O documento descreve o método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções. Ele explica que o método é mais rápido que a bisseção, mas requer o cálculo da derivada e nem sempre converge. Um exemplo é fornecido para ilustrar o processo iterativo do método para encontrar a raiz quadrada de 6.
O documento resume os principais métodos numéricos para encontrar raízes (ou zeros) de funções, incluindo: (1) o método da bisseção, que itera dividindo o intervalo inicial ao meio até encontrar a raiz; (2) o método da falsa posição, que calcula um ponto intermediário de forma mais elaborada que o método da bisseção; e (3) o método de Newton, que aproxima a tangente na iteração corrente para encontrar a próxima aproximação da raiz.
O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
Este documento é o volume 3 do solucionário do livro "Sears e Zemansky - Física Universitária", 12a edição, publicado pela editora Addison Wesley. Ele contém respostas detalhadas para exercícios propostos no livro texto e é distribuído gratuitamente pela Livraria VestSeller para apoiar estudantes do IME e ITA.
Relatório física experimental 1 associação de molasleomartins10
Este documento descreve um experimento sobre a associação de molas em série e paralelo. O experimento mede a deformação de molas sob diferentes cargas e calcula as constantes elásticas teórica e experimental para cada configuração. Os resultados mostraram que a constante elástica é maior para molas em paralelo do que em série, e que há pouca diferença entre os valores teóricos e experimentais.
Este documento apresenta uma coleção de problemas resolvidos e propostos sobre diversos tópicos de mecânica dos fluidos, incluindo propriedades dos fluidos, pressão, viscosidade, cinemática, conservação da massa e quantidade de movimento, escoamento em dutos e análise dimensional. As soluções dos problemas resolvidos ilustram o cálculo de grandezas como massa específica, peso específico, densidade, número de Reynolds, altura equivalente de pressão e conversão entre unidades de pressão.
Este documento discute escoamento laminar e turbulento de fluidos, o cálculo do número de Reynolds e sua importância para determinar o regime de escoamento. Também apresenta exemplos e exercícios sobre o tema.
1) O documento resume vários testes de convergência para séries infinitas, incluindo o teste da divergência, o teste da comparação e o teste da comparação no limite.
2) Estes testes fornecem critérios para determinar se uma série infinita converge ou diverge baseado nas propriedades dos termos da série.
3) Os testes incluem comparar uma série com outra série conhecida, analisar o limite da razão ou raiz dos termos e verificar se a integral associada converge.
Este documento discute escoamento laminar e turbulento de fluidos, o cálculo do número de Reynolds e sua importância para determinar o regime de escoamento. Também apresenta exemplos e exercícios sobre o tema.
O documento resume os principais métodos numéricos para encontrar raízes (ou zeros) de funções, incluindo: (1) o método da bisseção, que itera dividindo o intervalo inicial ao meio até encontrar a raiz; (2) o método da falsa posição, que calcula um ponto intermediário de forma mais elaborada que o método da bisseção; e (3) o método de Newton, que aproxima a tangente na iteração corrente para encontrar a próxima aproximação da raiz.
O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
Este documento é o volume 3 do solucionário do livro "Sears e Zemansky - Física Universitária", 12a edição, publicado pela editora Addison Wesley. Ele contém respostas detalhadas para exercícios propostos no livro texto e é distribuído gratuitamente pela Livraria VestSeller para apoiar estudantes do IME e ITA.
Relatório física experimental 1 associação de molasleomartins10
Este documento descreve um experimento sobre a associação de molas em série e paralelo. O experimento mede a deformação de molas sob diferentes cargas e calcula as constantes elásticas teórica e experimental para cada configuração. Os resultados mostraram que a constante elástica é maior para molas em paralelo do que em série, e que há pouca diferença entre os valores teóricos e experimentais.
Este documento apresenta uma coleção de problemas resolvidos e propostos sobre diversos tópicos de mecânica dos fluidos, incluindo propriedades dos fluidos, pressão, viscosidade, cinemática, conservação da massa e quantidade de movimento, escoamento em dutos e análise dimensional. As soluções dos problemas resolvidos ilustram o cálculo de grandezas como massa específica, peso específico, densidade, número de Reynolds, altura equivalente de pressão e conversão entre unidades de pressão.
Este documento discute escoamento laminar e turbulento de fluidos, o cálculo do número de Reynolds e sua importância para determinar o regime de escoamento. Também apresenta exemplos e exercícios sobre o tema.
1) O documento resume vários testes de convergência para séries infinitas, incluindo o teste da divergência, o teste da comparação e o teste da comparação no limite.
2) Estes testes fornecem critérios para determinar se uma série infinita converge ou diverge baseado nas propriedades dos termos da série.
3) Os testes incluem comparar uma série com outra série conhecida, analisar o limite da razão ou raiz dos termos e verificar se a integral associada converge.
Este documento discute escoamento laminar e turbulento de fluidos, o cálculo do número de Reynolds e sua importância para determinar o regime de escoamento. Também apresenta exemplos e exercícios sobre o tema.
O documento discute as reações de substituição nucleofílica do tipo SN1 e SN2. É explicado que as reações SN1 ocorrem por meio da formação de um carbocátion intermediário estável, enquanto as reações SN2 ocorrem por meio de um estado de transição de um único passo. Fatores como a estrutura do carbono eletrofílico, nucleófilo, solvente e temperatura influenciam o mecanismo e a velocidade da reação.
Este documento descreve os objetivos e conteúdos de um curso sobre transferência de massa. Os objetivos são o conhecimento básico das leis de transferência de massa e a capacidade de modelar matematicamente processos de transferência de massa, com foco em equipamentos de contato direto. Os principais tópicos abordados incluem fundamentos da transferência de massa molecular e convectiva, equações diferenciais de transferência de massa, difusão molecular no estado estacionário e transiente, transferência de massa convectiva e equipamentos de transferência
O documento fornece informações sobre a estrutura atômica, distribuição eletrônica e formação de íons. Explica que os átomos são constituídos de prótons, nêutrons e elétrons localizados em camadas eletrônicas. Quando um átomo ganha ou perde elétrons, forma-se um íon cátion ou ânion, respectivamente.
1. O documento descreve um livro didático de física sobre eletromagnetismo.
2. O livro aborda tópicos como carga elétrica, campo elétrico, lei de Gauss, potencial elétrico, capacitância, corrente elétrica e circuitos de corrente contínua e alternada.
3. O documento também inclui capítulos sobre campo magnético, fontes de campo magnético, indução eletromagnética e corrente alternada.
1) O documento discute seqüências numéricas e séries infinitas, apresentando definições, exemplos e teoremas sobre convergência e monotonicidade de seqüências.
2) Uma seqüência é uma função que associa números reais a números naturais. Pode ser dada por uma fórmula ou recorrência. Se a diferença entre os termos e um limite tende a zero, a seqüência converge.
3) O documento fornece condições para a convergência de seqüências, como os teoremas sobre limites de potências e conf
Este documento apresenta um resumo da disciplina de Física 2 sobre oscilações. A agenda inclui tópicos como movimento harmônico simples, pêndulos, osciladores amortecidos e ressonância. Exemplos ilustram conceitos como energia mecânica, período, frequência e amplitude em sistemas oscilatórios como massa-mola e pêndulos.
O documento discute sistemas de controle e fornece exemplos de diferentes tipos de sistemas, incluindo mecânicos, elétricos, fluídicos e térmicos. Apresenta conceitos-chave como modelo matemático, sistema linear, função de transferência e transformada de Laplace. Fornece exemplos de resolução de exercícios envolvendo sistemas mecânicos e elétricos.
O documento apresenta medidas de tendência central para dados agrupados, incluindo média, mediana e moda. Discute como agrupar dados em classes e calcular essas medidas para distribuições de frequência. Fornece exemplos numéricos para ilustrar o cálculo da média, mediana e moda para conjuntos de dados agrupados.
O capítulo introduz a abordagem euleriana para estudar fluidos em movimento, focando no fluido como um contínuo e nas propriedades em diferentes pontos no mesmo instante. Discute-se o regime permanente para simplificar problemas e a noção de campos de velocidade. Exemplos ilustram conceitos como tubo de corrente e cinemática de fluidos.
01 relatório de laboratório nº 02 movimento uniforme (protected) (1)Fernanda Souza
1. O relatório apresenta os resultados obtidos em um experimento de física sobre movimento uniforme retilíneo. Foram medidas as distâncias percorridas por uma esfera em rampas com inclinações de 5° e 10° em intervalos de tempo.
2. As tabelas mostram as posições, tempos e cálculos de velocidade média para cada inclinação. A velocidade média para a rampa de 5° foi de aproximadamente 6,2 m/s, enquanto para a rampa de 10° foi maior.
3. Os resultados indicam
La tabla resume 34 relaciones trigonométricas fundamentales. Entre ellas, la primera relación indica que la suma del seno al cuadrado y el coseno al cuadrado de cualquier ángulo es igual a 1. Otras relaciones cubren identidades trigonométricas para la tangente, cotangente y cosecante en términos de sus funciones inversas. Las relaciones también describen fórmulas para senos y cosenos de ángulos opuestos, así como expresiones para el seno y coseno de ángulos dobles.
Este documento apresenta um conjunto de exercícios resolvidos sobre métodos numéricos aplicados à engenharia e outras ciências. Aborda temas como erro numérico, solução de equações não-lineares e lineares, interpolação numérica, mínimos quadrados, integração numérica e diferenciação numérica. A resolução é feita manualmente e com software numérico como CONUM e MATLAB, com o objetivo de capacitar os alunos para a aplicação prática destes métodos.
O documento discute medidas estatísticas de assimetria e curtose. A assimetria indica a concentração de dados em relação ao ponto central, enquanto a curtose refere-se ao grau de achatamento dos dados. Essas medidas são úteis para evitar erros ao supor distribuições normais de populações.
1) A adição de álcoois a alcenos ocorre preferencialmente segundo a regra de Markovnikov, enquanto a hidroboração-oxidação ocorre anti-Markovnikov.
2) A adição de halogênios a alcenos ocorre segundo uma reação estereoespecífica de adição anti, formando vic-dihalogênios.
3) A hidrogenação catalítica de alcenos conduz à formação de alcanos correspondentes em uma reação exotérmica.
O documento descreve medidas de tendência central em estatística, incluindo média, mediana e moda. Explica como calcular cada uma delas para conjuntos de dados agrupados e não agrupados, com exemplos.
O documento discute estruturas cristalinas, incluindo conceitos como célula unitária, sistemas cristalinos, polimorfismo e determinação de estruturas cristalinas por difração de raios-X.
Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2Douglas Alves
Este documento apresenta os conceitos de centróide e momento de inércia de superfícies planas. Explica como calcular as coordenadas x e y do centróide de uma área dividindo-a em partes de geometria simples e aplicando as fórmulas apropriadas. Também fornece exemplos numéricos de cálculo do centróide para diferentes configurações de áreas.
1) O documento discute conceitos estatísticos como distribuição normal, uniforme e probabilidades. 2) A distribuição normal é descrita como uma das mais importantes e amplamente usadas em pesquisas, com média e desvio padrão como parâmetros. 3) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a distribuição normal reduzida e tabelas Z.
O documento discute o método dos mínimos quadrados para ajuste de curvas. Ele introduz o tópico, define o método e fornece exemplos de como aplicá-lo para ajustar uma reta a conjuntos de pontos experimentais.
Métodos Iterativos - Gauss-Jacobi - Part I - @professorenanRenan Gustavo
O documento discute métodos iterativos para resolver sistemas lineares. Apresenta as motivações para o uso desses métodos, especialmente quando as matrizes envolvidas são grandes e esparsas. Descreve os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, que geram sequências aproximadas da solução que convergem conforme o número de interações aumenta.
O documento discute as reações de substituição nucleofílica do tipo SN1 e SN2. É explicado que as reações SN1 ocorrem por meio da formação de um carbocátion intermediário estável, enquanto as reações SN2 ocorrem por meio de um estado de transição de um único passo. Fatores como a estrutura do carbono eletrofílico, nucleófilo, solvente e temperatura influenciam o mecanismo e a velocidade da reação.
Este documento descreve os objetivos e conteúdos de um curso sobre transferência de massa. Os objetivos são o conhecimento básico das leis de transferência de massa e a capacidade de modelar matematicamente processos de transferência de massa, com foco em equipamentos de contato direto. Os principais tópicos abordados incluem fundamentos da transferência de massa molecular e convectiva, equações diferenciais de transferência de massa, difusão molecular no estado estacionário e transiente, transferência de massa convectiva e equipamentos de transferência
O documento fornece informações sobre a estrutura atômica, distribuição eletrônica e formação de íons. Explica que os átomos são constituídos de prótons, nêutrons e elétrons localizados em camadas eletrônicas. Quando um átomo ganha ou perde elétrons, forma-se um íon cátion ou ânion, respectivamente.
1. O documento descreve um livro didático de física sobre eletromagnetismo.
2. O livro aborda tópicos como carga elétrica, campo elétrico, lei de Gauss, potencial elétrico, capacitância, corrente elétrica e circuitos de corrente contínua e alternada.
3. O documento também inclui capítulos sobre campo magnético, fontes de campo magnético, indução eletromagnética e corrente alternada.
1) O documento discute seqüências numéricas e séries infinitas, apresentando definições, exemplos e teoremas sobre convergência e monotonicidade de seqüências.
2) Uma seqüência é uma função que associa números reais a números naturais. Pode ser dada por uma fórmula ou recorrência. Se a diferença entre os termos e um limite tende a zero, a seqüência converge.
3) O documento fornece condições para a convergência de seqüências, como os teoremas sobre limites de potências e conf
Este documento apresenta um resumo da disciplina de Física 2 sobre oscilações. A agenda inclui tópicos como movimento harmônico simples, pêndulos, osciladores amortecidos e ressonância. Exemplos ilustram conceitos como energia mecânica, período, frequência e amplitude em sistemas oscilatórios como massa-mola e pêndulos.
O documento discute sistemas de controle e fornece exemplos de diferentes tipos de sistemas, incluindo mecânicos, elétricos, fluídicos e térmicos. Apresenta conceitos-chave como modelo matemático, sistema linear, função de transferência e transformada de Laplace. Fornece exemplos de resolução de exercícios envolvendo sistemas mecânicos e elétricos.
O documento apresenta medidas de tendência central para dados agrupados, incluindo média, mediana e moda. Discute como agrupar dados em classes e calcular essas medidas para distribuições de frequência. Fornece exemplos numéricos para ilustrar o cálculo da média, mediana e moda para conjuntos de dados agrupados.
O capítulo introduz a abordagem euleriana para estudar fluidos em movimento, focando no fluido como um contínuo e nas propriedades em diferentes pontos no mesmo instante. Discute-se o regime permanente para simplificar problemas e a noção de campos de velocidade. Exemplos ilustram conceitos como tubo de corrente e cinemática de fluidos.
01 relatório de laboratório nº 02 movimento uniforme (protected) (1)Fernanda Souza
1. O relatório apresenta os resultados obtidos em um experimento de física sobre movimento uniforme retilíneo. Foram medidas as distâncias percorridas por uma esfera em rampas com inclinações de 5° e 10° em intervalos de tempo.
2. As tabelas mostram as posições, tempos e cálculos de velocidade média para cada inclinação. A velocidade média para a rampa de 5° foi de aproximadamente 6,2 m/s, enquanto para a rampa de 10° foi maior.
3. Os resultados indicam
La tabla resume 34 relaciones trigonométricas fundamentales. Entre ellas, la primera relación indica que la suma del seno al cuadrado y el coseno al cuadrado de cualquier ángulo es igual a 1. Otras relaciones cubren identidades trigonométricas para la tangente, cotangente y cosecante en términos de sus funciones inversas. Las relaciones también describen fórmulas para senos y cosenos de ángulos opuestos, así como expresiones para el seno y coseno de ángulos dobles.
Este documento apresenta um conjunto de exercícios resolvidos sobre métodos numéricos aplicados à engenharia e outras ciências. Aborda temas como erro numérico, solução de equações não-lineares e lineares, interpolação numérica, mínimos quadrados, integração numérica e diferenciação numérica. A resolução é feita manualmente e com software numérico como CONUM e MATLAB, com o objetivo de capacitar os alunos para a aplicação prática destes métodos.
O documento discute medidas estatísticas de assimetria e curtose. A assimetria indica a concentração de dados em relação ao ponto central, enquanto a curtose refere-se ao grau de achatamento dos dados. Essas medidas são úteis para evitar erros ao supor distribuições normais de populações.
1) A adição de álcoois a alcenos ocorre preferencialmente segundo a regra de Markovnikov, enquanto a hidroboração-oxidação ocorre anti-Markovnikov.
2) A adição de halogênios a alcenos ocorre segundo uma reação estereoespecífica de adição anti, formando vic-dihalogênios.
3) A hidrogenação catalítica de alcenos conduz à formação de alcanos correspondentes em uma reação exotérmica.
O documento descreve medidas de tendência central em estatística, incluindo média, mediana e moda. Explica como calcular cada uma delas para conjuntos de dados agrupados e não agrupados, com exemplos.
O documento discute estruturas cristalinas, incluindo conceitos como célula unitária, sistemas cristalinos, polimorfismo e determinação de estruturas cristalinas por difração de raios-X.
Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2Douglas Alves
Este documento apresenta os conceitos de centróide e momento de inércia de superfícies planas. Explica como calcular as coordenadas x e y do centróide de uma área dividindo-a em partes de geometria simples e aplicando as fórmulas apropriadas. Também fornece exemplos numéricos de cálculo do centróide para diferentes configurações de áreas.
1) O documento discute conceitos estatísticos como distribuição normal, uniforme e probabilidades. 2) A distribuição normal é descrita como uma das mais importantes e amplamente usadas em pesquisas, com média e desvio padrão como parâmetros. 3) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a distribuição normal reduzida e tabelas Z.
O documento discute o método dos mínimos quadrados para ajuste de curvas. Ele introduz o tópico, define o método e fornece exemplos de como aplicá-lo para ajustar uma reta a conjuntos de pontos experimentais.
Métodos Iterativos - Gauss-Jacobi - Part I - @professorenanRenan Gustavo
O documento discute métodos iterativos para resolver sistemas lineares. Apresenta as motivações para o uso desses métodos, especialmente quando as matrizes envolvidas são grandes e esparsas. Descreve os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, que geram sequências aproximadas da solução que convergem conforme o número de interações aumenta.
Interpolação - Parte II - @professorenanRenan Gustavo
O documento discute técnicas de interpolação, incluindo interpolação linear e polinomial usando os métodos de Lagrange e Newton. É apresentada a definição de interpolação e exemplos ilustrativos de como aplicar cada método.
Interpolação - Parte I - @professorenanRenan Gustavo
O documento discute os conceitos e métodos de interpolação. Apresenta as definições de interpolação linear, quadrática e polinomial, dando exemplos de cada uma. Também discute aplicações da interpolação em engenharia e aproximação de funções, além de citar diferentes métodos polinomiais como Newton, Lagrange e Gregory.
O documento discute a quadratura gaussiana, incluindo sua definição como uma aproximação da integral definida de uma função usando valores ponderados da função em pontos específicos. Exemplos de formas de 1a e 2a ordem são apresentados, assim como uma lista de exercícios relacionados a cálculo numérico.
Diferenciação e Integração Numérica - @professorenanRenan Gustavo
O documento discute métodos numéricos de diferenciação e integração. Apresenta fórmulas para o cálculo numérico de derivadas de primeira e segunda ordem, como as diferenças finitas progressiva, regressiva e centrada. Também explica métodos de integração numérica como a Regra dos Trapézios, Primeira Regra de Simpson e Segunda Regra de Simpson.
O documento descreve a interpolação polinomial, que aproxima uma função desconhecida f(x) por um polinômio g(x). Apresenta duas formas de representar o polinômio interpolador: a forma de Lagrange, que expressa g(x) como uma combinação linear de polinômios elementares; e a forma de Newton, que usa o conceito de diferenças divididas.
Este documento descreve três métodos para calcular o polinômio interpolador para um conjunto de pontos dados: (1) o método da base monômica, que usa uma base de funções monômicas; (2) o método de Lagrange, que usa funções de Lagrange; e (3) o método de Newton, que usa funções de Newton. O documento também discute a existência e unicidade do polinômio interpolador e fornece exemplos para ilustrar cada método.
Equações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenanRenan Gustavo
O documento discute métodos numéricos para encontrar raízes de equações algébricas e transcendentes. Apresenta o método da bisseção para refinar aproximações de raiz, dividindo iterativamente o intervalo que contém a raiz. Explica como isolar a raiz em um intervalo inicial e melhorar a aproximação até atingir a precisão desejada.
Métodos Iterativos - Gauss-Jacobi - Part II - @professorenanRenan Gustavo
O documento discute métodos iterativos para resolver sistemas lineares, como os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. Ele apresenta as fórmulas para aplicar esses métodos, critérios de convergência e exemplos numéricos de resolução de sistemas lineares usando esses métodos.
Equações Algébricas e Transcendentes - Isolamento de Raízes - @professorenanRenan Gustavo
O documento discute os conceitos de equações algébricas e transcendentes, e métodos para encontrar raízes reais de funções. É dividido em duas fases: a primeira isola as raízes através de análise teórica e gráfica da função para determinar em quais intervalos elas estão localizadas; a segunda refina as aproximações iniciais das raízes por meio de um processo iterativo até atingir a precisão desejada. Exemplos ilustram como isolar as raízes tabulando valores da função e analisando mudanças de
O documento discute métodos iterativos para resolver sistemas lineares, apresentando o método de Gauss-Seidel e critérios de convergência e parada. Exemplos ilustram como aplicar o método e os critérios para resolver sistemas numericamente.
Este documento descreve o cálculo do volume de um frasco de leite fermentado usando interpolação de Lagrange. Fornece valores medidos de altura e raio em pontos ao longo do frasco e descreve os cálculos de interpolação realizados para aproximar a forma do frasco e calcular o volume total em aproximadamente 80 ml, com precisão de 0,8% em relação ao valor medido experimentalmente.
O documento descreve as etapas do método científico: observação, formulação de questões, hipóteses, experimentos, leis e teorias. Ele usa o exemplo da cor verde das folhas para ilustrar como cada etapa é aplicada na investigação científica.
O documento descreve 14 espécies de plantas aquáticas comuns para aquários, incluindo suas características como nome comum e científico, exigências de luz e temperatura, altura máxima e uso recomendado no aquário.
Este documento describe un experimento de interpolación de Lagrange realizado por un grupo de estudiantes para calcular el volumen de una lámpara. El documento incluye tablas de datos de dos partes del experimento, los cálculos de interpolación de Lagrange para cada parte, y la suma de los volúmenes calculados para determinar el volumen total de la lámpara.
O documento define criminologia como uma ciência empírica e interdisciplinar que estuda o crime, criminosos, vítimas e controle social. Explora o método científico da criminologia, seu objeto de estudo e funções. Também resume as principais escolas da criminologia: a Escola Clássica focada em normas e livre arbítrio, e a Escola Positivista analisando fatores individuais e sociais para explicar crimes.
O documento discute séries de Taylor e de Maclaurin. Apresenta a fórmula para os coeficientes das séries e exemplos de como encontrar as séries de funções como exponencial, seno, cosseno e outras. Explica as condições para uma função ser igual à soma de sua série de Taylor.
O documento apresenta uma introdução ao Cálculo Numérico, descrevendo-o como um conjunto de métodos para obter soluções aproximadas de problemas matemáticos complexos. Explica que é usado quando soluções analíticas não existem ou são difíceis de serem obtidas, e fornece exemplos de aplicações como sistemas de equações e equações diferenciais.
1) O documento discute o método científico, incluindo suas etapas principais como observação, experimentação, formulação de hipóteses, análise, síntese e generalização.
2) As etapas do método científico incluem observação, experimentação, formulação de hipóteses, análise, síntese, modelagem, teste de hipóteses, e generalização.
3) O objetivo do método científico é facilitar a obtenção de novos conhecimentos sobre fenômenos naturais de forma sist
1. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Método de Newton-Raphson
(Tangentes)
2. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Considerações Iniciais
Nós aprendemos a achar as raízes de uma função pelo
método da bisseção. Este método tem uma vantagem, ele sempre
converge para a raiz, desde que exista uma no intervalo inicial
dado. Mas tem duas desvantagens: ele é lento e se a função não
muda de sinal, a raiz não é encontrada.
3. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Considerações Iniciais
Vamos aprender um outro método, o de Newton-Raphson.
Ele cobre as desvantagens da bisseção, isto é, é mais rápido e
encontra raízes que tocam o eixo x, mas também apresenta duas
desvantagens:
• Nem sempre converge;
• Precisa do cálculo da derivada da função, o que nem sempre
é uma tarefa fácil.
4. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Definição
Mantendo apenas os dois primeiros termos da série, temos:
5. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Definição
6. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Definição
7. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Definição
Mudando ligeiramente a notação, obtemos a fórmula de
iteração. Veja:
8. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Interpretação Geométrica do método de Newton
Vejam que a cada
iteração a raiz se
aproxima mais da raiz
real ξ.
9. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Critérios de Convergência
As condições de convergência são agora (por análise intuitiva):
10. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
11. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
12
6
12
62
12
6
2
1
22
2
1
0
0
01
x
x
x
x
xxxx
x
xx
xx
xf
xf
xx
12. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Portanto, temos que:
12
62
1
x
x
x
13. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Desta forma, temos:
12
62
1
x
x
x
132
632
1x 1429,21x
6²3|)(| 0xf Portanto, continua!
14. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Tomando a nova iteração:
12
6
1
1
2
1
12
x
xx
xx
11429,22
61429,21429,2
1429,2
2
2x
1429,21x
7349,061429,2²1429,2|)(| 1xf Portanto, continua!
0039,22x
15. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Continuando...
0039,22x
Quadro!
16. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Generalizando, temos:
xn xn f(xn) f(x1)
X0 3 6 2,1429
X1 2,1429 0,7349 2,0039
x2 2,0039 0,0195
0039,2x
17. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:
18. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Então, se:
Como a raiz quadrada de 6 está localizada entre 2 e 3,
podemos adotar um valor inicial entre este intervalo ou em sua
proximidade. Vamos adotar 1 como valor inicial.
19. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Calcula o erro...
20. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Calcula o erro...
21. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Calcula o erro...
22. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Calcula o erro...
23. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
24. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:
25. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
26. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Quadro!
27. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Quando o Método de Newton pode não Convergir?
28. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
A não convergência do método pode ocorrer nos pontos
de máximos, mínimos e inflexão, quando a função muda a
concavidade.
Quando o Método de Newton pode não Convergir?
O gráfico seguinte mostra um caso em que o método não
converge.
29. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
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Quando o Método de Newton pode não Convergir?
30. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
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Considerações Finais
No método da bisseção nós damos o limite inferior e superior
da região que deve conter a raiz. No Newton-Raphson damos um
valor inicial e dependendo deste valor nem sempre o método
converge, pois podemos ter o caso em que a reta tangente a
função no ponto inicial não representa bem a função naquele
ponto.
31. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
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Considerações Finais
O método ideal para aproximação de raízes é aquele que a
convergência é assegurada, e rápida, e que haja um número
mínimo de iterações.