Este documento apresenta um resumo teórico e exercícios resolvidos sobre cálculo de probabilidades de acontecimentos. Aborda definições fundamentais como experiência aleatória, espaço amostral, acontecimentos aleatórios e cálculo de probabilidades em espaços de resultados igualmente prováveis segundo a lei de Laplace. Inclui também noções sobre probabilidade condicionada, teoremas como a multiplicação e total de probabilidades e acontecimentos independentes.
O documento compara e define a média, mediana e moda. A média é a soma dos elementos dividida pelo número total. A mediana é o valor central de uma lista ordenada. A moda é o elemento que ocorre com maior frequência. Estas medidas podem ser interpretadas de diferentes formas e uma média distorcida não representa adequadamente todo o conjunto de dados.
Aula 3 da disciplina de matemática 2 para os cursos Tecnólogo em Refrigeração e Climatização e Tecnólogo em Construção de Edifícios. Conteúdo: Esboço do gráfico de uma função.
O documento discute a história e conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, começando com Cardano no século 16 e progrendindo através de contribuições de Fermat, Pascal, Laplace, Gauss e Kolmogorov. Explica como a teoria das probabilidades mede a chance de um evento ocorrer e fornece exemplos de como calcular probabilidades.
1) O documento descreve os conceitos e procedimentos para construção de tabelas-verdade, incluindo operações lógicas como negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
2) É apresentado como determinar o valor lógico de proposições compostas atribuindo valores às proposições simples em uma tabela.
3) Exemplos ilustram a construção de tabelas-verdade para proposições compostas com duas ou três proposições simples.
O documento discute os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experiências aleatórias versus deterministas, espaço amostral, tipos de eventos, a lei de Laplace para calcular probabilidades e alguns esquemas auxiliares para contagem como tabelas de dupla entrada e diagramas de árvore e Venn.
Este documento discute os critérios de verificabilidade e falsificabilidade na demarcação entre ciência e pseudociência. Resume as críticas de Karl Popper ao indutivismo e ao critério da verificabilidade, defendendo em vez disso o critério da falsificabilidade: uma teoria só é científica se for possível refutá-la através de testes empíricos. Discute também a noção de graus de falsificabilidade e fornece exemplos.
Este relatório apresenta os resultados de uma pesquisa de qualidade de controle realizada em um supermercado. Foram pesados 100 pacotes de três marcas de café e registrados os pesos. Os dados coletados serão analisados estatisticamente para avaliar a consistência dos pesos dos pacotes e identificar possíveis problemas no processo de embalagem.
O documento apresenta um problema de raciocínio lógico envolvendo dados sobre o emprego no setor público e privado no Reino de Leones entre 1995 e 2000. Apesar do número de empregados no setor público ter decrescido mais do que o crescimento no setor privado, a taxa de desemprego permaneceu a mesma, o que é ilógico dado a precisão dos dados de Leones.
O documento compara e define a média, mediana e moda. A média é a soma dos elementos dividida pelo número total. A mediana é o valor central de uma lista ordenada. A moda é o elemento que ocorre com maior frequência. Estas medidas podem ser interpretadas de diferentes formas e uma média distorcida não representa adequadamente todo o conjunto de dados.
Aula 3 da disciplina de matemática 2 para os cursos Tecnólogo em Refrigeração e Climatização e Tecnólogo em Construção de Edifícios. Conteúdo: Esboço do gráfico de uma função.
O documento discute a história e conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, começando com Cardano no século 16 e progrendindo através de contribuições de Fermat, Pascal, Laplace, Gauss e Kolmogorov. Explica como a teoria das probabilidades mede a chance de um evento ocorrer e fornece exemplos de como calcular probabilidades.
1) O documento descreve os conceitos e procedimentos para construção de tabelas-verdade, incluindo operações lógicas como negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
2) É apresentado como determinar o valor lógico de proposições compostas atribuindo valores às proposições simples em uma tabela.
3) Exemplos ilustram a construção de tabelas-verdade para proposições compostas com duas ou três proposições simples.
O documento discute os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experiências aleatórias versus deterministas, espaço amostral, tipos de eventos, a lei de Laplace para calcular probabilidades e alguns esquemas auxiliares para contagem como tabelas de dupla entrada e diagramas de árvore e Venn.
Este documento discute os critérios de verificabilidade e falsificabilidade na demarcação entre ciência e pseudociência. Resume as críticas de Karl Popper ao indutivismo e ao critério da verificabilidade, defendendo em vez disso o critério da falsificabilidade: uma teoria só é científica se for possível refutá-la através de testes empíricos. Discute também a noção de graus de falsificabilidade e fornece exemplos.
Este relatório apresenta os resultados de uma pesquisa de qualidade de controle realizada em um supermercado. Foram pesados 100 pacotes de três marcas de café e registrados os pesos. Os dados coletados serão analisados estatisticamente para avaliar a consistência dos pesos dos pacotes e identificar possíveis problemas no processo de embalagem.
O documento apresenta um problema de raciocínio lógico envolvendo dados sobre o emprego no setor público e privado no Reino de Leones entre 1995 e 2000. Apesar do número de empregados no setor público ter decrescido mais do que o crescimento no setor privado, a taxa de desemprego permaneceu a mesma, o que é ilógico dado a precisão dos dados de Leones.
Este documento discute conceitos fundamentais sobre funções matemáticas. Define o que é uma função e seus elementos constituintes, como domínio, conjunto de chegada e correspondência entre elementos. Apresenta diferentes formas de representar funções, incluindo expressões algébricas, diagramas de setas, gráficos cartesianos e tabelas. Discutem-se propriedades e tipos de funções como injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
O documento discute os conceitos básicos da lógica proposicional, incluindo: (1) proposições simples e compostas, (2) operadores lógicos e conectivas, e (3) tabelas de verdade para avaliar a validade de argumentos formalizados.
Este documento discute testes estatísticos paramétricos e não paramétricos. Resume os principais tipos de testes, como testes t, ANOVA e testes não paramétricos como o teste de Wilcoxon. Explica quando cada tipo de teste é apropriado dependendo se as amostras seguem uma distribuição normal ou não.
O documento discute critérios de validade em pesquisa educacional, incluindo validade interna e externa. A validade interna se refere à coerência entre conclusões e realidade, enquanto a validade externa à generalização dos resultados. Graus de importância desses critérios variam nas fases de pesquisa preliminar, protótipo e avaliação.
Este documento descreve e analisa vários tipos de argumentos não dedutivos, fornecendo exemplos e critérios de validade para cada um. São eles: 1) Generalização - argumento baseado na indução que pode ser inválido se a amostra não for representativa; 2) Previsão - previsões sobre o futuro podem estar erradas, mesmo que observações passadas estejam corretas; 3) Autoridade - a opinião de uma autoridade por si só não prova nada, dependendo de sua especialização e imparcialidade.
O documento discute a evolução histórica da aptidão física e sua importância para a saúde. Começa com as sociedades primitivas, onde a aptidão física era necessária para a sobrevivência, e continua discutindo sua importância ao longo das civilizações antigas e Idade Média. No século XX, houve um aumento da conscientização sobre a importância de um estilo de vida saudável e da prática regular de exercícios.
This document summarizes the three types of conditionals in English:
Type 0 refers to general truths and uses if + present, present. Type 1 refers to possible present or future events and uses if + present, future. Type 2 describes hypothetical present or future situations and uses if + past, conditional. The difference is that Type 1 expresses possibility while Type 2 expresses imagination. Type 3 refers to impossible past conditions and uses if + past perfect, conditional perfect.
Este documento é um resumo do Sermão de Santo António aos Peixes. Santo António usa os peixes como uma alegoria para repreender os vícios humanos em dois capítulos. No primeiro louva as virtudes dos peixes e no segundo critica seus vícios, comparando-os aos defeitos dos homens como a ambição, orgulho e traição. Ele conclui pedindo aos homens que imitem a obediência e respeito dos peixes a Deus.
O documento descreve as simetrias no plano e no espaço. No plano, apresenta os simétricos de um ponto P(4,2) em relação aos eixos x, y e às bissectrizes dos quadrantes. No espaço, explica sete tipos de simetrias de um ponto P(5,3,2) em relação aos planos de coordenadas e à origem.
Este documento fornece orientações para apresentar trabalhos orais de forma eficaz, incluindo: (1) ler cuidadosamente o trabalho com antecedência e anotar ideias principais, (2) falar de forma audível e não se afastar do tema, explicando tudo claramente, (3) abordar a introdução, desenvolvimento e conclusão, identificando o tema, objetivo e método usado.
Método de Newton-Raphson - @professorenanRenan Gustavo
O documento descreve o método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções. Ele explica que o método é mais rápido que a bisseção, mas requer o cálculo da derivada e nem sempre converge. Um exemplo é fornecido para ilustrar o processo iterativo do método para encontrar a raiz quadrada de 6.
Este documento fornece um guia de exploração dos recursos multimédia disponíveis no projeto "Mensagens" para o ensino de Português no 10o ano. Inclui descrições de vídeos, áudios e ferramentas digitais que podem ser usadas para apoiar as atividades propostas no manual, abrangendo diferentes objetivos e temas do programa.
1. O método de Karl Popper propõe que a ciência começa com problemas, não observações isoladas. Cientistas formulam hipóteses para explicar esses problemas e tentam refutá-las através de testes e experimentos.
2. Se as previsões de uma hipótese forem corroboradas, ela é provisoriamente aceita. Se forem refutadas, a hipótese é falsa e deve ser substituída.
3. Popper critica a visão indutivista, afirmando que a verificação de previsões isoladas não prova uma
O documento descreve os principais componentes de um computador, incluindo o processador, memória, periféricos e barramento. Explica que o processador executa instruções armazenadas na memória para processar dados, enquanto os periféricos permitem a entrada e saída de dados através do barramento.
Este documento descreve um experimento químico no qual um ciclo de cobre é realizado através de uma série de reações. O cobre metálico é oxidado a nitrato de cobre, que é posteriormente convertido em hidróxido de cobre e óxido de cobre. O óxido de cobre é então convertido em sulfato de cobre e finalmente de volta ao cobre metálico original através da adição de zinco. O rendimento da reação foi de aproximadamente 61%.
O documento apresenta resumos dos capítulos IV e V do Sermão de Santo António aos Peixes, de Padre António Vieira. No capítulo IV, o pregador repreende os vícios gerais dos peixes/homens, como se comerem uns aos outros e serem ignorantes. No capítulo V, são repreendidos os defeitos particulares de certas espécies de peixes, comparando-os a figuras históricas. Santo António é dado como exemplo oposto a esses vícios.
Este documento descreve os tipos principais de orações em português:
1) Orações coordenadas, que podem ser copulativas, adversativas, disjuntivas ou conclusivas;
2) Orações subordinadas, que podem ser substantivas como as completivas ou relativas, ou adjetivas como as explicativas ou restritivas;
3) Orações subordinadas adverbiais, que expressam relações como causa, finalidade, tempo, concessão, condição ou comparação.
O documento descreve 13 falácias informais comuns. Estas falácias ocorrem quando as premissas de um argumento não sustentam adequadamente a conclusão, geralmente devido a problemas no conteúdo do argumento. Exemplos de falácias incluem generalizações precipitadas, falsas analogias, apelos à autoridade ou emoção, falsas causas, falsos dilemas e ataques pessoais.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
Proposições e designações, equivalência, implicação, negação, linguagem corrente e linguagem simbólica, tautologia, tabelas de verdade, quantificadores universal e existencial
Este documento descreve as provas de matemática do vestibular da Unicamp. Contém seis questões de exemplo com suas respectivas respostas esperadas e comentários. As questões avaliam conceitos matemáticos como geometria, aritmética e funções exponenciais.
Curso de Direito Financeiro e de Finanças Públicas para a Licenciatura da Dir...A. Rui Teixeira Santos
O documento discute as finanças públicas e a crise econômica. Apresenta diferentes teorias sobre o papel do estado na economia, como o keynesianismo e o monetarismo. Também aborda os fundamentos morais e jurídicos das finanças públicas.
Este documento discute conceitos fundamentais sobre funções matemáticas. Define o que é uma função e seus elementos constituintes, como domínio, conjunto de chegada e correspondência entre elementos. Apresenta diferentes formas de representar funções, incluindo expressões algébricas, diagramas de setas, gráficos cartesianos e tabelas. Discutem-se propriedades e tipos de funções como injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
O documento discute os conceitos básicos da lógica proposicional, incluindo: (1) proposições simples e compostas, (2) operadores lógicos e conectivas, e (3) tabelas de verdade para avaliar a validade de argumentos formalizados.
Este documento discute testes estatísticos paramétricos e não paramétricos. Resume os principais tipos de testes, como testes t, ANOVA e testes não paramétricos como o teste de Wilcoxon. Explica quando cada tipo de teste é apropriado dependendo se as amostras seguem uma distribuição normal ou não.
O documento discute critérios de validade em pesquisa educacional, incluindo validade interna e externa. A validade interna se refere à coerência entre conclusões e realidade, enquanto a validade externa à generalização dos resultados. Graus de importância desses critérios variam nas fases de pesquisa preliminar, protótipo e avaliação.
Este documento descreve e analisa vários tipos de argumentos não dedutivos, fornecendo exemplos e critérios de validade para cada um. São eles: 1) Generalização - argumento baseado na indução que pode ser inválido se a amostra não for representativa; 2) Previsão - previsões sobre o futuro podem estar erradas, mesmo que observações passadas estejam corretas; 3) Autoridade - a opinião de uma autoridade por si só não prova nada, dependendo de sua especialização e imparcialidade.
O documento discute a evolução histórica da aptidão física e sua importância para a saúde. Começa com as sociedades primitivas, onde a aptidão física era necessária para a sobrevivência, e continua discutindo sua importância ao longo das civilizações antigas e Idade Média. No século XX, houve um aumento da conscientização sobre a importância de um estilo de vida saudável e da prática regular de exercícios.
This document summarizes the three types of conditionals in English:
Type 0 refers to general truths and uses if + present, present. Type 1 refers to possible present or future events and uses if + present, future. Type 2 describes hypothetical present or future situations and uses if + past, conditional. The difference is that Type 1 expresses possibility while Type 2 expresses imagination. Type 3 refers to impossible past conditions and uses if + past perfect, conditional perfect.
Este documento é um resumo do Sermão de Santo António aos Peixes. Santo António usa os peixes como uma alegoria para repreender os vícios humanos em dois capítulos. No primeiro louva as virtudes dos peixes e no segundo critica seus vícios, comparando-os aos defeitos dos homens como a ambição, orgulho e traição. Ele conclui pedindo aos homens que imitem a obediência e respeito dos peixes a Deus.
O documento descreve as simetrias no plano e no espaço. No plano, apresenta os simétricos de um ponto P(4,2) em relação aos eixos x, y e às bissectrizes dos quadrantes. No espaço, explica sete tipos de simetrias de um ponto P(5,3,2) em relação aos planos de coordenadas e à origem.
Este documento fornece orientações para apresentar trabalhos orais de forma eficaz, incluindo: (1) ler cuidadosamente o trabalho com antecedência e anotar ideias principais, (2) falar de forma audível e não se afastar do tema, explicando tudo claramente, (3) abordar a introdução, desenvolvimento e conclusão, identificando o tema, objetivo e método usado.
Método de Newton-Raphson - @professorenanRenan Gustavo
O documento descreve o método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções. Ele explica que o método é mais rápido que a bisseção, mas requer o cálculo da derivada e nem sempre converge. Um exemplo é fornecido para ilustrar o processo iterativo do método para encontrar a raiz quadrada de 6.
Este documento fornece um guia de exploração dos recursos multimédia disponíveis no projeto "Mensagens" para o ensino de Português no 10o ano. Inclui descrições de vídeos, áudios e ferramentas digitais que podem ser usadas para apoiar as atividades propostas no manual, abrangendo diferentes objetivos e temas do programa.
1. O método de Karl Popper propõe que a ciência começa com problemas, não observações isoladas. Cientistas formulam hipóteses para explicar esses problemas e tentam refutá-las através de testes e experimentos.
2. Se as previsões de uma hipótese forem corroboradas, ela é provisoriamente aceita. Se forem refutadas, a hipótese é falsa e deve ser substituída.
3. Popper critica a visão indutivista, afirmando que a verificação de previsões isoladas não prova uma
O documento descreve os principais componentes de um computador, incluindo o processador, memória, periféricos e barramento. Explica que o processador executa instruções armazenadas na memória para processar dados, enquanto os periféricos permitem a entrada e saída de dados através do barramento.
Este documento descreve um experimento químico no qual um ciclo de cobre é realizado através de uma série de reações. O cobre metálico é oxidado a nitrato de cobre, que é posteriormente convertido em hidróxido de cobre e óxido de cobre. O óxido de cobre é então convertido em sulfato de cobre e finalmente de volta ao cobre metálico original através da adição de zinco. O rendimento da reação foi de aproximadamente 61%.
O documento apresenta resumos dos capítulos IV e V do Sermão de Santo António aos Peixes, de Padre António Vieira. No capítulo IV, o pregador repreende os vícios gerais dos peixes/homens, como se comerem uns aos outros e serem ignorantes. No capítulo V, são repreendidos os defeitos particulares de certas espécies de peixes, comparando-os a figuras históricas. Santo António é dado como exemplo oposto a esses vícios.
Este documento descreve os tipos principais de orações em português:
1) Orações coordenadas, que podem ser copulativas, adversativas, disjuntivas ou conclusivas;
2) Orações subordinadas, que podem ser substantivas como as completivas ou relativas, ou adjetivas como as explicativas ou restritivas;
3) Orações subordinadas adverbiais, que expressam relações como causa, finalidade, tempo, concessão, condição ou comparação.
O documento descreve 13 falácias informais comuns. Estas falácias ocorrem quando as premissas de um argumento não sustentam adequadamente a conclusão, geralmente devido a problemas no conteúdo do argumento. Exemplos de falácias incluem generalizações precipitadas, falsas analogias, apelos à autoridade ou emoção, falsas causas, falsos dilemas e ataques pessoais.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
Proposições e designações, equivalência, implicação, negação, linguagem corrente e linguagem simbólica, tautologia, tabelas de verdade, quantificadores universal e existencial
Este documento descreve as provas de matemática do vestibular da Unicamp. Contém seis questões de exemplo com suas respectivas respostas esperadas e comentários. As questões avaliam conceitos matemáticos como geometria, aritmética e funções exponenciais.
Curso de Direito Financeiro e de Finanças Públicas para a Licenciatura da Dir...A. Rui Teixeira Santos
O documento discute as finanças públicas e a crise econômica. Apresenta diferentes teorias sobre o papel do estado na economia, como o keynesianismo e o monetarismo. Também aborda os fundamentos morais e jurídicos das finanças públicas.
O documento descreve conceitos fundamentais sobre demanda, oferta e elasticidade. Resume a curva de demanda e como ela é afetada por fatores como preço e renda. Também descreve a curva de oferta e como é afetada por fatores como custos de produção e preços de insumos. Por fim, explica conceitos-chave como ponto de equilíbrio e elasticidade.
Este documento apresenta um resumo sobre estatística e probabilidade. Ele discute conceitos como variáveis, amostragem, medidas de posição e dispersão, correlação, regressão, probabilidade, variáveis aleatórias e testes de hipóteses. O documento está organizado em 13 capítulos e fornece exemplos e exercícios para cada tópico discutido.
Estatística para os cursos de : economia, administração e ciênicas contáb...Luiz Carlos
Este documento apresenta a solução de vários exercícios de estatística propostos em um livro didático. As soluções envolvem cálculos de probabilidade, construção de árvores de decisão e determinação de funções de probabilidade para diferentes experimentos aleatórios.
O documento apresenta 11 exercícios sobre probabilidade e estatística aplicada. Os exercícios envolvem distribuições como binomial, hipergeométrica, Poisson, normal e exponencial. As soluções calculam probabilidades de eventos como a ocorrência de um determinado número de resultados em uma amostragem aleatória.
Uma experiência aleatória é aquela cujo resultado não é previsível e depende do acaso. Exemplos incluem lançar uma moeda ou perguntar a opinião de alguém escolhido ao acaso. O espaço amostral representa todos os resultados possíveis e um acontecimento é um subconjunto desse espaço. A probabilidade de um acontecimento é calculada usando a regra de Laplace, que divide o número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis.
1. O documento contém um exercício de matemática com 7 questões sobre cálculos com números positivos e negativos, propriedades de adição e subtração, eliminação de parênteses e quadrados mágicos.
2. É pedido para calcular expressões numéricas, eliminar parênteses usando a propriedade do cancelamento, preencher um quadrado mágico e corrigir afirmações falsas após cálculos.
3. Deve-se mostrar os cálculos das expressões nas questões 7 em seu caderno.
1) O documento apresenta 25 exercícios de matemática envolvendo contagem, probabilidade e formação de números. 2) Os exercícios abordam tópicos como combinações, arranjos, probabilidade, formação de números com dígitos específicos. 3) As respostas variam entre contagens simples e cálculos mais complexos de combinatória e probabilidade.
O documento apresenta um caderno de exercícios resolvidos de Macroeconomia I com exercícios sobre tópicos como procura agregada, modelo IS/LM, oferta agregada, consumo, poupança, investimento, setor externo e moeda.
Aula De Matemática sobre Análise Combinatória com exercícios comentados - Veja também nossa vídeo aula com a explicação de todo esse conteúdo em nosso site : www.aulasdematematicaapoio.com
Este documento fornece uma introdução à estatística descritiva e indutiva. Abrange definições gerais de população, variáveis e amostragem, e descreve as principais medidas estatísticas como média, mediana, moda, dispersão e concentração. Também discute representações gráficas como histogramas e curvas de Lorenz.
1) Os números inteiros relativos incluem todos os números inteiros negativos, o zero e todos os positivos.
2) Uma temperatura foi registrada como 10°C acima de zero durante o dia e 3°C abaixo de zero à noite, relacionando os valores a números positivos e negativos.
3) Os números inteiros relativos podem ser representados em uma reta numérica, onde números mais à direita são maiores.
Recuperação lista exercicios 7º ano 1º bimestreRafael Marques
O documento apresenta os conceitos básicos de matemática sobre números inteiros, racionais, operações como adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Inclui também exemplos passo a passo destas operações com números positivos e negativos, além de expressões numéricas com várias operações aninhadas.
O documento contém uma lista de exercícios matemáticos com operações envolvendo números positivos e negativos. As questões incluem cálculos como soma, subtração, multiplicação e divisão de expressões algébricas e avaliação destas expressões para diferentes valores de variáveis.
1) O jogador que está pior classificado é o Silvio, que pontuou 8 pontos negativos.
2) A situação "Tinha 15 reais e gastei 12 reais" pode ser representada por 15 - 12.
3) Dos números listados, o maior é 2 e o menor é -5.
Questões de provas e simulados probabilidade e estatística junho 2014Nina Silva
A probabilidade de Luíza pertencer à comissão de formatura composta por 3 pessoas sorteadas entre 7 candidatos é de 15/35.
A dispersão relativa das notas de Física foi maior do que a dispersão relativa das notas de Cálculo.
Os números índices de uma série devem ser expressos em percentuais por representarem variações naquele universo pesquisado.
Este documento discute conceitos básicos de cálculo, incluindo:
1) Funções, domínio e imagem;
2) Extensões de domínios;
3) Limites e suas propriedades.
Este documento fornece um tutorial sobre como pensar como um cientista da computação usando a linguagem de programação Python. O documento introduz conceitos básicos de programação como variáveis, tipos de dados, funções, condicionais, recursividade, iteração e estruturas de dados como listas, dicionários e objetos. O documento também aborda tópicos como classes, herança, arquivos, exceções e outros para fornecer uma base sólida sobre programação orientada a objetos usando Python.
Este documento contém um resumo das principais ideias da lógica proposicional, incluindo:
1) Definições de proposições, conectivos lógicos e tabelas verdade;
2) Explicações detalhadas dos conectivos lógicos da negação, conjunção, disjunção, implicação e bicondicional;
3) Uma introdução aos predicados, quantificadores universais e existenciais e suas notações.
Este documento apresenta um roteiro de estudo introdutório sobre mecânica clássica. Ele destina-se principalmente a estudantes de física da Universidade Estadual do Ceará e fornece uma lista diversificada de exercícios para desenvolver habilidades analíticas. O autor convida reparos, críticas e sugestões para melhorar a proposta.
Este documento apresenta uma dissertação de mestrado sobre a construção dos números reais na escola básica. A dissertação analisa a aprendizagem dos números reais nos diferentes níveis de ensino, propõe uma abordagem pedagógica para a construção dos números reais no ensino fundamental e relata uma experiência didática implementando essa proposta.
Este capítulo apresenta a teoria da redação, incluindo seus principais tipos (descrição, narração e dissertação), partes (introdução, desenvolvimento e conclusão) e qualidades (correção, clareza, concisão, originalidade, elegância e coesão). Também discute como superar bloqueios na redação através do treinamento contínuo, e fornece exemplos e modelos para ajudar na elaboração de esquemas e textos.
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo:
1) Define experimento aleatório, espaço amostral e eventos aleatórios.
2) Descreve operações com eventos aleatórios como interseção, união e complementar.
3) Introduz a definição clássica de probabilidade e propriedades como aditividade e normalização.
Este documento fornece uma introdução às noções básicas de lógica matemática, com foco em:
1) Definições de proposições, proposições simples e compostas.
2) Apresentação dos principais conectivos lógicos - negação, conjunção, disjunção e condicional - e suas respectivas tabelas-verdade.
3) Exemplos ilustrativos sobre como determinar o valor lógico de proposições compostas usando as tabelas-verdade.
O documento serve como material
Este documento apresenta um resumo sobre limites, continuidade, derivabilidade e aplicações. Aborda conceitos como sequências numéricas, limites de funções, derivadas, regras de derivação e aplicações destes conceitos em outros campos como economia e métodos numéricos.
Este documento descreve a quinta edição do livro "Juntas Industriais" de José Carlos Veiga. Contém informações sobre o autor, edições anteriores, gráfica, dados de catalogação e prefácio. O livro aborda temas como projeto, materiais, tipos e instalação de juntas industriais.
Este documento apresenta um estudo de caso sobre o uso de blogs como ferramenta pedagógica. Após introduzir o tema e discutir a polêmica sobre o uso de computadores na educação, o documento explora conceitos como hardware, software, periféricos, inclusão digital e tecnologias educacionais. Relatos de experiências com blogs, wikis e outras ferramentas são apresentados. Por fim, o documento descreve o método adotado no estudo de caso e apresenta conclusões apontando que blogs podem ser usados como ferramenta
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral e eventos. Discute definições, exemplos e operações com eventos aleatórios como interseção, união e complemento. Também aborda a definição clássica de probabilidade e cálculos combinatórios.
Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccolaAdriana Barbosa
1) O documento apresenta os principais conceitos matemáticos de conjuntos, como elementos, pertencimento e não pertencimento, utilizando símbolos como { }, E e ≠.
2) Novos tópicos como subconjuntos, operações com conjuntos e números de elementos em uniões são introduzidos nesta nova edição do livro didático.
3) Apresenta também novos capítulos sobre matemática financeira e estatística para acompanhar a moderna tendência do ensino.
Livro da bolsa_-_vol._1_-_introducao_a_analise_tecnicaVirgínia Carvalho
Este documento apresenta uma introdução aos gráficos utilizados na análise técnica. Explica o que é um gráfico e apresenta o gráfico de pontos como o tipo mais simples. Discute os principais componentes de um gráfico, incluindo as escalas de tempo e preço. Também fornece uma visão geral dos diferentes tipos de gráficos que serão discutidos, com foco nos gráficos de linhas, barras e velas japonesas.
1. O documento fornece instruções sobre como realizar uma pesquisa, incluindo os tipos de pesquisa, as etapas de uma pesquisa e a estrutura de um projeto de pesquisa.
2. As principais etapas de uma pesquisa incluem o planejamento, a execução e a redação do relatório final. O planejamento envolve escolher o tema, revisar a literatura, formular o problema e os objetivos.
3. Uma pesquisa pode ser classificada de acordo com sua natureza, abordagem,
Faculdade: Trabalho sobre Seguranca Digital (Versão em PDF)Rafael Biriba
Trabalho feito em 2008 no curso de Análise de Sistemas (IST-RIO), na matéria "Metodologia de Pesquisa",.. Está meio simples,... Mas ficou bom, para um trabalho feito no primeiro período =D (Versão em PDF)
1) O documento apresenta um caderno didático sobre a linguagem de programação Pascal com 10 capítulos que abordam tópicos como introdução ao Pascal, características básicas, tipos de dados, entrada e saída, entre outros.
2) Os capítulos apresentam conceitos fundamentais da linguagem como declaração de variáveis e constantes, operadores, tipos de dados, estruturas de controle e outros elementos.
3) O caderno visa servir como material de apoio para estudantes interessados em aprender a linguagem Pascal.
1. O documento apresenta informações sobre um livro de gramática portuguesa com interpretação de textos da editora Elsevier;
2. O livro aborda temas de ortografia, morfologia, sintaxe e interpretação de textos, com teoria, exercícios e questões comentadas;
3. O documento traz dados sobre os autores, edição, ISBN e editora.
1) O documento apresenta um curso de análise real escrito por Cassio Neri e Marco Cabral com o objetivo de ensinar conceitos básicos de análise real como teoria dos conjuntos, números naturais, inteiros, racionais e reais.
2) Os autores fornecem informações biográficas, explicam as modificações feitas na segunda edição do livro e agradecem contribuições recebidas para aperfeiçoar o texto.
3) O livro está organizado em capítulos abordando temas como te
Este documento é um guia para estudantes que ensina técnicas eficazes para ter sucesso na escola. O guia aborda tópicos como gestão do tempo, atitude psicológica, aprendizagem e memória, participação nas aulas, trabalho em grupo, leitura ativa, elaboração de trabalhos, provas de avaliação e regras de escrita. O objetivo é ajudar os estudantes a criarem hábitos de estudo eficazes individualmente e em grupo.
1) O documento apresenta as informações sobre a elaboração do balanço patrimonial de uma empresa prestadora de serviços.
2) É destacada a importância do balanço patrimonial para apresentar a posição financeira da empresa em determinada data.
3) São explicados os critérios de classificação das contas no ativo e passivo de acordo com a Lei 6.404/76, com foco no grau de liquidez e exigibilidade.
1) O documento apresenta uma breve história da Contabilidade, desde os primórdios até os dias atuais.
2) É introduzido o método das partidas dobradas, onde cada débito tem um crédito correspondente de igual valor.
3) Exemplos ilustram como as transações comerciais são registradas usando débitos e créditos nas contas apropriadas.
O documento apresenta:
1) A equipe responsável pela produção e revisão de um curso técnico em operações comerciais;
2) O objetivo do curso é ensinar sobre conceitos e formação do patrimônio inicial de empresas.
Este documento fornece informações sobre a equipe responsável pela produção de um curso técnico em operações comerciais. A equipe inclui coordenadores de produção, edição, revisão, design gráfico, diagramação, arte e ilustração, revisão tipográfica, design instrucional e revisão de linguagem e normas. O curso foi desenvolvido pela Secretaria de Educação a Distância da Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
O documento fornece informações sobre patrimônio líquido e variações patrimoniais. Ele define patrimônio líquido como a diferença entre os bens e direitos de uma empresa e suas obrigações com terceiros. Também classifica as variações patrimoniais em permutativas, modificativas e mistas, dependendo se alteram apenas os componentes do patrimônio ou também o patrimônio líquido.
Este documento fornece informações sobre conceitos básicos da contabilidade como contas, débito, crédito e saldo. Explica que contas são agrupamentos que registram fatos de mesma natureza e dá exemplos. Define débito e crédito como convenções contábeis onde a conta que representa a aplicação de recursos sofre um débito e a que representa a origem sofre um crédito. Por fim, explica que saldo é a diferença entre débitos e créditos, podendo ser devedor ou credor.
O documento fornece informações sobre a classificação e função das contas contábeis. As contas são classificadas em patrimoniais e de resultado. As contas patrimoniais representam bens, direitos e obrigações, enquanto as contas de resultado representam despesas e receitas. O ativo é composto por contas circulante, realizável a longo prazo, permanente e diferido.
O documento fornece um breve resumo sobre planos de contas, incluindo sua definição, organização e importância. É apresentado um modelo simplificado de plano de contas com contas patrimoniais e de resultado organizadas em grupos e subgrupos.
Este documento fornece instruções sobre escrituração contábil e o método das partidas dobradas. Explica os elementos essenciais de um lançamento contábil, como local e data, conta débito, conta crédito, histórico e valor. Também demonstra exemplos de lançamentos usando o método das partidas dobradas.
O documento apresenta um exemplo de balancete de verificação com 4 colunas para a empresa Comercial ABC. O balancete é elaborado após os lançamentos contábeis e razonetes referentes às seguintes movimentações em fevereiro de 2006: 1) Aporte de capital pelos sócios; 2) Abertura de conta bancária; 3) Compra de veículo; 4) Compra de móveis; 5) Captação de empréstimo. O balancete verifica a igualdade entre os totais de débitos e créditos, demonstrando a cor
1) O documento apresenta informações sobre uma aula sobre lançamentos contábeis, razonetes e balancete de verificação.
2) São apresentados exemplos de lançamentos de diversas transações financeiras de uma empresa.
3) O documento também traz informações sobre contas de resultado e seus conceitos.
1) O documento apresenta o balancete de verificação da Cia Brasil em 31 de dezembro de 2006 com o objetivo de apurar o lucro bruto, calcular depreciações, transferir contas de resultado e elaborar balanços.
2) São descritos os 7 passos para realizar a apuração do resultado, incluindo o cálculo do lucro bruto, depreciações, transferência de contas, provisão para imposto de renda e distribuição de lucros.
3) O balancete final é apresentado com os saldos atualizados
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre custos, distinguindo entre custos fixos, variáveis, diretos e indiretos.
2) É destacada a importância da contabilidade de custos para que as empresas possam analisar seus gastos e tomar decisões estratégicas.
3) O custo simplificado é definido como um método para calcular o custo global de produção ou vendas de uma empresa de forma simplificada, sem considerar o custo unitário de cada produto.
1) O documento apresenta um resumo final de conceitos contábeis abordados ao longo de 15 aulas de Contabilidade.
2) São revisados conceitos como ativo, passivo, patrimônio, débito e crédito por meio de exercícios práticos.
3) Inclui também a revisão de temas como balancete de verificação, lançamentos contábeis e balanço patrimonial.
1) O documento apresenta exercícios contábeis sobre operações diversas como compra e venda de mercadorias, aquisição de bens, pagamentos e recebimentos. 2) São solicitados lançamentos contábeis nas contas e a elaboração de balanços patrimoniais e demonstrações de resultado. 3) Os exercícios visam a prática de registros contábeis básicos de empresas em diferentes cenários operacionais.
Este documento apresenta exercícios sobre o Balanço Patrimonial e a Demonstração do Resultado do Exercício. Inclui questões sobre os principais grupos de contas do Balanço, regras para distribuição de contas, classificação de itens no Balanço e exercícios para preenchimento de Balanços Patrimoniais. Também aborda conceitos sobre a Demonstração do Resultado, grupos de despesas operacionais e associação de termos.
O documento descreve a Contabilidade como uma ciência por possuir objeto de estudo (o patrimônio das entidades) e método de análise próprio (partidas dobradas). Apresenta a história da Contabilidade desde Pacioli em 1494, que sistematizou o método das partidas dobradas utilizado em Veneza, até autores posteriores que contribuíram para o desenvolvimento da ciência no Brasil e em outros países. Também define os elementos constitutivos da Contabilidade como ciência.
Os principais grupos e subgrupos de contas do patrimônio são:
1. Ativo
- Circulante
- Caixa e equivalentes de caixa
- Contas a receber
- Estoques
- Não Circulante
- Investimentos
- Imobilizado
- Intangível
2. Passivo
- Circulante
- Financiamentos e empréstimos
- Contas a pagar
- Impostos e contribuições
- Não Circulante
- Financiamentos e empréstimos
- Provisões
3. Patrimônio Líquido
- Capital
Os principais grupos e subgrupos de contas do patrimônio são:
1. Ativo
- Circulante
- Caixa e equivalentes de caixa
- Contas a receber
- Estoques
- Não Circulante
- Investimentos
- Imobilizado
- Intangível
2. Passivo
- Circulante
- Financiamentos e empréstimos
- Contas a pagar
- Impostos e contribuições
- Não Circulante
- Financiamentos e empréstimos
- Provisões
3. Patrimônio Líquido
- Capital
1. Colecção
Step-by-Step
Probabilidades
Volume I
Cálculo de Probabilidades de Acontecimentos
Resumo Teórico e Exercícios Resolvidos
2. Índice
Prefácio.......................................................................................................................................................................3
1 Introdução. Definições: Experiência Aleatória e Acontecimentos Aleatórios.........................................................4
2 Cálculo de Probabilidades em espaços de resultados igualmente prováveis: Lei de Laplace................................6
3 Noção de probabilidade: axiomas e teoremas.........................................................................................................7
Axiomática das Probabilidades............................................................................................................................7
4 Probabilidade Condicionada...................................................................................................................................9
.............................................................................................................................................................................10
Axiomática das Probabilidades Condicionadas....................................................................................................10
5 Teorema da Multiplicação de Probabilidades.......................................................................................................10
6 Teorema da Probabilidade Total...........................................................................................................................11
7 Teorema de Bayes.................................................................................................................................................11
8 Acontecimentos Independentes.............................................................................................................................12
9 Exercícios Resolvidos...........................................................................................................................................15
10 Exercícios Propostos............................................................................................................................................20
11 Exercícios de Auto-Avaliação.............................................................................................................................22
I Escolha Múltipla ...............................................................................................................................................22
II Verdadeiro/Falso..............................................................................................................................................23
12 Referências Bibliográficas...................................................................................................................................24
Anexo 1 Revisão sobre o Cálculo Combinatório.....................................................................................................25
Introdução.............................................................................................................................................................25
Estratégicas básicas de Contagem: Regras Básicas..............................................................................................25
Arranjos com e sem repetição...............................................................................................................................26
Permutações..........................................................................................................................................................27
Factorial de um número inteiro não negativo.......................................................................................................27
Combinações.........................................................................................................................................................28
Propriedades das Combinações.............................................................................................................................29
O Triângulo de Pascal...........................................................................................................................................29
Binómio de Newton..............................................................................................................................................30
Exercícios Resolvidos sobre o Binómio de Newton.............................................................................................31
Exercícios Propostos sobre o Binómio de Newton...............................................................................................32
Exercícios Propostos sobre Cálculo Combinatório...............................................................................................32
Anexo 2 Revisão da Teoria dos Conjuntos: Operacões entre conjuntos.................................................................34
Exercícios Propostos sobre Teoria dos Conjuntos................................................................................................36
Anexo 3 Linguagem usada em Medicina.................................................................................................................37
Soluções dos Exercícios Propostos...........................................................................................................................38
Soluções da Escolha Múltipla...................................................................................................................................42
Soluções do Verdadeiro/Falso..................................................................................................................................42
Soluções dos Exercícios Propostos sobre o Binómio de Newton.............................................................................42
Soluções dos Exercícios Propostos sobre Cálculo Combinatório.............................................................................43
Soluções dos Exercícios Propostos sobre Teoria dos Conjuntos..............................................................................43
2
Estatística, Probabilidades ou Matemática 11º/12º: telemóvel: 96 545 94 13
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3. Prefácio
O leitor está a ler uma versão parcial e preliminar de um texto em elaboração, mais precisamente a
versão de 17 de Abril de 2000. O autor agradece todas e quaisquer indicações de gralhas e/ou erros,
sugestões, críticas,... para jguerreiro@portugalmail.pt Se desejar ser notificado sempre que se verifiquem
alterações de fundo neste texto peça por e-mail um formulário para o efeito.
Este texto tem vários objectivos cuja fronteira não está muito bem definida. É certo que há vários anos
que existem manuais sobre este tema, em várias línguas, nomeadamente na nossa. Então o que tem de
novo? Bem qualquer coisa que só saberá se confiar e começar agora mesmo a verificar, lendo como se
tivesse um exame amanhã, sobre este tema. Desde já demonstro a minha disponibilidade para dúvidas, no
sentido usual das mesmas, pelo e-mail indicado. Em troca espero que colabore para que este texto fique
sem gralhas e mais acessível a qualquer leitor. A sua colaboração é essencial. A sua opinião é necessária.
Este é um aspecto verdadeiramente inovador, um texto escrito em colaboração com alguém que sente as
dificuldades. Esta é a minha verdadeira aposta.
Actualmente apenas se trata do tema Cálculo de Probabilidades de Acontecimentos, com a promessa
de que os restantes temas da Teoria das Probabilidades serão tratados em outros volumes. E quem sabe
outros tópicos...
Os pré-requisitos existem. Quase que pode dizer-se que um conhecimento sólido do secundário é
suficiente, no entanto noções básicas de Cálculo Diferencial e Integral são também necessárias em pontos
muito reduzidos da matéria. Por isso este tema é em geral estudado no 2ºano das várias licenciaturas e
bacharelatos. Se o seu conhecimento a montante não é muito satisfatório, lembre-se que tudo apenas
depende da sua força de vontade.
Os agradecimentos por enquanto são poucos, esperamos que o seu nome possa aparecer aqui. Por
enquanto agradeço ao Eng. Jorge Gomes e ao Daniel Dias da Costa.
Bom trabalho!
O autor,
J.G.
3
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4. 1 Introdução. Definições: Experiência Aleatória e Acontecimentos Aleatórios
Pode-se dizer que a Probabilidade nasceu no século XVII por interesse comum de Pascal e Fermat.
Blaise Pascal (1623-1662) Pierre de Fermat (1601-1665)
Definição 1:
“Uma experiência, E, diz-se aleatória se:
i) for um procedimento que se pode repetir um grande número de vezes mas mesmas condições ou pelo
menos em condições semelhantes;
ii) todos os resultados possíveis são conhecidos à priori;
iii) o resultado exacto não é conhecido antes da realização da experiência, i.e.1 é imprevisível.”
Exemplos de Experiências Aleatórias:
E1: lançamento de um dado e registo do número de pontos que sai;
E2: lançamento de duas moedas2;
E3: lançamento de um dado e de uma moeda;
E4: lançamento de uma moeda até aparecer face;
E5: uma lâmpada é fabricada e ensaiada quanto à sua duração;
E6: é registada a idade de uma pessoa3;
E7: extracção de 2 peças (com ou sem reposição) de um lote de 100 peças das quais 20 são defeituosas.
Em oposição aos fenómenos aleatórios, alvo do nosso estudo, existem os fenómenos determinísticos,
que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.
Definição 2:
“Designa-se por Espaço Amostral e representa-se por Ω, o conjunto de todos os resultados possíveis
associados a uma experiência aleatória.”
Definição 3:
“Designa-se por Espaço de Acontecimentos e representa-se por IP(Ω), o conjunto de todas as partes ou
subconjuntos de Ω.”
1
i.e., id est, que significa isto é, é uma expressão que usaremos muito.
2
Designaremos face por F e coroa por C, naturalmente.
3
Em anos como habitualmente.
4
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5. Exemplos de Espaços Amostrais:
Ω1= {1,2,3,4,5,6 } ;
Ω2= {CC , FC , FF , CF } = { (C , C ), ( F , C ), ( F , F ), (C , F )} ;
Ω3= {1C ,1F ,2C ,2 F ,...,6 C ,6 F } ;
Ω4= { F , CF , CCF , CCCF ,...} ;
Ω5= IR + ; Ω6= IN .
A partir destes exemplos inicíais observamos que um espaço amostral pode ser discreto finito (Ω1) ou
discreto infinito (Ω6) ou contínuo (Ω5). Nas experiências em que se considere mais do que uma v.a. o
mais rigoroso é apresentar os resultados obtidos sobre a forma de vector, e.g. 4 Ω2, no entanto nesta fase
inicial não queremos desviar a nossa atenção do que é realmente importante: uma introdução intuitiva
destas noções.
Definição 4:
“Qualquer subconjunto do espaço amostral designa-se por acontecimento aleatório.”
Os exemplos são óbvios mas interessa destacar os seguintes casos:
i) Acontecimento Elementar: quando o acontecimento é constituído por um único elemento;
ii) Acontecimento Certo: é outra designação para o espaço amostral Ω;
iii)Acontecimento Impossível: quando o acontecimento não contém nenhum elemento, i.e., na realidade
“não aconteceu”.
Diz-se então que um acontecimento se realiza sempre que o resultado de uma experiência aleatória é um
elemento que pertence ao acontecimento.
Do que ficou dito verifica-se que há uma “equivalência” entre a noção de acontecimento e a noção de
conjunto. Verifica-se então um paralelismo entre a álgebra de conjuntos e a álgebra de acontecimentos5.
Operações entre acontecimentos:
i) se A1, …, An são acontecimentos aleatórios, então o acontecimento in=1 Ai ocorrerá sempre que pelo
menos um dos acontecimentos Ai ocorrer;
ii) se A1, …, An são acontecimentos aleatórios, então o acontecimento in=1 Ai ocorrerá sempre que todos
os acontecimentos Ai ocorrerem;
iii) o produto cartesiano pode-se aplicar a acontecimentos com o parelelismo para os conjuntos6.
Exemplo:
“Não se realizar nenhum dos dois acontecimentos”, corresponde em linguagem de conjuntos a A ∩ B .
Definição 5:
“Dois acontecimentos aleatórios, A e B, designam-se mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer
simultaneamente, em linguagem de conjuntos, A ∩ B = { } .”
4
e.g. exempli gratia, que significa por exemplo, expressão que também usaremos muito.
5
Ver anexo 2.
6
Ver nota anterior.
5
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6. Definição 6:
“Dois acontecimentos aleatórios, A e B, dizem-se contrários se A ∩ B = { } e A ∪ B = Ω , e representa-se
o conjunto contrário de A por A .”
Sabemos que a cada experiência aleatória podemos associar ∞ acontecimentos aleatórios. Para
distinguirmos os vários acontecimentos, torna-se necessário associar a cada acontecimento aleatório A,
um número que de alguma maneira medirá o quanto verosímil é que o acontecimento A venha a ocorrer.
Este número necessário é a probabilidade do acontecimento A, P(A).
Consideremos uma urna que contem 49 bolas azuis e 1 bola branca. Se efectuarmos uma inspecção,
teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais
frequente obtermos numa inspecção, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o
acontecimento "sair bola azul" tem maior Probabilidade de ocorrer do que o acontecimento "sair bola
branca".
2 Cálculo de Probabilidades em espaços de resultados igualmente prováveis: Lei de Laplace
A primeira definição de probabilidade conhecida deve-se a Laplace no início do séc. XIX, para a
hipótese de casos igualmente prováveis ou o chamado princípio da simetria.
Definição 6:
“Seja A um acontecimento aleatório de Ω, a probabilidade de A, i.e.,
n º de casos favoráveis
P ( A) ≡ ”.
n º de casos possíveis
O que a definição de Laplace nos diz é que se todos os k resultados 7, forem igualmente verosímeis, a
probabilidade de cada resultado, i.e., a probabilidade de cada acontecimento elementar Ai, será:
1
P ( Ai ) = , i=1,…,k.
k
Exemplos:
1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a. sair o número 3.
Temos Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} pelo que #Ω = 6. Seja A = {3} pelo que #A= 1. Portanto, a probabilidade
procurada será igual a P(A) = 1/6.
b. sair um número par.
Agora o acontecimento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será P(A) =
3/6 = 1/2.
c. sair um múltiplo de 3:
O acontecimento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será P(A) = 2/6 = 1/3.
d. sair um número menor do que 3.
Agora, o acontecimento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, P(A) = 2/6 = 1/3.
e. sair um quadrado perfeito.
O acontecimento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, P(A) = 2/6 = 1/3.
7
i.e., se o cardinal de Ω for k.
6
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7. 2. Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:
a. sair a soma 8.
Observe que neste caso, o espaço amostral Ω é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número
no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde
i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j. As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6) , (3,5) ,
(4,4) , (5,3) e (6,2). Portanto, o acontecimento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade
procurada será igual a P(A) = 5/36.
b. sair a soma 12.
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a P(A) =
1/36.
A interpretação clássica de Laplace manteve-se até ao início do séc. XX, altura em que começaram a
surgir as críticas quer no que dizia respeito ao cálculo das probabilidades quando o princípio da simetria
não se verificava, quer, e principalmente, quando o número de casos possíveis não era finito nem sequer
numerável.
3 Noção de probabilidade: axiomas e teoremas.
O nosso objectivo é encontrar um meio de obter o tal número, sem recorrer à experiência. E a
característica que lhe exigimos e que tenha o valor que encontraríamos se realizássemos a experiência em
causa um grande número de vezes. Este aspecto está na base de uma outra teoria a Teoria Frequencista
das Probabilidades. Esta surgiu no início do séc. XX e segundo ela a probabilidade de um acontecimento
pode ser determinada observando a frequência relativa desse acontecimento numa sucessão numerosa de
experiências aleatórias.
No início do séc. XX começou a sentir-se a necessidade de uma axiomatização da teoria de
probabilidades que foi feita em 1933 pelo matemático russo A. N. Kolmogorov.
Andrey Kolmogorov (1903-1987)
Axiomática das Probabilidades
Sob um ponto de vista puramente matemático, suporemos que para cada acontecimento A, pertencente
ao conjunto de todos os acontecimentos possíveis, existe um número, que designaremos por P(A),
satisfazendo:
A1: 0 ≤ P ( A) ≤ 1 ;
A2: P (Ω) = 1 em que Ω é o acontecimento certo;
A3: Se Ai A j = φ com i ≠ j então P ( in=1 Ai ) = ∑in=1 P( Ai ) .
7
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8. Com estes três axiomas mesmo sem sabermos 8 ainda calcular P(A) sabemos já as suas características,
com as quais se demonstram todas as propriedades seguintes. Note que pode-se recorrer, apenas para
melhor visualização, a Diagramas de Venn.
Propriedades:
P1: “Se φ for o conjunto vazio então P ( φ) = 0 ”.
P2: “Se A é o acontecimento complementar de A então P ( A) = 1 − P ( A) ”.
P3:“Se A é um acontecimento qualquer então P ( A) ≤ 1 ”.
P4:“Se A e B forem acontecimentos quaisquer então P ( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) − P( A ∩ B ) ”.
P5:“Se A, B e C forem acontecimentos quaisquer então
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B ) − P( A ∩ C ) − P( B ∩ C ) + P( A ∩ B ∩ C ) ”.
P6: “Se A ⊆ B ⇒ P( A) ≤ P ( B ) ”.
Estas propriedades são portanto consequências imediatas dos axiomas referidos.
Exemplo:
Em uma certa comunidade existem apenas dois jornais disponíveis, o Jornal de Notícias e o Público.
Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do Jornal de Notícias, 4000 são assinantes do Público, 1200 são
assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso
seja assinante de ambos os jornais?
Sabemos que não é necessário mas dado que é uma boa ferramenta pois permite a “visualização”,
representemos os conjuntos num Diagrama de Venn.
Ω
J P
A resolução destes problemas, correcta e metódica, começa com a definição dos acontecimentos
necessários a uma adequada resolução do problema.
Definição dos acontecimentos:
- J = {" Ler o jornal Jornal de Noticias"}
- P = {" Ler o jornal Público" }
Note que não sabemos qual o número total de pessoas do nosso espaço amostral, Ω, que designaremos
por n(Ω). Teremos:
n ( Ω ) = n(J ∪ P) + n( J ∪ P )
Em que:
J ∪ P = {" Ler pelo menos um dos jornais"} ,
J ∩ P = {" Ler ambos os jornais"} e J ∪ P = {" Não ler nenhum dos dois jornais"} ,
8
Sabemos apenas se a lei de Laplace for aplicável.
8
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9. pelo que e.g., n( J ∪ P) representa o número de pessoas da comunidade em estudo, que não lêem jornais.
Dividindo a igualdade n ( Ω ) = n(J ∪ P) + n( J ∪ P ) por n ( Ω ) obtemos 1 = P(J ∪ P) + P( J ∪ P ) ,
usando a Lei de Laplace. Agora usando a propriedade P4 temos: P(J ∪ P) = P(J) + P(P) − P(J ∩ P) . É
agora possível escrever uma expressão em função dos valores do enunciado:
1 = [ P(J) + P(P) - P(J ∩ P)] + P( J ∪ P )
Estas probabilidades são facilmente calculáveis a partir dos dados do problema, basta escrever em função
de n ( Ω ) .
Dados do problema:
n(J) = 5000 ; n(P) = 4000 ; n(J ∩ P) = 1200 e n( J ∪ P ) = 800 .
1=
[ n(J) + n(P) - n(J ∩ P)] + n( J ∪ P ) ⇔ n( Ω ) = [ n(J) + n(P) - n(J ∩ P)] + n( J ∪ P ) = 5000 + 4000 - 1200 + 800 = 8600
n( Ω )
Pelo que a comunidade em estudo tem 8600 pessoas. Agora é simples responder ao pedido:
n(J ∩ P) 1200
P(J ∩ P) ≡= = 0.1395 = 13.95%
n( Ω ) 8600
A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a
probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%(contra 86% de
probabilidade de não ser).
4 Probabilidade Condicionada
A diferença que existe entre um esquema sem reposição e outro com reposição está na base de uma
nova definição.
Definição 7:
“Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios associados à mesma experiência aleatória. Denotaremos por
P ( A | B ) a probabilidade condicionada do acontecimento A quando B tiver ocorrido. Se P ( B ) > 0 então
P( A ∩ B)
P( A | B) ≡ ”.
P( B)
Esta última expressão lê-se: probabilidade de A dado B ou probabilidade de A condicionada a B.
Note que se Ω for finito e com resultados igualmente possíveis podemos calcular uma probabilidade
Card ( A ∩ B ) 9
condicionada, além da definição anterior, usando a expressão: P ( A | B ) = .
Card ( B )
Exemplo:
9
Em que Card(A) designa o cardinal do conjunto A.
9
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10. De um baralho de 52 cartas retirou-se ao acaso uma carta, sabendo que é de “Copas”, qual a
probabilidade de ser um “Ás”?
Note que o facto de se explicitar que a escolha foi feita ao acaso significa que cada uma das cartas ter
igual probabilidade de ser retirada.
i) definir os acontecimentos necessários à resolução:
{
A = {"52 Cartas"} , B = {" Carta de Copas"} e C = " Carta ser um Ás" ; }
ii) calcular P (C | B )
P (C ∩ B ) 1 52
1º processo: pela definição temos P (C | B ) ≡ = = 1 / 13
P( B) 13 52
# (C ∩ B )
2º processo: calculando directamente, P (C | B ) ≡ = 1 / 13 .
#B
{ }
Note que C ∩ B = " Ás de Copas" e que cada naipe tem 13 cartas.
A probabilidade condicionada contínua a ser uma probabilidade e como tal verifica os três axiomas.
Axiomática das Probabilidades Condicionadas
Sob um ponto de vista puramente matemático, suporemos que para dois acontecimento A e B,
pertencentes ao conjunto de todos os acontecimentos possíveis, IP(Ω),existe um número, que
designaremos por P ( A | B ) ,satisfazendo:
A1: 0 ≤ P ( A | B ) ≤ 1 ;
A2: P (Ω | B ) = 1 em que Ω é o acontecimento certo;
A3: Se Ai A j = φ com i ≠ j então P ( in=1 Ai | B ) = ∑in=1 P( Ai | B ) .
Além dos axiomas a probabilidade condicionada verifica todas as propriedades referidas para a
probabilidade simples, e.g.:
“Se A é o acontecimento complementar de A então P ( A | B ) = 1 − P ( A | B ) ”.
Exercício: Mostre que P ( A | B ) ≠ 1 − P ( A | B ) .
5 Teorema da Multiplicação de Probabilidades10
Teorema:
“Se P(A)>0, P(B)>0, então tem-se que P ( A ∩ B ) = P ( B ). P( A | B ) = P( A). P ( B | A) ”.
Note que directamente a partir da última definição introduzida temos:
10
ou Lei das Probabilidades Compostas.
10
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11. P ( A ∩ B ) = P ( B ). P ( A | B )
pelo que uma generalização natural conduz a:
P ( A1 ∩ A2 ... ∩ An ) = P ( A1 ). P ( A2 | A1 ∩ A2 ).... P ( An | A1 ∩ ... ∩ An −1 ) .
Definição 8:
“Dizemos que os acontecimentos A1, A2, …,An representam uma partição de Ω se:
i) Ai ∩ A j = φ , se i ≠ j , i.e. os conjuntos são disjuntos dois a dois;
ii) in=1 Ai = Ω ;
iii) P ( Ai ) > 0, ∀ i =1,...,n .”
Exercício: Construa um Diagrama de Venn onde represente todos os conjuntos referidos.
6 Teorema da Probabilidade Total
Teorema:
“Seja B um acontecimento qualquer de Ω e A1, A2, …,An representam uma partição de IP(Ω), então
P ( B ) = ∑in=1 P ( Ai ). P ( B | Ai ) .”
Exercício: Contrua um Diagrama de Venn onde represente todos os conjuntos referidos e demonstre o
resultado indicado. Dê especial atenção para os casos n=2 e n=3, mais frequentes nos exercícios e nas
avaliações.
Este teorema permite calcular a probabilidade de um acontecimento qualquer a partir do conhecimento
da probabilidade de cada acontecimento que forma a partição e da respectiva probabilidade condicionada.
7 Teorema de Bayes11
Thomas Bayes (1702-1761)
Recorrendo ao teorema anterior deduzimos um dos mais importantes teoremas em probabilidades.
Teorema:
11
Alguns autores designam por fórmula de Bayes e outros, por Teorema das Causas, pois é um método de calcular a probabilidade da causa, este
mesmo resultado.
11
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12. “Seja B um acontecimento qualquer de Ω e A1, A2, …,An representam uma partição de Ω , onde
P ( Ai ) > 0 e P ( B ) > 0 então para j=1,...,n tem-se
P ( A j ). P ( B | A j )
P( A j | B) = n 12
.”
∑i =1 P ( Ai ). P ( B | Ai )
8 Acontecimentos Independentes
Definição 9:
“Diz-se que dois acontecimentos aleatórios quaisquer são independentes se: P ( A ∩ B ) = P ( A). P ( B ) .”
Exercício: Mostre que todos os acontecimentos são independentes de φ e de Ω .
Exercício: Mostre que se dois acontecimentos são independentes eles não pode ser mutuamente
exclusivos. É importante que o aluno não confunda estes dois conceitos bem diferentes!
Exemplo:
Qual a probabilidade de em dois lançamentos de um dado, se obter número par no primeiro lançamento e
número ímpar no segundo lançamento? Ora, os acontecimentos são obviamente independentes, pois a
ocorrência de um não influência a ocorrência do outro. Logo, teremos: P(A B)=P(A).P(B) = 3/6 . 3/6 =
1/2.1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%.
Exemplo:
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de:
a. em duas extracções, sem reposição da primeira bola extraída, sair uma bola vermelha e depois uma bola
branca.
b. em duas extracções, com reposição da primeira bola extraída, sair uma bola vermelha e depois uma bola
branca.
a. P(V B)=P(V).P(B|V). P(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola
vermelha na primeira extracção, ficaram 6 bolas na urna. Logo: P(B|V)=2/6=1/3. Da lei das
probabilidades compostas, vem finalmente que: P(V B) = 5/7.1/3 =5/21 = 0,2380 = 23,8%
b. Com a reposição da primeira bola extraída, os acontecimentos ficam independentes. Neste caso, a
probabilidade pedida poderá ser calculada como: P(V B) = P(V).P(B) =5/7.2/7=10/49=0,2041 = 20.41%
< 23.8% !
Observe atentamente a diferença entre as soluções das alíneas a. e b. acima, para um entendimento
perfeito daquilo que procuramos transmitir. Lembre-se que foi exactamente esta a motivação da
introdução da noção de probabilidade condicionada.
Definição 10:
“Os acontecimentos aleatórios A, B e C são independentes se:
P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A). P ( B ). P(C ) ,
P ( A ∩ B ) = P ( A). P ( B ) , P ( A ∩ C ) = P ( A).P (C ) , e P ( B ∩ C ) = P ( B ). P(C ) .”
12
Note que o j é um índice livre ao passo que o i é um índice mudo.
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13. Teorema:
“Se A e B são acontecimentos independentes então também são independentes os acontecimentos:
i) A e B , ii) A e B , e iii) A e B .”
Lei
Dem.: P ( A ∩ B ) = P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A ∪ B ) = 1 − [ P ( A) + P( B ) − P( A ∩ B )]
Morgan Teo. Teo.
Por hipótese
= 1 − [ P( A) + P( B ) − P( A). P ( B )] = [1 − P( A)].[1 − P ( B )] = P ( A). P( B ) Q.E.D.
A e B são independentes Teo.
13
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15. 9 Exercícios Resolvidos
1. Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com
reposição, calcule a probabilidade se sair bola:
a. azul; b. vermelha; c. amarela.
Resolução:
a. sair bola azul P(A)=6/20=3/10=0,30=30%
b. sair bola vermelha P(A)=10/20=1/2=0,50= 50%
c. sair bola amarela P(A) = 4/20=1/5 =0,2 =20%
Observamos neste exercício que as probabilidades podem ser expressas como percentagem. Esta forma
é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de
experiências aleatórias. Por exemplo, se a e.a. acima for repetida diversas vezes, podemos afirmar que em
aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos
sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade das experiências aleatórias., tanto mais a distribuição do
número de ocorrências se aproximará das percentagens indicadas.
2. Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola preta e
três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda
caixa. Qual a probabilidade de que a bola extraída da segunda caixa seja verde?
Resolução:
Este problema envolve dois acontecimentos mutuamente exclusivos: ou a bola transferida é verde ou a
bola transferida é preta. Teremos:
1ª Possibilidade: a bola transferida é verde :
Probabilidade de que a bola transferida seja verde = P(V)=4/6=2/3 (4 bolas verdes em 6). Portanto, a
probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que a bola transferida é de cor VERDE,
será igual a: P(V|V’) = 4/5 (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1
bola preta, portanto, 4 bolas verdes em 5). Pela regra da probabilidade condicionada, vem: P(V
V’)=P(V).P(V|V’) =2/3.4/5=8/15.
2ª Possibilidade: a bola transferida é preta :
Probabilidade de que a bola transferida seja preta =P(P)=2/6=1/3 (2 bolas pretas e 4 verdes, num total de
6). Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida é de cor PRETA,
será igual a: P(V|P)=3/5 (observe que a segunda caixa possui agora, 1 bola preta + 3 bolas verdes + 1 bola
preta transferida= 5 bolas). Daí, vem: P(V ∩ P)=P(P).P(V|P)=1/3.3/5=1/5.
Finalmente vem: P[(V V’) ∪ (V P)]=P(V V’)+P(V P)= 8/15 + 1/5 = 8/15 + 3/15 = 11/15, que é
a resposta do problem a. Mas 11/15 = 0,7333 = 73,33%. Portanto, a probabilidade de que saia uma bola
verde é de 73,33%. Uma interpretação válida para o problema acima é que se a e.a. descrita for repetida
100 vezes, em aproximadamente 73 vezes será obtido bola verde. Se a e.a. for repetida 1000 vezes, em
aproximadamente 733 vezes será obtido bola verde.
15
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16. 3. Considere uma experiência aleatória e um13 espaço de resultados associado a esta, Ω . Sejam A, B e C
acontecimentos tais que :
. A e C são independentes; A B = Ω ; P(A)=0.6 ; P(B)=0.7 ; P(C)=0.2
a. Calcule P(A B).
b. Calcule P(A|B).
c. Calcule P(A C).
d. Os acontecimentos A, B e C são independentes ?
Resolução:
Comecemos por explicitar as hipóteses do problema:
H1: A e C independentes ⇔ P( A ∩ C ) = P( A). P(C ) ;
H2: A ∪ B = Ω ⇔ P( A ∪ B ) = 1 ;
H3: P(A)=0.6 ; H4: P(B)=0.7 ; H5: P(C)=0.2.
a. P ( A ∩ B ) = ?
= P ( A) + P( B ) − P( A ∪ B ) = 0.6 + 0.7 − 1 = 0.3
Teo. H 2,3,4
Sempre que pretendemos calcular a probabilidade de uma intersecção de acontecimentos a primeira
coisa a (tentar!) verificar é se os acontecimentos em causa são independentes, ver alínea c.. Se essa
hipótese não se verificar, ou os dados do problema não permitirem concluir nada sobre a independência,
devemos tentar usar o teorema que relaciona a probabilidade da intersecção, com a probabilidade da
reunião e as probabilidades elementares.
b. P ( A | B ) = ?
∆ P ( A ∩ B ) a . 0.3
= = = 3 / 7 ≈ 0.43
P ( B ) H 4 0.7
Apenas foi necessário usar a definição de probabilidade condicionada e recorreu-se ao cálculo da
alínea anterior.
c. P ( A ∩ C ) = ?
= P ( A). P(C ) = 0.6 × 0.2 = 0.12
H1 H 3, 5
d. Para responder à pergunta basta dar um contra-exemplo:
alínea
P ( A ∩ B ) = 0.3 ≠ 0.42 = 0.6 × 0.7 = P ( A). P( B ) . Logo os acontecimentos não são independentes.
a.
4. Se A, B e C são acontecimentos globalmente independentes14, mostre que:
a. A e B C são independentes.
b. A e B C são independentes.
c. Que pode concluir a partir de a..
13
um dos infinitos espaços de resultados que é possível associar a esta experiência aleatória, como a qualquer outra experiência aleatória.
14
independentes dois a dois e três a três.
16
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17. Resolução:
Comecemos por explicitar as hipóteses do problema:
H1: P ( A ∩ B ) = P ( A). P ( B ) ;
H2: P ( A ∩ C ) = P ( A).P (C ) ;
H3: P ( B ∩ C ) = P ( B ). P(C ) ;
H4: P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A). P ( B ).P (C ) .
a. Tese15: P[ A ∩ ( B ∩ C )] = P ( A). P( B ∩ C )
Vamos fazer a demonstração "pegando" no primeiro membro da tese e através de manipulações
simbólicas adequadamente justificadas "chegar" ao segundo membro da mesma tese. Assim:
Pr opriedade
Dem.: P[ A ∩ ( B ∩ C )] = P( A ∩ B ∩ C ) = P ( A).P ( B ). P (C ) = P ( A). P( B ∩ C ) c.q.m.
Associativa H4 H3
b. Tese: P[ A ∩ ( B ∪ C )] = P ( A). P( B ∪ C )
Pr opriedade
Dem.: P[ A ∩ ( B ∪ C )] = P[ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )] = P( A ∩ B ) + P ( A ∩ C )) − P( A ∩ B ∩ C ) =
Distributiva Teo.
= P( A). P ( B ) + P ( A).P (C ) − P ( A).P ( B ). P (C ) = P( A)[ P ( B ) + P (C ) − P ( B ). P(C )] =
H 1, 2 , 3
= P ( A)[ P( B ) + P (C ) − P( B ∩ C )] = P ( A). P ( B ∪ C ) c.q.m.
H3
Lei
c. da alínea a. podemos concluir directamente, da aplicação de um teorema, que A e B ∩ C = B C ,
Morgan
são também acontecimentos independentes, no entanto pode-se mostrar de uma forma análoga às duas
alíneas anteriores. Podem aínda concluir-se outros resultados análogos.
5. Um camponês comprou na feira um lote de cebolas novas, a um preço exorbitante, porque lhe
garantiram que a probabilidade de cada uma delas germinar era (independentemente das outras16) 0.9.
Quando chegou a casa a mulher ficou furiosa e atirou-lhe com uma cebola velha que tinha à mão. Devido
à sua má pontaria, esta misturou-se com o lote de cebolas novas, e não foi possível distingui-la das outras.
Assim o camponês plantou as 51 cebolas; destas, 50 germinaram. Sendo 0.4 a probabilidade da cebola
velha germinar, qual é a probabilidade da cebola que não germinou ter sido uma das cebolas novas.17
Resolução:
Como já foi referido a resolução destes problemas, correcta e metódica, começa com a definição dos
acontecimentos necessários a uma adequada resolução do problema. Numa fase inícial o leitor poderá
fazer uma “pequena batota”, caso tenha dúvidas da definição dos acontecimentos. Basta para isso
observar com cuidado as probabilidades que são dadas e as que são pedidas no enunciado do exercício.
15
o que pretendemos mostrar.
16
o que deve ser necessariamente intuítivo.
17
começar por definir os acontecimentos necessários à resolução do exercício, expressando em seguida as probabilidades fornecidas e a calcular
em função destes.
17
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18. Definição dos acontecimentos18:
- N = {" Cebola Nova"} = V = {" Cebola Velha"}
- G = {" Cebola Germinar"}
Na realidade apenas uma das letras N ou V era necessária para a resolução, dado que são
acontecimentos complementares. No entanto optámos por resolver desta forma.
Dados do exercício:
P (G | N ) = 0.9 ; P (G | V ) = 0.4 ; P ( N ) = 50 / 51 e P (V ) = P ( N ) = 1 / 51
Pretendemos saber: P ( N | G ) = ? 19
def . P( N ∩ G ) P(G | N ). P ( N ) (1 − P (G | N )). P ( N ) (1 − 0.9 ).50 / 51
= = = = = 50 / 56 ≈ 0.893
P (G ) 1 − P (G ) 1 − P (G ) 1 − 454 / 510
Na realidade a probabilidade pedida é imediatamente dada pela Fórmula de Bayes, na qual no
denominador aparece a expressão da probabilidade total. No entanto vamos tentar resolver as coisas sem
memorizar nada, ou pelo menos, reduzir ao mínimo o número de coisas a memorizar. Por isso a
probabilidade (total!) calculada no denominador é facilmente deduzida com o auxilio do Diagrama de
Venn correspondente a este exercício:
Ω
N
G
V
Por simples observação sabemos que podemos escrever:
G = (G ∩ N ) ∪ (G ∩ V )
“Aplicando probabilidades” a ambos os membros desta igualdade e usando o facto de os acontecimentos
do segundo membro serem, naturalmente, mutuamente exclusívos podemos escrever:
definição
P (G ) = P (G ∩ N ) + P (G ∩ V ) = P (G | N ). P( N ) + P (G | V ). P (V ) = 0.9 × 50 / 51 + 0.4 × 1 / 51 = 454 / 510
prob. cond .
Que foi o resultado utilizado para responder ao pedido no enunciado.
6. Relativamente a uma dada população sabe-se que : 40% dos indivíduos se vacinam contra a gripe; de
entre os indivíduos vacinados 30% tiveram gripe; e de entre os indivíduos não vacinados 35% não
tiveram gripe. Escolhido um indivíduo ao acaso, calcule a probabilidade de :
a. Ter tido gripe .
b. Ter sido vacinado, sabendo que teve gripe .
18
Na qual devemos usar letras maiúsculas que sugiram o acontecimento...
19
O leitor deve perceber porque não é P( N | G ) a probabilidade pedida. Lembre-se que o que é conhecido é sempre o condicionante que neste
exercício é não germinar.
18
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19. Resolução:
Exercício análogo ao anterior, só que o problema está agora dividido em duas alíneas.
Definição dos acontecimentos:
- G = {"Um Indivíduo ter Gripe"}
- V = {"Um Indivíduo ter sido Vacinado"}
Dados do exercício:
P (G | V ) = 0.35 ; P (G | V ) = 0.30 e P (V ) = 0.40
a. Novamente a aplicação imediata do Teorema da Probabilidade Total permite resolver o problema. No
entanto vamos tentar resolver novamente com o auxilio do Diagrama de Venn correspondente a este
exercício:
Ω
V
G
V
Por simples observação, , sabemos que podemos escrever:
G = (G ∩ V ) ∪ (G ∩ V )
Aplicando probabilidade a ambos os membros desta igualdade e usando o facto de os acontecimentos do
segundo membro serem mutuamente exclusívos podemos escrever:
definição
P (G ) = P (G ∩ V ) + P (G ∩ V ) = P (G | V ). P (V ) + P (G | V ). P(V ) = 0.65 × 0.6 + 0.3 × 0.4 = 0.51
prob. cond .
b. Pretendemos saber: P (V | G ) = ?
def .
P(V ∩ G ) P (G | V ). P(V ) 0.30 × 0.40
= = = ≈ 0.235 = 23.5%
P (G ) P (G ) 0.51
Na realidade a probabilidade pedida é imediatamente dada pela Fórmula de Bayes, na qual no
denominador aparece a expressão da probabilidade total.
19
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20. 10 Exercícios Propostos
1. Uma urna possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas
nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul seja igual a 2/3?
2. Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola é
extraída ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se
novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolas sejam
da mesma cor vale 1/2?
3. Uma máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se ao acaso dois
parafusos dessa
amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos?
4. Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos
dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.
5. Em relação à questão anterior, determine a probabilidade de numa amostra de 3 parafusos ao acaso,
termos pelo menos dois parafusos defeituosos.
6. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a
probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha?
7. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são extraídas duas bolas, uma após a outra, sem
reposição; a primeira bola extraída é de cor preta. Qual a probabilidade de que a segunda bola extraída
seja vermelha?
8. Sejam A e B acontecimentos tais que P(A)+P(B) = x e P(A B)= y.
Determine em função de x e y a probabilidade de 20:
a. não se realizar nenhum dos dois acontecimentos.
b. que se realize pelo menos um dos dois acontecimentos.
c. que se realize quanto muito um único acontecimento.
d. que se realize um e um só dos dois acontecimentos.
9. Considere uma experiência aleatória e dois acontecimentos A e B :
a. Mostre que a probabilidade de se realizar apenas um dos acontecimentos é: P(A)+P(B)-2 P(A B).
b. Mostre que se P(A)=0.7 e P(B)=0.4 então P(A B) ≥ 0.1. Nestas condições a probabilidade destes dois
acontecimentos serem independentes é nula?
10. Sejam três acontecimentos tais que P(A)=P(B)=0.9 e P(C)=0 .
a. prove que P(A B) ≥ 0.8 e que P( A ∩ B ) ≤ 0.1.
b. diga, justificando, se A e B poderão ser mutuamente exclusivos.
c. poder-se-á afirmar que A e C são independentes ? Justifique.
20
Neste tipo de exercício, envolvendo acontecimentos, deve recorrer-se sistematicamente à representação por diagramas de Venn, apenas para
ajudar a visualizar, antes de equacionar, pois a justificação analítica é sempre necessária .
20
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21. 11. A probabilidade de ocorrência de infecção pelo HIV em uma dada comunidade é de 0,5%. A
probabilidade de que esta mesma comunidade tenha alto consumo de sal (acima de 6 g/dia) é de 30%.
Qual a probabilidade de que um indivíduo tomado ao acaso desta comunidade tenha alto consumo de sal e
seja HIV positivo?
12. Em uma população de 1.000.000 de habitantes, 40.000 têm doença hipertensiva, 10.000 têm diabetes,
1.000 têm tuberculose activa e 500 têm infecção pelo HIV. Calcule as prevalências21 de cada uma destas
infecções.
13. Na tabela abaixo:
Infecção pelo HIV
Com anticorpos Sem anticorpos
ELISA positivos 1960 7984
ELISA negativos 40 990.016
Calcule:
• a prevalência do HIV;
• a prevalência dos ELISA positivos;
• a prevalência dos ELISA negativos;
• a sensibilidade do ELISA;
• a especificidade do ELISA;
• o valor preditivo positivo do ELISA;
• o valor preditivo negativo do ELISA;
• a razão de verosimilhança positiva do ELISA e
• a razão de verosimilhança negativa do ELISA.
14. Num centro comercial está instalado um sistema de dez máquinas para utilização de cartão
multibanco. Diz-se que o sistema está em funcionamento se pelo menos uma das máquinas funciona.
Suponha que cada máquina funciona independentemente das outras e a probabilidade de funcionamento
de cada máquina é 0.85. Calcule a probabilidade do sistema estar em funcionamento.
15. Um sistema electrónico é constituído por duas componentes A e B de forma que a avaria de qualquer
delas inviabiliza o funcionamento do sistema. Sabe-se que a fiabilidade22 do sistema é de 0.10 e que a
probabilidade de falhar apenas uma componente é de 0.15 para A e 0.30 para B.
a. diga se as componentes funcionam independentemente uma da outra.
b. com a montagem em paralelo das componentes 23, a substituição de B por uma nova componente mais
fiável (funcionando independentemente de A) levou à obtenção de uma fiabilidade de 90% . Qual a
fiabilidade da nova componente?
16. A produção de uma dada empresa é resultado da laboração de três máquinas A, B e C. As máquinas A
e B produzem 90% e 4% , respectivamente, dos produtos que satisfazem os critérios de qualidade. Dos
restantes produtos, que terão de ser reciclados, 88% vêm da máquina B e 9% da máquina C. Os produtos
de boa qualidade constituem 70% da produção global. Calcule a percentagem:
a. De produtos produzidos por A.
b. De produtos a reciclar que sejam produzidos por A.
c. De produção de C que é de boa qualidade.
21
veja o anexo 3, em que são esclarecidas estas noções de medicina.
22
probabilidade de não avariar durante um período de tempo fixo .
23
a falha deste sistema só ocorre com a avaria de ambas as componentes .
21
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22. 11 Exercícios de Auto-Avaliação
I Escolha Múltipla
1. Quantos números de quatro algarismos podem ser formados com os dez algarismos usuais, sem haver
repetições?
a. 34 ; b. 210 ; c. 4536 ; d. 5040 ; e. outro valor.
2. De quantas maneiras dez pessoas podem sentar-se num banco que tem apenas quatro lugares?
a. 24 ; b. 210 ; c. 4536 ; d. 5040 ; e. outro valor.
3. Uma estante contem seis livros de matemática e quatro de física. Determine aproximadamente 24 a
probabilidade de três livros de matemática, em particular, estarem juntos.
a. 0.002 ; b. 0.011 ; c. 0.067 ; d. 0.3 ; e. outro valor.
4. Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e
três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que
uma bola é extraída da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola extraída seja da
cor branca é:
a. 18/75 : b. 19/45 ; c. 19/48 ; d. 18/45 ; e. 19/75
5. A quantidade de números inteiros positivos menores que 400 que podemos formar, utilizando somente
os algarismos 1,2,3,4 e 5, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:
a. 36 ; b. 56 ; c. 61; d. 85; e. 65.
6. Seja M um conjunto com 20 elementos. O número de subconjuntos de M que possuem exactamente 18
elementos é: a. 360 ; b. 190 ; c. 180 ; d. 120 ; e. 18
7. Seis pessoas A,B,C,D,E,F ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se
recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, o número de
possibilidades distintas para as 6 pessoas se disporem é:
a. 120; b.72; c. 144; d. 156; e.192..
8. Dispõe-se de 6 jogadores de voleibol, entre os quais o jogador A. Quantas duplas diferentes podemos
formar nas quais não apareça o jogador A?
a. 8; b. 5; c. 10; d. 6 ; e. 16.
9. Considere os números inteiros maiores que 64000 que possuem 5 algarismos, todos distintos, e que não
contém os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é:
a. 2160 ; b. 1320 ; c. 1440 ; d. 2280 ; e. 2400.
10. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos
3,5,7,9, o número 7.953 ocupa a n-ésima posição. O valor de n é:
a. 18 ; b. 16 ; c. 17 ; d. 19 ; e. 20
24
às milésimas.
22
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23. 11. A quantidade de números inteiros positivos menores que 400 que podemos formar, utilizando
somente os algarismos 1,2,3,4 e 5, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:
a. 36 ; b. 56 ; c. 61 ; d. 85 ; e. 65
12. Seja M um conjunto com 20 elementos. O número de subconjuntos de M que possuem exactamente
18 elementos é: a. 360 ; b. 190 ; c. 180 ; d. 120 ; e. 18.
II Verdadeiro/Falso
Para cada uma das perguntas indique se cada opção é correcta ou falsa. A pergunta só estará
correctamente respondida se responder correctamente a todas as opções.
1. Considere uma experiência aleatória e dois acontecimentos A e B tais que o Diagrama de Venn
correspondente é:
Ω
A B
Indique o valor lógico das seguintes afirmações:
a. A e B são acontecimentos mutuamente exclusivos.
b. A e B podem ser acontecimentos independentes.
c. A probabilidade de se realizar apenas um dos acontecimentos é: P(A)+P(B)-2 P(A B).
d. A região sombreada corresponde a realizar-se um e um só dos dois acontecimentos.
2. Considere uma experiência aleatória e dois acontecimentos A e B tais que o Diagrama de Venn
correspondente é:
Ω
A B
Indique o valor lógico das seguintes afirmações:
a. A região sombreada corresponde a não se realizar nenhum dos dois acontecimentos.
b. A e B são acontecimentos independentes.
c. A região sombreada corresponde a que se realize pelo menos um dos dois acontecimentos.
d. A região sombreada corresponde a que se realize quanto muito um único acontecimento.
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24. 12 Referências Bibliográficas
Montgomery, D.C. e Runger, G. C., Applied Statistics and Probability forEngineers. John Wiley & Sons,
New York, 2ª Edição, 1999.
Ross, Sheldon M., Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists.John Wiley &
Sons, 1987.
Meyer, P. L., Probabilidades. Aplicações à Estatística. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de
Janeiro, 1981.
Murteira, Bento J., Probabilidades e Estatística. Vol. I e Vol. II, 2ª Edição, McGraw-Hill de Portugal Lda,
Lisboa, 1990.
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25. Anexo 1 Revisão sobre o Cálculo Combinatório
Introdução
Com vista a desenvolver o estudo em Probabilidades são necessárias algumas noções de cálculo
combinatório.
A origem de dois dos actuais ramos da matemática, a Análise Combinatória e a Teoria das
Probabilidades, foram os jogos de azar, ainda no século XVII, e.g., os jogos de cartas e de dados.
De uma forma muito geral, a Análise ou Cálculo Combinatório ocupa-se dos problemas de contagem de
organizações de objectos sujeitos a restrições diversas. As técnicas do Cálculo Combinatório foram
evoluindo e têm hoje grande importância na Teoria das Probabilidades, bem como em outros ramos da
matemática.
Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana
(1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e
Blaise Pascal (1623-1662). J. Bernoulli, Leibnitz e Euler são também apontados como fundadores desta
teoria.
Estratégicas básicas de Contagem: Regras Básicas
Muitos problemas de contagem resolvem-se por aplicação, directa ou indirecta do seguinte princípio:
Regra fundamental
Se uma primeira escolha pode ser realizada de n1 maneiras, uma segunda escolha de n2 maneiras,...,etc.,
então o número total de possibilidades para o conjunto das escolhas possíveis é n1×n2×...
Nesta regra estamos a supor que temos vários procedimentos que podem ser executados de n 1,n2,…
maneiras, respectivamente, e que qualquer maneira de executar um dado procedimento pode ser seguida
(ou antecedida) por qualquer das maneiras dos outros procedimentos.
Exemplo:
O menino José foi jantar com os pais a um restaurante. A ementa consta de três variedades de sopa, dois
pratos de carne e dois de peixe e ainda cinco sobremesas possíveis. Quantas refeições distintas (uma sopa,
um segundo prato e uma sobremesa) podem ser servidas?
Com este exemplo pretende-se concomitantemente exemplificar a regra anterior e mostrar que a
simplicidade que encerra não a impede de ser capaz de resolver problemas do nosso quotidiano. A
aplicação da regra anterior é possível porque estamos na presença de uma sequência de três escolhas que
podem ser realizadas de três, quatro e cinco maneiras, respectivamente. Assim 3×4×5=60 refeições
distintas que podem ser servidas.
Este princípio é ainda, naturalmente, conhecido pela regra do produto como analogia com a próxima
regra.
Exercício: Um aluno submete-se à avaliação de 10 professores, cada um dá-lhe uma nota de 0 a 20,
somadas as notas das 10 avaliações, quantas notas diferentes pode o aluno ter?
Regra do soma
25
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26. Se uma primeira escolha A pode ser realizada de n 1 maneiras, uma segunda escolha B de n2
maneiras,...,etc., então a escolha de A ou B ou ... pode ser feita de n1+n2+...maneiras.
Nesta regra estamos a supor que cada uma das maneiras de realizar cada procedimento não pode ser
seguido (ou antecedido) por nenhuma maneira de executar qualquer dos outros procedimentos.
Exemplo:
Num grupo de pessoas 30 são ingleses, 18 franceses e os restantes portugueses. Quantas pessoas deste
grupo são ingleses ou franceses ?
A resposta parece muito natural no entanto ela deve ser entendida como uma aplicação desta última
regra. Note-se no aspecto mais importante da regra anterior, as escolhas não se podem interceptar, i.e.,
não podem existir possibilidades comuns às duas ou mais escolhas realizadas. Neste exemplo a regra da
soma só é aplicável porque uma dada pessoa do grupo, não pode ser inglês e francês simultaneamente.
Este aspecto é de importância capital neste contexto. Logo a resposta pedida é 30+19=48 pessoas são
ingleses ou franceses.
Com estes resultados resolvem-se muitos problemas de contagem, nomeadamente com a aplicação
sucessiva ou simultânea das duas regras anteriores.
Arranjos com e sem repetição
Arranjos com repetição
Definição:
“Designaremos por arranjo com repetição ou arranjo completo a uma qualquer sequência formada por
n
elementos de um conjunto dado. Se o conjunto tiver n elementos, designaremos por Ap o número total de
n
arranjos com repetição que é possível formar com p elementos escolhidos entre os dados. Ap lê-se
arranjos com repetição de n, p a p. Atendendo à regra fundamental, tem-se:
Ap = n p .”
n
Exemplo:
Pretende-se formar palavras-chave, com ou sem sentido, com as habituais 23 letras. Quantas palavras-
chave distintas poder-se-iam construir?
Trata-se de um exemplo clássico de arranjos com repetição pois podem existir palavras-chave com as três
letras iguais. Assim temos arranjos com repetição de 23 letras, 3 a 3, A323 = 23 3 = 12167 .
Arranjos (sem repetição)
Definição:
“Designaremos por arranjo sem repetição ou simplesmente arranjo a uma qualquer sequência formada
por elementos, todos diferentes, de um dado conjunto. Se o conjunto tiver n elementos, designaremos por
An o número total de arranjos sem repetição que é possível formar com p elementos escolhidos entre os n
p
dados. Ap lê-se arranjos de n, p a p. É evidente que p ≤ n. A dedução de uma fórmula para esta situção é
n
menos evidente do que no caso anterior, no entanto recorre-se novamente à regra fundamental. Seja
( x1 , x 2 ,..., x p ) um dos arranjos de p elementos, todos distintos, escolhidos de entre n elementos de um
dado conjunto. Existem então n maneiras de escolher x1, que depois de este escolhido, existem n-1
maneiras de escolher x2, e assim sucessivamente até xp.
Logo temos:
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27. n
Ap = n( n − 1)( n − 2) × ... × ( n − p − 1) .”
Portanto um produto de p factores. Note-se que durante este capítulo apresentar-se-à uma outra fórmula
para os arranjos.
Exemplo:
Na final de uma dada prova olímpica temos 8 atletas. De quantas maneiras diferentes pode vir a ser feita
a distribuição das três medalhas (ouro, prata e bronze)?
Uma vez que um dado atleta não pode ocupar duas posições distintas do pódio, estamos na presença de
um exemplo de arranjos sem repetição. Existem assim 8 possibilidades para o 1º lugar25, 7 para o 2º lugar
8
e 6 para o 3º lugar. Formalizando a resposta temos A3 = 8 × 7 × 6 = 336 possibilidades.
Permutações
Exemplo:
Imaginemos uma situção baseada no exemplo anterior em que existiam apenas três atletas. De quantas
maneiras diferentes pode vir a ser feita a distribuição das três medalhas?
Existem assim 3 possibilidades para o 1º lugar, 2 para o 2º lugar e 1 para o 3º lugar. Formalizando a
3
resposta temos A3 = 3 × 2 × 1 = 6 possibilidades. A situação e então um caso muito particular de arranjos,
pois todos os elementos do conjunto em causa figuram em cada um dos arranjos considerados., i.e., trata-
n n
se de calcular Ap na situação de ser p=n, o que nos conduz à expressão An = n( n − 1)( n − 2) × ... × 1 . No
entanto esta situação embora seja um caso particular da definição anterior, tem no contexto do cálculo
combinatório, um tratamento especial, que motiva a próxima definição.
Permutações
Definição:
“Chama-se permutação de elementos de um conjunto a um qualquer arranjo em que todos os elementos
desse conjunto figurem. Designaremos por Pn o número total de permutações de n elementos, lendo-se
permutações de n.
Pn = n ( n − 1)( n − 2) × ... × 2 × 1 .”
Pelo que no exemplo anterior a solução é dada por P3 .
Factorial de um número inteiro não negativo
Uma possível apresentação mais sintética para as duas expressões e por consequência mais simples, é
badeada na próxima definição.
Factorial de um número inteiro não negativo
Definição:
“Sendo n ∈ IN 0 , dá-se o nome de factorial de n ou n-factorial, e representa-se simbolicamente por n! , ao
produto dos n números naturais que são menores ou iguais a n, i.e.:
n × ( n − 1) × ... × 2 × 1 se n>1
n! ≡ .”
1 se n = 0 ∨ n = 1
25
ou qualquer um dos outros dois lugares.
27
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28. Os factoriais de 0 e de 1 são obtidos por definição e serão necessários no ponto seguinte. Esta definição
pode ainda aparecer numa forma recursiva:
n × ( n − 1)! se n>1
n! ≡
1 se n = 0 ∨ n = 1
Com esta nova definição podemos então reescrever as fórmulas anteriores26:
n n!
Permutações: Pn = n! Arranjos: Ap =
( n − p )!
Exemplos:
a. 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b. 4! = 4.3.2.1 = 24
c. observe que 6! = 6.5.4!
d. 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e. 10! = 10.9.8.7.6.5!
f. 10! = 10.9.8!
Combinações
Em termos de definições do Cálculo Combinatório falta apenas uma definição que possibilite fazer
arranjos mas em que a ordem não seja relevante. Este aspecto esta na base da próxima definição.
Definição:
“Chamamos combinação a um qualquer subconjunto formado por elementos escolhidos de entre os de
um dado conjunto. Se o conjunto tem n elementos, designaremos por combinações de n elementos, p a p,
n
e representaremos simbolicamente por C p ou . Atendendo à definição anterior:
n
p
n n!
≡
p p! ( n − p )! .”
Evidentemente, n e p são, como habitualmente, números naturais. Além disso, deve ser p ≤ n. Note que
n
é o número de subconjuntos com p elementos de um conjunto de cardinal n.
p
Exemplo:
Oito jogadores disputam um torneio de xadrez, pelo que cada um deles deve jogar com todos os outros,
mas apenas uma vez. Quantos jogos haverá neste torneio?
26
em que a expressão para os arranjos foi obtida multiplicando o numerador e o denominador por (n-p)!.
28
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29. Este exemplo ilustra a definição anterior porque cada dois jogadores só se encontram uma única vez.
8 8! 8 × 7 × 6! 8 × 7
Assim este torneio terá : =
2 2! (8 − 2)! = 2!×6! = 2 = 28 jogos.
Propriedades das Combinações
Dada a importância desta definição apresentam-se agora duas propriedades das combinações cuja
utilização adequada em determinadas situações pode facilitar muito os cálculos.
n n n n n + 1
P1: =
p n − p P2: p − 1 + p = p
A demonstração destas propriedades é um bom exercício e voltaremos a estas expressões novamente,
quando falarmos do triângulo de Pascal, no próximo ponto.
Observe-se que em particular, tem-se:
n
. =1 - um conjunto com n elementos tem um subconjunto com 0 elementos, o conjunto vazio.
0
n
. =1 - um conjunto com n elementos tem um subconjunto com n elementos, o próprio conjunto.
n
O Triângulo de Pascal
Trata-se de um triângulo aritmético que pode ser aumentado indefinidamente e que apresenta a seguinte
disposição:
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
...
Este triângulo é conhecido pelo nome de triângulo de Pascal ou triângulo de Tartaglia, em virtude de
terem sido dois dos matemáticos que mais o utilizaram e estudaram no início do Cálculo Combinatório. É
fácil verificar que os números do triângulo podem facilmente ser escritos à custa de combinações,
nomeadamente atendendo às duas observações do ponto anterior, na forma:
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0
1
2
29
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30. 3
3 3 3
0
1 2 3
…
A observação e estudo deste importante triângulo sugerem-nos diversas propriedades das combinações,
entre as quais destacaremos as seguintes:
n n
i) em cada linha, os números equidistantes dos extremos são iguais, i.e., =
p n − p , propriedade das
combinações já referida;
ii) a soma de dois números adjacentes numa linha é igual ao número que, na linha seguinte, figura entre
eles. Esta propriedade (conhecida por regra de Stiefel) já tinha sido referida na forma
n n n + 1
p − 1 + p = p ;
iii) a soma de todos os elementos da n-ésima linha é igual a 2 n . Esta propriedade é muito importante pois
n n n n
na forma: + + ... +
n − 1 + n = 2 , conduz ao facto , já referido, de um conjunto A, com n
n
0 1
elementos, ter exactamente 2 n subconjuntos. Note que n é o cardinal de A.
Binómio de Newton
Denomina-se binómio de Newton27 , a todo binómio da forma (a + b)n , sendo n um número natural,
e.g., (3x - 2y)4 . ( onde a = 3x, b = -2y e n = 428). Exemplos de desenvolvimento de binómios de Newton:
a. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b. (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c. (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d. (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
O que se pretende agora é verificar que não é necessário “decorar” as fórmulas acima, já que elas
possuem uma lei de formação bem definida. Vamos tomar por exemplo, a alínea d. acima; observe que o
expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binómio, ou seja : 5. A partir do
segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O
resultado será o coeficiente do próximo termo.
Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo da alínea d. acima teríamos: 5.4 = 20;
agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o
coeficiente do terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n.
Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1
para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binómio de Newton (a + b)7 será:
27
Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727). Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia
Mathematica, escrita em 1687.
28
grau do binómio.
30
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31. (a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5) ? Pela regra: coeficiente do termo
anterior = 35, multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do
termo que é 5. Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5(ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o
coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.
Observações:
i) o desenvolvimento do binómio (a + b)n é um polinómio;
ii) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos;
iii) os coeficientes dos termos equidistantes29 dos extremos, no desenvolvimento de (a + b)n são iguais;
iv) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
Em termos formais, a fórmula do Binómio de Newton30 pode apresentar-se na forma:
n
( a + b) n = ∑n =0 a n − p b p
p
p
Observacões:
i) os coeficientes do desenvolvimento são exactamente os números da linha n do triângulo de Pascal;
ii) a soma dos expoentes da parte literal de cada um dos termos do desenvolvimento é sempre n.
Exercícios Resolvidos sobre o Binómio de Newton
1. Determine o 7º termo do binómio (2x + 1)9 , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x .
Resolução: Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como
queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efectuamos os cálculos indicados.
Temos então: T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x) 3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x 3 = 84.8x3 =
672x3. Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.
2. Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?
Resolução:Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binómio terá 9 termos,
porque n=8. Ora sendo T1T2T3T4T5T6T7T8T9 os termos do desenvolvimento do binómio, o termo do meio
(termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T 5 . Para isto,
basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efectuar os cálculos decorrentes. Teremos: T 4+1= T5= C8,4.
(2x)8-4.(3y)4 = 8!/[(8-4)!.4!].(2x)4.(3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4!.4.3.2.1).16x4.81y4. Fazendo os cálculos vem:
T5=70.16.81.x4.y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.
3. Desenvolvendo o binómio (2x - 3y)3n , obtemos um polinómio de 16 termos . Qual o valor de n?
Resolução: Ora, se o desenvolvimento do binómio possui 16 termos, então o expoente do binómio é igual
a 15. Logo, 3n =15 de onde conclui-se que n=5.
4. Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de :
a. (2x - 3y)12 ? ; b. (x - y)50 ?
29
mesma distância.
30
Ou fórmula binomial.
31
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32. Resolução:
a. basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 = (-1)12 = 1
b. analogamente, fazendo x=1 e y=1, vem: S = (1 - 1)50 = 050 = 0.
Exercícios Propostos sobre o Binómio de Newton
1. Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ?
2. Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7 .
3. Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o e do penúltimo termo do desenvolvimento de (x - 1)80 ?
4. Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x).(x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:
a. 10 ; b. -10 ; c. 20 ; d. -20 ; e. 36.
5. A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:
a. 5 ; b. 6 ; c. 10 ; d. 3 ; e. 4.
6. Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.
O valor de n é:
a. 4 ; b. 6 ; c. 8 ; d. 10 ; e. 12.
7. No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos é igual a:
8. Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binómio (a + b)m é igual a 256, calcule
(m/2)!
9. Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.
10. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binómio (3x - 1)10.
11. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .
Exercícios Propostos sobre Cálculo Combinatório.
1. Mostrar que 2.4.6.8. ... .(2n – 2).2n = n! . 2n
2. Qual a soma dos números de cinco algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos
1,2,3,4 e 5?
3. Um cocktail é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos
cocktails diferentes podem ser preparados?
4. Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantos triângulos podem ser
construídos com vértices nos 9 pontos marcados?
5. Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo apenas 2 pessoas sabem
dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
32
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33. 6. As rectas r e s são distintas e paralelas entre si. São dados 5 pontos distintos na recta r e 4 pontos
distintos sobre a recta s. Quantos são os triângulos determinados pelos pontos dados?
7. Quantas diagonais contém o hexaedro constituído por 6 faces triangulares obtido pela união de duas
pirâmides triangulares?
8. Provenientes das permutações dos algarismos 1,2,2,2,3,4, quantos números pares de 6 algarismos
existem?
9. De quantos modos podemos dispor em linha e alternadamente, 5 rapazes e 6 raparigas?
10. Quantos são os números de 5 algarismos distintos, menores que 30.000, formados com os algarismos
1,2,3,4,5?
11. Sabe-se que os números de telefone de uma cidade têm seis dígitos, onde o primeiro nunca é zero.
Supondo-se que os números dos telefones passem a ter sete dígitos, determine o aumento possível na
quantidade de telefones dessa cidade.
12. Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 pessoas e o outro com 15, encontram-se em um certo
local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro
grupo, qual o número total de cumprimentos?
13. Uma prova compõe-se de 6 questões de escolha múltipla com 5 alternativas cada. De quantos modos
um aluno pode preencher o quadro de respostas, escolhendo as alternativas ao acaso?
14. Em uma cidade, as placas dos automóveis são formadas por duas das 26 letras do alfabeto, seguidas
de 4 algarismos. Placas com letras iguais são proibidas, mas não há qualquer restrição quanto aos
algarismos. Quantas placas diferentes são possíveis?
15. Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?
33
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34. Anexo 2 Revisão da Teoria dos Conjuntos: Operacões entre conjuntos.
O que se pretende é fazer o análogo entre alguns resultados desta teoria e o que se passa com os
acontecimentos. Note-se que a linguagem de conjuntos é diferente da linguagem de acontecimentos, no
entanto há um certo paralelismo que faz com que em termos práticos, sejam teorias análogas. Vejamos
um exemplo de como estas linguagens são diferentes. Considere-se a expressão A ∩ B :
i) linguagem de conjuntos: A e B são conjuntos e a expressão anterior lê-se intersecção dos conjuntos A e
B;
ii)linguagem de acontecimentos: A e B são acontecimentos e a expressão anterior designa a realização
simultânea dos dois acontecimentos referidos.
Uma representação gráfica dos conjuntos e das operações sobre conjuntos é usualmente designada por
Diagramas de Venn.
Observação:
i) podemos definir operações de união e intersecção, para qualquer número finito de conjuntos;
ii) dois (ou mais) conjuntos são equivalentes (são o mesmo conjunto) sempre que eles contenham os
mesmos elementos.
1. Reunião
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto reunião A ∪ B={x; x ∈ A ou x ∈ B}.
Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5}={0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto reunião contempla todos
os elementos do conjunto A ou B.
Propriedades imediatas:
i) A ∪ A=A;
ii) A ∪ φ = A;
iii) A ∪ B=B ∪ A31;
iv) A ∪ Ω = Ω , onde Ω é o conjunto universo.
2. Intersecção
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto intersecção A ∩ B ={x; x ∈ A e x ∈ B}.
Exemplo: {0,2,4,5} ∩ {4,6,7}={4}. Percebe-se facilmente que o conjunto intersecção contempla os
elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
i) A ∩ A=A;
ii) A ∩ φ = φ ;
iii) A ∩ B=B ∩ A32;
iv) A ∩ Ω =A onde Ω é o conjunto universo.
31
a união de conjuntos é uma operação comutativa.
32
a intersecção é uma operação comutativa
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35. São importantes também as seguintes propriedades:
i) A ∩ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (propriedade distributiva);
ii) A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (propriedade distributiva);
iii) A ∩ (A ∪ B)=A (lei da absorção);
iv) A ∪ (A ∩ B)=A (lei da absorção).
3. “Diferença”
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto “Diferença” A|B={x ; x ∈ A e x ∉ B}. Observe que os
elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos: {0,5,7}|{0,7,3}={5}; {1,2,3,4,5}|{1,2,3}={4,5}.
Propriedades imediatas:
i) A| φ = A
ii) φ |A = φ
iii) A|A = φ
iv) A|B ≠ B|A ( i.e., a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
4. Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A
e B, com a condição de que B ⊆ A , a diferença A|B chama-se, neste caso, complementar de B em relação
a A . Símbolo: CAB = A|B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo Ω , ou
seja , Ω |B ,é indicado pelo símbolo B . Observe que o conjunto B é formado por todos os elementos que
não pertencem ao conjunto B, ou seja: B = {x; x ∉ B}. É óbvio, então, que :
i) B ∩ B = φ ;
ii) B ∪ B = Ω ;
iii) φ = Ω ;
iv) Ω = φ .
5. Número de elementos da Reunião de dois conjuntos.
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A (cardinal de A) seja n(A) e o número
de elementos de B (cardinal de B) seja n(B). Representando o número de elementos da intersecção A ∩ B
por n(A ∩ B) e o número de elementos da reunião A ∪ B por n(A ∪ B) , podemos escrever a seguinte
fórmula: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Resumo das Propriedades mais importantes referidas:
i) Leis Comutativas: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A
ii)Leis Associativas: A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C e A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) C
iii)Leis Distributivas: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) e A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
iv) Elemento neutro33: A ∪ φ = A
33
Observe a analogia entre o φ , conjunto vazio, e o 0, número real, em relação às operações de ∩ e ∪ , e as operações aritméticas x e +,
respectivamente.
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36. v) Elemento “absorvente”: A ∩ φ = φ
vi) Leis de Morgan:a) A ∩ B = A ∪ B ; b) A ∪ B = A ∩ B ; c) A = A
vii) A B = A ∩ B
Existe ainda uma importante operação entre os conjuntos que tem interesse considerar num
contexto de acontecimenmtos aleatórios.
Definição:
“Sejam A1, …, An n conjuntos. Denominaremos produto cartesiano de A1, …, An ,denotando-o por
A1 × A2 × ... × An , o conjunto { ( a1 , a 2 ,..., a n ), a i ∈ Ai , i = 1,..., n} .”
Note que em geral o produto cartesiano não é comutativo pois os elementos do novo conjunto são
vectores tais que a componente j desse vector é um elemento do conjunto j no produto cartesiano, e não
de outro qualquer.
Exercícios Propostos sobre Teoria dos Conjuntos.
1. Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o jornal X e
60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa
que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos:
a. 80% ; b.14% ; c. 40% ; d. 60% ; e. 48%.
2. Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:
a. 5 ; b. 6 ; c.7 ; d. 9 ; e. 10.
3. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5
comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram
nenhuma das sobremesas?
a. 1 ; b. 2 ; c. 3 ; d. 4 ; e. 0 .
4. Dados os conjuntos A, B e C, tais que: n(B ∪ C) = 20 ; n(A ∩ B) = 5 , n(A ∩ C) = 4 , n(A ∩ B ∩ C) = 1 e
n(A ∪ B ∪ C) = 22. Nestas condições, o número de elementos de A|( B ∩ C) é igual a:
a. 0 ; b. 1 ; c. 4 ; d. 9 ; e. 12.
5. Se A = φ e B = { φ }, então :
a. A ∈ B ; b. A ∪ B = φ ; c. A = B ; d. A ∩ B = B ; e. B ⊂ A.
6. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A ∩ B é 30, o número de elementos de A
∩ C é 20 e o número de elementos de A ∩ B ∩ C é 15. Então o número de elementos de A ∩ (B ∪ C) é
igual a:
a. 35 ; b. 15 ; c. 50 ; d. 45 ; e. 20.
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37. Anexo 3 Linguagem usada em Medicina
Interessa aplicar os conceitos aprendidos a vários áreas do conhecimento. Uma das principais é a
Medicina na qual alguns termos devem estar bem interiorizados para que a resolução de alguns problemas
seja possível. Este é o propósito deste anexo, tornar claro alguns dos termos desta ciência.
- Prevalência → Probabilidade de ser doente.
- Sensibilidade → Capacidade de identificar os positivos (doentes) entre os verdadeiramente doentes,
i.e., probabilidade de ter exame positivo, dado que é doente.
- Especificidade → Capacidade de identificar os negativos (não-doentes) entre os verdadeiramente
negativos, i.e., probabilidade de ter exame negativo, dado que não é doente.
- Valor Preditivo Positivo - VPP → Probabilidade de o indivíduo ser portador da doença dado que o teste
é positivo.
- Valor Preditivo Negativo - VPN → Probabilidade de o indivíduo não ser portador da doença dado que
o teste é negativo.
- Razão de Verosimilhança Positiva - RVP → Probabilidade de que dado resultado de teste fosse
esperado em um paciente portador da doença, comparado com a probabilidade de que o mesmo resultado
fosse esperado em um paciente sem a doença.
sensibilidade
RVP ≡
1 − especificidade
- Razão de Verosimilhança Negativa- RVN → Probabilidade de que dado resultado de teste fosse
esperado em um paciente não portador da doença, comparado com a probabilidade de que o mesmo
resultado fosse esperado em um paciente com a doença.
1 − sensibilidade
RVN ≡
especificidade
Vejamos um exemplo em que aplicamos estas definições e os conhecimentos aprendidos até este ponto.
Exemplo:
Sabendo-se que a prevalência do HIV na população geral é de 0,5% (0,005) e que a sua prevalência em
consumidores de droga é de 60% (0,6), e que a sensibilidade do ELISA é de 0,995 e a especificidade de
0,98, calcule a probabilidade de um indivíduo em cada população, sendo positivo ao ELISA, ser e não ser
portador de HIV.
Definem-se os acontecimentos: D = {" Ser doente " } , S = {" Exame Ser Positivo "}
São dados:
- A Prevalência (probabilidade de ser doente): P (D )
- A Sensibilidade (probabilidade de ter exame positivo, dado que é doente): P ( S | D )
- A Especificidade (probabilidade de ter exame negativo, dado que não é doente): P ( S | D )
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