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Taxas e Descontos
Matemática Financeira: Aula 3
Prof.: Augusto Junior
Taxas Proporcionais
Para se compreender mais claramente o
significado destas taxas deve-se reconhecer
que toda operação envolve dois prazos:
(1)o prazo a que se refere à taxa de juros; e
(2)o prazo de capitalização (ocorrência) dos
juros.
(ASSAF NETO, 2001).
Taxas Proporcionais
• Também conhecida como taxa nominal ou linear;
• Muito difundida em operações de curto e curtíssimo prazo
• Cálculo de Juros de Mora;
• Descontos bancários;
• Créditos de curtíssimo prazo;
• Apuração de encargos sobre saldo devedor em conta corrente.
• No Regime de Juros Simples, as taxas proporcionais também são consideradas
equivalentes. Exemplo:
• Proporcionais: Em juros simples, 3% a.m. e 9% a.t. são consideradas proporcionais.
• Equivalentes: Essas mesmas taxas, em um mesmo período de tempo, geram num
capital de mesmo valor um mesmo resultado de montante.
Taxas Proporcionais – Juros Simples
Período(n)
Taxa(i) 3% a.m. 9% a.t. 3% a.m. 9% a.t.
PV 80.000,00R$ 80.000,00R$ 80.000,00R$ 80.000,00R$
Cálculo 80.000x(1+0,03x3) 80.000x(1+0,09x1) 80.000x(1+0,03x12) 80.000x(1+0,09x4)
FV 87.200,00R$ 87.200,00R$ 108.800,00R$ 108.800,00R$
3meses 12meses
Taxas Proporcionais – Juros Simples
Taxas Proporcionais – Juros Simples
Exercício
Manoel emprestou R$2.800,00 a um amigo por 22 dias, cobrando juros simples de
6% ao mês. Qual o valor a ser resgatado por Manoel?
Taxa de juros do período i= (6%/30 dias) x 22 dias = 4,4% = 0,044
Valor dos Juros (R$) R$ 2800 x 0,044 = R$ 123,20
Fator de Correção FATOR = (1 + i) = 1 + 0,044 = 1,044
Valor Futuro (FV) FV = R$ 2800 x 1,044 = R$ 2923,20
Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos
• Taxa Nominal (Aparente)
• Período de capitalização é igual ao prazo da taxa.
• Exemplos:
• 35% a.a. com capitalização anual;
• 5% a.m. com capitalização mensal;
• 0,02% a.d. com capitalização diária.
• Taxa Efetiva
• Período de capitalização não coincide com o prazo da taxa.
• Exemplos:
• 12% a.a., capitalizados mensalmente;
• 2% a.m., capitalizados diariamente.
Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos
A comparação entre taxas só pode ser
realizada com TAXAS EFETIVAS.
Por isso, sendo dada uma taxa nominal,
deve-se determinar a taxa efetiva à que
ela corresponde.
Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos
• Obtenção da Taxa Efetiva a partir de uma Taxa Nominal:
𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 = 1 +
𝑖 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑘
𝑘
− 1
onde: 𝑘 =
𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎
𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜
Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos
• Exemplo: Transformar a taxa de 15% a.a., capitalizada diariamente, em uma taxa
efetiva anual.
1º - Observar o período em que a taxa está expressa: 15% a.a.
2º - Observar o período da capitalização: “capitalizada diariamente”
3º - Observar em que período a taxa efetiva deverá ser expressa, verificando qual a
conversão a ser feita:
A taxa efetiva deverá ser ANUAL, logo a conversão será:
Capitalização diária Capitalização anual
4º - Calcular o “k”
Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos
• Cálculo do “k”
𝑘 =
𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎
𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜
=
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑚 "𝑎𝑛𝑜"
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 "𝑑𝑖𝑎"
Conversão pedida: de dia para ano
𝑘 =
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑚 1 𝑎𝑛𝑜?
1 𝑑𝑖𝑎
=
360
1
= 𝟑𝟔𝟎
Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos
• Calcular a “𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎”:
𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1 +
0,15
360
360
− 1
𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 16,18% 𝑎. 𝑎.
Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos
• Exercícios
1. Se o capital de $ 1.000,00 for aplicado num fundo de investimento
que rende 20% a.a., capitalizados semestralmente, quanto teremos
um ano após?
2. Um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de
um ano à uma taxa nominal de juros de 32% ao ano, capitalizados
trimestralmente. Determine o montante e o juro efetivo do
empréstimo.
3. Qual é a taxa efetiva de 37% a.m. com capitalização diária?
Taxas Equivalentes – Juros Compostos
• Duas, ou mais taxas, são consideradas EQUIVALENTES quando,
incidindo sobre um mesmo capital durante um certo prazo,
produzem montantes iguais pelo regime de capitalização composta.
• A diferença para os juros simples fica por conta da fórmula de cálculo
da taxa de juros.
• Por se tratar de uma capitalização exponencial, a expressão da taxa
equivalente é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro.
Taxas Equivalentes – Juros Compostos
• Exemplos:
1. As taxas 12,68% ao ano e 1% ao mês são consideradas equivalentes
entre si;
2. As taxas 1,66% ao mês e 10,3826% ao semestre são consideradas
equivalentes entre si.
• Se levarmos em consideração um capital de $ 100 mil, por um prazo
de 2 anos, temos:
PV n (anos) i = 1% ao mês i= 12,68% ao ano i= 1,66% ao mês i= 10,3826% ao semestre
100000 2 R$126.973,46 R$126.967,82 148.457,63R$ R$148.457,61
Montante (FV)
Taxas Equivalentes – Juros Compostos
•Observação
“ Quanto maior for a quantidade de
números após a vírgula de uma taxa, mais
próximo de uma equivalência definitiva
estarão as mesmas!”
Taxas Equivalentes – Juros Compostos
• Taxa Equivalente MAIOR
• Referente ao período de tempo maior
• De acordo com os exemplos citados, seriam as taxas de 12,68% ao ano e
10,3826% ao semestre.
• Taxa equivalente MENOR
• Referente ao período de tempo menor
• As taxas de 1% e 1,66%, ambas ao mês, do exemplo anterior.
Taxas Equivalentes – Juros Compostos
• Fórmulas para o cálculo de taxas equivalentes
Sendo: 𝑖 𝑀 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑀𝐴𝐼𝑂𝑅, 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎;
𝑖 𝑚 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑀𝐸𝑁𝑂𝑅, 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎;
𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟.
Temos:
Fórmula para a Taxa equivalente MAIOR: 𝑖 𝑀 = 1 + 𝑖 𝑚
𝑛 − 1
Fórmula para a Taxa equivalente MENOR: 𝑖 𝑚 =
𝑛
1 + 𝑖 𝑀 − 1
Taxas Equivalentes – Fato Interessante
• Um banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação financeira é de
12% ao semestre (ou 2% ao mês).
• Desta maneira, uma aplicação de $ 10.000,00 produz, ao final de 6 meses, o montante
de $ 11.200,00;
• Efetivamente, 12% constituem-se na Taxa de rentabilidade da operação para o período
inteiro de 1 semestre;
• No caso de tratarmos a rentabilidade mensal dessa aplicação, devemos expressar em
termos da taxa equivalente composta.
𝑖6 =
6
1 + 0,12 − 1 = 1,91%
• Assim, os 12% de rendimentos semestrais determinam uma rentabilidade efetiva mensal
de 1,91%, e não de 2% conforme foi anunciado.
Taxas Equivalentes – Exercícios
1. Se uma corretora oferece uma taxa de 12% a.m., no regime de juros compostos, qual será o valor
resgatado, após 3 meses, da aplicação de $ 1.000,00? E, se o prazo fosse 16 dias?
2. Quais as taxa de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% a.a.?
3. A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal à base de 0,5% a.m..
Calcular a rentabilidade efetiva dessa aplicação financeira.
4. Sendo 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma Instituição, calcular o custo efetivo anual,
admitindo que o período de capitalização dos juros seja:
1. Mensal;
2. Trimestral;
3. Semestral.
5. Calcular as taxas efetivas ao ano equivalentes às seguintes taxas nominais:
1. 24% a.a., capitalizada mensalmente;
2. 48% a.s., capitalizada mensalmente;
3. 60% a.t., capitalizada diariamente.
Descontos
• São juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pagamento de um
título é antecipado.
• É a diferença entre o valor nominal (S) de um título na data de seu vencimento
e o seu valor líquido (C) na data em que é efetuado o pagamento.
• 𝐷 = 𝑆 − 𝐶
• São nomeados SIMPLES ou COMPOSTOS
• Em função do cálculo dos mesmos serem regidos nos juros simples, ou
compostos.
• Os descontos (simples ou compostos) podem ser divididos em:
• Desconto comercial, bancário ou “por fora”;
• Desconto racional ou “por dentro”.
Títulos - Conceito
• Título (setor financeiro)
• Certificado de endividamento;
• Na linguagem financeira, significa um papel (ou documento) negociável,
representativo de valor.
• Exemplo: Título de Crédito
• Documento que representa valor em dinheiro ou operação de crédito, passível de
circulação.
• São títulos de crédito: Cheque, Nota Promissória, Letra de Câmbio e Duplicata.
• Por sua vez, título bancário é o título de crédito que, por ser de prazo curto,
está em condições de ser negociado por um banco.
Títulos Bancários - Exemplos
• Título de Capitalização
• Modalidade de investimento com características de um jogo, no qual pode se
recuperar o valor gasto na aposta.
• Do valor aplicado pelo investidor, a instituição financeira separa um percentual
para a poupança, outro para os sorteios, e um terceiro para cobrir suas despesas.
• Título de Transferência
• Documento legal, para provar que a propriedade de valores em títulos deve ser
transferida do vendedor para o comprador.
Descontos Simples - Racional ou “por dentro
• Consideremos a seguinte simbologia:
• S = valor nominal de um título;
• valor impresso no título a ser descontado.
• C = valor líquido;
• É igual ao valor nominal menos o desconto (C = S – Dr).
• Dr = Desconto Racional;
• i = taxa de desconto;
• n = Número de períodos.
• No desconto racional (“por dentro”), o desconto incide sobre o Valor líquido (C) do
título a ser descontado. Portanto, temos, por definição que:
Dr = C.i.n (I)
Descontos Simples - Racional ou “por dentro
• Como:
• C = S – Dr (II);
• Substituímos a (II) em (I), obtendo:
• Dr = (S – Dr).i.n
• Dr = S.i.n – Dr.i.n
• Dr + Dr.i.n = S.i.n
• Dr(1 + i.n) = S.i.n
• Temos que, a fórmula para o cálculo do desconto racional é:
𝐷𝑟 =
𝑆. 𝑖. 𝑛
1 + 𝑖. 𝑛
Descontos Simples - Racional ou “por dentro
• Cálculo do Valor líquido:
Através da fórmula C = S – Dr, que também nos dá o valor líquido como resultado,
podemos ter uma variação que é:
𝐶 = 𝑆 − 𝐶. 𝑖. 𝑛
𝐶 1 + 𝑖. 𝑛 = 𝑆
𝑪 =
𝑺
𝟏 + 𝒊. 𝒏
Descontos Simples - Racional ou “por dentro”
• Exemplo: Considere um título cujo valor nominal é de $10.000,00. Calcule o desconto
racional a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data do
vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m., e o valor desse resgate.
• Temos:
• S = 10.000;
• i = 5% = 0,05 a.m.;
• n = 3 meses
• Cálculo do Desconto:
𝐷𝑟 =
𝑆. 𝑖. 𝑛
1 + 𝑖. 𝑛
=
10000.0,05.3
1 + 0,05.3
=
1500
1,15
= $1.304,35
• Cálculo do Valor do resgate (valor líquido):
1ª Fórmula: 𝐶 = 𝑆 − 𝐷𝑟 = 10000 − 1304,35 = $8.695,65
2ª Fórmula: 𝐶 = 𝑆
1+𝑖.𝑛 = 10000
1+0,05.3 = $8.695,65
Descontos Simples - Comercial ou “por fora”
• Consideremos a seguinte simbologia:
• S = valor nominal de um título;
• valor impresso no título a ser descontado.
• C = valor líquido;
• É igual ao valor nominal menos o desconto (C = S – Dr).
• Dr = Desconto Racional;
• i = taxa de desconto;
• n = Número de períodos.
• No desconto comercial (“por fora”), o percentual de desconto incide sobre o Valor
nominal (S) do título a ser descontado. Portanto, temos, por definição que:
Dc = S.i.n (I)
• Cálculo do Valor líquido:
Através da fórmula C = S – Dc, que também nos dá o valor líquido como resultado,
podemos ter uma variação que é:
𝐶 = 𝑆 − 𝑆. 𝑖. 𝑛
𝑪 = 𝑺 𝟏 − 𝒊. 𝒏
Descontos Simples - Comercial ou “por fora”
• Exemplo: Considere um título cujo valor nominal é de $10.000,00. Calcule o desconto
racional a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data do
vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m., e o valor desse resgate.
• Temos:
• S = 10.000;
• i = 5% = 0,05 a.m.;
• n = 3 meses
• Cálculo do Desconto:
𝐷𝑐 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 = 10000.0,05.3 = $1.500,00
• Cálculo do Valor do resgate (valor líquido):
1ª Fórmula: 𝐶 = 𝑆 − 𝐷𝑐 = 10000 − 1500 = $8.500,00
2ª Fórmula: 𝐶 = 𝑆 1 − 𝑖. 𝑛 = 10000.0,85 = $8.500,00
Descontos Simples - Comercial ou “por fora”
• Nota-se que, para as duas modalidades de descontos, os valores finais do desconto e
do valor líquido são diferentes entre eles.
Descontos Simples - Comercial ou “por fora”
• Desconto Racional:
• Valor do desconto = $1.304,35
• Valor líquido = $8.695,65
• Desconto Comercial:
• Valor do desconto = $1.500,00
• Valor líquido = $8.500,00
• Desconto comercial > Desconto racional
• Isto explica o motivo dos bancos adotarem o
desconto comercial
• No desconto comercial, resulta num valor líquido
menor a ser recebido pelo portador do título a
ser descontado antes do prazo de vencimento.
• Pessoa física ou empresa.
Descontos Simples - Bancário
• Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a
contemplar outras taxas
• Despesas administrativas: Percentual cobrado sobre o valor nominal do título;
• IOF: Imposto sobre Operações Financeiras
𝐷𝑏 = 𝐷𝑐 + 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 + ℎ ;
onde: h = taxas adicionais (Administrativas, IOF, etc. )
• Portanto:
• Através dessa técnica, os bancos concedem descontos maiores que incidem nos títulos
que são resgatados antes do vencimento, resultando numa retirada de um valor menor
para o proprietário do título.
Taxa de Juros Efetiva
• Faremos um comparativo entre as três modalidades (racional, comercial e
bancária), com base num mesmo exemplo, como segue:
• Uma pessoa pretende saldar um título de $5.500,00, 3 meses antes de seu
vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o
desconto e quanto irá obter?
• Temos:
• S = 5500;
• n = 3 meses;
• i = 40% ao ano. Calculando a taxa proporcional ao mês: 𝑖 =
0,40
12
• Cálculo pelo DESCONTO RACIONAL:
• O Desconto
𝐷𝑟 =
𝑆. 𝑖. 𝑛
1 + 𝑖. 𝑛
=
5500𝑥
0,40
12
𝑥3
1 +
0,40
12
𝑥3
=
5500𝑥0,10
1,10
=
550
1,10
= $500,00
• O Valor líquido
𝐶 = 𝑆 − 𝐷𝑟 = 5500 − 500 = $5.000,00
• Prova real da taxa de juros
𝒊′ 𝟑 =
𝑫𝒓
𝑪
=
𝟓𝟎𝟎
𝟓𝟎𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟎 𝒂. 𝒕. = 𝟎, 𝟏𝟎𝒙𝟒 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎% 𝒂. 𝒂.
• A taxa de desconto utilizada na operação é a que está sendo cobrada de fato!
Taxa de Juros Efetiva
• Cálculo pelo DESCONTO COMERCIAL:
• O Desconto
𝐷𝑐 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 = 5500𝑥
0,40
12
𝑥3 = $550,00
• O Valor líquido
𝐶 = 𝑆 − 𝐷𝑟 = 5500 − 550 = $4.950,00
• Prova real da taxa de juros
𝒊′ 𝟑 =
𝑫𝒓
𝑪
=
𝟓𝟓𝟎
𝟒𝟗𝟓𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂. 𝒕. = 𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝟒 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟒𝟒, 𝟒𝟒% 𝒂. 𝒂.
• A taxa de desconto utilizada na operação não é a que está sendo cobrada de fato!
Taxa de Juros Efetiva
• Cálculo pelo DESCONTO BANCÁRIO: (Além das informações do enunciado de exemplo, o
Banco “X” cobra 2% de despesas administrativas e IOF de 1,5% a.a.)
1. Cálculo do desconto bancário (Db):
• 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 = 5500𝑥0,02 = 110;
• 𝐼𝑂𝐹 = 5500𝑥
0,015
360
𝑥90 = 20,625;
• 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑜𝑚𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐷𝑐 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 = 5500𝑥
0,40
12
𝑥3 = 550;
• Desconto Bancário (Db) = Dc + h = 550 + (110 + 20,625) = 680, 62
2. Cálculo do valor líquido (C):
• C = S – Db = 5500 – 680,62 = $4.819,38
Taxa de Juros Efetiva
• Prova Real da taxa de juros:
𝒊′ 𝟑 =
𝑫𝒃
𝑪
=
𝟔𝟖𝟎, 𝟔𝟐
𝟒𝟖𝟏𝟗, 𝟑𝟖
= 𝟎, 𝟏𝟒𝟏𝟐 𝒂. 𝒕. = 𝟎, 𝟏𝟒𝟏𝟐 𝒙 𝟒 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟒𝟖
= 𝟓𝟔, 𝟒𝟖% 𝒂. 𝒂.
• A taxa de desconto utilizada na operação não é a que está sendo cobrada de fato!
Taxa de Juros Efetiva
• É preciso, portanto, no caso dos descontos Comercial e Bancário calcular a taxa
que realmente está sendo cobrada na operação.
• Taxa de juros efetiva
• É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado (comercial ou bancário),
gera no período, um montante igual ao valor nominal.
• Tem duas maneiras de se encontrar a taxa efetiva
Taxa de Juros Efetiva
• 𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 =
𝑆
𝐶
−1
𝑛
, onde:
• S = Valor nominal;
• C = Valor líquido;
• n = Período.
• 𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 =
𝑆
𝐶
− 1 𝑥100, onde:
• S = Valor nominal;
• C = Valor líquido;
• Exemplo:
• Seja o valor do desconto comercial de $4.950,00, o título de $ 5.500,00 saldado 3 meses
antes de seu vencimento, qual é a taxa de juros efetiva cobrada nessa operação?
• Calculando pela fórmula “a”:
𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 =
𝑆
𝐶
− 1
𝑛
=
5500
4950
− 1
3
=
1,1111 − 1
3
= 0,03703 𝑎. 𝑚. = 0,44 𝑎. 𝑎.
• Calculando pela fórmula “b”:
𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 =
𝑆
𝐶
− 1 𝑥100 =
5500
4950
− 1 𝑥100 = 11,11% 𝑎. 𝑡. = 44,44% 𝑎. 𝑎.
Taxa de Juros Efetiva
• Podemos entender o desconto comercial como sendo o montante do desconto
racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa.
𝐷𝑐 = 𝐷𝑟 1 + 𝑖. 𝑛
• Onde:
• Dc = Desconto Comercial;
• Dr = Desconto Racional;
• i = Taxa de desconto;
• n = Número de períodos antes do vencimento.
Relação entre desconto racional e comercial
• Exemplo:
• O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes do seu vencimento, à
uma taxa de 40% a.a., é de $ 550,00. Qual é o desconto racional?
𝐷𝑐 = 𝐷𝑟 1 + 𝑖. 𝑛
𝐷𝑟 =
𝐷𝑐
1 + 𝑖. 𝑛
=
550
1 +
0,40
12
𝑥3
=
550
1,10
= $ 500
Relação entre desconto racional e comercial
• Lista
Exercícios

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Matemática financeira aula 3

  • 1. Taxas e Descontos Matemática Financeira: Aula 3 Prof.: Augusto Junior
  • 2. Taxas Proporcionais Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que toda operação envolve dois prazos: (1)o prazo a que se refere à taxa de juros; e (2)o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. (ASSAF NETO, 2001).
  • 3. Taxas Proporcionais • Também conhecida como taxa nominal ou linear; • Muito difundida em operações de curto e curtíssimo prazo • Cálculo de Juros de Mora; • Descontos bancários; • Créditos de curtíssimo prazo; • Apuração de encargos sobre saldo devedor em conta corrente.
  • 4. • No Regime de Juros Simples, as taxas proporcionais também são consideradas equivalentes. Exemplo: • Proporcionais: Em juros simples, 3% a.m. e 9% a.t. são consideradas proporcionais. • Equivalentes: Essas mesmas taxas, em um mesmo período de tempo, geram num capital de mesmo valor um mesmo resultado de montante. Taxas Proporcionais – Juros Simples
  • 5. Período(n) Taxa(i) 3% a.m. 9% a.t. 3% a.m. 9% a.t. PV 80.000,00R$ 80.000,00R$ 80.000,00R$ 80.000,00R$ Cálculo 80.000x(1+0,03x3) 80.000x(1+0,09x1) 80.000x(1+0,03x12) 80.000x(1+0,09x4) FV 87.200,00R$ 87.200,00R$ 108.800,00R$ 108.800,00R$ 3meses 12meses Taxas Proporcionais – Juros Simples
  • 6. Taxas Proporcionais – Juros Simples Exercício Manoel emprestou R$2.800,00 a um amigo por 22 dias, cobrando juros simples de 6% ao mês. Qual o valor a ser resgatado por Manoel? Taxa de juros do período i= (6%/30 dias) x 22 dias = 4,4% = 0,044 Valor dos Juros (R$) R$ 2800 x 0,044 = R$ 123,20 Fator de Correção FATOR = (1 + i) = 1 + 0,044 = 1,044 Valor Futuro (FV) FV = R$ 2800 x 1,044 = R$ 2923,20
  • 7. Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos • Taxa Nominal (Aparente) • Período de capitalização é igual ao prazo da taxa. • Exemplos: • 35% a.a. com capitalização anual; • 5% a.m. com capitalização mensal; • 0,02% a.d. com capitalização diária. • Taxa Efetiva • Período de capitalização não coincide com o prazo da taxa. • Exemplos: • 12% a.a., capitalizados mensalmente; • 2% a.m., capitalizados diariamente.
  • 8. Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos A comparação entre taxas só pode ser realizada com TAXAS EFETIVAS. Por isso, sendo dada uma taxa nominal, deve-se determinar a taxa efetiva à que ela corresponde.
  • 9. Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos • Obtenção da Taxa Efetiva a partir de uma Taxa Nominal: 𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 = 1 + 𝑖 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑘 𝑘 − 1 onde: 𝑘 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜
  • 10. Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos • Exemplo: Transformar a taxa de 15% a.a., capitalizada diariamente, em uma taxa efetiva anual. 1º - Observar o período em que a taxa está expressa: 15% a.a. 2º - Observar o período da capitalização: “capitalizada diariamente” 3º - Observar em que período a taxa efetiva deverá ser expressa, verificando qual a conversão a ser feita: A taxa efetiva deverá ser ANUAL, logo a conversão será: Capitalização diária Capitalização anual 4º - Calcular o “k”
  • 11. Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos • Cálculo do “k” 𝑘 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑚 "𝑎𝑛𝑜" 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 "𝑑𝑖𝑎" Conversão pedida: de dia para ano 𝑘 = 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑚 1 𝑎𝑛𝑜? 1 𝑑𝑖𝑎 = 360 1 = 𝟑𝟔𝟎
  • 12. Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos • Calcular a “𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎”: 𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1 + 0,15 360 360 − 1 𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 16,18% 𝑎. 𝑎.
  • 13. Taxas Nominal e Efetiva – Juros Compostos • Exercícios 1. Se o capital de $ 1.000,00 for aplicado num fundo de investimento que rende 20% a.a., capitalizados semestralmente, quanto teremos um ano após? 2. Um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um ano à uma taxa nominal de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Determine o montante e o juro efetivo do empréstimo. 3. Qual é a taxa efetiva de 37% a.m. com capitalização diária?
  • 14. Taxas Equivalentes – Juros Compostos • Duas, ou mais taxas, são consideradas EQUIVALENTES quando, incidindo sobre um mesmo capital durante um certo prazo, produzem montantes iguais pelo regime de capitalização composta. • A diferença para os juros simples fica por conta da fórmula de cálculo da taxa de juros. • Por se tratar de uma capitalização exponencial, a expressão da taxa equivalente é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro.
  • 15. Taxas Equivalentes – Juros Compostos • Exemplos: 1. As taxas 12,68% ao ano e 1% ao mês são consideradas equivalentes entre si; 2. As taxas 1,66% ao mês e 10,3826% ao semestre são consideradas equivalentes entre si. • Se levarmos em consideração um capital de $ 100 mil, por um prazo de 2 anos, temos: PV n (anos) i = 1% ao mês i= 12,68% ao ano i= 1,66% ao mês i= 10,3826% ao semestre 100000 2 R$126.973,46 R$126.967,82 148.457,63R$ R$148.457,61 Montante (FV)
  • 16. Taxas Equivalentes – Juros Compostos •Observação “ Quanto maior for a quantidade de números após a vírgula de uma taxa, mais próximo de uma equivalência definitiva estarão as mesmas!”
  • 17. Taxas Equivalentes – Juros Compostos • Taxa Equivalente MAIOR • Referente ao período de tempo maior • De acordo com os exemplos citados, seriam as taxas de 12,68% ao ano e 10,3826% ao semestre. • Taxa equivalente MENOR • Referente ao período de tempo menor • As taxas de 1% e 1,66%, ambas ao mês, do exemplo anterior.
  • 18. Taxas Equivalentes – Juros Compostos • Fórmulas para o cálculo de taxas equivalentes Sendo: 𝑖 𝑀 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑀𝐴𝐼𝑂𝑅, 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎; 𝑖 𝑚 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑀𝐸𝑁𝑂𝑅, 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎; 𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟. Temos: Fórmula para a Taxa equivalente MAIOR: 𝑖 𝑀 = 1 + 𝑖 𝑚 𝑛 − 1 Fórmula para a Taxa equivalente MENOR: 𝑖 𝑚 = 𝑛 1 + 𝑖 𝑀 − 1
  • 19. Taxas Equivalentes – Fato Interessante • Um banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). • Desta maneira, uma aplicação de $ 10.000,00 produz, ao final de 6 meses, o montante de $ 11.200,00; • Efetivamente, 12% constituem-se na Taxa de rentabilidade da operação para o período inteiro de 1 semestre; • No caso de tratarmos a rentabilidade mensal dessa aplicação, devemos expressar em termos da taxa equivalente composta. 𝑖6 = 6 1 + 0,12 − 1 = 1,91% • Assim, os 12% de rendimentos semestrais determinam uma rentabilidade efetiva mensal de 1,91%, e não de 2% conforme foi anunciado.
  • 20. Taxas Equivalentes – Exercícios 1. Se uma corretora oferece uma taxa de 12% a.m., no regime de juros compostos, qual será o valor resgatado, após 3 meses, da aplicação de $ 1.000,00? E, se o prazo fosse 16 dias? 2. Quais as taxa de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% a.a.? 3. A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal à base de 0,5% a.m.. Calcular a rentabilidade efetiva dessa aplicação financeira. 4. Sendo 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma Instituição, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: 1. Mensal; 2. Trimestral; 3. Semestral. 5. Calcular as taxas efetivas ao ano equivalentes às seguintes taxas nominais: 1. 24% a.a., capitalizada mensalmente; 2. 48% a.s., capitalizada mensalmente; 3. 60% a.t., capitalizada diariamente.
  • 21. Descontos • São juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pagamento de um título é antecipado. • É a diferença entre o valor nominal (S) de um título na data de seu vencimento e o seu valor líquido (C) na data em que é efetuado o pagamento. • 𝐷 = 𝑆 − 𝐶 • São nomeados SIMPLES ou COMPOSTOS • Em função do cálculo dos mesmos serem regidos nos juros simples, ou compostos. • Os descontos (simples ou compostos) podem ser divididos em: • Desconto comercial, bancário ou “por fora”; • Desconto racional ou “por dentro”.
  • 22. Títulos - Conceito • Título (setor financeiro) • Certificado de endividamento; • Na linguagem financeira, significa um papel (ou documento) negociável, representativo de valor. • Exemplo: Título de Crédito • Documento que representa valor em dinheiro ou operação de crédito, passível de circulação. • São títulos de crédito: Cheque, Nota Promissória, Letra de Câmbio e Duplicata. • Por sua vez, título bancário é o título de crédito que, por ser de prazo curto, está em condições de ser negociado por um banco.
  • 23. Títulos Bancários - Exemplos • Título de Capitalização • Modalidade de investimento com características de um jogo, no qual pode se recuperar o valor gasto na aposta. • Do valor aplicado pelo investidor, a instituição financeira separa um percentual para a poupança, outro para os sorteios, e um terceiro para cobrir suas despesas. • Título de Transferência • Documento legal, para provar que a propriedade de valores em títulos deve ser transferida do vendedor para o comprador.
  • 24. Descontos Simples - Racional ou “por dentro • Consideremos a seguinte simbologia: • S = valor nominal de um título; • valor impresso no título a ser descontado. • C = valor líquido; • É igual ao valor nominal menos o desconto (C = S – Dr). • Dr = Desconto Racional; • i = taxa de desconto; • n = Número de períodos. • No desconto racional (“por dentro”), o desconto incide sobre o Valor líquido (C) do título a ser descontado. Portanto, temos, por definição que: Dr = C.i.n (I)
  • 25. Descontos Simples - Racional ou “por dentro • Como: • C = S – Dr (II); • Substituímos a (II) em (I), obtendo: • Dr = (S – Dr).i.n • Dr = S.i.n – Dr.i.n • Dr + Dr.i.n = S.i.n • Dr(1 + i.n) = S.i.n • Temos que, a fórmula para o cálculo do desconto racional é: 𝐷𝑟 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 1 + 𝑖. 𝑛
  • 26. Descontos Simples - Racional ou “por dentro • Cálculo do Valor líquido: Através da fórmula C = S – Dr, que também nos dá o valor líquido como resultado, podemos ter uma variação que é: 𝐶 = 𝑆 − 𝐶. 𝑖. 𝑛 𝐶 1 + 𝑖. 𝑛 = 𝑆 𝑪 = 𝑺 𝟏 + 𝒊. 𝒏
  • 27. Descontos Simples - Racional ou “por dentro” • Exemplo: Considere um título cujo valor nominal é de $10.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data do vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m., e o valor desse resgate. • Temos: • S = 10.000; • i = 5% = 0,05 a.m.; • n = 3 meses • Cálculo do Desconto: 𝐷𝑟 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 1 + 𝑖. 𝑛 = 10000.0,05.3 1 + 0,05.3 = 1500 1,15 = $1.304,35 • Cálculo do Valor do resgate (valor líquido): 1ª Fórmula: 𝐶 = 𝑆 − 𝐷𝑟 = 10000 − 1304,35 = $8.695,65 2ª Fórmula: 𝐶 = 𝑆 1+𝑖.𝑛 = 10000 1+0,05.3 = $8.695,65
  • 28. Descontos Simples - Comercial ou “por fora” • Consideremos a seguinte simbologia: • S = valor nominal de um título; • valor impresso no título a ser descontado. • C = valor líquido; • É igual ao valor nominal menos o desconto (C = S – Dr). • Dr = Desconto Racional; • i = taxa de desconto; • n = Número de períodos. • No desconto comercial (“por fora”), o percentual de desconto incide sobre o Valor nominal (S) do título a ser descontado. Portanto, temos, por definição que: Dc = S.i.n (I)
  • 29. • Cálculo do Valor líquido: Através da fórmula C = S – Dc, que também nos dá o valor líquido como resultado, podemos ter uma variação que é: 𝐶 = 𝑆 − 𝑆. 𝑖. 𝑛 𝑪 = 𝑺 𝟏 − 𝒊. 𝒏 Descontos Simples - Comercial ou “por fora”
  • 30. • Exemplo: Considere um título cujo valor nominal é de $10.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data do vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m., e o valor desse resgate. • Temos: • S = 10.000; • i = 5% = 0,05 a.m.; • n = 3 meses • Cálculo do Desconto: 𝐷𝑐 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 = 10000.0,05.3 = $1.500,00 • Cálculo do Valor do resgate (valor líquido): 1ª Fórmula: 𝐶 = 𝑆 − 𝐷𝑐 = 10000 − 1500 = $8.500,00 2ª Fórmula: 𝐶 = 𝑆 1 − 𝑖. 𝑛 = 10000.0,85 = $8.500,00 Descontos Simples - Comercial ou “por fora”
  • 31. • Nota-se que, para as duas modalidades de descontos, os valores finais do desconto e do valor líquido são diferentes entre eles. Descontos Simples - Comercial ou “por fora” • Desconto Racional: • Valor do desconto = $1.304,35 • Valor líquido = $8.695,65 • Desconto Comercial: • Valor do desconto = $1.500,00 • Valor líquido = $8.500,00 • Desconto comercial > Desconto racional • Isto explica o motivo dos bancos adotarem o desconto comercial • No desconto comercial, resulta num valor líquido menor a ser recebido pelo portador do título a ser descontado antes do prazo de vencimento. • Pessoa física ou empresa.
  • 32. Descontos Simples - Bancário • Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar outras taxas • Despesas administrativas: Percentual cobrado sobre o valor nominal do título; • IOF: Imposto sobre Operações Financeiras 𝐷𝑏 = 𝐷𝑐 + 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 + ℎ ; onde: h = taxas adicionais (Administrativas, IOF, etc. ) • Portanto: • Através dessa técnica, os bancos concedem descontos maiores que incidem nos títulos que são resgatados antes do vencimento, resultando numa retirada de um valor menor para o proprietário do título.
  • 33. Taxa de Juros Efetiva • Faremos um comparativo entre as três modalidades (racional, comercial e bancária), com base num mesmo exemplo, como segue: • Uma pessoa pretende saldar um título de $5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto irá obter? • Temos: • S = 5500; • n = 3 meses; • i = 40% ao ano. Calculando a taxa proporcional ao mês: 𝑖 = 0,40 12
  • 34. • Cálculo pelo DESCONTO RACIONAL: • O Desconto 𝐷𝑟 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 1 + 𝑖. 𝑛 = 5500𝑥 0,40 12 𝑥3 1 + 0,40 12 𝑥3 = 5500𝑥0,10 1,10 = 550 1,10 = $500,00 • O Valor líquido 𝐶 = 𝑆 − 𝐷𝑟 = 5500 − 500 = $5.000,00 • Prova real da taxa de juros 𝒊′ 𝟑 = 𝑫𝒓 𝑪 = 𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟎 𝒂. 𝒕. = 𝟎, 𝟏𝟎𝒙𝟒 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎% 𝒂. 𝒂. • A taxa de desconto utilizada na operação é a que está sendo cobrada de fato! Taxa de Juros Efetiva
  • 35. • Cálculo pelo DESCONTO COMERCIAL: • O Desconto 𝐷𝑐 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 = 5500𝑥 0,40 12 𝑥3 = $550,00 • O Valor líquido 𝐶 = 𝑆 − 𝐷𝑟 = 5500 − 550 = $4.950,00 • Prova real da taxa de juros 𝒊′ 𝟑 = 𝑫𝒓 𝑪 = 𝟓𝟓𝟎 𝟒𝟗𝟓𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂. 𝒕. = 𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝟒 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟒𝟒, 𝟒𝟒% 𝒂. 𝒂. • A taxa de desconto utilizada na operação não é a que está sendo cobrada de fato! Taxa de Juros Efetiva
  • 36. • Cálculo pelo DESCONTO BANCÁRIO: (Além das informações do enunciado de exemplo, o Banco “X” cobra 2% de despesas administrativas e IOF de 1,5% a.a.) 1. Cálculo do desconto bancário (Db): • 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 = 5500𝑥0,02 = 110; • 𝐼𝑂𝐹 = 5500𝑥 0,015 360 𝑥90 = 20,625; • 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑜𝑚𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐷𝑐 = 𝑆. 𝑖. 𝑛 = 5500𝑥 0,40 12 𝑥3 = 550; • Desconto Bancário (Db) = Dc + h = 550 + (110 + 20,625) = 680, 62 2. Cálculo do valor líquido (C): • C = S – Db = 5500 – 680,62 = $4.819,38 Taxa de Juros Efetiva
  • 37. • Prova Real da taxa de juros: 𝒊′ 𝟑 = 𝑫𝒃 𝑪 = 𝟔𝟖𝟎, 𝟔𝟐 𝟒𝟖𝟏𝟗, 𝟑𝟖 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟏𝟐 𝒂. 𝒕. = 𝟎, 𝟏𝟒𝟏𝟐 𝒙 𝟒 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟒𝟖 = 𝟓𝟔, 𝟒𝟖% 𝒂. 𝒂. • A taxa de desconto utilizada na operação não é a que está sendo cobrada de fato! Taxa de Juros Efetiva
  • 38. • É preciso, portanto, no caso dos descontos Comercial e Bancário calcular a taxa que realmente está sendo cobrada na operação. • Taxa de juros efetiva • É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado (comercial ou bancário), gera no período, um montante igual ao valor nominal. • Tem duas maneiras de se encontrar a taxa efetiva Taxa de Juros Efetiva • 𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑆 𝐶 −1 𝑛 , onde: • S = Valor nominal; • C = Valor líquido; • n = Período. • 𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑆 𝐶 − 1 𝑥100, onde: • S = Valor nominal; • C = Valor líquido;
  • 39. • Exemplo: • Seja o valor do desconto comercial de $4.950,00, o título de $ 5.500,00 saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual é a taxa de juros efetiva cobrada nessa operação? • Calculando pela fórmula “a”: 𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑆 𝐶 − 1 𝑛 = 5500 4950 − 1 3 = 1,1111 − 1 3 = 0,03703 𝑎. 𝑚. = 0,44 𝑎. 𝑎. • Calculando pela fórmula “b”: 𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑆 𝐶 − 1 𝑥100 = 5500 4950 − 1 𝑥100 = 11,11% 𝑎. 𝑡. = 44,44% 𝑎. 𝑎. Taxa de Juros Efetiva
  • 40. • Podemos entender o desconto comercial como sendo o montante do desconto racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa. 𝐷𝑐 = 𝐷𝑟 1 + 𝑖. 𝑛 • Onde: • Dc = Desconto Comercial; • Dr = Desconto Racional; • i = Taxa de desconto; • n = Número de períodos antes do vencimento. Relação entre desconto racional e comercial
  • 41. • Exemplo: • O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes do seu vencimento, à uma taxa de 40% a.a., é de $ 550,00. Qual é o desconto racional? 𝐷𝑐 = 𝐷𝑟 1 + 𝑖. 𝑛 𝐷𝑟 = 𝐷𝑐 1 + 𝑖. 𝑛 = 550 1 + 0,40 12 𝑥3 = 550 1,10 = $ 500 Relação entre desconto racional e comercial