Este documento apresenta a solução de vários exercícios de estatística propostos em um livro didático. As soluções envolvem cálculos de probabilidade, construção de árvores de decisão e determinação de funções de probabilidade para diferentes experimentos aleatórios.
O documento apresenta 10 exercícios de estatística envolvendo distribuição de frequência, medidas de tendência central, probabilidade e outros conceitos. Os exercícios solicitam o cálculo de medidas como média, mediana, moda, quartis, probabilidades e índices numéricos com base em tabelas de dados sobre pesos de jogadoras, notas de alunos, vendas de produtos, salários e outros.
[1] O documento apresenta sete exercícios de juros simples com cálculos de capital inicial, taxa de juros, tempo de aplicação, juros e montante final. [2] Os exercícios envolvem aplicações bancárias, empréstimos e fundos de investimento com taxas que variam de 2% a 18% ao ano, semestre ou mês. [3] O resumo apresenta as informações essenciais dos sete exercícios de forma concisa em três frases.
O documento apresenta 6 questões sobre representações gráficas de funções polinomiais e afins do 1o grau. As questões 1, 2, 3 e 6 envolvem funções polinomiais do 1o grau, enquanto as questões 4 e 5 tratam de funções afins. As representações gráficas solicitadas são linhas retas na forma y=ax+b.
1. O documento apresenta exercícios sobre probabilidades e estatística, incluindo conceitos como distribuições de probabilidade, medidas estatísticas e regressão linear.
2. São fornecidos exemplos numéricos para ilustrar o cálculo de medidas como média, mediana, variância e desvio padrão para diferentes distribuições e conjuntos de dados.
3. Incluem-se também exercícios sobre regressão linear simples, testes de hipóteses e análise de variância, visando a aplicação prática desses conceitos e
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeAndréia Rodrigues
Este documento é uma lista de exercícios de matemática para o 9o ano preparada pela professora Andréia. Contém 32 exercícios sobre funções do 1o e 2o grau, probabilidade e situações-problema envolvendo funções. Os exercícios abordam conceitos como zeros de funções, vértice de parábolas, probabilidade e princípio da contagem.
O documento explica conceitos básicos de probabilidade, como espaço amostral, eventos aleatórios e experimentos. Ele define espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório e evento como qualquer subconjunto desse espaço. Também fornece exemplos como lançar uma moeda, um dado ou tirar uma carta de baralho.
O documento apresenta 10 exercícios de estatística envolvendo distribuição de frequência, medidas de tendência central, probabilidade e outros conceitos. Os exercícios solicitam o cálculo de medidas como média, mediana, moda, quartis, probabilidades e índices numéricos com base em tabelas de dados sobre pesos de jogadoras, notas de alunos, vendas de produtos, salários e outros.
[1] O documento apresenta sete exercícios de juros simples com cálculos de capital inicial, taxa de juros, tempo de aplicação, juros e montante final. [2] Os exercícios envolvem aplicações bancárias, empréstimos e fundos de investimento com taxas que variam de 2% a 18% ao ano, semestre ou mês. [3] O resumo apresenta as informações essenciais dos sete exercícios de forma concisa em três frases.
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1. O documento apresenta exercícios sobre probabilidades e estatística, incluindo conceitos como distribuições de probabilidade, medidas estatísticas e regressão linear.
2. São fornecidos exemplos numéricos para ilustrar o cálculo de medidas como média, mediana, variância e desvio padrão para diferentes distribuições e conjuntos de dados.
3. Incluem-se também exercícios sobre regressão linear simples, testes de hipóteses e análise de variância, visando a aplicação prática desses conceitos e
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeAndréia Rodrigues
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O documento explica conceitos básicos de probabilidade, como espaço amostral, eventos aleatórios e experimentos. Ele define espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório e evento como qualquer subconjunto desse espaço. Também fornece exemplos como lançar uma moeda, um dado ou tirar uma carta de baralho.
O documento descreve gráficos e propriedades das funções seno e cosseno. Ele apresenta os gráficos de sen(x) e cos(x), mostrando seus domínios, imagens e períodos. Também pede para construir gráficos e determinar propriedades de variações dessas funções.
O documento discute diferentes tipos de produtos e fatorações matemáticas, incluindo trinômios quadrados perfeitos, quadrados da soma e diferença de termos, diferença entre quadrados e fatoração por agrupamento. Exemplos ilustram cada conceito.
O documento discute medidas estatísticas como desvio médio, variância e desvio padrão. O desvio médio mede a distância média dos dados em relação à média. A variância calcula a diferença entre cada valor e a média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e fornece uma medida da dispersão dos dados.
Este documento explica os conceitos de média aritmética simples e ponderada, apresentando exemplos de cálculo de média para sequências numéricas, tabelas de frequência e velocidades médias.
A aula introduz conceitos básicos de probabilidade como experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos e operações entre conjuntos. É resolvida uma questão sobre eventos relacionados ao tempo para realização de uma tarefa por um marinheiro, onde a alternativa correta é que o evento A é igual a {t|t ≥ 50}.
El documento presenta una serie de 17 expresiones numéricas con números enteros y naturales que deben resolverse. Luego, presenta 20 expresiones numéricas similares pero con números racionales que también deben calcularse. El objetivo es evaluar cada expresión y encontrar el valor numérico resultante (R).
O documento apresenta um plano de aula para ensinar razão e proporção para alunos do 7o ano do ensino fundamental. O plano inclui objetivos, conteúdos, atividades e recursos a serem utilizados. Razão e proporção serão explicados por meio de exemplos históricos e de um objeto de aprendizagem interativo antes da aplicação de exercícios.
O documento apresenta sete problemas de estatística descritiva que envolvem a construção de tabelas de frequência absoluta e relativa por pontos e classes para diferentes conjuntos de dados. As soluções incluem tabelas com os resultados e respostas às questões colocadas.
Este documento fornece exemplos resolvidos da regra da cadeia para derivadas de funções compostas. A regra da cadeia é usada para calcular a derivada de funções da forma f(x) = h(g(x)), onde h e g são funções deriváveis. Seis exemplos são resolvidos usando esta regra para encontrar derivadas de funções trigonométricas, racionais e exponenciais compostas.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre números reais como relações de ordem, intervalos, aproximações, arredondamentos e enquadramentos.
2) São descritas propriedades de relações de ordem entre números reais e operações com desigualdades.
3) São explicados métodos para aproximar valores numéricos através de enquadramentos e obter aproximações com erros controlados.
1. O documento aborda operações com conjuntos numéricos fundamentais e intervalos numéricos.
2. São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
3. São explicados os conceitos de intervalos numéricos abertos, fechados e semiabertos e como representá-los na reta real.
O documento apresenta 11 exercícios sobre probabilidade e estatística aplicada. Os exercícios envolvem distribuições como binomial, hipergeométrica, Poisson, normal e exponencial. As soluções calculam probabilidades de eventos como a ocorrência de um determinado número de resultados em uma amostragem aleatória.
Lista de exercícios de expressões envolvendo fraçõesPriscila Lourenço
Este documento apresenta uma lista de exercícios de expressões envolvendo frações para alunos do 6o ano. A lista contém 5 exercícios com diferentes expressões matemáticas envolvendo operações com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de um desafio final para os alunos resolvam. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
1 estatística descritiva, distribuição de frequência v discreta e continuaNilson Costa
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade e estatística, incluindo definições de população, amostra, variável discreta e variável contínua.
2) É fornecido um exemplo de construção de uma variável discreta a partir de dados sobre o número de acidentes em uma rodovia.
3) O documento também explica como agrupar dados em faixas para criar uma variável contínua quando há muitos elementos distintos na amostra.
1. The document contains exercises involving factorials and simplifying expressions. It asks the reader to calculate factorials, simplify expressions, solve equations, and find values of n.
2. Several exercises involve calculating factorials, adding and subtracting factorials, and simplifying expressions with factorials.
3. Other exercises ask the reader to solve equations involving factorials and exponentials in order to find the value of n. The reader must use properties of exponents and factorials to solve for n in each equation.
O documento descreve um jogo matemático chamado "Stop" para alunos do 6o ano. O jogo envolve realizar operações matemáticas básicas com números ditados pelo professor e ganhar pontos por acertar as respostas. O objetivo é ser o primeiro a gritar "stop" depois de concluir as contas e ter mais pontos no final.
1) Os alunos da turma 5oA responderam a um inquérito sobre seus gêneros de filme preferidos.
2) Francisco organizou os resultados em uma tabela de frequência absoluta que mostrava animação, romance, policial e outros como as categorias mais populares.
3) Ele criou um gráfico de barras para representar visualmente os dados da tabela e mostrar que a animação era o gênero preferido.
Cálculo Numérico: Interpolação Polinomial com Bubble SortJohnnatan Messias
Este relatório apresenta os resultados de um trabalho prático de cálculo numérico utilizando o método de interpolação polinomial de diferenças divididas para estimar o tempo de ordenação de 95.000 elementos usando o algoritmo BubbleSort. O polinômio interpolador foi calculado e aplicado para estimar o tempo em 109 segundos.
Este documento é uma apostila sobre bioestatística que introduz conceitos estatísticos básicos como métodos de amostragem, estatística descritiva, inferência estatística e testes de hipóteses. O documento está organizado em quatro partes principais que cobrem princípios, estatística descritiva, teoria da amostragem e estatística inferencial.
O documento descreve gráficos e propriedades das funções seno e cosseno. Ele apresenta os gráficos de sen(x) e cos(x), mostrando seus domínios, imagens e períodos. Também pede para construir gráficos e determinar propriedades de variações dessas funções.
O documento discute diferentes tipos de produtos e fatorações matemáticas, incluindo trinômios quadrados perfeitos, quadrados da soma e diferença de termos, diferença entre quadrados e fatoração por agrupamento. Exemplos ilustram cada conceito.
O documento discute medidas estatísticas como desvio médio, variância e desvio padrão. O desvio médio mede a distância média dos dados em relação à média. A variância calcula a diferença entre cada valor e a média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e fornece uma medida da dispersão dos dados.
Este documento explica os conceitos de média aritmética simples e ponderada, apresentando exemplos de cálculo de média para sequências numéricas, tabelas de frequência e velocidades médias.
A aula introduz conceitos básicos de probabilidade como experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos e operações entre conjuntos. É resolvida uma questão sobre eventos relacionados ao tempo para realização de uma tarefa por um marinheiro, onde a alternativa correta é que o evento A é igual a {t|t ≥ 50}.
El documento presenta una serie de 17 expresiones numéricas con números enteros y naturales que deben resolverse. Luego, presenta 20 expresiones numéricas similares pero con números racionales que también deben calcularse. El objetivo es evaluar cada expresión y encontrar el valor numérico resultante (R).
O documento apresenta um plano de aula para ensinar razão e proporção para alunos do 7o ano do ensino fundamental. O plano inclui objetivos, conteúdos, atividades e recursos a serem utilizados. Razão e proporção serão explicados por meio de exemplos históricos e de um objeto de aprendizagem interativo antes da aplicação de exercícios.
O documento apresenta sete problemas de estatística descritiva que envolvem a construção de tabelas de frequência absoluta e relativa por pontos e classes para diferentes conjuntos de dados. As soluções incluem tabelas com os resultados e respostas às questões colocadas.
Este documento fornece exemplos resolvidos da regra da cadeia para derivadas de funções compostas. A regra da cadeia é usada para calcular a derivada de funções da forma f(x) = h(g(x)), onde h e g são funções deriváveis. Seis exemplos são resolvidos usando esta regra para encontrar derivadas de funções trigonométricas, racionais e exponenciais compostas.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre números reais como relações de ordem, intervalos, aproximações, arredondamentos e enquadramentos.
2) São descritas propriedades de relações de ordem entre números reais e operações com desigualdades.
3) São explicados métodos para aproximar valores numéricos através de enquadramentos e obter aproximações com erros controlados.
1. O documento aborda operações com conjuntos numéricos fundamentais e intervalos numéricos.
2. São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
3. São explicados os conceitos de intervalos numéricos abertos, fechados e semiabertos e como representá-los na reta real.
O documento apresenta 11 exercícios sobre probabilidade e estatística aplicada. Os exercícios envolvem distribuições como binomial, hipergeométrica, Poisson, normal e exponencial. As soluções calculam probabilidades de eventos como a ocorrência de um determinado número de resultados em uma amostragem aleatória.
Lista de exercícios de expressões envolvendo fraçõesPriscila Lourenço
Este documento apresenta uma lista de exercícios de expressões envolvendo frações para alunos do 6o ano. A lista contém 5 exercícios com diferentes expressões matemáticas envolvendo operações com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de um desafio final para os alunos resolvam. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
1 estatística descritiva, distribuição de frequência v discreta e continuaNilson Costa
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3) O documento também explica como agrupar dados em faixas para criar uma variável contínua quando há muitos elementos distintos na amostra.
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1) Os alunos da turma 5oA responderam a um inquérito sobre seus gêneros de filme preferidos.
2) Francisco organizou os resultados em uma tabela de frequência absoluta que mostrava animação, romance, policial e outros como as categorias mais populares.
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Cálculo Numérico: Interpolação Polinomial com Bubble SortJohnnatan Messias
Este relatório apresenta os resultados de um trabalho prático de cálculo numérico utilizando o método de interpolação polinomial de diferenças divididas para estimar o tempo de ordenação de 95.000 elementos usando o algoritmo BubbleSort. O polinômio interpolador foi calculado e aplicado para estimar o tempo em 109 segundos.
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Este documento apresenta um livro-texto sobre Geometria Analítica dividido em 12 capítulos. O livro introduz os conceitos básicos de coordenadas em retas e no plano, equações de retas e curvas cônicas, e fornece exercícios resolvidos.
1) O documento apresenta um banco de questões de Cálculo 1 de vários anos da Universidade Federal de Alagoas, organizado por professores, com o objetivo de ajudar estudantes a resolver problemas típicos da disciplina.
2) Está dividido em capítulos de 2005 a 2011, cada um contendo avaliações de diferentes períodos do ano com problemas resolvidos.
3) Fornece um amplo conjunto de exercícios resolvidos de Cálculo 1 para que estudantes possam aprender a aplicar conceitos da disciplina na prática.
Este documento contém 10 provas modelo para a preparação da prova final de matemática do 9o ano. Inclui um formulário, tabela trigonométrica e as 10 provas com questões de escolha múltipla e resolução de problemas sobre vários tópicos matemáticos como geometria, álgebra e probabilidades.
Este documento apresenta um livro sobre Geometria Analítica. Ele introduz o uso de coordenadas para representar pontos em uma reta e em um plano e define noções básicas como distância entre pontos e equações de retas. O livro também discute curvas cônicas como elipses, hipérboles e parábolas.
Este documento apresenta um trabalho de conclusão de curso sobre construções geométricas por régua e compasso. O trabalho discute conceitos teóricos sobre tais construções, números construtíveis e problemas clássicos da geometria grega. Além disso, sugere atividades para aplicar essas construções no ensino fundamental entre os 6o e 9o anos.
Este documento fornece orientações para o ensino de geometria e medição no ensino básico em Portugal. Apresenta conceitos fundamentais de geometria a serem ensinados, abordagens didáticas recomendadas e exemplos de tarefas para desenvolver o raciocínio espacial e compreensão de temas como posicionamento, figuras planas, propriedades de triângulos e transformações geométricas. Também discute grandezas e medidas, incluindo área, perímetro, volume e ângulos.
O documento apresenta um capítulo sobre números reais de um livro didático de matemática para o 8o ano do ensino fundamental. O capítulo descreve os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e irracionais e suas propriedades, e introduz as operações de adição e multiplicação nos números reais, destacando propriedades como comutatividade, associatividade e distribuição.
1. O documento descreve um curso de qualificação profissional em operação de produção de petróleo, com foco no módulo introdutório de matemática. O curso é destinado a pessoas com ensino médio ou técnico que precisam de qualificação ou requalificação.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de estatística descritiva e métodos para apresentação e análise de dados.
2. Inclui discussões sobre níveis de mensuração, distribuições univariadas e bivariadas de frequências, medidas estatísticas como média, mediana e desvio padrão, e correlação entre variáveis.
3. Fornece exemplos resolvidos e propostos para ilustrar os principais tópicos tratados.
1) O documento é um sumário de um livro didático de matemática do 9o ano do ensino fundamental.
2) O sumário lista 11 capítulos sobre radiciais, equações de 2o grau, funções e geometria.
3) Os capítulos abordam tópicos como radiciação, operações com radicais, equações do 2o grau, sistemas de equações, funções polinomiais e trigonométricas, semelhança de triângulos e polígonos regulares.
Este documento discute cálculo de variáveis, incluindo números reais, funções, derivadas, integrais e suas aplicações. O documento é dividido em seções que cobrem esses tópicos, com exemplos e exercícios em cada seção.
Este documento apresenta um resumo da introdução à Teoria dos Números. Discute as propriedades básicas dos números naturais e a axiomática de Peano, introduz o Teorema Fundamental da Aritmética e as decomposições em fatores primos, e fornece uma visão geral dos tópicos subsequentes como congruências, resíduos quadráticos e equações diofantinas.
Este documento fornece orientações para o ensino da geometria e medição no ensino básico em Portugal. Ele discute conceitos fundamentais de geometria como orientação espacial, classificação de figuras, paralelismo, semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras e transformações geométricas. Também aborda grandezas e medidas, incluindo área, perímetro, volume, massa, tempo e dinheiro. O documento inclui exemplos de tarefas para os alunos aplicarem esses conceitos.
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo:
1) Define experimento aleatório, espaço amostral e eventos aleatórios.
2) Descreve operações com eventos aleatórios como interseção, união e complementar.
3) Introduz a definição clássica de probabilidade e propriedades como aditividade e normalização.
1) 30% é o único valor apresentado que pode ser a probabilidade exata de o jovem escolhido ser espanhol.
2) A probabilidade de os dois jovens escolhidos terem a mesma nacionalidade é 1/3.
3) O maior valor que a pode tomar é 30.
O documento apresenta um resumo sobre operações matemáticas com números inteiros, fracionários e decimais. Aborda conceitos como números pares e ímpares, primos e compostos, MMC, MDC e divisibilidade. Explica as quatro operações básicas e propriedades relacionadas, além de regras para identificar a divisibilidade de um número.
O documento apresenta um resumo sobre operações matemáticas com números inteiros, fracionários e decimais. Aborda conceitos como números pares e ímpares, divisibilidade, múltiplos e divisores. Explica também o sistema métrico decimal e conceitos como juros, porcentagem, razão e proporção. Por fim, apresenta questões resolvidas sobre esses tópicos.
1) O documento apresenta um material didático sobre Cálculo II, com informações sobre a equipe de produção e direitos autorais.
2) Os tópicos abordados incluem integral indefinida, integral definida, área limitada por curvas, e comprimento de arco.
3) É fornecido um guia detalhado sobre diferentes métodos de integração e aplicações da integral em geometria.
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Ermes Medeiros da Silva
Elio Medeiros da Silva
Valter Gonçalves
Afrânio Carlos Murolo
2. Ermes Medeiros
Elio Medeiros
Valter Gonçalves
Afrânio Murolo
Estatística 2
Solução dos Exercícios Propostos
São Paulo
Editora Atlas S.A. – 2011
Material de Consulta do Professor
Terceira Edição
Portal Atlas
6. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 6
Item 1.3 Exercícios propostos
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.3 – Ex. 8
Dados b = bola branca p = bola preta
Urna A contém 3b e 2p Urna B contém 5b e 1p
Solução
Espaço amostral: S ={( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,b b b p p p p b }
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 2 1
1
2
1 2 1
1
2
1 2 1
1
2
1 2 1
1
5 3 1
6 5 2
1 3 1
6 5 10
1 2 1
6 5 15
5 2 1
6 5 3
b
P b b P P b
b
b
P b p P P p
p
p
P p p P P p
p
b
P p b P P p
p
∩ = = × =
∩ = = × =
∩ = = × =
∩ = = × =
Função de probabilidade
( )
0 1 2
3 13 1
20 30 2
x
P x
21
7. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 7
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.3 – Ex. 9
Dados: b = bola branca A = urna A BA = bola branca da urna A
PA = bola preta da urna A B = urna B BB = bola branca da urna B
vB = bola vermelha da urna B.
Solução
Retirar uma bola da urna A. Espaço amostral: bA, pA, com ( )
3
7
P bA = e ( )
4
7
P pA = .
Retirar uma bola da urna B, após a transferência: Espaço amostral: bB, pB, vB.
a) A bola retirada da Urna A é branca: b) A bola retirada da urna A é preta
( )
3
6
P bB = ( )
2
6
P bB =
A probabilidade de ocorrer bola branca é então: ( )
3 3 2 4 17
6 7 6 7 42
P bB = × + × =
Função de probabilidade:
( )
0 1
25 17
x
42 42
x
P
10
8. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 8
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.3 – Ex. 10
Dados: B = peça boa D = peça defeituosa
Na urna: 3 peças boas e duas peças defeituosas
Solução
O experimento encerra quando retiramos a segunda peça com defeito ou quando retiramos a
terceira peça boa, o que ocorrer primeiro. A árvore de decisão pode ser a seguinte:
D BBDD ( )
3 2 2 1 1
5 4 3 2 10
P BBDD = × × × =
D B BBDB ( )
3 2 2 1 1
5 4 3 2 10
P BBDB = × × × =
B B BBB ( )
3 2 1 1
5 4 3 10
P BBB = × × =
B D B B BDBB ( )
3 2 2 1 1
5 4 3 2 10
P BDBB = × × × =
D BDBD etc
D BDD
B D DBBD
B DBBB
D B D DBD
D DD
O espaço amostral é equiprovável. A função de probabilidade será, então:
( )
2 3 4
0,1 0,3 0,6
x
P x
9. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 9
Item 1.4 Exercícios propostos
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 4
Dados: L = lucro por unidade vendida P(V) = expectativa de venda
La = lucro por unidade reaproveitada = Lucro −custo adicional
P(R) = expectativa de reaproveitamento
K = proporção na produção
A, B, C, D = modelos de fralda descartáveis
Solução
A B C D
L 0,04 0,08 0,02 0,10
P(V) 0,70 0,80 0,60 0,60
La 0,02 0,03 0,01 0,06
P(R) 0,30 0,20 0,40 0,40
L . P(V) + La . P(R) 0,034 0,07 0,016 0,084
K 0,50 0,30 0,10 0,10
( ) ( )( ). .K L P V La P R+ 0,017 0,021 0,0016 0,0084
( ) ( ) ( )( ). . 0,048 por unidade vendidaretorno K L P V La P Rµ = + =∑
10. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 10
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 4
Dados x = número de bolos vendidos no dia
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0,01 1 0,05 x=2 0,20 3 0,30
4 0,29 x=5 0,15
P x P x P P x
P x P
= = = = = = =
= = =
Solução
X 0 1 2 3 4 5
P(x) 0,01 0,05 0,20 0,30 0,29 0,15
Custo 50 50 50 50 50 50
Receita 0 20 40 60 80 100
Lucro 50− 30− 10− 10 30 50
L.P(L) 0,5− 1,5− 2− 3 8,7 7,5
L2
2500 900 100 100 900 2500
L2
.P(L) 25 45 20 30 261 375
( ) ( )2
15,2 L 756LP L P LΣ = Σ =
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
= 15,2 L 756 15,2 524,96L LP L L E E Lµ σΣ = = − = − =
( ) 22,91Lσ =
11. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 11
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 5
Dados: L = lucro na venda do automóvel
Solução
Dia 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. 6ª.
Lucro 3.000 1.800 1.080 648 388,80
P(L) 0,5 0,3 0,1 0,05 0,05
L.P(L) 1.500 540 108 32,40 19,44
L2
9.000.000 3.240.000 1.666.400 419.904 151.165,44
L2
.P(L) 4.500.000 72.000 166.640 20.995,20 7.558,27
( ) ( ). 2.199,84L L P Lµ= =∑
( ) ( ) ( )
22 2 2
5.617.193,45 2.199,84 777.897,43L E L E Lσ = − = − =
( ) 881,98Lσ =
12. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 12
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 6
Dados: L = lucro no lançamento do produto
Solução
L 100.000 50.000− ∑
P(L) 0,8 0,2
L . P(L) 80.000 10.000− 70.000
L2
10.000.000.000 2.500.000.000
L2
. P(L) 8.000.000.000 500.000.000 8.500.000.000
( ) . ( ) 70.000L L P Lµ= =∑
( ) ( ) ( )
22 2 2
. 8.500.000.000 70.000 3.600.000.000L L P L L P Lσ = − = − =
( ) 60.000Lσ =
13. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 13
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 7
Dados: t = tempo de reparo do trem
Solução
t 5 15 ∑
P(t) 0,4 0,6
t . P(t) 2 9 11
( ) ( ). 11t t P tµ= =∑ minutos
14. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 14
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 7
Dados: v = vendas por visita
Solução
v 1.000 1.000 1.000 1.000 ∑
P(v) 0,8 0,8 0,8 0,8
v . P(v) 800 800 800 800 3.200
( ) ( ). 3.200v v P vµ= =∑
15. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 15
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 9
Dados: D = número de defeitos v = preço de venda
Solução
D 0 1 2 3 4 ∑
v 10 5 2,5 1,25 0,625
P(D) 0,9 0,05 0,03 0,01 0,01
v . P(v) 9 0,25 0,075 0,0125 0,00625 9,34
( ) ( ). 9,34v v P vµ= =∑
16. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 16
Item 1.6 Exercícios propostos
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.6 – Ex. 4
Dados: x = peso da caixa de papelão ( ) 200 gramasP x = ( ) 10 gramasxσ =
peso da unidade do produtoiy = ( ) ( )1.000 gramas 5 gramasy yµ σ= =
peso total da caixa cheiaz = i = 1,2,.....6
Solução
( ) ( ) ( ) ( )6 6 6 1.000 200 6.200 gramasi iz y x y xµ µ µ µ= + = + = × + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
6 36 36 25 100 1.000 gramasi iz y x y xσ σ σ σ= + = + = × + =
( ) 31,62 gramaszσ =
18. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 18
Item 2.2 Exercícios propostos
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.2 – Ex. 5
Dados: x = variável com distribuição de Bernoulli
2
( ) 0,24xσ = ( ) 0,5xµ >
Solução
2
( ) 0,24 1 1x p q p q q pσ = × = + = ⇒ = −
Substituindo: ( ) 2
1 0,24 ou 0,24 0 0,4 ou 0,6p p p p p p− = − + − = ⇒ = =
Como ( ) 0,5 , a solução é ( ) 0,6x p xµ µ= > =
19. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 19
Item 2.3 Exercícios propostos
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 3
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = valorizar ( ) 0,4P S =
F = desvalorizar ou ficar estável ( ) 0,6P F =
Solução
a) ( )10 0,0001 (Tabela ou função da tabela Excel com 10 e 0,4)P x n p= = = =
b) ( ) ( ) ( ) ( )8 8 9 10 0,123 (Tabela ou função da tabela Excel)P x P P P≥ = + + =
c) ( )0 0,06 (Tabela ou função da tabela Excel)P x= =
20. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 20
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 4
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = com defeito ( ) 0,30P S =
F = sem defeito ( ) 0,70 4P F n= =
Solução
a) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 0,3483 (Tabela ou função Excel)P x P x P x≥ =− =− ==
b) ( ) ( )1 2 0,3483P x P x> = ≥ =
21. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 21
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 5
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = defeito ( ) 0,02P S =
F = sem defeito ( ) 0,98 25P F n= =
Solução
( ) 2 2325
2 0,02 0,98 0,0754
2
P x
= = × × =
22. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 22
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 7
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = não comparecer ( ) 0,1P S =
F = comparecer ( ) 0,9 22P F n= =
Solução
a) ( )1 0,3392P x ≤ =
b) ( )3 0,2080P x= = (Tabela ou função Excel)
23. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 23
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 8
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = candidato experiente
F = candidato não experiente
Solução
Expectativa de não ocorrer candidato experiente: ( ) ( )
10010
0 1 0,9
0
P x p p
= = − =
⇒ ( )
10
1 0,9 0,0105p p− = ⇒ = .
Neste caso, ( ) 1 0,0105 0,9505P F q==− = .
24. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 24
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 9
Dados: x = variável com distribuição normal
S = um acidente por dia ( ) 0,25P S =
F = nenhum acidente por dia ( ) 0,75P F =
Lucro por atendimento = 350
Tempo parado para retificar = 6 dias Tempo parado para trocar = 1 dia
Solução
Expectativa de ganho em cinco dias = 0,25 350 5 437,50× × =
Diferença de custo caso use a retífica = 500,00
Portanto ele deve usar a retífica, pois a expectativa de ganho em cinco dias de trabalho
(usando a troca), não compensa a diferença de custo.
25. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 25
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 10
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = ser recebido ( ) 0,80 6P S n= =
Solução
a)
( ) ( ) ( ) ( )4 4 5 6
0,24576 0,393216 0,262144 0,9011
P x P x P x P x≥ = = + = + = =
= + + =
b) ( )6 0,2621P x= =
c) ( )0 0,0001P x= =
(Use Tabela ou DISTRIBINOM do programa Excel)
26. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 26
Exercício 12
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 12
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = cheque com problema ( ) 0,12P S =
F = cheque bom ( ) 0,88 10P F n= =
C = custo da mercadoria L = Lucro na venda
Solução
a) ( ) 0 1010
0 0,12 0,88 0,2785
0
P x
= = × × =
b) ( ) 5 05
5 5 0,12 0,88 0,000025
5
n P x
= = = × × =
c) 0,5 pago 0,3L C=
com problema
Cheque 0,12 0,5 não pago L C= −
0,88
bom 0,3L C=
dinheiro 0,3L C=
c1) aceitando pagamento com cheque
( ) ( )
( )
0,3 0,2 0,8 0,12 0,3 0,5 0,5 00 0,88 0,3
0,2376
E L C C C C
E L C
= × + × − + ×
=
C2) não aceitando cheque para pagamento
( ) 0,75 0,3 0,225E L C C= × =
Conclusão: A esperança de lucro no caso de aceitar pagamento com cheque é maior do que
ocorre quando o cheque não é aceito. O pagamento com cheque deve ser mantido.
27. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 27
Exercício 13
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 13
Dados : x = variável com distribuição binomial
S = cliente com depósito na fila
n = 9
Solução
P(S) = probabilidade de um cliente ter depósito a fazer e de não ter hábito de usar o caixa
automático para depósitos.
Portanto, ( ) 0,2 0,7 0,14P S = × =
( ) ( ) 0 99
1 1 0 1 0,14 0,86 0,7427
0
P x P x
≥ = − = = − × × =
28. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 28
Exercício 14
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 14
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = fazer pergunta ( ) 0,20P S =
30 minutos = tempo destinado a respostas
5 minutos = tempo para cada resposta
Solução
a) Ocorrer no máximo duas perguntas sem resposta, significa ocorrer no máximo oito
perguntas, pois a capacidade de respostas é de seis em 30 minutos.
( ) ( ) ( ) ( )8 0 1 ... 8 0,9532P x P x P x P x≤ = = + = + = =
b) ( )
6
0
6 0,2 0,8 0,9i n i
i
n
P x
i
−
=
≤ = × × =
∑
O número máximo é de 20 pessoas (Acompanhe na tabela ou simule na função
DISTRIBINOM do Excel, com Núm_s = 6, Tentativas = simular, Probabilidade_s=0,20,
cumulativo =verdadeiro ).
29. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 29
Exercício 15
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Exercícios propostos Ex. 15
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = completar a ligação ( ) 0,70P S = n = 3
Solução
10 1: vai telefonar
3 5 0,5 2: não vai telefonar
1 0,973 6 0,5 20 3: completa a ligação
4 0,027 4: não completa
2 5 15 5: ônibus espera
0,5 6: não espera
6 0,5
25
Obs. A probabilidade de o ônibus esperar é 0,50, pois não temos nenhuma informação a
respeito deste fato.
A probabilidade de a garota completar a ligação é:
( ) ( )1 1 0 1 0,027 0,973P x P x≥ = − = = − = (veja Tabela ou DISTRIBINOM do Excel)
Calculando-se com auxílio da árvore de decisão a expectativa de custo caso ela vá telefonar,
obtemos:
( ) ( )10 20 0,5 0,973 15 25 0,5 0,027 15,135+ × × + + × × =
Caso ela não vá telefonar, o custo é 15, menor que no caso anterior.
Conclusão: não deve ir telefonar
30. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 30
Item 2.4 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.4 – Exercícios propostos Ex. 1
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = carro roubado ( ) 0,035 100P S n= =
Solução
a) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + =+ = .
Como 30 e 0,05n p> < , usaremos a aproximação de Poisson.
3,5λ = roubos para 100 carros
( )
3,5 0
3,5
0 0,0302
0!
e
P x
−
×
= = =
( )
3,5 1
3,5
1 0,105
1!
e
P x
−
×
= = =
( )
3,5 2
3,5
2 0,0,1850
2!
e
P x
−
×
= = =
Portanto, ( )2 0,3209P x ≤ =
b) Prejuízo equivale a mais de 10 carros roubados.
( )10 0,001P x > = ( Tabela ou DISTRBINOM do Excel)
31. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 31
Item 3.7 Exercícios propostos
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 3.7 – Exercícios propostos Ex. 9
Dados: ( )Cov , 0,02x y = −
x y 2 3
4 a 0,2
5 0,3 b
Solução
x y 2 3 ( )iP x n=
4 a 0,2 0,2 a+
5 0,3 b 0,3 b+
( )jP y y= 0,3 a+ 0,2 b+
1) 0,2 0,3 1 0,5 ou 0,5a b a b b a+ + + = ⇒ + = = −
( ) ( ) ( )4 0,2 5 0,3E x a b= × + + × + . Como ( )0,5 então, E 4,8b a x a=− =−
( ) ( ) ( )2 0,3 3 0,2E y a b= × + + × + . Como ( )0,5 então, E 2,7b a y a=− =−
2) ( ) 8 15 5,4E x y a b= + + . Como ( )0,5 então, E 12,9 7b a x y a= − =−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), 7 15 5,4 4,8 2,7 0,02Cov x y E x y E x E y a b a a= − = + + − − − =−
Então,
2
0,5 0,06 0,02 0,1 0,4 ou 0,4 0,1a a a e b a e b+ − =− ⇒ = = = =
.x y 8 10 12 15
( )P x y a 0,3 0,2 b
( )x y P x y⋅ 8 a 3 2,4 15 b
32. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 32
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 3.7 – Exercícios propostos Ex. 10
Dados: ( , ) 0,344x yσ = −
Solução
x
y
1 3 5 ( )iP x x=
2 0,1 a 0,3 0,4 a+
4 0,2 b 0,1 0,3 b+
( )jP y y= 0,3 a b+ 0,4
Do quadro, 0,7 1 0,3a b b a+ + = ⇒ = − . Mas ( )
( ),
, 0,344
( ) ( )
Cov x y
x y
x y
ρ
σ σ
= = −
x y⋅ 2 4 6 12 10 20 ∑
( )x yσ ⋅ 0,1 0,2 a b 0,3 0,1
x y⋅ ( )x yσ⋅ ⋅ 0,2 0,8 6a 12b 3 2 6 12 6a b+ +
( )6 12 6 6 12 0,3 6 9,6 6a b a a a+ + = + − + = −
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 0,4 4 0,3 0,3 3,2 2
0,3 3 0,3 5 0,4 3,2
, 9,6 6 3,2 2 3,2 0,4 0,64
E x a a a
E y
Cov x y a a a
= × + + × + − = −
= + × + × =
= − − − × = −
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
22 2
2 2
2
22
2
( ) 4 0,4 16 0,6 3,2 2 4 0,8 0,96
( ) 0,3 9 0,3 2,5 0,4 3,2 2,76
0,4 0,64
( , ) 0,344
0,4 0,8 0,96 2,76
x a a a a a
y
a
x y
a a
σ
σ
σ
=× + + × − − − =− + +
= + × + × − =
−
= = −
− + + ×
Assim, 2
0,4664282 0,7732858 0,096578 0 0,32 ou 0,20a a a a− + = ⇒ = =
Como 0,3b a= − , a solução é 0,20 e 0,10a b= =
x
y
1 3 5
2 0,1 a 0,3
4 0,2 b 0,1
33. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 33
Item 5.4 Exercícios propostos
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.4 – Exercícios propostos Ex. 10
Dados: x = variável com distribuição normal
( ) ( )60 0,05 45 0,15P x P x> = < =
Solução
1) ( ) ( ) ( )60 0,5 60 0,05 60 0,45P x P x P xµ µ> = − < < = ⇒ < < =
Desta forma,
60
1,64
µ
σ
−
= (veja Tabela)
2) ( ) ( ) ( )45 0,5 45 =0,15 45 0,35P x P x P xµ µ< = − < < ⇒ < < =
Assim também,
45
1,04
µ
σ
−
= − (veja Tabela)
De 1 e 2 vem: 1,64 60 e 1,04 45σ µ σ µ+= − +=
2,68 15 =5,597σ σ= ⇒ e 50,82µ =
Portanto ( ): 50,82 ; 31,33x N
34. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 34
Item 5.5 Exercícios propostos
Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 2
Dados: ( ) ( )1 2500 ; 4 5 ; 0,25x N x N= =
Solução
a) 1 2x x x= + 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 500 5 505x x x x xµ µ µ µ= + = + = + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 2 4 0,25 4,25x x x x xσ σ σ σ= + = + =+ = , visto que x1 e x2 são
independentes.
Assim, ( ) 2,06xσ = e ( ): 505 ; 4,25x N
b) ( ) ( )501 0,5 501 505P x P x< = − < <
501 505
1,94
2,06
z
−
= = − de onde, ( )501 0,5 0,4738 0,0262P x < = − =
35. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 35
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 3
Dados: ( ) ( )1 2230 ; 9 30 ; 25x N x N= =
Solução
1 220x x x= +
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
( ) (20 ) 20 ( ) ( ) 20 230 30 4.630
20 400 400 9 25 3.625
x x x x x
x x x x
µ µ µ µ
σ σ σ
= + = + = × + =
+ = + = × + =
Portanto, ( ) ( )60,21 e : 4.630 ; 3.625x x Nσ = .
( ) ( )4.660 0,5 4.630 4.660 0,5 0,1915 0,3085P x P x> = − < < = − = (veja Tabela)
36. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 36
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 4
Dados: ( )1 : 70 ; 225x N
Solução
Carga: 110x x=
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2 2
1 1
( ) (10 ) 10 ( ) 10 70 700
10 100 100 225 22.500 x 150
x x x
x x x
µ µ µ
σ σ σ σ
= = = ×=
= = = × = ⇒ =
Assim, ( ): 700 ; 22.500x N
a) ( ) ( )
880 700
880 0,5 700 880 1,20
150
P x P x z
−
> = − < < = =
( )880 0,5 0,3849 0,1151P x > = − = (veja Tabela)
b) ( )
700
0,0002 (veja bela) 3,48 ou 1.222 Kg
150
a
P x a a
−
> = ⇒ = =
37. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 37
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 5
Dados: ( ) ( )1 2: 60 ; 25 : 26 ;16x N x N
Solução
Lucro ( )1 21.000L x x= = −
( )1 2 1 2( ) (1.000 1.000 ) 1.000 ( ) 1.000 ( ) 1000 60 26 34.000L x x x xµ µ µ µ= − = − = − =
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2
1 2 1 21.000 1.000 1.000 41.000.000L x x x xσ σ σ σ= − = + =
( ) 6.403,12Lσ =
a) 25,5% ( ) 0,255 60.000 15.300de vendasµ = × =
( ) ( ) ( )15.300 0,5 15.300 34.000 0,5 0 3,28 0,9982P L P L P z> = + < < = + < < =
b) 50% do custo = 0,5 26.000 13.000× =
( ) ( ) ( )13.000 0,5 13.000 34.000 0,5 0 3,28 0,9995P L P L P z> = + < < = + < < =
c) ( ) ( ) ( )0 0,5 0 34.000 0,5 0 5,31 0P L P L P z< = − < < = − < < =
38. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 38
Item 5.6 Exercícios propostos
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Exercícios propostos Ex. 4
Dados: S = completar a ligação na primeira tentativa
( ) 0,6P S = 42n =
Solução
Cálculo do número mínimo de sucessos: ( )1,5 3 42 90 24x x x+ − = ⇒ =
Portanto 24 ligações do tipo S e 18 ligações do tipo F completam 90 minutos.
a) ( ) ( ) ( )90min 24 24,5 , para usar a normal para aproximarP t P x P x≥ = ≤ ≅ < .
No caso, ( ) ( ): 0,6 42 ; 0,6 0,4 42 : 25,2 ;10,08N N× × × =
24,5 25,2
0,22
10,08
z
−
= = −
( )90min 0.5 0,0851 0,4149P t ≥ =− = (veja Tabela)
b) ( ) ( ) ( )120min 4 pois 1,5 3 42 120 4P t P x x x x= = = + − = ⇒ =
( ) 4 3842
4 0,6 0,4 0 ou pela normal
4
P x
= = × × =
( ) ( ) ( )4 3,5 4,5 6,8 6,5 0P x P x P z= = < < = − < < − =
39. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 39
Exercício 1 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 1
Dados: x = variável com distribuição binomial, conta o número de faróis fechados
S = encontrar farol fechado n = 4 ( ) 0,75P S =
Solução
Av 1 Av 2 Av 3 Av 4 Av 5
Posição às 9:50
Solução:
a) Para que o tempo empregado seja no máximo 10 minutos, ele deverá
encontrar, no máximo, dois faróis fechados.
( ) ( )10min 2 0,2617 (ver Tabela binomial ou
DISTRBINOM do Excel)
P t P x≤ = ≤ =
b) ( ) ( ) ( ) ( )10 13 2 2 3 0,4219 idemP t P x P x P x< < = > − ≤ = = =
40. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 40
Exercício 2 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 2
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = ser imediatamente atendido
( ) 0,20 80P S n= =
Solução
a) ( ) 0,2 80 16xµ = × =
( )2
0,20 0,80 80 12,8xσ × × = ( ) 3,58xσ =
b)
( )0,25 80 16
0,20
80
× −
=
41. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 41
Exercício 4 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 4
Dados:
x =número de carros que chegam em 4 horas ( variável com distribuição Poisson)
8 clientes 4 horasλ =
Solução
a) 3 carros na fila requer 11 chegadas ( )11 0,184P x ≥ = (Tabela ou função
Poisson no Excel)
b) ( )
8
. 8
, 0,85 0,85
!
x
e
P x
x
λ
−
= ⇒ =∑
c) Na tabela ou na Poisson do Excel
( )
( )
10 0,8159
11 0,8892
P x
P x
≤ =
≤ =
Para garantir o atendimento, tenho que pensar em 11 carros. Serão 10 carros
atendidos e um carro na fila de espera.
Portanto,
4 60 minutos
24 minutos por carro
10 carros
t
×
= =
42. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 42
Exercício 5 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 5
Dados: x = variável com distribuição de Poisson
1 defeito 80 metrosλ =
Solução
a) x = mede o número de defeitos em 520 metros da bobina.
520
6,5 defeitos para 520 m do plástico
80
λ= =
( )5 =0,3691P x ≤ (Tabela ou Poisson do Excel)
b) ( ) ( )
0
.
0 0,99 0,99 ln 0,99
0!
e
P x e
λ
λλ
λ
−
−
== = ⇒ = ⇒ =−
0,01λ = defeitos para cada 500 m, ou seja, 1 defeito para cada 50.000 m.
43. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 43
Exercício 7 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 7
Dados: x = quantidade de nutriente na mistura
x i = quantidade de nutriente nos ingredientes, i = 1, 2, 3.
Solução
a) Ingredientes na mesma proporção: 1 2 3
1 1 1
3 3 3
x x x x= + + .
1 2 3
1 1 1 200 150 100
( ) ( ) 150 por Kg
3 3 3 3
x x x x gµ µ
+ +
= + + = =
( ) ( )2 2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1
12 6 10 31,11
3 3 3 9
x x x xσ σ
= + + = + + =
( ) 5,58 g por Kgxσ =
b) Ingredientes na proporção de 2:3:5: 1 2 32 3 5
10
x x x
x
+ +
=
1 2 32 3 5 2 200 3 150 5 100
( ) ( ) 135 g por Kg
10 10
x x x
xµ µ
+ + × + × + ×
= = =
( )2 2 1 2 32 3 5 4 144 9 36 25 100
34
10 100
x x x
xσ σ
+ + × + × + ×
= = =
( ) 5,83 g por Kgxσ =
44. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 44
Exercício 8 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 8
Dados: x = quantidade de nutriente na mistura
x i = quantidade de nutriente nos ingredientes, i = 1, 2, 3.
Solução
X i 200 150 100
( )iP x P1 0,5 –P1 0,5
( ) ( ) ( )1 1200 150 0,5 50 140i ii
E x x P x P P= ⋅ = + − + =∑
1 150 15 P 0,30P = ⇒ = e 2 0,20P =
As proporções são: 3:2:5.
45. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 45
Exercício 9 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 9
Dados: x1= número de defeitos da primeira máquina
( )
1
1
( ) 2 defeitos para 1.000 m
x 0,4
xµ
s
=
=
X2= número de defeitos da segunda máquina
( )
2
2
( ) 3 defeitos para 1.000 m
x 0,5
xµ
s
=
=
Solução
Número de defeitos para rolo de 400 m (200 m cada máquina): 1 20,2 0,2x x x= +
1 2( ) (0,2 0,2 ) 0,2 2 0,2 3 1 defeito por rolo de 400 mx x xµ µ= + = × + × =
( )2 2 2
1 20,2 0,2 0,04 0,4 0,04 0,5 0,0164x xs + = × + × =
( ) 0,128 defeitos por rolo de 400 mxs =
46. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 46
Exercício 10 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 10
Dados: x1= número de defeitos da primeira máquina ( )
1
1
( ) 2 defeitos para 1.000 m
x 0,4
xµ
σ
=
=
X2= número de defeitos da segunda máquina ( )
2
2
( ) 3 defeitos para 1.000 m
x 0,5
xµ
σ
=
=
Solução
a) Pior especificação: x = 0,4x2
2( ) (0,4 ) 0,4 3 1,2 defeitos por rolo de 400 mx xµ µ= = × =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
2
1 2
1 2
2 2 2 2
1 2
0,4 0,4 0,5 0,04 x 0,2 def rolo de 400m
) Especificação: 0,7 0,4 0,3 0,4
( ) (0,7 0,4 0,3 0,4 ) 0,28 2 0,12 3 0,92 def rolo de 400 m
0,7 0,4 0,3 0,4 0,28 0,16 0,12 0,25
x x
b x x x
x x x
x x x
σ σ σ
µ µ
σ σ
= = × = =
= +
= + = × + ×=
= + = × + × =
( )
0,016
def0,13
rolo de 400 m
xσ =
47. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 47
Exercício 14 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 14
Dados: x =número de peixes fisgados em um dia (variável com distribuição de Poisson).
( ) 7 peixes por diaxµ λ= =
Solução
( ) ( ) ( )não cumprir 12 1 12 1 0,0532 0,9468P P x P x= < =− ≥ =− = (Tabela ou Excel)
48. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 48
Exercício 17 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 17
Dados: x = número de crianças com mais de 5 cáries
X = variável com distribuição de Poisson com
( ) 10xµ λ= = crianças com mais de 5 cáries cada 100 crianças
Solução
( )5 0,067P x ≤ = (Tabela ou função Poisson do Excel)
49. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 49
Exercício 21 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 21
Dados: D = depósito efetuado
D: N (8.000 ; 1.0002
)
Solução
a) ( ) ( )
10.000 8.000
10.000 2
1.000
P saldo positivo P D z
−
=≥ = =
( ) ( )10.000 2 0,0228P D P z≥ = > = (veja Tabela ou DIST.NORM do Excel)
b) ( ) ( )
5.000 8.000
débito máximo de 5.000 5.000 3
1.000
P P D z
−
=≥ = =−
( ) ( )5.000 3 0,9986P D P z≥ = > −=
50. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 50
Exercício 22 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 22
Dados: x = mede o número de chamadas recebidas pela empresa
X = variável com distribuição de Poisson
50
( ) 12 10 ligações por 12 minutos
60
xµ λ= = × =
Solução
( )12 0,3033P x ≥ = (veja Tabela ou função POISSON no Excel)
51. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 51
Exercício 23 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 23
Dados: ( ): 25 ;12x N mede a valorização do terreno em %.
( ): 20 ; 4y N mede a valorização do investimento no mercado financeiro em %.
Solução
( ) ( )16 0 2,60 0,5 0,4953 0,5 0,9953P x P z≥ = < < + = + =
( ) ( )16 0 2 0,5 0,4772 0,5 0,9772P y P z≥ = < < + = + =
Nas condições apresentadas, o investimento em terreno é o preferido.
52. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 52
Exercício 24 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 24
Dados: x = variável normal, representa as vendas por número do calçado, com ( ) 39xµ = .
Solução
Cálculo de ( )xσ para as condições do problema. Para 95% da área sob a curva normal,
devemos ter 1,96z = . Como x assume valores inteiros, devemos ter:
( )
( )
42,5 39
1,96 1,785x
x
σ
σ
−
= ⇒ = . Então, ( )2
: 39 ;1,785x N .
Considerando uma área de 70% sob a curva normal, teremos:
35% 1,04z⇒ = . Desta forma, 2
2
39
1,04 o que acarreta 40,85
1,785
x
x
−
= =
35% 1,04z⇒ =− . Desta forma, 1
1
39
1,04 o que acarreta 37,15
1,785
x
x
−
= − =.
Hipóteses para 70% de área, preservando os calçados com números mais vendidos:
1) De 36,5 a 40,5. Área 71,87%. Abandonar calçados de números 36, 41, 42.
2) De 37,5 a 40,5. Área 60%. Inviável
3) De 37,5 a 41,5. Área de 71,87%. Abandonar calçados de números 36, 37, 42.
As hipóteses 1 e 3 são soluções para o problema.
53. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 53
Exercício 26 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 26
Dados: x = representa a medida do molde.
( )2
( ) ; 0,2x N xµ=
Solução
Devemos procurar a média do molde para que 10% das peças moldadas fique acima de
30,5 Cm.
30,5 ( )
10% 1,28 ou 1,28 ( ) 30,244
0,2
x
z x
µ
µ
−
⇒ = = ⇒ =
Assim, o número de peças fundidas deve ser dado por:
30,244 30
61 peças
0,004
n
−
= = .
54. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 54
Exercício 27 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 27
Dados: vr = velocidade real do carro.
Vl = velocidade mostrada no velocímetro
Solução
Como o velocímetro marca velocidade ( vv) 5% a menos que a velocidade real vr,devemos ter:
0,95vl vr= ou
0,95
vl
vr = . Na marca de 98 km/h no velocímetro teremos
98
0,95
vr = .
Assim,
2
; 2
0,95
vl
vr N
=
e no caso, 298
; 2
0,95
vr N
=
98
100
0,95
1,58
2
z
−
= =
( ) ( )100 0,5 0 1,58 0,5 0,3413 0,9429P v P z> = + < < = + =
55. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 55
Exercício 30 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 30
Dados: A primeira opção é formada por 3 trechos com tempos de percurso normais:
( ) ( ) ( )1: 1,5 ; 0,25 2 : 2,0 ; 0,16 3: 0,5 ; 0,01T N T N T N
A segunda opção é formada por 4 trechos com tempos de percurso normais:
( ) ( ) ( ) ( )1: 1,0 ; 0,09 2 : 1,0 ; 0,04 3: 1,0 ; 0,16 4 : 1,0 ; 0,10T N T N T N T N
Solução
A soma das normais que formam o primeiro trecho ( )1 2 3: 4 ; 0,42T T T N+ +
A soma das normais que formam o segundo trecho ( )1 2 3 4 : 4 ; 0,39T T T T N+ + +
As opções apresentam a mesma média de 4 horas. Como a segunda opção apresenta menor
variabilidade, é a mais confiável.
56. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 56
Item 6.6 Exercícios propostos
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 6.6 – Ex. 5
Solução
Consultando a Tabela para n = 8 graus de liberdade, encontramos o valor 17,53
associado à probabilidade 0,025.
Portanto, ( )2
17,53 1 0,025 0,975P χ ≤ =− =
No Excel a função DIST.QU com os parâmetros X: 17,53 e GRAUS_LIBERDADE: 8,
fornece ( )2
17,53 0,025P χ ≥ =
57. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 57
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 6.6 – Ex. 6
Solução
Consultando a Tabela para n = 25 graus de liberdade, obtemos na coluna 0,975 o valor
1 13,12K = e na coluna 0,025 o valor 2 40,65K =
No Excel a função INV.QUI fornece os valores com Probabilidade: 0,975 e 0,025 e
GRAUS_LIBERDADE: 25
58. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 58
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 6.6 – Ex. 8
Solução
Consultando a Tabela para n = 10 graus de liberdade o valor 3,94, obtemos 0,950.
Portanto ( )2
,94 0,95P χ = . Consultando o valor 20,48 obtemos 0,025. Portanto
( )2
20,48 0,025P χ > =.
Assim, ( )2
3,94 20,48 0,95 0,025 0,925P χ< < = − =
59. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 59
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 6.6 – Ex. 10
Solução
Consultando a Tabela da variável normal padrão o valor ( ) 0,40,P z k< = obtemos o
valor 1,28z = . Portanto, ( )1,28 . 0,10P z > =.
Substituindo na fórmula de
2
χ , obtém-se:
( )
2
2
1,28 2 40 1
51,696
2
χ
+ × −
= = .
60. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 60
Item 7.2 Exercícios propostos
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.2 – Ex. 4
Dados: x tem distribuição de Poisson com média ( ) 5xµ =
Amostra com 100n = elementos.
Solução
Como ( ) ( )2
( ) 5 5 ou seja, 5x x xµ σ σ=⇒ = =
Assim,
( ) 5x xµ = =
e
( )
5
100
xσ =
Fazendo a aproximação da distribuição de Poisson pela distribuição normal:
5,5 5
2,24
5
100
z
−
= = .
Procurando na distribuição normal padrão o valor 2,24z = obtém-se 0,4875.
Portanto, ( ) ( )6 0,5 6 0,5 0,4875 0,0125P x P x≥ = − ≤ = − =
61. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 61
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.2 – Ex. 5
Dados: x = variável com distribuição normal, mede o rendimento dos títulos em uma
carteira
de investimentos.
( )( ) 0,10 0,02x xµ σ= = Retirada amostra de 40 elementos (n = 40)
Solução
A distribuição amostral das médias de 40 elementos tem:
( ) ( ) 0,10x xµ µ= = e ( )
( ) 0,02
0,00316
40 40
x
x
σ
σ= = =
Queremos avaliar ( )0,09P x > . Neste caso
0,09 0,10
3,16
0,02
40
z
−
= = −
Consultado a Tabela obtemos ( )0,09 0,4992 0,5 0,9992P x > = + =
(na função DIST.NORMAL do Excel com os parâmetros X: 0,09; Média: 0,10;
Desv_Padrão:0,0316 e Cumulativo: Verdadeiro, obtemos ( )0,09 0,0008P x < = )
62. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 62
Item 7.3 Exercícios propostos
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.3 – Ex. 6
Dados: x = variável com distribuição normal
Amostra com ( ) 2xσ = :
Classes Int classe fi
1 5 7 3
2 7 9 7
3 9 11 10
4 11 13 8
5 13 15 7
6 15 17 5
Solução
448
11,20
40
i i
i
x f
x
f
= = =
∑
∑
( ) ( )
2 2
( ) 1
x x
P x z x x z
n n
α α
σ σ
µ α
− < < + = −
2 2
11,20 2,05 ( ) 11,20 2,05 0,96
40 40
P xµ
− < < − =
( )10,55 ( ) 11,85 0,96P xµ< < =
63. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 63
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.3 – Ex. 8
Dados: Amostra: n = 100; 2,40x = ; ( ) ( )2
0,16; 0,4x xσ σ= = ; 1 0,90α− =
Solução
1 0,90 1,64zα−= ⇒ =
( ) ( )
2 2
( ) 1
x x
P x z x x z
n n
α α
σ σ
µ α
− < < + = −
0,4 0,4
2,40 1,64 ( ) 2,40 1,64 0,90
100 100
P xµ
− < < + =
( ) ( )2,33 ( ) 2,47 0,90P x P xµ< < = =
64. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 64
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.3 – Ex. 9
Dados: Amostra: n = 100; 2,40x = ; ( ) ( )2
0,16; 0,4x xσ σ= = ; 1 0,80α− =
Solução
( ) ( )
2 2
( ) 0,80
x x
P x z x x z
n n
α α
σ σ
µ
− < < + =
1 0,80 1,28zα−= ⇒ =
0,4 0,4
2,40 1,28 ( ) 2,40 1,28 0,80
100 100
P xµ
− < < + =
( )2,35 ( ) 2,45 0,80P xµ< < =
Conclusão: O preço máximo deve ser menor que 2,35 um/Kg
65. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 65
Item 7.4 Exercícios propostos
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.4 – Ex. 5
Dados: População: N=40 máquinas. Amostra: n=5 máquinas
( )4 0,15 4 0,6x xσ= = × = 1 0,98α− =
Solução
Como a amostra representa mais de 5% da população, devemos usar o fator de
correção
( ) ( )
2 2
( ) 1
1 1
x xN n N n
P x z x x z
N Nn n
α α
σ σ
µ α
− −
− < < + = − − −
1 0,98 2,33zα−= ⇒ =
0,6 40 5 0,6 40 5
4 2,33 ( ) 4 2,33 0,98
40 1 40 15 5
P xµ
− −
− < < + = − −
( )3,41 ( ) 4,59 0,98P xµ< < =
a) A previsão mínima para o tempo de concerto é de 3,41 h e a previsão máxima é
de 4,59 h.
b) Estimativa pontual: 4 40 160× = h
66. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 66
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.4 – Ex. 8
Dados: População: 80 unidades Amostra: 10 unidades
120 .x u m= 1 0,95α− =
( ) 20 . .x u mσ =
Solução
Como a amostra representa mais de 5% da população devemos usar o fator de
correção.
Erro padrão de estimativa:
( )
2
1
x N n
e z
Nn
α
σ −
=
−
1 0,95α− = 1,96z =
20 80 10
1,96 11,67
80 110
e
−
= =
−
( )120 11,67 ( ) 120 11,67 0,95P xµ− < < + =
( )108,33 ( ) 131,67 0,95P xµ< < =
Se ele pode pagar no máximo 3% do valor dos títulos, com 95% de confiança ele pode
pagar entre 3% de 108,33 = 3,25 e 3% de 131,67=3,95
a) Sim, pode pagar 3,00
b) Não, pois não pode pagar mais que 3,95
67. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 67
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.4 – Ex. 9
Dados: x = variável normal, mede o tempo de emissão da nota fiscal
População: 100 NF Amostra: 40 NF com 20 minx =
Vamos considerar ( ) 0,30 20 6 minxσ = × ≅ .
Solução
Como a amostra representa mais de 5% da população, devemos aplicar o fator de
correção. Dado 1 0,95α− = , temos
2
1,96zα = . Neste caso, o erro padrão de
estimativa é:
( )
2
6 100 40
1,96 1,45
1 100 140
x N n
e z
Nn
α
σ − −
= = =
− −
( ) ( )20 1,45 ( ) 20 1,45 18,55 ( ) 21,45 0,95P x P xµ µ− < < + = < < =
O tempo médio mínimo para preenchimento manual é de 18,55 min, contra o tempo
do computador de 12 min.
O ganho será, portanto
18,55 12
0,3531
18,55
t
G
t
∆ −
= = = ou 35,31%.
68. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 68
Item 7.6 Exercícios propostos
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.6 – Ex. 9
Dados: x = variável normal, mede o preço de venda do produto.
Amostra: 40 elementos com 26x = e ( ) 2s x = .
Solução
Para 1 0,90α− = , 0,10; 39 1,68t = . O erro padrão de estimativa é:
( )
0,10; 39
2
1,68 0,53
40
s x
e t
n
= = = .
Portanto, ( ) ( )26 0,53 ( ) 26 0,53 25,47 ( ) 26,53 0,90P x P xµ µ− < < + = < < = .
Como 50% de 25,47 é 12,73, o custo máximo para garantir certamente a viabilidade é
de 12,73 u.m.
69. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 69
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.6 – Ex. 10
Dados: x = variável normal, mede o tempo gasto na visita ao cliente
Y = variável normal, mede a venda por cliente visitado
Amostra com 10 elementos de uma população com 65 elementos fornece:
90 s( ) 13x x= = ( )650 100y s y= =
Solução
Intervalo de confiança de 80% para o tempo médio de visita:
0,1:9 0,1:9
13 65 10 13 65 10
90 ( ) 90 0,80
65 1 65 110 10
P t x tµ
− −
− < < + = − −
( )84,74 ( ) 95,26 0,80P xµ< < =
Intervalo de confiança de 80% para a Vanda média por cliente:
0,1:9 0,1:9
100 65 10 100 65 10
650 ( ) 650 0,80
65 1 65 110 10
P t x tµ
− −
− < < + = − −
( )609,55 ( ) 690,45 0,80P yµ< < =
Número de clientes visitados por mês na previsão otimista:
80 60
57
84,74
×
=
Receita no mês com a previsão otimista: 57 690,45 39.355,65× =
Comissão no mês neste caso: 4% 39.355,65 1.574,23de =
70. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 70
Item 7.7 Exercícios propostos
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.7 – Ex. 3
Dados: x = variável normal População: N = 100 elementos ( ) 4xσ =
Erro padrão de estimativa máximo admitido: 2e =
Nível de confiança: 1 0,98α− =
Solução
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2,33 4 100
18
1 2 100 1 2,33 4
z x N
n
e N z x
α
α
σ
σ
× ×
= = =
− + − + ×
71. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 71
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.7 – Ex. 10
Dados: x = variável normal, mede o rentabilidade de empresas de uma indústria
Amostra de n = 10 elementos fornece: ( )0,05 0,016x s x= =
Erro máximo permitido: 0,01e = Nível de confiança: 1 0,95α− =
Solução
( )
2
2
2 2,26 0,016
13,075 ou 14 elementos
0,01
t s x
n
e
α ×
×
= = =
72. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 72
Item 7.8 Exercícios propostos
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.8 – Ex. 6
Dados: x = variável binomial. S = mulher. Amostra de n = 100 elementos forneceu:
ˆ 0,40p = .
Nível de confiança 1 0,98α− = .
Solução
Para
2
1 0,98 devemos ter 2,33zαα− = = .
a)
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ 1
pq pq
P p z p p z
n n
α α α
− < < − = −
0,4 0,6 0,4 0,6
0,4 2,33 0,4 2,33 0,98
100 100
P p
× ×
− < < + =
( )0,2859 0,5141 0,98P p< < =
b) Não. A proporção pode ser maior que 50%.
73. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 73
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.8 – Ex. 8
Dados: x = variável binomial. S = bóia com defeito
Amostra de n = 50 bóias de população de N = 2.000 bóias:
Nível de significância: 0,04α =
Solução
Como a proporção de elementos da amostra
50
0,025 0,05
2.000
n
N
= = < , não
usaremos o fator de correção.
2
ˆ 0,04
50
p= = e 0,02
2
2,05z zα= =
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ 1
pq pq
P p z p p z
n n
α α α
− < < + = −
0,04 0,96 0,04 0,96
0,04 2,05 0,04 2,05 0,96
50 50
P p
× ×
− < < + =
( ) ( )0,0168 0,0968 0,96 ou 0 0,0968 0,96P p P p− < < = < < =
74. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 74
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.8 – Ex. 9
Dados: x = variável binomial
Intervalo de confiança para a proporção de bóias defeituosas ao nível de
confiança de 96%: ( )0 0,0968 0,96P p< < =
Lucro por bóia vendida: 5 u.m.
Prejuízo por bóia vendida com defeito: 3.u.m
Solução
Valor esperado do lucro por bóia na pior hipótese, isto é, assumindo a proporção de
defeituosas de 0,0968.
3−
0,0968 3 0,0968 5 0,9032 4,2256− × + × =
0,9032
5
Portanto, o lucro esperado para o lote na visão pessimista é:
2.000 4,2256 8.451,20× = u.m. o que supera a meta de 8.000 u.m.
75. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 75
Item 7.9 Exercícios propostos
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.9 – Ex. 3
Dados: x = variável binomial. S = escolha da embalagem E2.
Amostra de n = 100 elementos forneceu ˆ 0,42p = .
Nível de confiança: 1 0,96α− =
Erro máximo admitido: e = 0,06.
Solução
0,02
2
1 0,96 2,05z zαα− = ⇒ = =
2
2
2
2 2
ˆ ˆ
2,05 0,42 0,58
284,37
0,06
z pq
n
e
α
× × = = = ou n = 285 elementos
.
76. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 76
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.9 – Ex. 4
Dados: x = variável binomial. S = escolha da embalagem E2.
Amostra de n = 100 elementos forneceu ˆ 0,42p = .
Nível de confiança: 1 0,96α− =
Erro máximo admitido: e = 0,06.
Solução
Para o nível de confiança 1 0,96α− = , 0,02
2
2,05z zα= = .
Se não há confiança no resultado do levantamento feito, devemos usar a proporção ˆ 0,50p =
(o que significa sem informação a respeito da proporção de sucessos e, em consequência a
maior amostra para o nível de significância adotado).
2
2
2
2 2
ˆ ˆ
2,05 0,50 0,50
291,84
0,06
z pq
n
e
α
× × = = = ou n = 292 elementos.
.
77. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 77
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.9 – Ex. 7
Dados: x = variável binomial. S = indivíduo com sangue tipo O+
.
Amostra de n = 50 elementos forneceu ˆ 0,32p = .
Nível de confiança: 1 0,96α− =
Erro máximo admitido: e = 0,03.
Solução
Para o nível de confiança de 0,96 teremos 0,02
2
2,05z zα= = .
Como a amostra representa
50
0,083 0,05
600
= > dos elementos da população,
devemos usar o fator de correção.
( ) ( )
2
2
2
2 2 2
2
ˆ ˆ
2,05 0,32 0,38 600
377,47
ˆ ˆ1 0,03 600 1 2,05 0,32 0,68
z pqN
n
e N z pq
α
α
× × × = = =
− + − + × ×
, ou seja 378
elementos.
.
78. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 78
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.9 – Ex. 8
Dados: x = variável Binomial. S = sair face 5 no lançamento do dado
Amostra de n = 10 elementos forneceu a proporção de sucessos :
2
ˆ 0,20
10
p= = . Nível de confiança: 1 0,90α− = .
Erro máximo permitido 0,02e = .
Solução
Para 1 0,90α− = devemos ter 0,05
2
1,64z zα= = .
2
2
2
2 2
ˆ ˆ
1,64 0,2 0,8
1075,84
0,02
z pq
n
e
α
× × = = = ou seja n = 1.076 elementos.
79. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 79
Item 7.10 Exercícios propostos
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.10 – Ex. 5
Dados:
x1 = variável normal. Amostra de n1 = 30 elementos forneceu:
( )1 140 2,3x s x= =
x2 = variável normal. Amostra de n2 = 30 elementos forneceu:
( )2 250 4,2x s x= =
Nível de confiança: 0,05
2
1 0,90 t 1,68tαα− = ⇒ = = .
Solução
Temos que calcular o número de graus de liberdade
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
2,3 4,2
30 30
2 2 46,06
2,3 4,2
30 30
30 1 30 11 1
s s
n n
GL
s s
n n
n n
+ +
= − = − =
++
+ ++ +
ou GL = 46
Erro padrão:
2 2
1 2
1 22
s s
e z
n n
α= + =
2 2
2,3 4,2
1,68 1,47
30 30
+ =
( ) ( )( )
( )
1 2
1 2
50 40 1,47 ( ) ( ) 50 40 1,47 0,90
8,53 ( ) ( ) 11,47 0,90
P x x
P x x
µ µ
µ µ
− − < − < − + =
< − < =
80. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 80
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.10 – Ex. 6
Dados:
x1 = variável normal. Amostra de n1 = 20 elementos forneceu: ( )1 11.000 5x s x= =
x2 = variável normal. Amostra de n2 = 20 elementos forneceu: ( )2 2120 3x s x= =
Nível de confiança: 1 0,95α− = .
Solução
Temos que calcular o número de graus de liberdade da distribuição t:
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
5 3
20 20
2 2 32,39
5 3
20 20
20 1 20 11 1
s s
n n
GL
s s
n n
n n
+ +
= − = − =
++
+ ++ +
ou GL = 32
0,05
2
t 2,04tα⇒ = =
Erro padrão:
2 2
1 2
1 22
s s
e z
n n
α= + =
2 2
5 3
2,04 1,82
20 20
+ =
( ) ( )( )
( )
1 2
1 2
1.000 120 2,66 ( ) ( ) 1.000 120 2,66 0,90
117,34 ( ) ( ) 1.122,66 0,90
P x x
P x x
µ µ
µ µ
+ − < − < + + =
< + < =
81. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 81
Item 7.10 Exercícios propostos
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.10 – Ex. 8
Dados: Q x1 = quantidade de pó de café usada x1 = custo correspondeste do café
Q x2 = quantidade de açúcar usado x2 = custo correspondente do açúcar
Após amostra de 30 elementos foram anotados
Insumos custos
( )
( )
1 1
2 2
10 1,2
13 3
Qx s Qx
Qx s Qx
= =
= =
( )
( )
1 1
2 2
0,05 0,006
0,0117 s 0,0027
x s x
x x
= =
= =
Solução
Cálculo do número de graus de liberdade da distribuição t;
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
0,006 0,0027
30 30
2 2 41,06 41
0,006 0,0027
30 30
30 1 30 11 1
s s
n n
GL GL
s s
n n
n n
+ +
≅ − = −= ⇒ =
++
+ ++ +
Portanto, 0,0025 ; 41 2,02t = .
Erro padrão: e =
( ) ( )2 2 2 2
1 2
1 22
0,006 0,0027
2,02 0,00243
30 30
s x s x
t
n n
α + = + =
( )1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0,95P x x e x x x x eµ µ+ − < + < + + =
( )
( )
1 2
1 2
0,05 0,0117 0,00243 ( ) ( ) 0,05 0,0117 0,00243 0,95
0,059 ( ) ( ) 0,064 0,95
P x x
P x x
µ µ
µ µ
+ − < + < + + =
< + < =
, é o intervalo de confiança de 95% para o custo do cafezinho.
82. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 82
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.10 – Ex. 9
Dados: Amostra da demanda d: 160, 140, 138, 157, 169, 150
Amostra da produção p: 160, 140, 120, 100, 150, 130
Nível de confiança: 1 0,90α− =
Solução
Demanda:
904
150,67
6
id
d
n
= = =∑ ( )
( )
2
2 651,33
130,27
1 5
id d
s d
n
−
= = =
−
∑
800
133,33
6
ip
p
n
= = =
∑ ( )
( )
2
2 2.333,33
466,67
1 5
ip p
s p
n
−
= = =
−
∑
( ) ( )11,41 21,60s d s p= =
Cálculo dos graus de liberdade:
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
11,41 21,60
6 6
2 2 8,62 8
11,41 21,60
6 6
6 1 6 11 1
s s
n n
GL GL
s s
n n
n n
+ +
≅ − = −= ⇒ =
++
+ ++ +
0,05
2
1,86t tα= = . Erro padrão e =
( ) ( )2 2 2 2
1 22
11,41 21,6
1,86 18,55
6 6
s d s p
t
n n
α + = + =
( ) ( )( ) ( ) 1P d p e d p d p eµ µ α − − < − < − + =−
( )150,67 133,33 18,55 ( ) ( ) 150,67 133,33 18,55 0,90P d pµ µ− − < − < − + =
( )1,21 ( ) ( ) 35,89 0,90P d pµ µ− < − < =
O intervalo mostra que não podemos afirmar que a demanda excede a produção em
pelo menos 10 unidades.
83. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 83
Item 7.11 Exercícios propostos
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.11 – Ex. 3
Dados: x1 = variável binomial S = escolha da marca A de yogurte
X2 = variável binomial S = escolha da marca A de margarina
Amostra de n = 50 elementos mostrou: 1 2
ˆ ˆ0,26 0,30p p= =
Nível de confiança: 1 0,90α− =
Solução
0,05
2
1,64z zα= =
Erro padrão: 1 1 2 2
1 22
ˆ ˆ ˆ ˆ 0,26 0,74 0,30 0,70
1,64 0,147
50 50
p q p q
e z
n n
α
× ×
= + = + =
( )2 1 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −
( )1 20,30 0,26 0,147 0,30 0,26 0,147 0,90P p p− − < − < − + =
( )2 10,107 0,187 0,90P p p− < − < =
84. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 84
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.11 – Ex. 6
Dados: x1 = variável binomial S = usar carro próprio
Amostra 1 de n = 36 elementos fornece: 1
8
ˆ 0,222
36
p= =
X2 = variável binomial S = usar carro próprio
Amostra 2 de n = 40 elementos fornece: 2
8
ˆ 0,20
40
p= =
Nível de confiança: 1 0,96α− =
Solução
0,02
2
1 0,96 2,05z zαα− = ⇒ = =
Erro padrão: 1 1 2 2
1 22
ˆ ˆ ˆ ˆ 0,22 0,78 0,20 0,80
2,05 0,0939
36 400
p q p q
e z
n n
α
× ×
= + = + =
( )2 1 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −
( )1 20,22 0,20 0,0939 0,22 0,20 0,0939 0,96P p p− − < − < − + =
( )2 10,170 0,214 0,96P p p− < − < =
85. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 85
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.11 – Ex. 9
Dados: x1 = variável binomial S = cliente da empresa A
Amostra 1 de n = 80 elementos fornece: 1
26
ˆ 0,325
80
p= =
X2 = variável binomial S = cliente da empresa A
Amostra 2 de n = 70 elementos fornece: 2
35
ˆ 0,50
70
p= =
Nível de confiança: 1 0,90α− =
Solução
0,05
2
1 0,90 1,64z zαα− = ⇒ = =
Erro padrão: 1 1 2 2
1 22
ˆ ˆ ˆ ˆ 0,325 0,675 0,50 0,50
1,64 0,13031
80 70
p q p q
e z
n n
α
× ×
= + = + =
( )2 1 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −
( )1 20,50 0,325 0,13031 0,50 0,325 0,13031 0,90P p p− − < − < − + =
( )2 10,045 0,305 0,90P p p< − < =
Nesse nível de confiança, fica claro que a proporção certamente melhorou.
86. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 86
Item 7.12 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.12 – Ex. 1
Dados: x = variável normal, mede o número de peças defeituosas com ( )2
16xσ = .
Amostra de n = 51 elementos fornece: ( )2
14s x =
Nível de confiança: 1 0,98α− =
Solução
Para o nível 1 0,98α− = com n = 51 e Graus de liberdade 1 50n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,98 e GL: 50 2
1 29,71χ⇒ =
Probabilidade: 0,02 e GL = 50 2
2 76,15χ⇒ =
( )( )
( )
( )( )2 2
2
2 2
2 1
1 1
1
s x n s x n
P xσ α
χ χ
− −
< < =−
( )214 50 14 50
0,98
76,15 29,71
P xσ
× ×
< < =
( )( )2
9,19 23,56 0,98P xσ< < =
87. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 87
Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.12 – Ex. 2
Dados: x1 = variável normal, mede a TIR do projeto
Amostra de n = 81 elementos fornece: ( ) 4s x =
Nível de confiança: 1 0,95α− =
Solução
Para o nível 1 0,95α− = com n = 81 e Graus de liberdade 1 80n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,95 e GL: 80 2
1 60,39χ⇒ =
Probabilidade: 0,05 e GL = 80 2
2 101,89χ⇒ =
( )( )
( )
( )( )2 2
2
2 2
2 1
1 1
1
s x n s x n
P xσ α
χ χ
− −
< < =−
( )216 80 16 80
0,95
101,89 60,39
P xσ
× ×
< < =
( )( )2
12,56 21,20 0,95P xσ< < =
88. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 88
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.12 – Ex. 3
Dados: x = variável normal, mede a receita das vendas
Amostra de n = 12 elementos fornece:
45 62 ... 60
52
12
ix
x
n
+ + +
= = =
∑
e ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
45 52 ... 60 52
59,45
1 11
ix x
s x
n
− − + + −
= = =
−
∑
Nível de confiança: 1 0,95α− =
Solução
Para o nível 1 0,95α− = com n =12 e Graus de liberdade 1 11n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,975 e GL: 11 2
1 3,82χ⇒ =
Probabilidade: 0,025 e GL = 11 2
2 21,92χ⇒ =
( )( )
( )
( )( )2 2
2
2 2
2 1
1 1
1
s x n s x n
P xσ α
χ χ
− −
< < =−
( )259,45 11 59,45 11
0,95
21,92 3,82
P xσ
× ×
< < =
( )( )2
29,84 171,20 0,95P xσ< < =
89. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 89
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.12 – Ex. 5
Dados: x1 = variável normal, mede o peso das aves
Amostra de n = 30 aves fornece: ( )1,8 e s 0,2x Kg x Kg= =
Nível de confiança: 1 0,90α− =
Solução
Para o nível 1 0,90α− = com n = 30 e Graus de liberdade 1 29n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,95 e GL: 29 2
1 17,71χ⇒ =
Probabilidade: 0,05 e GL = 29 2
2 42,56χ⇒ =
( )( )
( )
( )( )2 2
2
2 2
2 1
1 1
1
s x n s x n
P xσ α
χ χ
− −
< < =−
( )20,04 29 0,04 29
0,90
42,56 17,71
P xσ
× ×
< < =
( )( )2
0,027 0,065 0,90P xσ< < =
90. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 90
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.12 – Ex. 6
Dados: x1 = variável normal, mede a TIR do projeto
Amostra de n = 81 elementos fornece: ( ) 0,2s x Kg=
Nível de confiança: 1 0,98α− =
Solução
Para o nível 1 0,98α− = com n = 81 e Graus de liberdade 1 80n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,99 e GL: 80 2
1 14,26χ⇒ =
Probabilidade: 0,01 e GL = 80 2
2 49,59χ⇒ =
( )( )
( )
( )( )2 2
2 2
2 1
1 1
1
s x n s x n
P xσ α
χ χ
− −
< < =−
( )
0,04 29 0,04 29
0,98
49,59 14,26
P xσ
× ×
< < =
( )( )0,153 0,285 0,98P xσ< < =
91. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 91
Item 8.3 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 1
Dados: x = variável normal com ( )2
3xσ =
Amostra de n = 20 elementos fornece: 50x =
Nível de significância: 0,10α =
Solução
Teste 0 : ( ) 53
: ( ) 53a
H x
H x
µ
µ
=
≠
Para o nível 0,10α = (Tabela ou função INV.NORMP do Excel) retorna 1,64tz = −
( )
( ) 50 53
7,75
3
20
c
x x
z
x
n
µ
σ
− −
= = = −
Como c tz z< , rejeitamos 0H ao nível de significância 10%α = .
92. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 92
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 3
Dados: x1 = variável normal com ( )( ) 6 e 0,5x xµ σ= =
Amostra de n = 15 elementos fornece: 4x = ( ) 1s x =
Nível de significância: 0,05α =
Solução
Teste 0 : ( ) 6
: ( ) 6a
H x
H x
µ
µ
=
<
Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INV.NORMP do Excel) retorna 1,64tz = −
( )
( ) 4 6
15,49
0,5
15
c
x x
z
x
n
µ
σ
− −
= = = −
Como c tz z< , rejeitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
93. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 93
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 4
Dados: x = variável normal com ( ) 18xµ =
Amostra: 12 elementos, forneceu 17x = e ( ) 3s x = . Nível de
significância: 0,10α =
Solução
Teste 0 : ( ) 18
: ( ) 18a
H x
H x
µ
µ
=
≠
Para o nível 0,10α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e
Graus_liberdade: 11 retorna o valor 1,80tt = −
( )
( ) 17 18
1,15
3
12
c
x x
t
s x
n
µ− −
= = = −
Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 10%α = .
94. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 94
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 6
Dados: x1 = variável normal
Amostra: 12, 16, 15, 14, 17, 10, 9, 15, 13, 16.
Nível de significância: 0,05α =
Solução
137
13,7
10
ix
x
n
= = =
∑ ( )
( )
2
2 64,10
7,122
1 9
ix x
s x
n
−
= = =
−
∑ ( ) 2,67s x =
Teste
0 : ( ) 15
: ( ) 15a
H x
H x
µ
µ
=
<
Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e
Graus_liberdade: 9 retorna o valor 1,83tt = −
( )
( ) 13,7 15
1,54
2,67
10
c
x x
t
s x
n
µ− −
= = = −
Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
95. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 95
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 8
Dados: x = variável normal com ( ) 4xµ =
Amostra: 25 elementos, forneceu 5x = e ( ) 1,2s x = . Nível de
significância: 0,05α =
Solução
Teste
0 : ( ) 4
: ( ) 4a
H x
H x
µ
µ
=
>
Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e
Graus_liberdade: 24 retorna o valor 1,71tt =
( )
( ) 5 4
4,17
1,2
25
c
x x
t
s x
n
µ− −
= = =
Como c tt t> , rejeitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
96. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 96
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 9
Dados: x = variável normal, mede o IRR do projeto em %.
Amostra de 40 elementos
Nível de significância: 0,05α =
Solução
( ) ( ) 20,70i ix E x P x= =
( ) ( ) ( )
22 2
432,20 428,49 3,71is x E x E x= − = − = ( ) 1,93s x =
No caso, o pior erro é a taxa ser menor que 21%.
Teste
0 : ( ) 21
: ( ) 21a
H x
H x
µ
µ
=
<
Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,05 e
Graus_liberdade: 39 retorna o valor e 1,68tt = −
( )
( ) 20,70 21
0,98
1,93
40
c
x x
t
s x
n
µ− −
= = = −
Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
x 18 20 22 24 Soma
p(x) 0,2 0,4 0,25 0,15
x.p(x) 3,6 8 5,5 3,6 20,7
x*2.p(x) 64,8 160 121 86,4 432,2
97. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 97
Item 8.4 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 1
Dados: x = variável binomial S = mulher em cargo administrativo p = 0,15
Amostra de n = 200 elementos obteve:
40
ˆ 0,20
200
p= =
Nível de significância: 0,05.
Solução
Teste 0` : 0,15
: 0,15a
H p
H p
=
>
Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95)
ˆ 0,20 0,15
1,98
ˆ ˆ 0,15 0,85
200
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, a proporção de mulheres
aumentou.
98. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 98
Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 2
Dados: x1 = variável binomial S = peça defeituosa p = 0,03
Amostra de n = 200 elementos obteve:
8
ˆ 0,04
200
p= =
Nível de significância: 0,025.
Solução
Teste 0` : 0,03
: 0,03a
H p
H p
=
>
Ao nível 0,025α = , 1,96tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,975)
ˆ 0,04 0,03
0,83
ˆ ˆ 0,03 0,97
200
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a afirmação do vendedor.
99. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 99
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 3
Dados: x = variável binomial S = indivíduo com renda inferior a dois salários mínimos
Amostra de n =60 elementos obteve: ˆ 0,41p =
Nível de significância: 0,05
Solução
Teste 0` : 0,40
: 0,40a
H p
H p
=
>
Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95)
ˆ 0,41 0,40
0,16
ˆ ˆ 0,40 0,60
60
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, a porcentagem é ainda de
40%.
100. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 100
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 4
Dados: x1 = variável binomial S = animal morto p = 0,10
Amostra de n = 100 animais forneceu:
4
ˆ 0,04
100
p= =
Nível de significância: 0,05.
Solução
Teste
0` : 0,10
: 0,10a
H p
H p
=
<
Ao nível 0,05α = , 1,64tz = − (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,05)
ˆ 0,04 0,10
2
ˆ ˆ 0,10 0,90
100
c
p p
z
pq
n
− −
= = = −
×
Como c tz z< , rejeitamos a hipótese nula. O índice de mortalidade diminuiu.
101. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 101
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 5
Dados: x = variável binomial S = resposta positiva ao plano de férias p = 0,20
Amostra de n = 50 elementos obteve:
15
ˆ 0,30
50
p= =
Nível de significância: 0,06
Solução
Teste 0` : 0,20
: 0,20a
H p
H p
=
>
Ao nível 0,06α = , 1,55tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,94)
ˆ 0,30 0,20
1,77
ˆ ˆ 0,20 0,80
50
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 6% podemos afirmar que o
número de respostas favoráveis aumentou.
102. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 102
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 6
Dados: x1 = variável binomial S = projeto viável p = 0,50
Amostra de n = 31 elementos forneceu: ˆ 0,60p =
Nível de significância: 0,10.
Solução
Teste
0` : 0,50
: 0,50a
H p
H p
=
>
Ao nível 0,10α = , 1,28tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,90)
ˆ 0,60 0,50
1,11
ˆ ˆ 0,50 0,50
31
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de significância de 0,10, a proporção
é ainda de 50%, o que contradiz a expansão da economia.
103. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 103
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 7
Dados: x = variável binomial S = financiamento a pequena empresa p = 0,20
Amostra de n = 40 elementos obteve:
12
ˆ 0,30
40
p= =
Nível de significância: 0,10.
Solução
Teste 0` : 0,20
: 0,20a
H p
H p
=
>
Ao nível 0,10α = , 1,28tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,90)
ˆ 0,30 0,20
1,58
ˆ ˆ 0,20 0,80
40
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que a
política foi bem sucedida.
104. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 104
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 8
Dados: x1 = variável binomial S = inseticida eficiente p = 0,70
Amostra de n = 120 elementos obteve:
32
ˆ ˆ0,27 0,73
120
q p= = =
Nível de significância: 0,025.
Solução
Teste
0` : 0,70
: 0,70a
H p
H p
=
>
Ao nível 0,025α = , 1,96tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,975)
ˆ 0,73 0,70
0,72
ˆ ˆ 0,70 0,30
120
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. A toxicidade está controlada ao nível de 70%.
105. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 105
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 9
Dados: x1 = variável binomial S = pagamento à vista p = 0,76
Amostra de n = 180 elementos obteve:
40
ˆ 0,778
180
p= =
Nível de significância: 0,05
Solução
Teste 0` : 0,76
: 0,76a
H p
H p
=
>
Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95)
ˆ 0,778 0,76
0,57
ˆ ˆ 0,76 0,24
180
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que a
política foi bem sucedida.
106. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 106
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 10
Dados: x1 = variável binomial S = favorável à pena de morte p = 0,52
Amostra de n = 500 elementos obteve:
280
ˆ 0,56
500
p= =
Nível de significância: 0,10.
Solução
Teste
0` : 0,52
: 0,52a
H p
H p
=
>
Ao nível 0,10α = , 1,28tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,90)
ˆ 0,56 0,52
1,79
ˆ ˆ 0,52 0,48
500
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. A proporção de favoráveis aumentou após a
divulgação do crime.
107. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 107
Item 8.5 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 1
Dados: x1 = variável normal com ( )2
1 5xσ =
Amostra de n = 20 elementos forneceu 1 32x =
X2 = variável normal com ( )2
2 5xσ =
Amostra de n = 20 elementos forneceu: 2 33,5x =
Nível de significância: 0,03α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− ≠
Cálculo de tt :
Cálculo de zt . Tabela com 0,015
2
2,17z zα= =
(ou INV.NORMP, com Probabilidade
0,985)
Cálculo de ct : 1 2
2 2
1 2
1 2
32 33,5
2,12
5 5
20 20
c
x x
t
s s
n n
− −
= = = −
++
Como c tt t> , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 3%, podemos afirmar que as
populações apresentam a mesma média.
108. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 108
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 3
Dados: x1 = variável normal
Amostra de n = 25 elementos forneceu: ( )1 150 4x s x= =
X2 = variável normal
Amostra de n = 30 elementos forneceu: ( )2 248 3x s x= =
Nível de significância: 0,05α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− ≠
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
4 3
25 30
: 2 2 45,36
4 3
25 30
25 1 30 11 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
+ +
− = − =
++
+ ++ +
GL = 45
0,05; 45 2,01t =
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
50 48
2,06
4 3
25 30
c
x x
t
s s
n n
− −
= = =
++
Como c tt t> , rejeitamos a hipótese nula. As médias populacionais são diferentes.
109. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 109
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 4
Dados: x1 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso urbano
Amostra de n = 40 pneus forneceu: ( )1 150.000 4.000x Km s x Km= =
X2 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso interurbano
Amostra de n = 40 pneus forneceu: ( )2 253.000 5.000x Km s x Km= =
Nível de significância: 0,05α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
4.000 5.000
40 40
: 2 2 76,23
4.000 5.000
40 40
41 411 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
+ +
− = − =
++
+ +
GL = 76
0,05; 76 1,67t = −
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
50.000 53.000
2,96
4.000 5.000
40 40
c
x x
t
s s
n n
− −
= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. Os pneus usados em ônibus urbanos
desgastam mais rapidamente.
110. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 110
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 5
Dados: x1 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso urbano
Amostra de n = 10 alunos forneceu: ( )1 1166min 23minx s x= =
X2 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso interurbano
Amostra de n = 10 alunos forneceu: ( )2 2151min 16minx s x= =
Nível de significância: 0,05α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− >
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
23 16
10 10
: 2 2 17,6
23 16
10 10
10 1 10 11 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
+ +
− = − =
++
+ ++ +
GL = 17
0,05;17 1,74t =
(Tabela com p = 10 e GL = 17 ou INVT com Probabilidade 0,10 e
Graus_Liberdade 17)
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
166 151
1,69
23 16
10 10
c
x x
t
s s
n n
− −
= = =
++
Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% podemos afirmar que os
métodos apresentam a mesma eficiência.
111. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 111
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 6
Dados: x1 = variável normal, mede o consumo dos homens
Amostra de n = 20 homens forneceu: ( )1 1650 60x g s x g= =
X2 = variável normal, mede o consumo das mulheres
Amostra de n = 10 mulheres forneceu: ( )2 235 50x g s x g= =
Nível de significância: 0,10α = .
Solução
Teste
0 1 2
1 2
1
: ( ) ( ) 0
2
1
: ( ) ( ) 0
2
a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
60 50
20 10
: 2 2 23,59
60 50
20 10
21 111 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
+ +
− = − =
++
+ +
GL = 23
0,10; 23 1,32t = −
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
50.000 53.000
2,96
4.000 5.000
40 40
c
x x
t
s s
n n
− −
= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. As mulheres consomem mais que a metade
do consumo dos homens.
112. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 112
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 7
Dados: x1 = variável normal, mede o número de cáries dos alunos do grupo tratado
com flúor. Amostra de n = 30 alunos forneceu: ( )1 11,8 0,5x s x= =
X2 = variável normal, mede o número de cáries do grupo sem o tratamento.
Amostra de n = 500 pneus forneceu: ( )2 22,2 0,6x s x= =
Nível de significância: 0,05α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
0,5 0,6
30 50
: 2 2 72,09
0,5 0,6
30 50
30 1 50 11 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
+ +
− = − =
++
+ ++ +
GL = 72
0,05; 72 1,67t = −
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
50.000 53.000
2,96
4.000 5.000
40 40
c
x x
t
s s
n n
− −
= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% podemos afirmar que o
tratamento com cloro diminuiu a incidência de cáries.
113. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 113
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 8
Dados: x1 = variável normal, mede o tempo de embalagem manual
Amostra de n = 60 embalagens forneceu: ( )1 14,2 min 0,5 minx s x= =
X2 = variável normal, mede o tempo de embalagem automático
Amostra de n = 60 pneus forneceu: ( )2 24 min 1,2 minx s x= =
Nível de significância: 0,025α = .
Solução
Teste
0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− >
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
0,5 1,2
60 60
: 2 2 79,56
0,5 1,2
60 60
61 611 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
+ +
− = − =
++
+ +
GL = 79
0,025; 79 1,99t =
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
4,2 4
1,19
0,5 1,2
60 60
c
x x
t
s s
n n
− −
= = =
++
Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Automatizar a embalagem não melhora o
tempo deste serviço.
114. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 114
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 9
Dados: x1 = variável normal, mede o nível de vendas da região com desconto
Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )1 1180 30x s x= =
X2 = variável normal, mede o nível de vendas da região sem desconto
Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )2 2170 30x s x= =
Nível de significância: 0,025α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− >
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
30 30
30 30
: 2 2 60
30 30
30 30
30 1 30 11 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
+ +
− = − =
++
+ ++ +
GL = 60
0,025; 60 2,00t =
(Tabela com p = 0,05 e GL = 60 ou INVT com Probabilidade 0,05 e
Graus_liberdade 60)
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
180 170
1,29
30 30
30 30
c
x x
t
s s
n n
− −
= = =
++
Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 2,5% podemos afirmar que o
desconto não aumentou as vendas
115. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 115
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 10
Dados: x1 = variável normal, mede o volume de vendas do produto sem desconto
Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )1 1170 30x un s x un= =
X2 = variável normal, mede o volume de vendas após desconto
Amostra de n = 30 pneus forneceu: ( )2 2230 10x un s x un= =
Nível de significância: 0,025α = .
Solução
Teste
0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
30 10
30 30
: 2 2 35,80
30 10
30 30
31 311 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
+ +
− = − =
++
+ +
GL = 35
0,025 ; 35 2,03t = −
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
170 230
10,39
30 10
30 30
c
x x
t
s s
n n
− −
= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. As vendas aumentaram com o desconto
concedido.
116. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 116
Item 8.6 Exercícios propostos
Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.6 – Ex. 2
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de homens que compram o
produto. Amostra de n = 80 homens forneceu:
28
ˆ =0,35
80
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de mulheres que compram o
produto. Amostra de n = 100 mulheres forneceu:
40
ˆ 0,40
100
p= =
Nível de significância: 0,10α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: 0
: 0a
H p p
H p p
− =
− ≠
Para 0,050,10 1,64zα = = − .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1
c
p p
z
pq
n n
−
=
+
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 80 0,35 100 0,40
0,38
80 100
n p n p
p
n n
+ × + ×
= = =
+ +
0,35 0,40
0,69
1 1
0,38 0,62
80 100
cz
−
= = −
× +
Como 1,69 1,69cz− < < , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa
entre as proporções dois grupos ao nível de 10%.
117. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 117
Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.6 – Ex. 2
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de deprimidos entre motoristas de
taxi. S = motorista de taxi com depressão.
Amostra de n = 20 motoristas forneceu:
10
ˆ =0,25
40
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de deprimidos entre pessoas pouco
expostas ao trânsito. S = pessoa com depressão
Amostra de n = 10 pessoas forneceu:
8
ˆ 0,20
40
p= =
Nível de significância: 0,03α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: 0
: 0a
H p p
H p p
− =
− >
Para 0,030,03 1,88zα = = .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1
c
p p
z
pq
n n
−
=
+
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 40 0,25 40 0,20
0,225
40 40
n p n p
p
n n
+ × + ×
= = =
+ +
0,25 0,20
0,54
1 1
0,225 0,775
40 40
cz
−
= =
× +
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as
proporções de deprimidos dos dois grupos.
118. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 118
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.6 – Ex. 3
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de indivíduos com doença pulmonar
entre fumantes. Amostra de n1 = 50 motoristas forneceu: 1
8
ˆ =0,16
50
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de indivíduos com doença pulmonar
entre não fumantes. Amostra de n2 = 80 pessoas forneceu: 2
6
ˆ 0,075
80
p= =
Nível de significância: 0,10α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: 0
: 0a
H p p
H p p
− =
− >
Para 0,100,10 1,28zα = = .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1
c
p p
z
pq
n n
−
=
+
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 50 0,16 80 0,075
0,11
50 80
n p n p
p
n n
+ × + ×
= = =
+ +
0,16 0,075
1,51
1 1
0,11 0,89
50 80
cz
−
= =
× +
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que o uso
do cigarro aumenta a incidência de doenças pulmonares.
119. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 119
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.6 – Ex. 4
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de votos no interior
S = voto favorável ao candidato
Amostra de n = 200 eleitores forneceu:
90
ˆ =0,45
200
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de votos na capital.
S = pessoa com depressão.
Amostra de n = 100 eleitores forneceu:
40
ˆ 0,40
100
p= =
Nível de significância: 0,04α = .
Solução
Teste
0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− >
Para 0,040,04 1,75zα = = .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1
c
p p
z
pq
n n
−
=
+
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 200 0,45 100 0,40
0,4333
200 100
n p n p
p
n n
+ × + ×
= = =
+ +
0,45 0,40
0,824
1 1
0,4333 0,5667
200 100
cz
−
= =
× +
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as
proporções de eleitores favoráveis ao candidato na capital e no interior.
120. Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 120
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.6 – Ex. 5
Dados: x1 = variável binomial, mede a venda de apartamentos entre casados.
S = venda efetiva.
Amostra de n = 200 motoristas forneceu:
25
ˆ =0,125
200
p =
X2 = variável binomial mede a venda de apartamentos entre solteiros.
S = venda efetiva
Amostra de n = 120 pessoas forneceu:
30
ˆ 0,25
120
p= =
Nível de significância: 0,05α = .
Solução
Teste
0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =
− <
Para 0,050,05 1,64zα = = − .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1
c
p p
z
pq
n n
−
=
+
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 200 0,125 120 0,25
0,172
100 120
n p n p
p
n n
+ × + ×
= = =
+ +
0,125 0,25
2,87
1 1
0,172 0,828
200 120
cz
−
= = −
× +
Como c tz z< ,rejeitamos a hipótese nula. A proporção de descasados que efetiva a
compra é maior.