O documento discute equações biquadradas, que são equações polinomiais do 4o grau na forma ax4 + bx2 + c = 0. Explica como resolver tais equações substituindo x4 por y2 e x2 por y para reduzi-las a uma equação quadrática. Apresenta exemplos de resolução de equações biquadradas e propriedades de suas raízes, como a soma das raízes sendo nula e a soma dos quadrados das raízes sendo igual a -b/a.

1. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
Aula:24/03
André Luiz

2. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
Def.:Equação biquadrada com uma variável x é
toda equação da forma: ,
com a, b e c pertencente os reais com a≠0, e n
pertence aos naturais, sendo n>=2.
Exemplos:
a) 9x4 - 13x2 + 4 = 0 b) x4 - 13x2 + 36 = 0
Note que os primeiros membros são polinômios
do 4º grau na variável x, possuindo um termo
em x4, um termo em x2 e um termo constante.
ax4 + bx2 + c = 0

3. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
ATENÇÃO!
OBSERVE OS EXEMPLOS:
a)x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0
b)6x4 + 2x3 - 2x = 0
c)x4 - 3x = 0
As equações acima não são biquadradas!

4. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRÁTICA:
Na resolução de uma equação biquadrada em
IR devemos substituir sua variável,
transformando-a numa equação do 2º grau.

5. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRÁTICA:
Critério para resolução:
1)Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra
incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
2)Resolva a equação ay2 + by + c = 0
3)Determine a raiz quadrada de cada uma da
raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c =0.

6. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRÁTICA:
Exemplo 1:
Determine as raízes da equação biquadrada x4 -
13 x2 + 36 = 0.

7. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRÁTICA:
Exemplo 1:
Determine as raízes da equação biquadrada x4 -
13 x2 + 36 = 0.
Portanto, essas duas relações indicam-nos que
cada raiz positiva da equação ay² + by + c = 0 dá
origem a duas raízes simétricas para a
biquadrada: a raiz negativa não dá origem a
nenhuma raiz real para a mesma.

8. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRÁTICA:
Exemplo 2:
Determine as raízes da equação biquadrada
w4 + 4w2 - 60 = 0.
Resolvendo:
Y’=6 e y”= -10 ñ existe raiz real
W=± raiz² 6

9. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRÁTICA:
Exemplo 3:
Determine a soma das raízes da equação
biquadrada

10. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
EQUAÇÕES DA FORMA: ax2n + bxn + C = 0
Podemos resolver essa equação aplicando o
mesmo processo resolutivo das equações
biquadradas.
Para isso, substituímos xn por uma outra
variável y, obtendo um redução exponencial
resultando numa equação de grau 2, ou seja
ay² + by + c = 0.
Lembre-se: xn=y → x = ±( y )1/n

11. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
EQUAÇÕES DA FORMA: ax2n + bxn + C = 0
Exemplo1:
Resolva a equação x6 + 117x3 - 1000 = 0.
Fazendo x3=y, temos:
y2 + 117y - 1000 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
y'= 8 e y''= - 125
Logo x’=2 e x”= - 5 S={ -5, 2}

12. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
COMPOSIÇÃO DA EQUAÇÃO BIQUADRADA
Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2,
x3 e x4 pode ser expressa na sua forma fatorada:
(x – x1).( x – x2).( x – x3). ( x –x4) =0

13. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
COMPOSIÇÃO DA EQUAÇÃO BIQUADRADA
Exemplo: Seja as raízes da equação x’=±a e
x”=±b, escreva a equação biquadrada que
corresponde.

14. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO
BIQUADRADA.
1ª Propriedade: A soma das raízes reais da
equação biquadrada é nula; (Pois são simétricas)
2ª Propriedade: A soma dos quadrados das
raízes reais da equação biquadrada é igual a :

15. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO
BIQUADRADA.
3ª Propriedade:O produto das raízes reais e
não-nulas da equação biquadrada é igual a c/a