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Prova escrita de Matemática A
10.º ANO DE ESCOLARIDADE
Duração: 120 minutos (+20 minutos tolerância)
Temas: Lógica e teoria de conjuntos + Geometria analítica de Plano e Espaço
Versão 1
Indique de forma legível a versão da prova.
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.
É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.
Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.
Para cada resposta, identifique o grupo e o item.
Apresente as suas respostas de forma legível.
Apresente apenas uma resposta para cada item.
As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
Grupo I
Na resposta aos itens deste grupo, seleciona a opção correta. Escreva na folha de resposta, o número do
item e a letra que identifica a opção escolhida.
1. Considere a condição ( 𝑥 + 1)2
+ ( 𝑦 − 1)2
≤ 2 ∧ 𝑥 ≥ 0.
Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, o conjunto de pontos
definidos por esta condição?
(A) ( (B)
(C) 8 (D)
H
2. Qual é a distância entre 𝑁 e C (arrendondado às
centésimas), sabendo que:
 𝑁 é o ponto médio entre 𝑃 e 𝐶.
 𝑃 é o ponto médio entre 𝐴 e C.
(A) 4.24
(B) 7.02
(C) 3.54
(D) 3.48
3. Considere os seguintes vetores do espaço 𝑢⃗ = (1;3; 5); 𝑣 = (2;5; 2); 𝑠 = (√3; √5; −√4); 𝑡 =
(3; √15;4√3) e 𝑥 = (1;
5
√4
;1).
Qual dos seguintes pares de vetores se podem considerar colineares?
(A) 𝑢⃗ ; 𝑣
(B) 𝑣; 𝑡
(C) 𝑠; 𝑡
(D) 𝑣; 𝑥
4. Qual das seguintes retas apresentam a mesma inclinação que a 𝑦 = −2𝑥 + 3?
(A) ( 𝑥; 𝑦) = (2; −4) 𝑘 + (1, 1), 𝑘 ∈ ℝ
(B) ( 𝑥; 𝑦) = (2, −1) + 𝑘(6, −3), 𝑘 ∈ ℝ
(C) ( 𝑥; 𝑦) = (1;
√64
√16
) 𝑘 + (7,−14), 𝑘 ∈ ℝ
(D)
𝑥−2
4
=
𝑦+1
2
5. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um cubo
de aresta 2.
Sabe-se que:
 A face [𝐴𝐵𝐶𝐷] está contida no plano 𝑥𝑂𝑦;
 A aresta [𝐷𝐶] está contida no eixo 𝑂𝑦
 O ponto 𝐷 tem coordenadas (0, 2; 0)
Os pontos de coordenadas (2, 2;0) e (0;4; 0) são vértices do cubo.
Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices?
(A) 𝐴𝐵𝐶 (B) 𝐴𝐶𝐺 (C) 𝐵𝐷𝐻 (D) 𝐵𝐶𝐹
6. Considere a condição 𝑝( 𝑥): 𝑥 é um número irracional Qual das seguintes proposições é verdadeira?
(A) 𝑝(2) ⟺ 𝑝(√2)
(B) 𝑝(√2) ⟹ 𝑝(√(−3)2
(C) ~𝑝( 𝜋) ∧ 𝑝(√3)
(D) 𝑝(−√4) ∨ 𝑝(√5)
7. Quantas soluções tem a intercessão da circunferência com uma reta secante a esta?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
8. Considere três proposições 𝑝, 𝑞 e 𝑟 tais que 𝑝 ⟹ 𝑞 ∨ ~𝑟 é falsa.
As proposições têm, respetivamente, o valor lógico de:
(A) V, V, V
(B) V, F, V
(C) V, F, F
(D) V, F, F
Grupo II
Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
necessárias.
Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
1. Considera as seguintes proposições verdadeiras:
I. Se o ladrão for preso, então não usou luvas;
II. Se o ladrão não saltou pela janela, então usou máscara;
III. O ladrão usou luvas (e/ou) não usou máscara;
IV. O ladrão foi preso.
1.1. Representa por letras as proposições elementares traduza em linguagemsimbólica as
proposições consideradas.
1.2. Determina o valor lógico de:
1.2.1. O ladrão usou luvas.
1.2.2. O ladrão usou máscara.
1.2.3. O ladrão não usou luvas e saltou pela janela.
2. Na figura, estão representadas, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, uma reta 𝐴𝐵 e uma circunferência com
centro na origem e raio igual a 5.
Os pontos 𝐴 e 𝐵 pertencem à circunferência.
O ponto 𝐴 também pertence ao eixo das abcissas.
Admitindo que o declive da reta 𝐴𝐵 é igual a
1
2
, resolva as três alíneas seguintes:
I. Mostre que uma equação da reta 𝐴𝐵 é 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0.
II. Mostre que o ponto 𝐵 tem coordenadas (3;4).
III. Seja 𝐶 o ponto de coordenadas (−3;16).
Verifique que o triângulo [𝐴𝐵𝐶] é retângulo em 𝐵.
3. Simplifica a seguinte proposição:
[𝑝 ∧ ( 𝑝 ⟹ 𝑞)] ⟹ 𝑞
4. Considera, em ℝ, os conjuntos:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥2
− 4 = 0 ∨ −2𝑥 < 3}
𝐵 = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 1 < 𝑥 ≤ 3}
Determine com a forma de intervalos de números reais 𝐴 ∪ (𝐵̅ ∩ 𝐴̅).
5. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um sólido que pode ser decomposto num
cubo e numa pirâmide quadrangular regular.
A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice 𝑃 pertence ao eixo 𝑂𝑥 e o vértice 𝑅
pertence ao eixo 𝑂𝑦.
Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [𝑂𝑃𝑄𝑅].
O ponto 𝑄 temm coordenadas (2;2; 0)
O volume do solido é igual a 10.
a) Determina a cota de E.
b) Determina a equação da superfície esférica que tem centro no ponto 𝑇 e que passa por 𝐶.
c) Determina as componentes do vetor 𝑅𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ , tendo em conta os vetores coordenados apresentados
na figura seguinte.
Fim da prova
Cotações
Grupo I …………………………………………………………8 × 8 pontos………………………………………………………64 pontos
Grupo II 136 pontos
1. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos
1.1. ……………………………………………………………4 x 2 ………………………………………………………. 8 pontos
1.2. ……………………………………………………………3 x 2 ………………………………………………………. 6 pontos
2. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontos
I. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos
II. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos
III. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos
3. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos
4. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 11 pontos
5. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontos
a ……………………………………………………………………………………………………………………………… 18 pontos
b ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos
c ……………………………………………………………………………………………………………………………… 10 pontos
Total 200
pontos
Prova escrita de Matemática A
10.º ANO DE ESCOLARIDADE
Duração: 120 minutos (+20 minutos tolerância)
Temas: Lógica e teoria de conjuntos + Geometria analítica de Plano e Espaço
Versão 2
Indique de forma legível a versão da prova.
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.
É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.
Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.
Para cada resposta, identifique o grupo e o item.
Apresente as suas respostas de forma legível.
Apresente apenas uma resposta para cada item.
As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
Grupo I
Na resposta aos itens deste grupo, seleciona a opção correta. Escreva na folha de resposta, o número do
item e a letra que identifica a opção escolhida.
1. Considere a condição ( 𝑥 + 1)2
+ ( 𝑦 − 1)2
≤ 2 ∧ 𝑥 ≥ 0.
Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, o conjunto de pontos
definidos por esta condição?
(A) ( (B)
(C) 8 (D)
H
2. Qual é a distância entre 𝑁 e B (arrendondado às
centésimas), sabendo que:
 𝑁 é o ponto médio entre 𝑃 e 𝐶.
 𝑃 é o ponto médio entre 𝐴 e C.
(A) 4.24
(B) 7.02
(C) 3.48
(D) 3.54
3. Considere os seguintes vetores do espaço 𝑢⃗ = (1;3; 5); 𝑣 = (2;5; 2); 𝑠 = (√3; √5; −√4); 𝑡 =
(3; √15;4√3) e 𝑥 = (1;
5
√4
;1).
Qual dos seguintes pares de vetores se podem considerar colineares?
(A) 𝑣; 𝑥
(B) 𝑠; 𝑡
(C) 𝑢⃗ ; 𝑣
(D) 𝑣; 𝑡
4. Qual das seguintes retas apresentam a mesma inclinação que a 𝑦 = −2𝑥 + 3?
(A)
𝑥−2
4
=
𝑦+1
2
(B) ( 𝑥; 𝑦) = (2, −1) + 𝑘(6, −3), 𝑘 ∈ ℝ
(C) ( 𝑥; 𝑦) = (2; −4) 𝑘 + (1, 1), 𝑘 ∈ ℝ
(D) ( 𝑥; 𝑦) = (1;
√64
√16
) 𝑘 + (7,−14), 𝑘 ∈ ℝ
5. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um cubo
de aresta 2.
Sabe-se que:
 A face [𝐴𝐵𝐶𝐷] está contida no plano 𝑥𝑂𝑦;
 A aresta [𝐷𝐶] está contida no eixo 𝑂𝑦
 O ponto 𝐷 tem coordenadas (0, 2; 0)
Os pontos de coordenadas (2, 2;0) e (0;4; 0) são vértices do cubo.
Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices?
(A) 𝐵𝐶𝐹 (B) 𝐵𝐷𝐻 (C) 𝐴𝐶𝐺 (D) 𝐴𝐵𝐶
6. Considere a condição 𝑝( 𝑥): 𝑥 é um número irracional Qual das seguintes proposições é verdadeira?
(A) ~𝑝( 𝜋) ∧ 𝑝(√3)
(B) 𝑝(−√4) ∨ 𝑝(√5)
(C) 𝑝(2) ⟺ 𝑝(√2)
(D) 𝑝(√2) ⟹ 𝑝(√(−3)2
7. Quantas soluções tem a intercessão da circunferência com uma reta secante a esta?
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
8. Considere três proposições 𝑝, 𝑞 e 𝑟 tais que 𝑝 ⟹ 𝑞 ∨ ~𝑟 é falsa.
As proposições têm, respetivamente, o valor lógico de:
(A) V, F, F
(B) V, F, F
(C) V, V, V
(D) V, F, V
Grupo II
Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
necessárias.
Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
1. Considera as seguintes proposições verdadeiras:
I. Se o ladrão for preso, então não usou luvas;
II. Se o ladrão não saltou pela janela, então usou máscara;
III. O ladrão usou luvas (e/ou) não usou máscara;
IV. O ladrão foi preso.
1.1. Representa por letras as proposições elementares traduza em linguagemsimbólica as
proposições consideradas.
1.2. Determina o valor lógico de:
1.2.1. O ladrão usou luvas.
1.2.2. O ladrão usou máscara.
1.2.3. O ladrão não usou luvas e saltou pela janela.
2. Na figura, estão representadas, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, uma reta 𝐴𝐵 e uma circunferência com
centro na origem e raio igual a 5.
Os pontos 𝐴 e 𝐵 pertencem à circunferência.
O ponto 𝐴 também pertence ao eixo das abcissas.
Admitindo que o declive da reta 𝐴𝐵 é igual a
1
2
, resolva as três alíneas seguintes:
I. Mostre que uma equação da reta 𝐴𝐵 é 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0.
II. Mostre que o ponto 𝐵 tem coordenadas (3;4).
III. Seja 𝐶 o ponto de coordenadas (−3;16).
Verifique que o triângulo [𝐴𝐵𝐶] é retângulo em 𝐵.
3. Simplifica a seguinte proposição:
[𝑝 ∧ ( 𝑝 ⟹ 𝑞)] ⟹ 𝑞
4. Considera, em ℝ, os conjuntos:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥2
− 4 = 0 ∨ −2𝑥 < 3}
𝐵 = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 1 < 𝑥 ≤ 3}
Determine com a forma de intervalos de números reais 𝐴 ∪ (𝐵̅ ∩ 𝐴̅).
5. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um sólido que pode ser decomposto num
cubo e numa pirâmide quadrangular regular.
A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice 𝑃 pertence ao eixo 𝑂𝑥 e o vértice 𝑅
pertence ao eixo 𝑂𝑦.
Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [𝑂𝑃𝑄𝑅].
O ponto 𝑄 temm coordenadas (2;2; 0)
O volume do solido é igual a 10.
a) Determina a cota de E.
b) Determina a equação da superfície esférica que tem centro no ponto 𝑇 e que passa por 𝐶.
c) Determina as componentes do vetor 𝑅𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ , tendo em conta os vetores coordenados apresentados
na figura seguinte.
Fim da prova
Cotações
Grupo I …………………………………………………………8 × 8 pontos………………………………………………………64 pontos
Grupo II 136 pontos
1. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos
1.1. ……………………………………………………………4 x 2 ………………………………………………………. 8 pontos
1.2. ……………………………………………………………3 x 2 ………………………………………………………. 6 pontos
2. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontos
I. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos
II. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos
III. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos
3. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos
4. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 11 pontos
5. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontos
a ……………………………………………………………………………………………………………………………… 18 pontos
b ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos
c ……………………………………………………………………………………………………………………………… 10 pontos
Total 200
pontos
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Teste 3 - logica e TC + GPE 10ºano

  • 1. Prova escrita de Matemática A 10.º ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 120 minutos (+20 minutos tolerância) Temas: Lógica e teoria de conjuntos + Geometria analítica de Plano e Espaço Versão 1 Indique de forma legível a versão da prova. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
  • 2. Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, seleciona a opção correta. Escreva na folha de resposta, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1. Considere a condição ( 𝑥 + 1)2 + ( 𝑦 − 1)2 ≤ 2 ∧ 𝑥 ≥ 0. Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, o conjunto de pontos definidos por esta condição? (A) ( (B) (C) 8 (D) H 2. Qual é a distância entre 𝑁 e C (arrendondado às centésimas), sabendo que:  𝑁 é o ponto médio entre 𝑃 e 𝐶.  𝑃 é o ponto médio entre 𝐴 e C. (A) 4.24 (B) 7.02 (C) 3.54 (D) 3.48
  • 3. 3. Considere os seguintes vetores do espaço 𝑢⃗ = (1;3; 5); 𝑣 = (2;5; 2); 𝑠 = (√3; √5; −√4); 𝑡 = (3; √15;4√3) e 𝑥 = (1; 5 √4 ;1). Qual dos seguintes pares de vetores se podem considerar colineares? (A) 𝑢⃗ ; 𝑣 (B) 𝑣; 𝑡 (C) 𝑠; 𝑡 (D) 𝑣; 𝑥 4. Qual das seguintes retas apresentam a mesma inclinação que a 𝑦 = −2𝑥 + 3? (A) ( 𝑥; 𝑦) = (2; −4) 𝑘 + (1, 1), 𝑘 ∈ ℝ (B) ( 𝑥; 𝑦) = (2, −1) + 𝑘(6, −3), 𝑘 ∈ ℝ (C) ( 𝑥; 𝑦) = (1; √64 √16 ) 𝑘 + (7,−14), 𝑘 ∈ ℝ (D) 𝑥−2 4 = 𝑦+1 2 5. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um cubo de aresta 2. Sabe-se que:  A face [𝐴𝐵𝐶𝐷] está contida no plano 𝑥𝑂𝑦;  A aresta [𝐷𝐶] está contida no eixo 𝑂𝑦  O ponto 𝐷 tem coordenadas (0, 2; 0) Os pontos de coordenadas (2, 2;0) e (0;4; 0) são vértices do cubo. Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices? (A) 𝐴𝐵𝐶 (B) 𝐴𝐶𝐺 (C) 𝐵𝐷𝐻 (D) 𝐵𝐶𝐹 6. Considere a condição 𝑝( 𝑥): 𝑥 é um número irracional Qual das seguintes proposições é verdadeira? (A) 𝑝(2) ⟺ 𝑝(√2) (B) 𝑝(√2) ⟹ 𝑝(√(−3)2 (C) ~𝑝( 𝜋) ∧ 𝑝(√3) (D) 𝑝(−√4) ∨ 𝑝(√5) 7. Quantas soluções tem a intercessão da circunferência com uma reta secante a esta? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 8. Considere três proposições 𝑝, 𝑞 e 𝑟 tais que 𝑝 ⟹ 𝑞 ∨ ~𝑟 é falsa. As proposições têm, respetivamente, o valor lógico de: (A) V, V, V (B) V, F, V (C) V, F, F (D) V, F, F
  • 4. Grupo II Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. 1. Considera as seguintes proposições verdadeiras: I. Se o ladrão for preso, então não usou luvas; II. Se o ladrão não saltou pela janela, então usou máscara; III. O ladrão usou luvas (e/ou) não usou máscara; IV. O ladrão foi preso. 1.1. Representa por letras as proposições elementares traduza em linguagemsimbólica as proposições consideradas. 1.2. Determina o valor lógico de: 1.2.1. O ladrão usou luvas. 1.2.2. O ladrão usou máscara. 1.2.3. O ladrão não usou luvas e saltou pela janela. 2. Na figura, estão representadas, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, uma reta 𝐴𝐵 e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5. Os pontos 𝐴 e 𝐵 pertencem à circunferência. O ponto 𝐴 também pertence ao eixo das abcissas. Admitindo que o declive da reta 𝐴𝐵 é igual a 1 2 , resolva as três alíneas seguintes: I. Mostre que uma equação da reta 𝐴𝐵 é 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0. II. Mostre que o ponto 𝐵 tem coordenadas (3;4). III. Seja 𝐶 o ponto de coordenadas (−3;16). Verifique que o triângulo [𝐴𝐵𝐶] é retângulo em 𝐵.
  • 5. 3. Simplifica a seguinte proposição: [𝑝 ∧ ( 𝑝 ⟹ 𝑞)] ⟹ 𝑞 4. Considera, em ℝ, os conjuntos: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥2 − 4 = 0 ∨ −2𝑥 < 3} 𝐵 = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 1 < 𝑥 ≤ 3} Determine com a forma de intervalos de números reais 𝐴 ∪ (𝐵̅ ∩ 𝐴̅). 5. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice 𝑃 pertence ao eixo 𝑂𝑥 e o vértice 𝑅 pertence ao eixo 𝑂𝑦. Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [𝑂𝑃𝑄𝑅]. O ponto 𝑄 temm coordenadas (2;2; 0) O volume do solido é igual a 10. a) Determina a cota de E. b) Determina a equação da superfície esférica que tem centro no ponto 𝑇 e que passa por 𝐶. c) Determina as componentes do vetor 𝑅𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ , tendo em conta os vetores coordenados apresentados na figura seguinte. Fim da prova
  • 6. Cotações Grupo I …………………………………………………………8 × 8 pontos………………………………………………………64 pontos Grupo II 136 pontos 1. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos 1.1. ……………………………………………………………4 x 2 ………………………………………………………. 8 pontos 1.2. ……………………………………………………………3 x 2 ………………………………………………………. 6 pontos 2. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontos I. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos II. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos III. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos 3. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos 4. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 11 pontos 5. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontos a ……………………………………………………………………………………………………………………………… 18 pontos b ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos c ……………………………………………………………………………………………………………………………… 10 pontos Total 200 pontos
  • 7. Prova escrita de Matemática A 10.º ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 120 minutos (+20 minutos tolerância) Temas: Lógica e teoria de conjuntos + Geometria analítica de Plano e Espaço Versão 2 Indique de forma legível a versão da prova. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
  • 8. Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, seleciona a opção correta. Escreva na folha de resposta, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1. Considere a condição ( 𝑥 + 1)2 + ( 𝑦 − 1)2 ≤ 2 ∧ 𝑥 ≥ 0. Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, o conjunto de pontos definidos por esta condição? (A) ( (B) (C) 8 (D) H 2. Qual é a distância entre 𝑁 e B (arrendondado às centésimas), sabendo que:  𝑁 é o ponto médio entre 𝑃 e 𝐶.  𝑃 é o ponto médio entre 𝐴 e C. (A) 4.24 (B) 7.02 (C) 3.48 (D) 3.54
  • 9. 3. Considere os seguintes vetores do espaço 𝑢⃗ = (1;3; 5); 𝑣 = (2;5; 2); 𝑠 = (√3; √5; −√4); 𝑡 = (3; √15;4√3) e 𝑥 = (1; 5 √4 ;1). Qual dos seguintes pares de vetores se podem considerar colineares? (A) 𝑣; 𝑥 (B) 𝑠; 𝑡 (C) 𝑢⃗ ; 𝑣 (D) 𝑣; 𝑡 4. Qual das seguintes retas apresentam a mesma inclinação que a 𝑦 = −2𝑥 + 3? (A) 𝑥−2 4 = 𝑦+1 2 (B) ( 𝑥; 𝑦) = (2, −1) + 𝑘(6, −3), 𝑘 ∈ ℝ (C) ( 𝑥; 𝑦) = (2; −4) 𝑘 + (1, 1), 𝑘 ∈ ℝ (D) ( 𝑥; 𝑦) = (1; √64 √16 ) 𝑘 + (7,−14), 𝑘 ∈ ℝ 5. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um cubo de aresta 2. Sabe-se que:  A face [𝐴𝐵𝐶𝐷] está contida no plano 𝑥𝑂𝑦;  A aresta [𝐷𝐶] está contida no eixo 𝑂𝑦  O ponto 𝐷 tem coordenadas (0, 2; 0) Os pontos de coordenadas (2, 2;0) e (0;4; 0) são vértices do cubo. Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices? (A) 𝐵𝐶𝐹 (B) 𝐵𝐷𝐻 (C) 𝐴𝐶𝐺 (D) 𝐴𝐵𝐶 6. Considere a condição 𝑝( 𝑥): 𝑥 é um número irracional Qual das seguintes proposições é verdadeira? (A) ~𝑝( 𝜋) ∧ 𝑝(√3) (B) 𝑝(−√4) ∨ 𝑝(√5) (C) 𝑝(2) ⟺ 𝑝(√2) (D) 𝑝(√2) ⟹ 𝑝(√(−3)2 7. Quantas soluções tem a intercessão da circunferência com uma reta secante a esta? (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 8. Considere três proposições 𝑝, 𝑞 e 𝑟 tais que 𝑝 ⟹ 𝑞 ∨ ~𝑟 é falsa. As proposições têm, respetivamente, o valor lógico de: (A) V, F, F (B) V, F, F (C) V, V, V (D) V, F, V
  • 10. Grupo II Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. 1. Considera as seguintes proposições verdadeiras: I. Se o ladrão for preso, então não usou luvas; II. Se o ladrão não saltou pela janela, então usou máscara; III. O ladrão usou luvas (e/ou) não usou máscara; IV. O ladrão foi preso. 1.1. Representa por letras as proposições elementares traduza em linguagemsimbólica as proposições consideradas. 1.2. Determina o valor lógico de: 1.2.1. O ladrão usou luvas. 1.2.2. O ladrão usou máscara. 1.2.3. O ladrão não usou luvas e saltou pela janela. 2. Na figura, estão representadas, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, uma reta 𝐴𝐵 e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5. Os pontos 𝐴 e 𝐵 pertencem à circunferência. O ponto 𝐴 também pertence ao eixo das abcissas. Admitindo que o declive da reta 𝐴𝐵 é igual a 1 2 , resolva as três alíneas seguintes: I. Mostre que uma equação da reta 𝐴𝐵 é 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0. II. Mostre que o ponto 𝐵 tem coordenadas (3;4). III. Seja 𝐶 o ponto de coordenadas (−3;16). Verifique que o triângulo [𝐴𝐵𝐶] é retângulo em 𝐵.
  • 11. 3. Simplifica a seguinte proposição: [𝑝 ∧ ( 𝑝 ⟹ 𝑞)] ⟹ 𝑞 4. Considera, em ℝ, os conjuntos: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥2 − 4 = 0 ∨ −2𝑥 < 3} 𝐵 = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 1 < 𝑥 ≤ 3} Determine com a forma de intervalos de números reais 𝐴 ∪ (𝐵̅ ∩ 𝐴̅). 5. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice 𝑃 pertence ao eixo 𝑂𝑥 e o vértice 𝑅 pertence ao eixo 𝑂𝑦. Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [𝑂𝑃𝑄𝑅]. O ponto 𝑄 temm coordenadas (2;2; 0) O volume do solido é igual a 10. a) Determina a cota de E. b) Determina a equação da superfície esférica que tem centro no ponto 𝑇 e que passa por 𝐶. c) Determina as componentes do vetor 𝑅𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ , tendo em conta os vetores coordenados apresentados na figura seguinte. Fim da prova
  • 12. Cotações Grupo I …………………………………………………………8 × 8 pontos………………………………………………………64 pontos Grupo II 136 pontos 1. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos 1.1. ……………………………………………………………4 x 2 ………………………………………………………. 8 pontos 1.2. ……………………………………………………………3 x 2 ………………………………………………………. 6 pontos 2. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontos I. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos II. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos III. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos 3. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos 4. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 11 pontos 5. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontos a ……………………………………………………………………………………………………………………………… 18 pontos b ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos c ……………………………………………………………………………………………………………………………… 10 pontos Total 200 pontos