Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Exercícios Globais

1. 1. Na tabela abaixo, 𝑥 e 𝑦 denotam as coordenadas de pontos de uma parábola da forma 𝑦 = 𝑎𝑥2
, 𝑎 ≠ 0.
Apenas uma das coordenadas é apresentada.
𝑥 3 8
𝑦 5 7 10
Indica de quantas maneiras é possível completar a tabela.
Mostra como obtiveste a tua resposta.
2. Na Figura encontram-se:
 Uma parábola de equação 𝑦 = 𝑥2
e a sua simétrica em relação ao
eixo das abcissas;
 Uma reta de equação 𝑦 = 𝑎𝑥, para algum 𝑎 ∈ ℤ não nulo, e a sua
simétrica em relação ao eixo das ordenadas.
 Dois triângulos cujos vértices são os pontos de interseção das retas
com as parábolas e a origem do referencial (vértice em comum).
Seja 𝐴 a área sombreada (área dos dois triângulos juntos).
2.1. Mostra que 𝐴 = 2𝑎3
.
2.2. Considera 𝐴 ∈ 2, 40 .
Nessa condição, escreve as equações que definem as retas da Figura.
Apresenta os cálculos/justificações pertinentes.
3. Quantas soluções pode ter uma equação do tipo 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 3
= 0, 𝑎 ≠ 0?
Apresenta os cálculos/justificações pertinentes.
4. Considera o intervalo 𝐼 = 2 −
1
𝑛
, 2 +
1
𝑛
, para algum 𝑛 ∈ ℕ.
Relativamente ao intervalo apresentado, qual das seguintes afirmações é falsa?
(A) O intervalo 𝐼 contém apenas números positivos.
(B) A amplitude do intervalo 𝐼 não excede 2.
(C) O conjunto-solução da inequação 𝑛 𝑥 − 2 < 1 é diferente de 𝐼.
(D) O erro cometido ao aproximar 2 por um número pertencente a 𝐼 é inferior a 1.
5. Considera, para algum 𝑎 ∈ ℝ, o intervalo 𝐼 = 𝑎2
+ 1, +∞ .
Qual dos seguintes números pode pertencer ao intervalo 𝐼?
Assinala a opção correta.
(A) −1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
6. Na Figura, estão representadas quatro retas cujos pontos de
interseção pertencem aos eixos do referencial e definem um
quadrado (a sombreado).
Considera que a área do quadrado é igual a 25.
Qual das seguintes expressões define uma das retas representadas?
Assinala a opção correta.
(A) 5𝑥 + 5
(B) 5𝑥 + 1
(C) 𝑥 + 5
(D) −5𝑥 − 5
7. Considera a reta de equação 𝑦 = 𝑘 + 1 𝑥 + 𝑘, para algum 𝑘 real não nulo.
Determina as coordenadas do ponto de interseção da reta anterior com a reta de equação 𝑦 = 𝑥.
8. Dados dois números reais 𝑥 e 𝑦, mostra que 𝑥2
= 𝑦2
se e só se 𝑥 = 𝑦 .
(Nota: “se e só se” traduz uma dupla implicação!)

2. 9. Na Figura, estão representadas, em referencial cartesiano, as retas 𝑟, 𝑠 e
𝑡, os ângulos 𝑎 e 𝑏 e uma circunferência centrada na origem e de raio
2. Tal como a figura sugere, a reta 𝑡 interseta a circunferência em
dois pontos.
9.1. Quais das seguintes expressões completam a afirmação abaixo?
As retas ___ definem um sistema impossível e, portanto, 𝑎 + 𝑏 é
igual a ___.
Assinala a opção correta.
(A) 𝑟 e 𝑠 … 150°
(B) 𝑠 e 𝑡 … 180°
(C) 𝑟 e 𝑠 … 180°
(D) 𝑠 e 𝑡 … 150°
9.2. Considera que a reta 𝑡 é definida por 𝑦 = 2𝑥.
Qual dos seguintes números define a abcissa de um dos pontos de interseção da reta 𝑡 com a
circunferência?
Assinala a opção correta.
(A)
1
5
(B)
2
5
(C)
3
5
(D)
4
5
10. Considera os conjuntos 𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ ∶ 3𝑥2
− 3𝑥 − 5 = 0 ∧ 2 𝑥 − 3 < 𝑥 e 𝐵 = −33, 33 ∩ ℚ.
10.1. Representa em extensão o conjunto 𝐴.
10.2. Considera o número 𝑎 2, onde 𝑎 é um número real.
Dá dois exemplos de números para 𝑎 de forma que, para um deles, 𝑎 2 ∈ 𝐵 e, para o outro, 𝑎 2 ∉ 𝐵.
10.3. Justifica que o intervalo 0, 1 não está contido em 𝐵.
10.4. Considera o conjunto 𝐶 = −22, 20 ∩ ℤ. Indica quantos elementos tem 𝐵 ∩ 𝐶.
11. Considera o teorema: “Se dois intervalos forem limitados, então a sua reunião é um conjunto limitado.”
11.1. Identifica a hipótese e a tese do teorema.
11.2. Demonstra o teorema.
11.3. Enuncia um corolário do teorema.
12. Considera, em referencial cartesiano, a reta e a hipérbole definidas, respetivamente, por 𝑦 =
4
𝑥
e 𝑦 = 𝑎𝑥, onde
𝑎 é um número positivo. Sabe-se que a reta e a hipérbole intersetam-se nos pontos 𝐴 e 𝐵.
Justifica que 𝐴𝐵 = 2𝑂𝐴, onde 𝑂 é a origem do referencial.
13. Determina os valores de 𝑚 para os quais a equação 𝑚𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑚𝑥 = 0 tem exatamente duas soluções.
14. Qual dos seguintes números é irracional?
Assinala a opção correta.
(A) 3 − 48
2
(B) 3 − 49
2
(C) sin(30°)
(D) 1 − cos2
(30°)

3. 15. Mostra que se dois números positivos distam entre si 2 unidades, então a distância entre os seus quadrados é
superior a 4 unidades.
16. Mostra que sen α + cos 𝛼 > 1, onde 𝛼 é um ângulo agudo.
17. Mostra que
sen 3 𝑥−cos 3 𝑥
sen 𝑥−cos 𝑥
− 1 = sen 𝑥cos 𝑥.
18. Na figura ao lado está representado um círculo de centro 𝐴 e o triângulo retângulo
[𝐴𝐵𝐶], onde 𝛽 é um dos seus ângulos agudos e o cateto [𝐴𝐶] é um raio do círculo.
Admite que 𝐴𝐵 = 6 cm.
18.1. Mostra que a área do círculo é dada, em função de 𝛽, por 36𝜋 tan2
𝛽.
18.2. Para um certo valor de 𝛽, a área do círculo é igual a 𝜋 cm2
.
Determina, nesse caso, a medida da amplitude do ângulo 𝐴𝐶𝐵.
Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
19. Determina o perímetro de um pentágono regular cuja apótema mede 3 cm.
Usa métodos exclusivamente trigonométricos e apresenta o resultado com arredondamento às centésimas.
20. A superfície de uma bola é constituída por 12 pentágonos regulares e 20 hexágonos regulares.
Sabendo que a medida do lado de cada polígono é 6 cm, calcula a área da superfície da bola.