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Fenómenos Aleatórios
Experiências ou Fenómenos Determinísticas
• Sabemos a conclusão, prevemos a resolução do fenómeno,
pois este produz sempre o mesmo resultado, desde que seja
repetido nas mesmas condições;
• Ex.: “Tirar um gelado do congelador num dia de calor).
Experiências ou Fenómenos Aleatórios
• É impossível saber com exatidão o resultado que se obterá
mesmo que se repita sempre nas mesmas condições.
• Ex.: “Sair-me a lotaria”
Chamamos de modelos de probabilidade aos modelos
utilizados na representação e interpretação de fenómenos
que não se podem descrever por leis determinísticas.
Conceitos importantes:
 Espaço de resultados/amostral (Ω) – conjunto de
todos os resultados possíveis de uma experiência
aleatória;
 Acontecimento – qualquer subconjunto do espaço
de conjuntos de uma experiência aleatória;
 Acontecimento elementar – subconjunto composto
apenas por um elemento do espaço de resultados;
 Acontecimento certo – contém todos os elementos
do espaço de resultados, ocorre sempre;
Acontecimento impossível – nunca se realiza.
Regra de Laplace
A Probabilidade (P) de um acontecimento (A) é:
Dois acontecimentos elementares são equiprováveis se
tiverem a mesma probabilidade de acontecer. Ex.: “Sair 1
no dado”; “Sair 6”.
Regra do Produto
Se uma experiência se pode decompor em duas
escolhas sucessivas, a primeira com m
possibilidades e a segunda com n possibilidades,
então existem m*n formas diferentes de a realizar.
Modelos de probabilidade em espaços
finitos. Função massa de probabilidade
 A probabilidade de qualquer acontecimento é
sempre maior ou igual a zero e menor ou igual a um;
A soma das probabilidades de todos os
acontecimentos elementares do espaço amostral é
igual a 1
Acontecimentos incompatíveis – acontecimentos que
não têm resultados comuns e, deste modo, a
realização de um deles implica a não realização do
outro.
Ex.: A={1,3,5}
B={2,3,9}
A ∩ B = Ø
Os acontecimentos são incompatíveis, logo,
podem ser considerados num modelo de
probabilidade.
Suporte de um modelo de probabilidade ou suporte do
modelo – conjunto formado pelos valores aos quais se atribui uma
probabilidade diferente de zero. Ou seja, o conjunto de valores que vão
corresponder às probabilidades, desde que a variável não seja
quantitativa contínua.
Ex.: S = {15, 16, 17}
Função massa de probabilidade ou distribuição de
probabilidade – de uma variável aleatória é uma função que a cada
elemento do suporte do modelo de probabilidade faz corresponder a
respetiva probabilidade. Representa-se da seguinte maneira para o
exemplo dado:
Idades Probabilidades
14 1/5
15 2/5
16 2/5
P (X > 15) lê-se “probabilidade de
uma aluno escolhido ter mais de 15
anos
(Idade dos alunos) X = X =
Ou, caso o
exercício
estivesse
redigido de
outra maneira:
Probabilidade Condicional.
Acontecimentos independentes
Utiliza-se quando queremos calcular a
probabilidade de um acontecimento e dispomos
de informações prévias acerca do resultado da
experiência aleatória.
Ex.: Acontecimento P e S. A probabilidade
condicionada entre P, sabendo que se verifica S,
representa-se por: (P|S)
Probabilidade condicional do acontecimento A,
sabendo que o B se verificou é dada por:
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Dois acontecimentos A e B são independentes
entre si se a realização de um deles não modifica
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  • 2. Fenómenos Aleatórios Experiências ou Fenómenos Determinísticas • Sabemos a conclusão, prevemos a resolução do fenómeno, pois este produz sempre o mesmo resultado, desde que seja repetido nas mesmas condições; • Ex.: “Tirar um gelado do congelador num dia de calor). Experiências ou Fenómenos Aleatórios • É impossível saber com exatidão o resultado que se obterá mesmo que se repita sempre nas mesmas condições. • Ex.: “Sair-me a lotaria” Chamamos de modelos de probabilidade aos modelos utilizados na representação e interpretação de fenómenos que não se podem descrever por leis determinísticas.
  • 3. Conceitos importantes:  Espaço de resultados/amostral (Ω) – conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória;  Acontecimento – qualquer subconjunto do espaço de conjuntos de uma experiência aleatória;  Acontecimento elementar – subconjunto composto apenas por um elemento do espaço de resultados;  Acontecimento certo – contém todos os elementos do espaço de resultados, ocorre sempre; Acontecimento impossível – nunca se realiza.
  • 4. Regra de Laplace A Probabilidade (P) de um acontecimento (A) é: Dois acontecimentos elementares são equiprováveis se tiverem a mesma probabilidade de acontecer. Ex.: “Sair 1 no dado”; “Sair 6”. Regra do Produto Se uma experiência se pode decompor em duas escolhas sucessivas, a primeira com m possibilidades e a segunda com n possibilidades, então existem m*n formas diferentes de a realizar.
  • 5. Modelos de probabilidade em espaços finitos. Função massa de probabilidade  A probabilidade de qualquer acontecimento é sempre maior ou igual a zero e menor ou igual a um; A soma das probabilidades de todos os acontecimentos elementares do espaço amostral é igual a 1 Acontecimentos incompatíveis – acontecimentos que não têm resultados comuns e, deste modo, a realização de um deles implica a não realização do outro. Ex.: A={1,3,5} B={2,3,9} A ∩ B = Ø Os acontecimentos são incompatíveis, logo, podem ser considerados num modelo de probabilidade.
  • 6. Suporte de um modelo de probabilidade ou suporte do modelo – conjunto formado pelos valores aos quais se atribui uma probabilidade diferente de zero. Ou seja, o conjunto de valores que vão corresponder às probabilidades, desde que a variável não seja quantitativa contínua. Ex.: S = {15, 16, 17} Função massa de probabilidade ou distribuição de probabilidade – de uma variável aleatória é uma função que a cada elemento do suporte do modelo de probabilidade faz corresponder a respetiva probabilidade. Representa-se da seguinte maneira para o exemplo dado: Idades Probabilidades 14 1/5 15 2/5 16 2/5 P (X > 15) lê-se “probabilidade de uma aluno escolhido ter mais de 15 anos (Idade dos alunos) X = X = Ou, caso o exercício estivesse redigido de outra maneira:
  • 7. Probabilidade Condicional. Acontecimentos independentes Utiliza-se quando queremos calcular a probabilidade de um acontecimento e dispomos de informações prévias acerca do resultado da experiência aleatória. Ex.: Acontecimento P e S. A probabilidade condicionada entre P, sabendo que se verifica S, representa-se por: (P|S) Probabilidade condicional do acontecimento A, sabendo que o B se verificou é dada por: P(A|B) =
  • 8. Acontecimentos Independentes Dois acontecimentos A e B são independentes entre si se a realização de um deles não modifica a probabilidade do outro, ou seja: P(A|B)=P(A) ou P(B|A)=B, sendo A e B valores maiores do que 0 Assim, dois acontecimentos são independentes se e só se: P(A∩B) = P(A) x P(B)