever com
exatidão o resultado mesmo que seja realizada sempre nas mesmas
condições.
Acontecimentos equiprováveis: são aqueles que têm a mesma probabilidade
de acontecer. Por exemplo: no lançamento de um dado equilibrado todas as
faces têm a mesma probabilidade de sair.
LEI DE LAPLACE:
P(A)=nº de casos favoráveis/nº de casos possíveis
Propriedade: A probabilidade de qualquer acontecimento é sempre 1 valor
entre 0 e 1 inclusive. Se a probabilidade for zero o acontecimento diz-se
impossível. Se a probabilidade for um é um acontecimento certo.
Números reais:
N={números naturais}
Z={números inteiros relativos}
Q={números racionais}= Z U {números fracionários}=» ou são dizimas finitas ou
são dizimas infinitas periódicas.
1/3= 0,33333...=0,(3)-dizima infinita periódica
0,123412341234...=0,(1234)
½= 0,5- dizima finita
R={números reais}=Q U {números irracionais} e (nº de neper) Ex:
√5; √3; etc.
Regras das equações do 2º grau:
- tirar parênteses
23
24. - desfazer de denominadores
- colocar na forma canónica
- usar o método de resolução correto: isolar a incógnita e o anulamento do
produto no caso das equações incompletas; usar a fórmula resolvente ou os
casos notáveis da multiplicação para as equações completas.
24
25. 2
Formas canónicas: equações incompletas: ax²+bx=0, ax²+c=0, ax =0, (a+b)
2 2
(a-b) =a – b
Equações completas: ax²+bx+c=0
Fórmula resolvente:
Regras dos sistemas:
- tirar parênteses
- desfazer de denominadores
- colocar na forma canónica
- resolver uma delas em ordem a x ou a y
- Ir substituindo à medida que se vai resolvendo até obterem o valor de x e de
y.,
Operações com raízes:
- Soma e subtração:
Em primeiro lugar temos de decompor em fatores os números grandes(na raiz
quadrada, por cada dois iguais passa para fora: 75 3
25 5
5 5
1
De seguida temos que reduzir os termos semelhantes. Ou seja todas as raízes
iguais são somadas ou subtraídas nunca se mexendo no número dentro delas.
Ex: .
- Multiplicação:
25
26. Neste caso a única coisa que temos de ter em atenção é multiplicar o que está
fora pelo que está fora e o que está dentro pelo que está dentro (não há
exceções. É sempre assim).
26
27. Inequações e intervalos de números reais:
Condição Intervalo de nº
reais
x>3
x<-1
x
2 +3
Se estiver: , temos de multiplicar a inequação por -1 e trocar o sinal:
.
Condições Conjuntos
(conjunção) (e) (Interseção)
(disjunção) (ou) (reunião)
Regras das Inequações:
- Tirar parênteses
- Desfazer de denominadores
27
28. - Colorar os termos com incógnita no 1º membro e os termos independentes no
2º
- Reduzir os termos semelhantes
- Quando estiver resolvido fazer o intervalo de números reais
28
29. Circunferências e Polígonos:
Ângulo Inscrito: um ângulo é inscrito quando o sue vértice é um
ponto da circunferência e os seus lados são cordas da circunferência.
• O
Ângulo ao Centro: um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência
e os seus lados são raios da circunferência.
• O
Nota: Em cada (inscrito ou ao centro), corresponde apenas um único arco.
Propriedades:
1. A amplitude de um inscrito é igual à metade da amplitude do arco
correspondente;
2. A amplitude de um ao centro é igual à amplitude do arco
correspondente;
3. Dois ’s inscritos com o mesmo arco têm a mesma amplitude;
4. Um inscrito numa semicircunferência é um reto;
29
30. 5. A soma de dois ’s opostos de um quadrilátero inscrito numa
circunferência é sempre 180;
6. Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que
contém o ponto de tangencia;
7. A mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência, isto é, a
reta que é perpendicular à corda e que passa pelo seu meio, também
passa pelo centro da circunferência.
8. Numa circunferência, arcos e cordas compreendidas entre retas
paralelas são iguais.
Polígonos: ’s internos de um polígono:
b
a c
a + b + c = 108 2 x 180 = 360
• Para sabermos (seja qual for o nº de arestas do polígono) em quantos
triângulos podemos dividir a figura (seja ela qual for) temos que subtrair
dois ao nº de lados do polígono;
• Se um polígono tem 20 lados (por exemplo), podemos dividi-lo em 18
triângulos. A soma dos seus ’s é 18 x 180;
• Se um polígono tem n lados, podemos dividi-lo em n – 2 triângulos. A
soma dos seus ’s é (n – 2) x 180;
30
31. • Cada interno de um polígono regular com n lados tem de amplitude
.
Ângulos externos de um polígono:
• Se um polígono com n lados for regular, cada um dos seus ’s externos
tem de amplitude: .
Problemas que relacionam trigonometria e circunferências:
Para resolver (se quiserem) Podem-se guiar pelos exercícios que fizemos nas aulas 99 e
100.
1. Determine a área de um polígono regular com 12 lados com 8 cm de
comprimento cada um.
2. Determine a área de um polígono regular com 26 lados, inscrito numa
circunferência com 11 cm de raio.
3. Determine a área de um polígono regular com 30 lados, cujo apótema
tem 14 lados.
31
32. Rotações e Isometrias:
Uma isometria é uma aplicação que transforma um segmento de reta
noutro geometricamente igual e um noutro com a mesma
amplitude. Existem 3 tipos de isometrias:
• Simetria
• Translação
• Rotação Translação
Simetria
Rotação
Relativo á Rotação:
Ângulo Orientado – é um ângulo no qual se define um sentido.
Uma rotação caracteriza-se pelo centro e pelo ângulo.
Convencionou-se que um ângulo pode ter 2 sentidos, um positivo e
um negativo:
+ -
O sentido negativo é o
O sentido positivo é o sentido dos ponteiros do
sentido contrário aos relógio
ponteiros do relógio
32
33. Trigonometria do triângulo retângulo:
A cada ângulo corresponde uma
relação trigonométrica:
Sin (seno de )
α
Cos (cosseno de )
Tg (tangente de )
Hipotenusa
Cateto
Oposto
α
Cateto adjacente
Sendo um dos ângulos agudos do triângulo retângulo, tem-se:
(SOH1)
(CAH2)
(TOA3)
1
O Seno é igual ao cateto Oposto sobre a Hipotenusa
2
O Cosseno é igual ao cateto Adjacente sobre a Hipotenusa
3
A Tangente é igual ao cateto Oposto sobre o cateto Adjacente
33
34. Resolve o triângulo:
X Ver quais as medidas dadas e
qual a fórmula que as relaciona.
α
Neste caso4:α=60
5 cm cos =5/x. cos(60)=5/x «=»
«=» 0,5=5/x «=» 0,5x=5 «=»
«=» X=5/0,5 «=» x=10
30 45 60
Fórmulas:
Cos2 + Sin2 = 1 – Fórmula Fundamental da Trigonometria
Tg α = sem α /cos α
4
O triângulo não está à escala.
34