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Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Método de Newton-Raphson
(Tangentes)
Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
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Considerações Iniciais
Nós aprendemos a achar as raízes de uma função pelo
método da bisseção. Este método tem uma vantagem, ele sempre
converge para a raiz, desde que exista uma no intervalo inicial
dado. Mas tem duas desvantagens: ele é lento e se a função não
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Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
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Considerações Iniciais
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Ele cobre as desvantagens da bisseção, isto é, é mais rápido e
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desvantagens:
• Nem sempre converge;
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Mantendo apenas os dois primeiros termos da série, temos:
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real ξ.
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12
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12
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x
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Desta forma, temos:
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132
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6²3|)(| 0xf Portanto, continua!
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11429,22
61429,21429,2
1429,2
2
2x
1429,21x
7349,061429,2²1429,2|)(| 1xf Portanto, continua!
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Então, se:
Como a raiz quadrada de 6 está localizada entre 2 e 3,
podemos adotar um valor inicial entre este intervalo ou em sua
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Calcula o erro...
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Considerações Finais
No método da bisseção nós damos o limite inferior e superior
da região que deve conter a raiz. No Newton-Raphson damos um
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converge, pois podemos ter o caso em que a reta tangente a
função no ponto inicial não representa bem a função naquele
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Considerações Finais
O método ideal para aproximação de raízes é aquele que a
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  • 1. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Método de Newton-Raphson (Tangentes)
  • 2. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Considerações Iniciais Nós aprendemos a achar as raízes de uma função pelo método da bisseção. Este método tem uma vantagem, ele sempre converge para a raiz, desde que exista uma no intervalo inicial dado. Mas tem duas desvantagens: ele é lento e se a função não muda de sinal, a raiz não é encontrada.
  • 3. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Considerações Iniciais Vamos aprender um outro método, o de Newton-Raphson. Ele cobre as desvantagens da bisseção, isto é, é mais rápido e encontra raízes que tocam o eixo x, mas também apresenta duas desvantagens: • Nem sempre converge; • Precisa do cálculo da derivada da função, o que nem sempre é uma tarefa fácil.
  • 4. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição Mantendo apenas os dois primeiros termos da série, temos:
  • 5. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição
  • 6. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição
  • 7. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição Mudando ligeiramente a notação, obtemos a fórmula de iteração. Veja:
  • 8. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Interpretação Geométrica do método de Newton Vejam que a cada iteração a raiz se aproxima mais da raiz real ξ.
  • 9. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Critérios de Convergência As condições de convergência são agora (por análise intuitiva):
  • 10. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 11. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 12 6 12 62 12 6 2 1 22 2 1 0 0 01 x x x x xxxx x xx xx xf xf xx
  • 12. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Portanto, temos que: 12 62 1 x x x
  • 13. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Desta forma, temos: 12 62 1 x x x 132 632 1x 1429,21x 6²3|)(| 0xf Portanto, continua!
  • 14. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Tomando a nova iteração: 12 6 1 1 2 1 12 x xx xx 11429,22 61429,21429,2 1429,2 2 2x 1429,21x 7349,061429,2²1429,2|)(| 1xf Portanto, continua! 0039,22x
  • 15. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Continuando... 0039,22x Quadro!
  • 16. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Generalizando, temos: xn xn f(xn) f(x1) X0 3 6 2,1429 X1 2,1429 0,7349 2,0039 x2 2,0039 0,0195 0039,2x
  • 17. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:
  • 18. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Então, se: Como a raiz quadrada de 6 está localizada entre 2 e 3, podemos adotar um valor inicial entre este intervalo ou em sua proximidade. Vamos adotar 1 como valor inicial.
  • 19. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Calcula o erro...
  • 20. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Calcula o erro...
  • 21. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Calcula o erro...
  • 22. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Calcula o erro...
  • 23. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo
  • 24. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:
  • 25. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo
  • 26. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Quadro!
  • 27. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Quando o Método de Newton pode não Convergir?
  • 28. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares A não convergência do método pode ocorrer nos pontos de máximos, mínimos e inflexão, quando a função muda a concavidade. Quando o Método de Newton pode não Convergir? O gráfico seguinte mostra um caso em que o método não converge.
  • 29. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Quando o Método de Newton pode não Convergir?
  • 30. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Considerações Finais No método da bisseção nós damos o limite inferior e superior da região que deve conter a raiz. No Newton-Raphson damos um valor inicial e dependendo deste valor nem sempre o método converge, pois podemos ter o caso em que a reta tangente a função no ponto inicial não representa bem a função naquele ponto.
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  • 32. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exercícios
  • 33. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 34.