Introdução à Estatística e Probabilidade

Estatística
e
Probabilidade

Professores:
Daniela Carine Ramires de Oliveira
Marcos Santos de Oliveira

Índice
1. Introdução à Estatística 1

1.1. O que é Estatística? 1
1.2. Estatística na Prática 1
1.3. Um pouco da história da Estatística 2
1.4. Exercícios 2

2. Variáveis 3

2.1. Definição de Variável 3
2.2. Classificação das Variáveis 3
2.3. Exercícios 5

3. Amostragem 6

3.1. Por que fazer Amostragem? 6
3.2. Quando o uso de amostragem não é interessante? 6
3.3. Tipos de Amostragem 6
3.3.1. Amostragem Aleatória Simples (AAS) 6
3.3.2. Amostragem Sistemática (AS) 7
3.3.3. Amostragem Estratificada (AE) 8
3.3.4. Amostragem por Conglomerado (AC) 9
3.4. Exercícios 10

4. Tabulação de Variáveis 11

4.1. Variáveis Qualitativas Unidimensionais 11
4.2. Variáveis Quantitativas Unidimensionais 12
4.3. Variáveis Qualitativas e Quantitativas Bidimensionais 13
4.4. Exercícios 14

5. Medidas de Posição 15

5.1. Mínimo e Máximo 15
5.2. Moda 15
5.3. Média 15
5.4. Mediana 16
5.5. Exercícios 18

Prof. Daniela ii ____/____/____

6. Medidas de Dispersão 19

6.1. Motivação 19
6.2. Amplitude 19
6.3. Variância e Desvio Padrão 19
6.4. Intervalo Interquartil 21
6.5. Exercícios 21

7. Estatística Gráfica 22

7.1. Gráficos para as Variáveis Qualitativas 22
7.1.1. Gráfico em Barras 22
7.1.2. Gráfico de Composição em Setores (“Pizza”) 23
7.1.3. Gráfico de Pareto 23
7.2. Gráficos para as Variáveis Quantitativas 25
7.2.1. Gráfico em Barras 25
7.2.2. Gráfico de Pontos 26
7.2.3. Histograma 26
7.2.4. Gráfico em Linhas (ou Gráfico Temporal) 27
7.2.5. Ramo-e-Folhas 28
7.2.6. Desenho Esquemático ou Diagrama de Caixas (Box-Plot) 29
7.3 Exercícios 31

8. Correlação e Regressão 32

8.1. Estudo da relação entre variáveis 32
8.2. Diagrama de Dispersão 32
8.3. Coeficiente de Correlação 35
8.4. Regressão Linear Simples 37
8.5. Coeficiente de Determinação 39
8.6. Exercícios 40

Lista de Exercícios 1 41

9. Probabilidade 44

9.1. Processo ou Experimento Aleatório 44
9.2. Espaço Amostral (Ω) 44
9.3. Evento 45
9.4. Exercícios 46
9.5. Introdução à Probabilidade 47

Prof. Daniela iii ____/____/____

9.6. Definição Clássica 48
9.7. Definição Freqüentista 49
9.8. Definição Subjetiva 51
9.9. Definição Moderna 51
9.10. Probabilidade Condicional 52
9.11. Independência de Eventos 53
9.12. Regra da Probabilidade Total 54
9.13. Teorema de Bayes 54

10. Variável Aleatória Discreta 56

10.1. Introdução 56
10.2. Esperança Matemática (Média) 57
10.3. Variância 58
10.4. Exercício 58
10.5. Modelo Bernoulli 58
10.6. Modelo Binomial 59
10.7. Exercícios 60
10.8. Distribuição Hipergeométrica 60
10.9 Exercício 61
10.10. Distribuição Poisson 61

11. Variável Aleatória Contínua 63

11.1. Esperança e Variância 65
11.2. Distribuição Normal 66
11.3. Tabela da Distribuição Normal Padrão 69


12. Estimação 77

12.1. Inferência Estatística 77
12.2. Estimação Pontual e Intervalar para Proporção 77
12.4. Estimativa Pontual e Intervalar para a Média Populacional 79
12.6. Estimativa para a Média Populacional com Variância Desconhecida 81
12.7. Exercício 83

Prof. Daniela iv ____/____/____

13. Testes de Hipóteses 84

13.1. Introdução 84
13.2. Formulação das Hipóteses 84
13.3. Tipos de Erros possíveis nos Testes de Hipóteses 84
13.4. Nível de Significância de um Teste de Hipótese (α) 85
13.5. Teste de Hipóteses para a Proporção 85
13.7. Teste de Hipóteses para Média com Variância Conhecida 88
13.8 Exercícios 90
13.9 Teste de Hipóteses para Média com Variância Desconhecida 91


Apêndice

A Gabarito da Lista de Exercícios 1 95
B Gabarito da Lista de Exercícios 2 101
C Gabarito da Lista de Exercícios 3 102
D Aula no Laboratório de Computação 104

Prof. Daniela v ____/____/____

1. INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA

1.1. O que é Estatística?

Estatística é uma ciência que nos permite coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar
dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento.
Estamos denominando por dados a um (ou mais) conjunto de valores, numéricos ou não. A
aplicabilidade das técnicas a serem discutidas se dá nas mais variadas áreas das atividades
humanas. Assim, o principal objetivo da Estatística é nos auxiliar a tomar decisões ou tirar
conclusões em situações de incerteza, a partir de informações numéricas.

1.2. Estatística na Prática

Técnicas de amostragem
População Amostra
(Características) Planejamento de Experimentos
Análise
descritiva
descritiva

Inferência Estatística
Conclusões Informações
sobre as contidas nos
características Cálculo de Probabilidades
dados
da população
População: é o conjunto de todos os elementos que nos interessa estudar. Deve ser notado que na
terminologia estatística, população refere-se não somente a uma coleção de indivíduos, mas ao alvo
no qual reside nosso interesse. Exemplos: todos os clientes de um banco, todos os alunos de uma
faculdade, todos os automóveis da Ford, todo o sangue no corpo de uma pessoa, etc.

Técnicas de Amostragem: ferramentas que nos auxiliam a coletar amostras.

Planejamento de Experimentos: cria esquemas e teorias para verificação de hipóteses científicas.

Amostra: é qualquer subconjunto da população.

Análise Descritiva: Conjunto de técnicas destinadas a descrever e resumir os dados a fim de
tirarmos conclusões a respeito de características de interesse.

Probabilidade: Teoria utilizada para se estudar a incerteza associada a fenômenos aleatórios.

Inferência Estatística: Técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados
(população), das informações e conclusões obtidas a partir de um subconjunto de valores
(amostra).

Oliveira, D. C. R. e Oliveira, M. S. 1 ____/____/____

1.3. Um pouco da história da Estatística

5000 AC Registros egípcios de presos de guerra;
2000 AC Censo Chinês;
695 Primeira utilização da média ponderada pelos árabes na contagem de moedas;
1654 Pierre de Fermat e Blaise Pascal estabelecem os Princípios do Cálculo das
Probabilidades;
1763 Inferência Estatística (Reverendo Bayes);
1930 Controle de Qualidade nas indústrias;
1959 Estudo retrospectivo de doenças (Mantel & Haenszel);
1996 Profundidade da Regressão (Rousseeuw e Hubert);
1997 Modelos Fatoriais;
2001 100 anos da Biometrika.

Maiores detalhes sobre a história da Estatística no site: http://www.redeabe.org.br/historia.htm

1.4. Exercícios – Parte I – A1

1) Para as situações descritas a seguir, identifique a população e a amostra correspondente.

(a) Para avaliar a eficácia de uma campanha de vacinação no Estado de Minas Gerais, 200 mães de
recém-nascidos durante o primeiro semestre de um dado ano, em uma dada maternidade em Belo
Horizonte, foram perguntadas a respeito da última vez que vacinaram seus filhos.
População:

Amostra:

(b) Uma amostra de sangue foi retirada de um paciente com suspeita de anemia.
População:

Amostra:

(c) Para verificar a audiência de um programa de TV, 563 indivíduos foram entrevistados por
telefone com relação ao canal em que estavam sintonizados.
População:

Amostra:


2. VARIÁVEIS

2.1. Definição de Variável

Qualquer característica associada a uma população é chamada de variável.
Porque o nome variável? Porque ela “varia” de alguma forma.

Exemplos: Idade: pode variar de 0, 1 , 2, ... anos
Sexo: pode ser masculino ou feminino
Estado Civil: pode ser solteiro, casado, divorciado, etc.

2.2. Classificação das Variáveis

As variáveis podem ser classificadas como Qualitativas ou Quantitativas.
Algumas variáveis como sexo, grau de instrução, estado civil, região de procedência,
apresentam como possíveis resultados uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado, logo,
estas variáveis são chamadas de variáveis Qualitativas.
As variáveis como número de filhos, salário, idade, apresentam como possíveis resultados
números resultantes de uma contagem ou mensuração, logo, estas variáveis são chamadas de
variáveis Quantitativas.

Exemplo: Um pesquisador está interessado em fazer um levantamento sobre alguns aspectos
socio-econômicos dos empregados da seção de orçamentos de uma empresa. Usando informações
obtidas do departamento pessoal, ele elaborou a Tabela 2.1.

Tabela 2.1: Informações sobre estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário (expresso
como fração do salário mínimo), idade (medida em anos e meses) e procedência de 36 empregados
da seção de orçamentos de uma Empresa.
Idade
N° Estado Civil Grau de Instrução N° de Filhos Salário Anos Meses Região de Procedência
1 Solteiro Fundamental ... 4,00 26 3 Interior
2 Casado Fundamental 1 4,56 32 10 Capital
... ... ... ... ... ... ... ...
35 Casado Médio 2 19,40 48 11 Capital
36 Casado Superior 3 23,30 42 2 Interior
Fonte: Bussab e Morettin (2002)

Observações sobre a Tabela 2.1.
De modo geral, para cada elemento investigado numa pesquisa, tem-se associado um (ou
mais de um) resultado correspondendo à realização de uma característica (ou características). Por
exemplo, considerando a variável estado civil, para cada empregado pode-se associar um dos
resultados, solteiro ou casado (note que poderia haver outras possibilidades, como separado,
divorciado, mas somente as duas mencionadas foram consideradas no estudo).


Dentre as variáveis Qualitativas, ainda podemos fazer uma distinção entre dois tipos:

Variável Qualitativa Nominal: para a qual não existe nenhuma ordenação nos possíveis
resultados.
Exemplo: Região de Procedência, etc.

Variável Qualitativa Ordinal: para a qual existe uma ordem natural nos seus resultados.
Exemplo: Grau de instrução, etc.

As variáveis Quantitativas também podem sofrer uma classificação dicotômica:

Variável Quantitativa Discreta: cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou
enumerável de números, e que resultam, freqüentemente, de uma contagem.
Exemplo: Nº de Filhos, etc.

Variável Quantitativa Contínua: cujos possíveis valores pertencem a um intervalo de números
reais e que resultam de uma mensuração.
Exemplo: Salário, etc.

Resumindo
Como as variáveis são classificadas e outros exemplos:

Nominal Sexo, Cor dos Olhos.
Qualitativa
Ordinal Estado Civil, Classe social.

Discreta Números de carros.
Quantitativa
Contínua Peso, altura.

Para cada tipo de variável existem técnicas apropriadas para resumir as informações dos
dados obtidos da amostra. Por exemplo, a utilização de uma tabela é uma forma de escrever os
dados de uma forma resumida.
Em algumas situações podem-se atribuir valores numéricos às várias qualidades ou
atributos de uma variável qualitativa e depois se proceder à análise como se esta fosse quantitativa,
desde que o procedimento seja passível de interpretação.

Existe um tipo de variável qualitativa para a qual essa quantificação é muito útil: a chamada
variável dicotômica. Para essa variável podem ocorrer somente duas realizações, usualmente
chamadas de sucesso e fracasso.

Exemplos: Sexo (Masculino ou Feminino), Hábito de Fumar (Sim ou Não), etc.



1) Um questionário foi aplicado aos alunos do primeiro ano de uma escola fornecendo as seguintes
informações:
ID: Identificação do aluno;
Turma: Turma a que o aluno foi alocado (A ou B);
Sexo: Feminino (F) ou Masculino (M);
Idade: Idade;
Alt: Altura;
Peso: Peso;
Filh: Número de filhos na família;
Fuma: Hábito de fumar (sim ou não);
Toler: Tolerância ao cigarro: (I) Indiferente, (P) Incomoda Pouco e (M) Incomoda Muito;
Exer: Horas de atividade física, por semana;
Cine: Número de vezes que vai ao cinema por semana;
OpCine: Opinião a respeito das salas de cinema na cidade: (B) regular a boa e (M) muito boa
TV: Horas gastas assistindo TV, por semana
OpTV: Opinião da programação na TV: (R) Ruim, (M) Média, (B) Boa e (N) não sabe.

Tabela 2.2: Informações do questionário estudantil.
ID Turma Sexo Idade Alt Peso Filh Fuma Toler Exer Cine Opcine Tv OpTV
1 A F 17 1,60 60,5 2 Não P 0 1 B 16,5 R
2 A F 18 1,69 55,0 1 Não M 0 1 B 7 R
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
49 B M 17 1,80 71,0 1 Não P 7 0 M 14 R
50 B M 18 1,83 86,0 1 Não P 7 7 M 20 B
Fonte: Magalhães e Lima (2004).

Classifique as variáveis da Tabela 2.2. como
Variável Qualitativa Nominal:

Variável Qualitativa Ordinal:

Variável Quantitativa Discreta:

Variável Quantitativa Contínua:


3. AMOSTRAGEM

A amostragem é naturalmente usada em nossa vida diária. Por exemplo, para verificar o
tempero de um alimento em preparação, podemos provar (observar) uma pequena porção deste
alimento. Estamos fazendo uma amostragem, ou seja, extraindo do todo (população), uma parte
(amostra) com propósito de avaliarmos sobre a qualidade do tempero de todo o alimento.

3.1. Por que fazer Amostragem?

Existem várias razões para o uso de amostragem em levantamento de grandes populações.
Algumas delas são:
Economia: Em geral, torna-se bem mais econômico o levantamento de somente uma parte
da população.
Tempo: Numa pesquisa eleitoral, a três dias de uma eleição presidencial, não haveria tempo
suficiente para pesquisar toda a população de eleitores do país.
Operacionalidade: É mais fácil realizar operações de pequena escala. Um dos problemas
típicos nos grandes censos é o controle dos entrevistadores.

3.2. Quando o uso de amostragem não é interessante?

População pequena: Não há necessidade de utilizar técnicas estatísticas, pois neste caso é
aconselhável realizar o censo (análise de toda a população).
Característica de fácil mensuração: Talvez a população não seja tão pequena, mas a
variável que se quer observar é de tão fácil mensuração, que não compensa investir num
plano de amostragem. Por exemplo, para verificar a porcentagem de funcionários
favoráveis à mudança no horário de um turno de trabalho, podemos entrevistar toda a
população no próprio local de trabalho. Esta atitude pode ser politicamente mais
recomendável.
Necessidade de alta precisão: A cada dez anos o IBGE realiza um Censo1 Demográfico
para estudar diversas característica da população brasileira. Dentre estas características têm-
se o número total de habitantes, que é fundamental para o planejamento do país. Desta
forma, o número de habitantes precisa ser avaliado com grande precisão e, por isto, se
pesquisa toda a população.

3.3. Tipos de Amostragem

3.3.1. Amostragem Aleatória Simples (AAS)

A técnica de Amostragem Aleatória Simples (ou Amostragem Casual Simples) é o método
mais simples e um dos mais importantes para a seleção de uma amostra. Para a seleção de uma
AAS precisamos ter uma lista completa dos elementos da população. Este tipo de amostragem
consiste em selecionar a amostra através de um sorteio. Sua principal característica está no fato de
todos os elementos da população ter igual probabilidade de serem escolhidos.

1
Censo: estudo de todos os elementos da população.

Procedimento para o uso deste método:
1) Numerar todos os elementos da população (N elementos);
2) Efetuar sucessivos sorteios até completar o tamanho da amostra (n).

Para realizar este sorteio, podemos utilizar urnas, tabelas de números aleatórios ou algum
software que gere números aleatórios. A Tabela abaixo foi feita usando o Excel®.

Tabela de Números Aleatórios

6 1 0 9 2 6 2 9 8 5 1 1 9 5 7 7 7 9 0 4 5 7 0 0 9 1 2 9 5 9 8 3 5 3 8 7 0 2 0 2
9 4 4 7 4 0 9 9 9 3 8 2 1 3 2 2 4 0 3 3 1 9 7 2 5 5 6 9 8 2 1 6 9 4 2 1 6 6 3 9
5 0 4 0 5 0 5 5 7 9 0 0 5 8 1 7 2 6 3 0 3 8 1 1 5 4 8 9 0 4 1 3 6 9 1 7 3 5 4 8
5 8 9 3 4 2 7 0 1 5 2 8 9 6 2 4 7 5 0 3 0 0 4 5 8 6 6 8 7 9 0 2 5 8 9 6 2 4 8 5
8 0 4 8 9 6 3 2 5 8 1 2 5 8 7 4 6 3 2 1 4 8 9 6 5 4 1 2 3 2 0 1 4 5 2 3 6 9 8 0

1 2 8 7 5 6 3 2 1 0 8 5 6 4 9 7 3 2 1 0 5 9 4 7 6 4 1 2 3 3 0 1 2 5 8 9 7 4 1 0
3 1 4 5 8 7 6 9 3 2 0 1 4 5 6 9 8 7 4 5 9 8 7 4 5 6 3 2 1 5 9 4 5 6 0 2 5 8 0 0
8 5 1 8 9 6 5 4 7 3 1 0 2 5 8 9 6 3 2 0 4 7 8 9 6 3 2 0 1 4 8 2 3 6 8 9 5 2 0 1
0 8 5 8 9 6 3 2 1 4 5 2 5 8 9 6 3 2 1 4 8 5 2 3 0 2 5 7 4 0 8 5 6 3 1 2 5 2 3 0
9 0 1 2 5 9 0 3 6 8 2 0 3 5 8 4 6 1 3 0 5 8 7 9 6 3 2 0 1 8 9 6 3 2 5 8 4 1 0 3

1 9 1 5 8 9 6 3 2 1 7 8 9 6 5 2 0 3 2 5 9 6 3 2 0 1 5 8 9 6 2 1 5 4 7 9 9 4 0 2
2 7 9 1 2 3 5 8 9 6 0 1 5 4 2 0 3 6 9 8 2 5 8 0 2 1 4 8 0 9 5 2 0 3 2 1 2 4 8 9
5 6 1 9 4 5 9 6 3 2 1 4 7 8 9 6 3 0 1 5 1 4 5 8 9 6 3 2 1 4 0 2 1 3 6 5 4 7 8 9
9 2 5 1 2 3 5 8 9 4 3 2 1 4 7 0 2 3 0 0 4 5 6 3 0 0 1 4 5 2 9 3 0 2 5 8 9 2 6 4
6 3 3 1 2 5 8 7 0 3 9 4 7 8 4 1 0 1 3 6 8 7 4 1 2 3 0 2 5 8 6 1 0 2 5 4 6 7 8 9

Exemplo: Estamos interessados em estudar a qualidade da gasolina nos postos de uma
determinada cidade. Essa cidade possui N = 40 postos. A empresa que estudará a qualidade pode
investigar apenas uma amostra de n = 4 postos. Para selecionarmos uma amostra, utilizando a
amostragem casual simples, basta escolhermos uma posição de qualquer linha da tabela de
números aleatórios e extrairmos conjuntos de dois algarismos (pois N, que é o tamanho da
população, possui 2 casas decimais), até completarmos os 4 elementos da amostra. Se o número
sorteado não existir, simplesmente não consideramos e prosseguimos o processo.
Escolhendo a primeira linha da Tabela de Números Aleatórios, temos a seguinte amostra de
4 elementos: {09, 26, 29, 11}.

Exemplo: Considere agora, uma população com 500 elementos e, deseja-se retirar dessa população
10 elementos. Obtenha uma AAS utilizando a primeira linha da Tabela de Números Aleatórios.

3.3.2. Amostragem Sistemática (AS)

É utilizada quando a população está naturalmente ordenada, como listas telefônicas, fichas
de cadastramento, produção de garrafas da cervejas, etc.
Procedimento para o uso deste método:

1) Seja N o tamanho da população e n o tamanho amostral. Calcula-se o intervalo da
amostragem i = N/n (considera-se apenas a parte inteira do número).

2) Sorteia-se, utilizando a tabela de números aleatórios, um número x entre 1 e i formando a
amostra: x, (x + i), (x + 2*i), ... , (x + (n-1)*i).

Exemplo: Numa turma com N = 36 alunos, deseja-se retirar uma amostra de n = 5 elementos para
verificar uma característica de interesse. Utilize a técnica de amostragem sistemática para retirar
essa amostra.
1) Calcular: i = N/n = 36/5 = 7,2. Considerando a parte inteira do número, temos que i = 7;
2) Sortear um número entre 1 e 7 da Tabela de Números Aleatórios. Escolhendo a última linha e a
primeira coluna, temos que o primeiro número que está entre 1 e 7 é 6. Logo a amostra será
composta dos elementos: {06, 13, 20, 27, 34}

Exemplo: Considere agora, uma população com 500 elementos e, deseja-se retirar dessa população
10 elementos. Obtenha uma AS utilizando a primeira linha da Tabela de Números Aleatórios,
quando for necessário.

3.3.3. Amostragem Estratificada (AE)

A população é dividida em subgrupos, denominados estratos (por exemplo, por sexo, renda,
bairro, etc.) e a AAS é utilizada na seleção de uma amostra de cada estrato. Esses estratos devem
ser internamente mais homogêneos do que a população toda, com respeito às variáveis em estudo.
Aqui, um conhecimento prévio sobre a população em estudo é fundamental.

Estrato 1 Subgrupo 1 da amostra
Estrato 2 Subgrupo 2 da amostra Amostra
... ... ... Estratificada
Estrato k Subgrupo k da amostra

A AE tem as seguintes características:
• dentro de cada estrato há uma grande homogeneidade (pequena variabilidade);
• entre os estratos há uma grande heterogeneidade (grande variabilidade).
Em geral, utiliza-se a AE proporcional. Neste caso, a proporcionalidade do tamanho da
amostra de cada estrato da população é mantida na amostra. Por exemplo, se um estrato
corresponde a 20% do tamanho da população, ele também deve corresponder a 20% da amostra.

Exemplo: Com o objetivo de realizar uma pesquisa de opinião sobre a gestão atual da reitoria em
uma determinada universidade, realizaremos um levantamento por amostragem. A população é
composta por 100 professores, 100 servidores técnicos administrativos e 300 alunos, que
identificaremos da seguinte forma:
População
Professores P001 P002 … P100
Servidores S001 S002 ... S100
Alunos A001 A002 ... A300


Supondo que a opinião sobre a gestão atual da reitoria possa ser relativamente homogêneo
dentro de cada categoria, realizaremos uma amostragem estratificada proporcional por categoria,
para obter uma amostra global de tamanho n = 10. A tabela a seguir mostra as relações de
proporcionalidade.
Estrato Proporção na População Tamanho do subgrupo na amostra

Professores 100/500 = 0,20 (ou 20%) np = ( 0,20)*10 = 2

Servidores 100/500 = 0,20 (ou 20%) ns = ( 0,20)*10 = 2

Alunos 300/500 = 0,60 (ou 60%) na = ( 0,60)*10 = 6

Para selecionar aleatoriamente dois professores, podemos usar a Tabela de Números
Aleatórios, tomando dois números com três algarismos. Usando, por exemplo a primeira linha da
tabela de números aleatórios, temos os seguintes professores selecionados: {P045, P020}. Para os
servidores, usando a segunda linha da tabela, temos: {S055, S058}. Usando a terceira linha da
tabela, temos a seguinte amostra de alunos: {A050, A136, A270, A152, A247, A004}. A amostra
{P045, P020, S055, S058, A050, A136, A270, A152, A247, A004} é uma amostra estratificada
proporcional da comunidade da universidade. Cada indivíduo desta amostra deverá ser pesquisado
para se obter a opinião em relação à gestão atual da reitoria.

3.3.4. Amostragem por Conglomerado (AC)

A população é dividida em subpopulações (conglomerados) distintas (quarteirões,
residências, famílias, bairros, etc.). Alguns dos conglomerados são selecionados segundo a AAS e
todos os indivíduos nos conglomerados selecionados são observados. Em geral, é menos eficiente
que a AAS ou AE, mas por outro lado é bem mais econômica. Tal procedimento amostral é
adequado quando é possível dividir a população em um grande número de pequenas
subpopulações.
A AC tem as seguintes características:
• dentro de cada conglomerado há uma grande heterogeneidade (grande
variabilidade);
• entre os conglomerados há uma pequena variabilidade (grande homogeneidade).

Exemplo: Realização de uma pesquisa eleitoral em uma cidade com 12 zonas eleitorais. Usando a
técnica de amostragem por conglomerados, podemos selecionar aleatoriamente 2 zonas eleitorais e,
em seguida, entrevistar todos os eleitores dessas zonas selecionadas
5

3
Zona 9
6 11
1

7 12
2
4 10

8
Entrevistar todos os
eleitores dessas zonas

Obs.: É fácil confundir amostragem estratificada com amostragem por conglomerado, porque
ambas envolvem a formação de subgrupos. A diferença é que a amostragem por conglomerado usa
todos os membros de uma amostra de conglomerados, enquanto a amostragem estratificada usa
uma amostra de membros de todos os estratos.

Curiosidade

Também podemos encontrar na prática a Técnica de Amostragem de Conveniência que
simplesmente usa resultados que sejam muito fáceis de obter.

Ei! Você é a favor
da pena de m orte?


1) Um administrador especialista em avaliar através de sistemas informatizados as ações da
BOVESPA, está interessado em fazer uma pesquisa nos preços das ações, para indicar aos seus
clientes se hoje é um dia favorável a fazer investimentos. Ele sabe que existe N = 500 ações em
venda. Como o tempo de estudo de cada ação é de aproximadamente 10 minutos, decidiu-se
verificar apenas n = 25 ações. Utilizando as técnicas de amostragem aleatória simples, quais ações
serão selecionadas (Use a primeira linha da tabela de números aleatórios)?

2) Um gerente de controle de qualidade estudará fontes de computador que passam numa esteira
transportadora dentro da empresa onde trabalha. Sabendo que por dia passam N = 85 fontes e na
amostra deverá ter n = 10 fontes, quais serão as fontes selecionadas utilizando a técnica de
amostragem sistemática? (Quando for necessário utilizar a Tabela de Números Aleatórios utilize a
primeira linha)

3) Num depósito em uma determinada empresa produtora de materiais eletrônicos possui N = 100
computadores que estão separados em duas qualidades. N1 = 40 computadores Pentium 3 e N2 =
60 computadores Pentium 4. O custo para verificar se cada computador está sob controle é muito
alto. O administrador responsável disse que a empresa tem condições de verificar apenas n = 12
computadores. Utilizando a técnica de amostragem estratificada proporcional, quais computadores
serão selecionados? (Quando for necessário utilizar a Tabela de Números Aleatórios utilize a
primeira linha)


4. TABULAÇÃO DE VARIÁVEIS

4.1. Variáveis Qualitativas Unidimensionais

Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer o
comportamento dessa variável, analisando a ocorrência de seus possíveis resultados.
A tabela a seguir apresenta a distribuição de freqüências da variável grau de instrução dos
dados da Tabela 2.1.

Tabela 4.1: Freqüências e Porcentagens dos 36 empregados da seção de orçamentos da
Companhia MB segundo o grau de instrução.
Grau de Instrução Freqüência (ni) Proporção (fi) Porcentagem (100 x fi)
Fundamental 12
Médio 18
Superior 6
Total n = 36 1,0000

Interpretação da Tabela 4.1.: Nota-se que dos 36 empregados da seção de orçamentos, 33,33%
tem nível fundamental, 50% nível médio e apenas 16,67% nível superior.
Notação: Usaremos a notação ni para indicar a freqüência (absoluta) de cada classificação ou
categoria da variável. A notação fi = ni/n para indicar a proporção (ou freqüência relativa) de cada
categoria, sendo o “n” o número total de observações.
As proporções são muito úteis quando se querem comparar resultados de duas pesquisas
distintas. O próximo exemplo ilustra este fato.

Exemplo: Suponhamos que se queira comparar a variável grau de instrução para empregados da
seção de orçamentos com a mesma variável para todos os empregados da Companhia MB.
Digamos que a empresa tenha 2000 empregados e que a distribuição de freqüências seja a tabela
abaixo:

Tabela 4.2: Freqüências e Porcentagens dos 2000 empregados da Companhia MB, segundo o grau
de instrução.
Fundamental 650
Médio 1020 0,5100
Superior
Total n = 2000 1,0000

Comparação entre a Tabela 4.1. e a Tabela 4.2.: Não podemos comparar diretamente as colunas
das freqüências (ni) das duas tabelas pois os totais de empregados são diferentes nos dois casos (n =
36 e n = 2000). Mas as colunas das porcentagens (ou proporções) são comparáveis, pois reduzimos
as freqüências relativas a um mesmo total.

4.2. Variáveis Quantitativas Unidimensionais

A construção de tabelas de freqüências para variáveis quantitativas necessita de certos
cuidados. Por exemplo, a construção da tabela de freqüências para a variável Salário da Tabela 2.1.,
usando o mesmo procedimento que o grau de instrução, não resumirá as 36 observações num grupo
menor, pois não existem observações iguais.

Solução: Agrupar os dados por faixas de salário. Assim, construímos uma tabela chamada Tabela
de Classes de Freqüências.

Exemplo: Distribuição de Freqüências dos salários dos 36 empregados da seção de orçamentos da
Companhia MB por faixas de salário:

Companhia MB por faixas de salário.
Classe de Salário Freqüência (ni) Proporção (fi) Porcentagem (100 x fi)
04 |-- 08 10 0,2778 27,78%
08 |-- 12 12
12 |-- 16 8
16 |-- 20 5
20 |-- 24 1
Total 36 1,0000

Obs.: Procedendo desse modo, ao resumir os dados referentes a uma variável quantitativa, perde-se
alguma informação. Por exemplo, não sabemos quais são os oito salários da classe de 12 a 16, a
não ser que investiguemos a tabela original. Sem perda de muita precisão, poderíamos supor que
todos os oito salários daquela classe fossem iguais ao ponto médio da referida classe, isto é, 14.

Número de Classes

A escolha dos intervalos é arbitrária. A familiaridade do pesquisador com os dados é que lhe
indicará quantas e quais classes (intervalos) devem ser usadas. Entretanto, deve-se observar que,
com um número pequeno de classes, perde-se informação, e com um número grande de classes, o
objetivo de resumir os dados fica prejudicado.
Solução: Normalmente, sugere-se o uso de 4 a 8 classes com a mesma amplitude.
Dentre muitas regras citadas na literatura, duas tem sido universalmente adotadas, caso o
pesquisador não tenha idéia alguma sobre o número de classes adotar. O número ideal de classes é
um número inteiro próximo de:

Regra 1: C = 1 + 3,2 x log n Regra 2: C= n
onde n é o número de elementos pesquisado.
As duas regras são equivalentes para n ≤ 80. A partir daí, a Regra 2 fornece valores que
crescem rapidamente e desse modo a Regra 1, proposta por Sturges tem sido preferida.


4.3. Variáveis Qualitativas e Quantitativas Bidimensionais

As tabelas usadas neste caso são conhecidas como tabela de dupla entrada, tabela de
associação, tabela de contingência ou distribuições conjuntas de freqüências.

Tabela 4.4: Distribuição dos funcionários da empresa MB, segundo o
conceito em Metodologia e a Seção a que pertence.
Seção Conceito em Metodologia Total por
A B C Seção
Dep. Pessoal 3 1 3 7
Séc. Técnica 0 4 3 7
Sec. Venda 4 3 4 11
Total por Conceito 7 8 10 25

Tabela 4.5: Vendas dos Produtos A, B, C, no supermercado Glória, no
Primeiro semestre de 2005.
Meses Vendas em 1000 R$ Total por
A B C Mês
Janeiro 40,0 25,2 8,1 73,3
Fevereiro 40,1 28,0 10,0 78,1
Março 35,1 28,0 15,4 78,5
Abril 28,2 20,2 22,3 70,7
Maio 14,1 25,6 28,1 67,8
Junho 5,0 30,0 35,2 70,2
Total por Produto 162,5 157,0 119,1 438,6
Fonte: Dados Hipotéticos.

Tabela 4.6: Distribuição dos alunos da Faculdade Vitória, segundo suas
notas em Matemática e Estatística.
Estatística Matemática Totais em
0 |- 4 4 |- 7 7 |- 10 Estatística
0 |- 4 32 25 5 62
4 |- 7 20 183 82 285
7 |- 10 7 27 19 53
Totais em 59 235 106 400
Matemática
Fonte: Dados Hipotéticos.



Tabela 4.7: Conjuntos de dados da empresa MB Indústria e Comércio
Func. Seção* Admin. Direito Redação Estat. Inglês Metodologia Política Economia
1 P 8,0 9,0 8,6 9,0 B A 9,0 8,5
2 P 8,0 9,0 7,0 9,0 B C 6,5 8,0
3 P 8,0 9,0 8,0 8,0 D B 9,0 8,5
4 P 6,0 9,0 8,6 8,0 D C 6,0 8,5
5 P 8,0 9,0 8,0 9,0 A A 6,5 9,0
6 P 8,0 9,0 8,5 10,0 B A 6,5 9,5
7 P 8,0 9,0 8,2 8,0 D C 9,0 7,0
8 T 10,0 9,0 7,5 8,0 B C 6,0 8,5
9 T 8,0 9,0 9,4 9,0 B B 10,0 8,0
10 T 10,0 9,0 7,9 8,0 B C 9,0 7,5
11 T 8,0 9,0 8,6 10,0 C B 10,0 8,5
12 T 8,0 9,0 8,3 7,0 D B 6,5 8,0
13 T 6,0 9,0 7,0 7,0 B C 6,0 8,5
14 T 10,0 9,0 8,6 9,0 A B 10,0 7,5
15 V 8,0 9,0 8,6 9,0 C B 10,0 7,0
16 V 8,0 9,0 9,5 7,0 A A 9,0 7,5
17 V 8,0 9,0 6,3 8,0 D C 10,0 7,5
18 V 6,0 9,0 7,6 9,0 C C 6,0 8,5
19 V 6,0 9,0 6,8 4,0 D C 6,0 9,5
20 V 6,0 9,0 7,5 7,0 C B 6,0 8,5
21 V 8,0 9,0 7,7 7,0 D B 6,5 8,0
22 V 6,0 9,0 8,7 8,0 C A 6,0 9,0
23 V 8,0 9,0 7,3 10,0 C C 9,0 7,0
24 V 8,0 9,0 8,5 9,0 A A 6,5 9,0
25 V 8,0 9,0 7,0 9,0 B A 9,0 8,5
(*) P = Departamento Pessoal; T = Seção Técnica e V = Seção de Vendas.

1) Baseado na Tabela 4.7., construa a distribuição de freqüências da variável Metodologia, com as
freqüências absoluta e relativa, as porcentagens, dê um título e interprete.

2) Ainda baseado na Tabela 4.7., construa uma Tabela de Classes de Freqüências para a variável
Redação, com as freqüências absoluta e relativa, as porcentagens, dê um título e interprete.

3) Construa uma tabela de dupla entrada para as variáveis “seção” e conceito tirado em “Inglês” da
Tabela 4.7.

4) Construa uma tabela de contingência para as variáveis “seção” e “notas em estatística” da Tabela
4.7.

5) Construa uma tabela de contingência para as variáveis “notas em redação” e “política” da Tabela
4.7.


5. MEDIDAS DE POSIÇÃO

5.1. Mínimo e Máximo

O mínimo é a menor observação do conjunto de dados, enquanto que o máximo é a maior
observação.

Exemplo: Considere o seguinte conjunto de dados: 4, 5, 4, 6, 5, 8, 4. Logo,
Min = __ e Max = __.

5.2. Moda

Valor ou atributo que ocorre com maior freqüência.
Exemplo (a): 2, 5, 2, 7, 8 Moda = __ .
Exemplo (b): 3, 4, 2, 2, 4, 5 Moda = __ e __. “Conjunto _ _ _ _ _ _ _”
Exemplo (c): 1, 2, 3, 4, 5 Moda = não tem “Conjunto _ _ _ _ _ _”

Moda para dados agrupados em Tabelas de Freqüências

Exemplo: Uma empresa de segurança deseja estudar qual o número de ligações a cobrar mais
freqüentes que são recebidas em um determinado bairro de classe alta da cidade de São Paulo no
mês de março. Foram selecionadas 30 residências e observadas 10 ligações em cada residência. O
resultado foi:

Números de Ligações a Cobrar (xi) Número de Residências (ni)
0 2
1 5
2 15
3 8
Total 30

Moda = __.
Interpretação: __ ligações a cobrar foi o que ocorreu com maior freqüência.

5.3. Média

Valor que representa o centro do conjunto de dados.
Considere n observações de um conjunto de dados representados por x1, x2, ..., xn. A média
desse conjunto é obtida pela soma das n observações dividido por n, ou seja,
n

x1 + x 2 + x3 + L + x n ∑x
i
x= = i =1
(5.1)
n n
Exemplo: Considere o seguinte conjunto de notas: 2, 5, 3, 7, 8. A média das notas é ___.

Média para dados agrupados em Tabelas de Freqüências

Exemplo: Considere novamente o exemplo da empresa de segurança, mas suponha que o interesse
seja estudar o número médio de ligações a cobrar recebido em um determinado bairro de classe
alta da cidade de São Paulo no mês de março.

Números de Ligações a Cobrar (xi) Número de Residências (ni)
0 2
1 5
2 15
3 8
Total 30

Nesse caso, a média é calculada levando em conta as freqüências de cada valor da variável,
da seguinte forma:
v

∑x n i i
, x= i =1
(5.2)
n
onde v é a quantidade de resultados que a variável contém e ni a respectiva freqüência da i-ésima
classe. Assim, para o exemplo temos:
n

∑x n
0 x 2 + 1x5 + 2 x15 + 3x8
i i
x= i =1
= = ___.
n 30
Logo, o número médio de ligações a cobrar recebido em um determinado bairro de classe alta da
cidade de São Paulo no mês de março é ___.

5.4. Mediana

É o valor que divide os dados, isto é, metade dos dados será maior ou igual que a mediana e
metade será menor ou igual.
Considere a seguinte série de valores: 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10.
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é ordenar o conjunto de
valores: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15. O valor que divide a série em duas partes iguais é 9. Logo, a mediana
é 9.

Método prático para o cálculo da Mediana para dados em Rol
1) Ordenar os valores do menor para o maior, isto é, x(1),...., x(n), onde x(1) é o mínimo e x(n) é o
máximo.
n +1
2) Calcular em que posição estará a mediana nos dados ordenados através da fórmula: p = .
2
3) O valor da mediana será:
(a) Se p for um número inteiro, então a mediana será o valor que está na posição p nos dados
ordenados, isto é
Mediana = x(p)

(b) Se p não for inteiro, considere p- e p+ os inteiros imediatamente abaixo e acima de p,
respectivamente. A mediana será a média dos valores que estão nas posições p- e p+ nos dados
ordenados, ou seja,

x (P− ) + x (P+ )
Mediana =
2
Exemplo: Calcule a mediana da seguinte série de dados: 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5
1º ordenar a série: __, __, __, __, __, __, __, __, __.
n = __ . Logo, P = (n + 1)/2 é dado por P = (__+1)/2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada
será a mediana. Assim, mediana = __ .

Exemplo: Calcule a mediana da seguinte série de dados: 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6
1º ordenar a série: __, __, __, __, __, __, __, __, __, __.
n = __. P = (n + 1)/2 é dado por P = (__+1)/2 = 5.5, logo, P- = 5 e P+ = 6, ou seja, o 5º e o 6º
elementos da série ordenada, que representam os seguintes valores: __ e __, respectivamente. Pela
definição, a mediana será a média aritmética do 5º e 6º termos da série, ou seja,
Mediana = (2+3)/2 = 2,5.

Notas:
1) Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana
com um dos elementos da série.
2) Quando o número de elementos da série estatística for par, a mediana será sempre a média
aritmética dos 2 elementos centrais da série.
3) Em uma série de dados, a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor.
4) A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma
diferença marcante entre mediana e média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores
extremos). Vejamos:
Na série: 5, 7, 10, 13, 15 Média = 10 e Mediana = 10;
Na série: 5, 7, 10, 13, 65 Média = 20 e Mediana = 10,
isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos
valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.

Mediana para dados agrupados em Tabelas de Freqüências

Nesse caso, utilizamos a freqüência acumulada para identificar qual o valor da mediana.

Exemplo: Considere novamente o exemplo da empresa de segurança que desejava estudar qual o
número de ligações a cobrar mais freqüentes recebidas em um determinado bairro de classe alta da
cidade de São Paulo no mês de março. Vamos introduzir uma nova coluna na tabela dos dados
referentes a freqüência acumulada.


Números de Ligações a Cobrar (xi) Número de Residências (ni) Freqüência Acumulada (Fi)
0 2
1 5
2 15
3 8
Total 30

Como o rol é par, pois n = __, a mediana é a média dos valores que estão nas posições 15 e 16.
Ambos valores que estão nestas posições são __ ligações a cobrar recebida por residência, pois F3 é
a primeira freqüência acumulada que contém os elementos 15 e 16.


1) Os tempos de sobrevivência (em meses) de um tipo de bateria estão listados a seguir.
5, 21, 21, 23, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 32, 32, 32, 34, 35, 36, 38, 38, 38, 42, 43, 44, 60.
Calcule o mínimo, máximo, moda, média e mediana.

2) Um artigo em Computers and Industrial Engineering (2001, p.51) descreve os dados de tempos
de falha (em horas) para motores de jatos. Alguns desses dados estão a seguir.

Tabela 5.1: Dados Brutos (em horas)
Máquina # Tempo de Falha Máquina # Tempo de Falha
1 150 14 171
2 291 15 197
3 93 16 200
4 53 17 262
5 2 18 255
6 65 19 286
7 183 20 206
8 144 21 179
9 223 22 232
10 197 23 165
11 187 24 155
12 197 25 203
13 213

Obtenha mínimo, máximo, moda, média e mediana dos tempos de falhas das máquinas e interprete
os resultados.

3) As idades dos 20 ingressantes num certo curso de pós-graduação em finanças de uma
universidade foram as seguintes: 22, 22, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 27,
28, 35 e 40. Construa uma tabela de freqüências e calcule o mínimo, máximo, moda, média e
mediana das idades organizadas nessa tabela.


6. MEDIDAS DE DISPERSÃO

6.1. Motivação

Para preencher uma única vaga existente em uma empresa, 50 candidatos foram submetidos
a 6 provas sobre conhecimentos específicos de interesse da empresa. Três destes candidatos
destacaram-se com as notas descritas na tabela abaixo:

Tabela 6.1: Distribuição das Notas
Provas
Candidatos
1 2 3 4 5 6
A 7,0 7,5 8,0 8,0 8,5 9,0
B 6,0 7,0 8,0 8,0 9,0 10,0
C 7,5 8,0 8,0 8,0 8,0 8,5
Fonte: Dados Hipotéticos

Que candidato escolher? Um critério inicial poderia ser o de escolher o que tem a maior média,
mas:
Candidatos A B C
Média
De modo análogo, nem adianta pensar em moda ou mediana, pois:
Candidatos A B C
Moda
Mediana
Solução: Um segundo critério de escolha pode ser escolher o candidato que apresentou notas mais
homogêneas, isto é, aquele que apresentou menor dispersão das notas.

6.2. Amplitude

A amplitude é definida pelo intervalo entre o valor máximo e o valor mínimo da série de
dados, ou seja,
Amplitude = Máximo – Mínimo (6.1)
Exemplo: Para os três candidatos temos:
Candidatos A B C
Amplitude

6.3. Variância e Desvio Padrão

A variância mede a dispersão dos dados em torno de sua média.
n

( x − x ) 2 + ( x 2 − x ) 2 + ( x3 − x ) 2 + L + ( x n − x ) 2 ∑ (x i − x)2
s2 = 1 = i =1
(6.2)
n −1 n −1


O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada positiva da variância
s = s2 (6.3)

Exemplo: Vamos calcular a variância e o desvio padrão para os três candidatos:

Notas Média
Candidato A 7,0 7,5 8,0 8,0 8,5 9,0 8,0

(7 − 8) 2 + (7,5 − 8) 2 + (8 − 8) 2 + (8 − 8) 2 + (8,5 − 8) 2 + (9 − 8) 2 2,5
sA =
2
= = 0,5 s A = 0,5 ≅ 0,7
6 −1 5

Notas Média
Candidato B 6,0 7,0 8,0 8,0 9,0 10,0 8,0

sB =
2
= = sB =
6 −1 5

Notas Média
Candidato C 7,5 8,0 8,0 8,0 8,0 8,5 8,0

sC =
2
= = sC =
6 −1 5

Resumindo

Tabela 6.2: Medidas de Posição e Dispersão dos 3 melhores candidatos
Candidatos Média Moda Mediana Amplitude Variância Desvio Padrão
A 8,0 8,0 8,0
B 8,0 8,0 8,0
C 8,0 8,0 8,0

Fórmula alternativa para o cálculo da variância

Podemos calcular a variância através da seguinte fórmula alternativa:
1 ⎡⎛ n 2 ⎞ 2⎤
s2 = ⎢⎜ ∑ xi ⎟ − n ( x ) ⎥ (6.4)
n − 1 ⎣⎝ i =1 ⎠ ⎦
.
A fórmula (6.4) é obtida através de algumas manipulações algébricas na fórmula (6.2). Esta
tem a facilidade de apenas necessitar da informação da média ( x ) e da soma dos valores ao
quadrado da variável ∑ xi .
2
( )

6.4. Intervalo Interquartil

O intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro quartil (Q3) e o primeiro quartil (Q1),
ou seja,
IQ = Q3 – Q1. (6.5)

Essa medida nos dá a informação da amplitude dos 50% pontos centrais do conjunto de
dados ordenados.


1) Considere o seguinte conjunto de dados: 2, 3, 5, 7, 10. Utilize a fórmula alternativa para calcular
a variância, sabendo que a média é 5,4.

2) Foram coletados aleatoriamente 5 empregados de 3 empresas (A, B e C) e perguntado para cada
um deles o seu salário (em salários mínimos). Se estas 3 empresas estivessem oferecendo emprego,
em qual delas você trabalharia sendo que o resultado da pesquisa com os 15 funcionários
entrevistados foi:
Empresa A Empresa B Empresa C
5,5 4 5
6 5 6
6 6 6
6 6 6
6,5 9 7
Obs: Obtenha a Amplitude, Variância, Desvio Padrão e o Intervalo-Interquartil de cada empresa
para tomar sua decisão.

3) Um laboratório clínico precisa decidir comprar um dentre três aparelhos (A, B, C) para dosagem
de sangue. Para isto o responsável pelas análises preparou uma substância de concentração
conhecida (10 mg/ml) e extraiu várias amostras para serem dosadas pelos três aparelhos. Os
resultados obtidos em cada um deles foram os seguintes:
A 5 10 7 15 16 12 4 8 10 13
B 10 9 10 9 11 8 9 7 8 9
C 10 11 9 10 10 9 11 12 8 10
Em medidas clínicas três termos são utilizados freqüentemente:
Precisão: refere-se à dispersão dos resultados
Não-viciado: refere-se à tendência de um conjunto de medidas produzir um resultado igual ao
“verdadeiro valor”
Exato: refere-se ao instrumento preciso e não-viciado
(a) Descreva os três instrumentos em termos das definições acima.
(b) Qual instrumento lhe parece recomendável? Justifique sua resposta.


7. ESTATÍSTICA GRÁFICA

7.1. Gráficos para as Variáveis Qualitativas

A representação gráfica da distribuição de uma variável tem a vantagem de, rápida e
concisamente, informar sobre sua variabilidade.
Existem vários tipos de gráficos para as variáveis Qualitativas. Aqui serão ilustrados três
deles: Gráficos em Barras, o de Composição em Setores (“Pizza”) e o Gráfico de Pareto.

7.1.1. Gráfico em Barras

O gráfico em Barras consiste em construir retângulos ou barras, em que uma das dimensões
é proporcional à magnitude a ser representada (ni), sendo a outra arbitrária, porém igual para todas
as barras. Essas barras são dispostas paralelamente uma às outras, horizontalmente ou
verticalmente. No exemplo a seguir temos o gráfico em barras (verticais) para a variável Grau de
Instrução.

Companhia MB segundo o grau de instrução.
Fundamental 12 0,3333 33,33%
Médio 18 0,5000 50,00%
Superior 6 0,1667 16,67%
Total n = 36 1,0000 100,00%

18
18
16

14

12

12
Freqüência (ni)

10

8

6
6
4

2

0
Fundamental Médio Superior
Grau de Instrução

Figura 7.1: Gráfico em Barras para a variável Grau de Instrução


7.1.2. Gráfico de Composição em Setores (“Pizza”)

O gráfico de composição em setores (“pizza”), destina-se a representar a composição,
usualmente em porcentagem, de partes de um todo. Consiste num círculo de raio arbitrário,
representando o todo, dividido em setores, que correspondem às partes de maneira proporcional.
Para o exemplo anterior temos o seguinte gráfico:

50%

Fundamental

Médio
33%
Superior

17%

Figura 7.2: Gráfico em Setores para a variável Grau de Instrução

7.1.3. Gráfico de Pareto
O gráfico de Pareto é um gráfico de barras representando a freqüência absoluta com um
gráfico de linha, representando a porcentagem acumulada. Ele exibe a freqüência absoluta e a
porcentagem acumulada no eixo vertical e as categorias da classificação no eixo horizontal (Ver
Figura 7.3 a seguir). Organizamos sempre as categorias em ordem decrescente da freqüência de
ocorrência, isto é, a de maior freqüência absoluta fica à esquerda, seguida pela segunda de maior
freqüência, e assim por diante.

500 100

400 80
Porcentagem Acumulada
Frequencia Absoluta

300 60

200 40

100 20

0 0
Modelo-Aviões MD-737 MD-777 MD-757 MD-767 MD-717 MD-747 MD-11 MD-90
Count 281 55 45 44 32 25 4 3
Percent 57,5 11,2 9,2 9,0 6,5 5,1 0,8 0,6
Cum % 57,5 68,7 77,9 86,9 93,5 98,6 99,4 100,0

Figura 7.3: Produção de aviões em 2000. (Fonte: Boeing Commercial Airplane Company)

A Figura 7.3 apresenta um gráfico de Pareto para a produção de aviões de transporte da
Boeing Commercial Airplane Company no ano de 2000. Note que o 737 foi o modelo mais popular,
seguido pelos 777, 757, 767, 717, 747, MD-11 e o MD-90. A linha no gráfico de Pareto conecta as
porcentagens acumuladas dos k modelos produzidos com maior freqüência (k = 1, 2, 3, 4, 5). Nesse
exemplo, os dois modelos produzidos com maior freqüência respondem aproximadamente 69% do
total dos aviões produzidos em 2000.

90

Porcentagem Acumulada
80 100
Número de Defeitos

70
80
60
50 60
40
30 40
30
21
20
20
10 6 6 5 5 4 4
0 0
Tipo de Defeito o s s a s es s s
rn da ra ci da nt va ro
nto ra hu ên ca ie oi ut
co pa ra
n qü ifi sa
l
s/
g O
o la s/ se br s da
d a lu
a m ro de o rte fe
n
or fu ra nã Pa s/
es e
F rt d Fo te
s he
Pa lta ar al
nt
Fa P E
Count 30 21 6 6 5 5 4 4
Percent 37,0 25,9 7,4 7,4 6,2 6,2 4,9 4,9
Cum % 37,0 63,0 70,4 77,8 84,0 90,1 95,1 100,0

Figura 7.4: Gráfico de Pareto dos defeitos em elementos estruturais da porta.

Os gráficos de Pareto são muito úteis na análise dos dados defeituosos em sistemas de
produção. A Figura 7.4 apresenta um gráfico de Pareto que mostra a freqüência com que vários
tipos de defeitos ocorrem em peças de metal usadas em um componente estrutural da moldura de
uma porta de automóvel. Note como o gráfico de Pareto realça os relativamente poucos defeitos
que são responsáveis pela maioria dos defeitos observados na peça. O gráfico de Pareto é parte
importante no programa de melhora da qualidade, porque permite que a gerência e a engenharia
concentrem sua atenção nos defeitos mais críticos do produto ou processo. Uma vez identificados
esses defeitos críticos, devem-se desenvolver e implementar ações corretivas para reduzi-los ou
eliminá-los.

Curiosidade: O gráfico de Pareto tem esse nome em homenagem ao economista italiano Vilfredo
Pareto que estabeleceu a teoria de que, em certas economias, a maior parte da riqueza (80%)
pertence à minoria da população (20%).


7.2. Gráficos para as Variáveis Quantitativas

Para variáveis Quantitativas podemos considerar uma variedade maior de representações
gráficas.

7.2.1. Gráfico em Barras

O gráfico em Barras para as variáveis quantitativas é construído da mesma forma ao das
variáveis qualitativas.
Como ilustração, considere a variável “Número de Filhos” dos empregados casados da
seção de orçamentos da Companhia MB. A Tabela 7.2 apresenta os dados.

Tabela 7.2: Freqüências e Porcentagens dos empregados da seção de orçamentos da Companhia
MB, segundo o número de filhos.
Números de Filhos (xi) Freqüência (ni) Porcentagem (100 x fi)
0 4 20
1 5 25
2 7 35
3 3 15
4 0 0
5 1 5
Total n = 20 100

Figura 7.5: Gráfico de Barras para a variável Números de Filhos


7.2.2. Gráfico de Pontos ou Gráfico de Dispersão Unidimensional (ou Dot-Plot)

Quando os dados consistem em um pequeno conjunto de números, estes podem ser
representados traçando-se uma reta com uma escala que abranja todas as mensurações observadas e
grafando-se as respectivas freqüências como pontos acima da reta. Por esse motivo, é também
conhecido como gráfico de pontos.

Exemplo: Considere a variável tempo, em segundos, entre carros que passam por um cruzamento,
viajando na mesma direção: 6, 3, 5, 6, 4, 3, 5, 4, 6, 3, 4, 5, 2, 10.

2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 7.6: Gráfico de Dispersão – Dot Plot

7.2.3. Histograma

O Histograma é utilizado para representar a distribuição de freqüência. É um gráfico de
barras contíguas, com bases proporcionais aos intervalos de classes e a área de cada retângulo
proporcional à respectiva freqüência relativa. Indicaremos a amplitude do i-ésimo intervalo por ai.
Para que a área do retângulo respectivo seja proporcional a fi, a sua altura deve ser proporcional a
di = fi/ai, que é chamada de densidade de freqüência da i-ésima classe. Quanto mais dados tivermos
em cada classe, mais alto deve ser o retângulo. Com essa convenção, a área total do histograma
será 1 (um).

Exemplo: Considerando a variável Salário dos empregados da seção de orçamentos da Companhia
MB, temos os seguintes dados:

Companhia MB, por faixas de salário
Classe de Freqüência Proporção Porcentagem Densidade de Freqüência
Salário (ni) (fi) (100 x fi) (di = fi/ai)
04 |-- 08 10 0,2778 27,78 0,0695
08 |-- 12 12 0,3333 33,33 0,0833
12 |-- 16 8 0,2222 22,22 0,0556
16 |-- 20 5 0,1389 13,89 0,0347
20 |-- 24 1 0,0278 2,78 0,0070
Total n = 36 1,0000 100,00


0,09

0,08

0,07 0,0833
ensidade de Freqüência

0,06 0,0695

0,05
0,0556
0,04

0,03 0,0347
D

0,02

0,01 0,007

0
04 |-- 08 08 |-- 12 12 |-- 16 16 |-- 20 20 |-- 24
Classes de Salários

Figura 7.7: Histograma da variável Salário

7.2.4. Gráfico em Linhas (ou Gráfico Temporal)

É um gráfico utilizado para representar observações feitas ao longo do tempo, em intervalos
iguais ou não. Tais conjuntos de dados constituem as chamadas séries históricas, ou séries
temporais. Traduzem o comportamento de um fenômeno em certo intervalo de tempo.

Tabela 7.4: Dívida Externa do Brasil de 1956 a 2006, em Milhões de Dólares.
Ano Dívida Ano Dívida Ano Dívida
1956 2736 1973 14857 1990 123439
1957 2491 1974 20032 1991 123910
1958 2870 1975 25115 1992 135949
1959 3160 1976 32145 1993 145726
1960 3738 1977 37951 1994 148295
1961 3291 1978 52187 1995 159256
1962 3533 1979 55803 1996 179935
1963 3612 1980 64259 1997 199998
1964 3294 1981 73963 1998 241644
1965 3823 1982 85487 1999 241468
1966 3771 1983 93745 2000 236156
1967 3440 1984 102127 2001 226067
1968 4092 1985 105171 2002 227689
1969 4635 1986 111203 2003 235414
1970 6240 1987 121188 2004 220182
1971 8284 1988 113511 2005 187987
1972 11464 1989 115506 2006 191999
Fonte: IPEADATA


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