SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 11
Baixar para ler offline
1
Capítulo III
TRIGONOMETRIA
35 exercícios
 Consolidação dos conteúdos
1. A Figura representa um triângulo retângulo cujas medidas dos catetos estão
assinaladas na mesma.
1.1. Calcula a medida da hipotenusa do triângulo.
1.2. Marca na Figura o ângulo 𝛼 oposto ao cateto de 8 cm.
1.3. Indica os valores exatos de sen 𝛼, cos 𝛼 e tan 𝛼.
1.4. Utiliza a função sin−1
(ou uma das outras) da tua máquina calculadora para encontrar a amplitude do
ângulo 𝛼. Apresenta o resultado em graus e arredondado às décimas.
1.5. Seja 𝛽 o restante ângulo agudo do triângulo. Marca-o na Figura e, nas mesmas condições do exercício
anterior, indica a medida da sua amplitude.
1.6. Verifica que sen α = cos(90° − α). Justifica que esta conclusão se estende a quaisquer ângulos agudos.
2. A Figura representa um triângulo retângulo e um ângulo 𝛽 de amplitude 60°.
A medida de um dos catetos está também assinalada na Figura.
2.1. Qual o valor de sen 60°?
(Consulta a tabela trigonométrica).
2.2. Determina o perímetro do triângulo.
Apresenta o resultado arredondado às décimas.
3. Completa as igualdades que se seguem com valores de amplitude de ângulos agudos.
3.1. sen 20° = cos 3.2. cos2
(35°) = sen2
3.3. sen 41° + cos = 2cos 49° 3.4. cos = sen (os valores em falta são
iguais)
4. Considera um triângulo retângulo tal que, sendo 𝛼 um dos seus ângulos agudos, tan 𝛼 = 2.
4.1. Indica possíveis medidas para os lados desse triângulo.
Nota: Identifica, nesse triângulo, o ângulo 𝛼.
4.2. Classifica o triângulo quantos aos lados. Justifica a tua resposta.
4.3. Quantos triângulos retângulos verificam a condição enunciada? Porquê?
5. Justifica que, sendo 𝛼 o ângulo agudo de um triângulo retângulo, sen 𝛼 e cos 𝛼 são números inferiores a 1.
6. Justifica que, sendo 𝛼 o ângulo agudo de um triângulo retângulo, sen 𝛼 é sempre um número inferior a tan 𝛼.
2
7. Para um dado triângulo retângulo com um ângulo agudo 𝛼, tem-se tan 𝛼 = 1.
Sabendo que a soma das medidas dos catetos desse triângulo é igual a 10, determina as medidas dos lados do
triângulo.
8. Em relação a um determinado ângulo agudo 𝛼 de um triângulo retângulo, sabe-se que sen 𝛼 > cos 𝛼.
Interpreta esse resultado em termos das medidas dos catetos do triângulo.
9. Num triângulo retângulo e isósceles, qual a relação entre sen 𝛼 e cos 𝛼? Justifica a tua resposta.
10. Verifica que sen2
𝛼 + cos2
𝛼 = 1 (Fórmula Fundamental da Trigonometria).
11. Completa as igualdades que se seguem.
11.1. sen2
(25°) + cos2
(25°) = 11.2. sen2
(25°) + sen2
= 1
11.3. sen 33° + cos 33° 2
+ = 1 11.4. 3sen2
25° = − 3cos2
(25°)
12. Mostra que sen 𝛼 + cos 𝛼 2
− 1 2
= 4 sen2
𝛼 − sen4
𝛼 .
13. Comenta a afirmação seguinte:
“Em relação ao ângulo agudo 𝛼 de um triângulo retângulo, tem-se cos 𝛼 =
1
3
e sen 𝛼 =
3
5
.”
14. Seja 𝛼 um ângulo agudo para o qual cos 𝛼 =
2
3
.
Determina o valor exato de sen 𝛼.
15. Verifica que tan 𝛼 =
sen α
cos 𝛼
.
16. Determina o valor exato de tan 𝛼, onde 𝛼 é o ângulo do exercício 14.
17. Mostra que cos2
𝛼 =
1
1+tan2 𝛼
.
18. Observa a Figura que representa um retângulo, uma das suas diagonais e os ângulos 𝛼 e 𝛽,
onde a medida de um dos lados do retângulo e da amplitude do ângulo 𝛼 estão devidamente
identificadas na Figura.
18.1. Indica, justificando, a medida da amplitude do ângulo 𝛽.
18.2. Calcula a medida da diagonal do retângulo.
Apresenta o resultado arredondado às décimas.
19. Uma rampa lisa de comprimento 3 m faz um ângulo de 23° com o plano horizontal.
Quantos metros está uma pessoa acima do plano horizontal após subir a rampa?
Faz um esquema da situação descrita e apresenta o resultado com arredondamento às décimas.
20. Após descolar, um avião faz, durante a sua trajetória retilínea, um ângulo de 40° em relação à pista plana.
Que distância percorreu o avião quando está a 15 m de altura?
Elabora um esquema que te permita traduzir o problema e apresenta o resultado com arredondamento às
décimas.
3
 Exercícios suplementares
1. Em relação a um triângulo retângulo, sabe-se que a sua área é igual a 210 e o valor da medida da hipotenusa é
841. Determina a amplitude dos ângulos agudos do triângulo.
Apresenta os resultados com arredondamento às unidades.
2. Na Figura estão representados dois triângulos retângulos, [𝐴𝐵𝐶] e
[𝐵𝐶𝐷], e o ângulo 𝛽.
Sabe-se que:
 𝐴𝐷 = 2 cm;
 𝐴𝐵 = 10 cm.
2.1. Justifica que os triângulos [𝐴𝐵𝐶] e [𝐵𝐶𝐷] são semelhantes.
2.2. Determina a medida do segmento [𝐶𝐷].
2.3. Determina o valor exato do perímetro do triângulo [𝐴𝐵𝐶].
2.4. Qual o valor de 2sen 𝛽 − cos 𝛽?
Assinala a opção correta.
(A)
5
5
(B)
2 5
5
(C)
3 5
5
(D)
4 5
5
3. Em relação a um triângulo retângulo, sabe-se que as medidas dos seus catetos são números inteiros e, sendo 𝛼
um dos seus ângulos agudos, sen 𝛼 = 𝑘cos 𝛼, para algum 𝑘 real.
3.1. Assinala a opção que completa corretamente a afirmação seguinte.
𝑘 é um número…
(A) Irracional e positivo. (B) Irracional e negativo.
(C) Racional e positivo. (D) Racional e negativo.
3.2. Mostra que cos 𝛼 =
1
𝑘+1
.
3.3. Indica o valor de tan 𝛼.
3.4. Mostra que se 𝑘 for um número natural, a medida da hipotenusa do triângulo não é um número inteiro.
4. Seja 𝐴 a área de um triângulo retângulo, 𝛼 um dos seus ângulos agudos e 𝑐 a medida do cateto adjacente ao
ângulo. Mostra que tan 𝛼 =
2𝐴
𝑐2 .
5. Mostra que sen4
𝛼 − cos4
𝛼 = 2sen2
𝛼 − 1.
6. Resolve a equação sen2
𝛼 −
25
12
sen 𝛼 + 1 = 0, onde 𝛼 é um ângulo agudo.
(Sugestão: Utiliza a fórmula resolvente em sen 𝛼).
7. Em relação a um determinado ângulo agudo 𝛼, sabe-se que sen 𝛼 + cos 𝛼 =
3
4
.
Determina o valor de cos 𝛼.
8. Verifica que não existe nenhum ângulo agudo 𝛼 que satisfaça tan 𝛼 = sen α.
4
9. Justifica que nenhum ângulo agudo α verifica sen α = 𝑚 e cos α = 𝑚 − 1.
10. Na Figura está representado um triângulo.
Sabe-se que:
 A amplitude do ângulo 𝛼 do triângulo mede 60°;
 Em relação ao ângulo 𝛽 do triângulo, sen 𝛽 =
4
5
;
 A área do triângulo é igual a 24 +
32 3
3
.
Determina o perímetro do triângulo.
Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
11. Seja 𝛼 um ângulo agudo.
Atenta às seguintes definições:
 cotg 𝛼 denomina-se cotangente de 𝛼 e representa o número
1
tan 𝛼
;
 cossec 𝛼 denomina-se cossecante de 𝛼 e representa o número
1
sen 𝛼
;
 sec 𝛼 denomina-se secante de 𝛼 e representa o número
1
cos 𝛼
.
11.1. Indica o valor exato da expressão 2cotg 30° − cossec 45° + sec 60°.
(Consulta a tabela trigonométrica).
11.2. Verifica que cotg 𝛼 = tan(90° − 𝛼).
11.3. Escreve uma fórmula que permita relacionar cotg 𝛼 com cossec 𝛼 e sec 𝛼.
11.4. Verifica que cossec2
α + sec2
α = cossec2
α × sec2
α.
11.5. Mostra que cotg α + sen α 2
= cossec2
α − cos2
α + 2 cos 𝛼.
12. A Figura representa um triângulo com os lados e ângulos devidamente
identificados.
12.1. A lei dos senos assenta na relação seguinte:
𝑎
sen 𝛼
=
𝑏
sen 𝛽
=
𝑐
sen 𝛾
.
Isto significa que, num dado triângulo, a razão entre a medida de um
lado e o seno do ângulo oposto é constante (daí a designação da lei).
Prova a lei dos senos.
12.2. Considera 𝛼 = 60°, 𝛽 = 45° e 𝑎 = 5 cm.
Determina o perímetro do triângulo nessas condições.
Apresenta o resultado arredondado às décimas.
12.3. Mostra que a área do triângulo da Figura pode ser obtida através da expressão
𝑐2sen 𝛽 sen α
2 sen 𝛾
.
12.4. A lei dos cossenos, por outro lado, denomina a seguinte igualdade:
𝑎 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 (fórmulas análogas podem ser escritas para 𝑏 e 𝑐, fazendo as devidas
adaptações).
Prova a lei dos cossenos.
5
12.5. Assume que o triângulo da Figura é acutângulo.
Justifica que 𝑎2
< 𝑏2
+ 𝑐2
(repara que esta desigualdade nada tem a ver com a desigualdade
triangular, pois estamos a tomar os quadrados das medidas dos lados).
(Sugestão: Usa a lei dos cossenos).
12.6. Mostra que
cos 𝛼
𝑎
+
cos 𝛽
𝑏
+
cos 𝛾
𝑐
=
𝑎2+𝑏2+𝑐2
2𝑎𝑏𝑐
.
12.7. Num triângulo, dois lados de comprimento 3 cm e 4 cm definem um ângulo de 60°.
Usando a lei dos cossenos, determina o valor exato do perímetro do triângulo.
13. Relembra o exercício 37. dos Exercícios Suplementares do Capítulo I no qual é
apresentada a Figura.
13.1. Marca no triângulo retângulo da Figura o ângulo 𝛽 oposto ao cateto de
medida 𝑦0 − 𝑦1.
13.2. Indica, usando os dados da Figura, o valor de sen 𝛽.
13.3. Mostra que o declive da reta que contém os pontos 𝑃 e 𝑄 é dado por tan 𝛽.
14. Considera os triângulos [𝐴𝐵𝐶] e [𝐵𝐶𝐷] representados na Figura.
Tal como a Figura sugere, os ângulos 𝛼 e 𝛽 são ângulos dos triângulos [𝐴𝐵𝐶] e
[𝐵𝐶𝐷], respetivamente. Admite sen 𝛽 > sen 𝛼.
14.1. Justifica que 𝐶𝐷 < 𝐴𝐶.
14.2. Mostra que
𝐵𝐶
𝐴𝐷
=
tan 𝛼 tan 𝛽
tan 𝛼+tan 𝛽
.
15. Considera o triângulo [𝐴𝐵𝐶] representado na Figura.
Sabe-se que a medida da hipotenusa desse triângulo é 5 cm e um dos seus ângulos é o
ângulo 𝛼 assinalado.
15.1. Qual é o sólido resultante da rotação do triângulo em torno do cateto [𝐴𝐶]?
15.2. Mostra que o volume do sólido da alínea anterior é dado, em função de 𝛼, por
53
3
𝜋(cos 𝛼 − cos
3
𝛼).
16. Mostra que
tan 2 𝛼+𝑘
tan 2 𝛼+𝑘−1
= 1 +
cos 2 𝛼
1+(𝑘−2) cos 2 𝛼
, 𝑘 ∈ ℝ.
1
Capítulo III
Consolidação dos conteúdos
1.1. Seja ℎ a medida da hipotenusa. Pelo Teorema de
Pitágoras, tem-se ℎ2
= 62
+ 82
⇔ ℎ2
= 100 ⇔
ℎ = ±10. Atendendo ao contexto do problema,
resulta ℎ = 10 cm.
1.2.
1.3. Dado um ângulo 𝛼 agudo de um triângulo
retângulo, definem-se as seguintes razões
trigonométricas: sen 𝛼 =
cateto oposto
hipotenusa
, cos 𝛼 =
cateto adjacente
hipotenusa
e tan 𝛼 =
cateto oposto
cateto adjacente
. Da
mesma forma que em muitas das resoluções deste
capítulo, por abuso de linguagem, cada um dos
termos cateto oposto, cateto adjacente e
hipotenusa refere-se à medida do respetivo lado do
triângulo.
Deste modo, no caso em particular, obtemos
sen 𝛼 =
8
10
=
4
5
, cos 𝛼 =
6
10
=
3
5
e tan 𝛼 =
8
6
=
4
3
.
1.4. Pela alínea anterior, tem-se sen 𝛼 =
4
5
. A
amplitude do ângulo 𝛼 obtém-se usando a função
sen−1
, que pode ser encontrada nas máquinas
calculadoras científicas. Procedendo dessa forma,
resulta sen−1 4
5
≈ 53,1. Tal como o enunciado
indica, poder-se-ia, igualmente, utilizar as funções
cos−1
e tan−1
para obter a amplitude do ângulo 𝛼.
1.5. A amplitude de 𝛽 é igual a 90° − sen−1 4
5
≈
36,9°, atendendo à soma dos ângulos internos de
um triângulo. Repara que, embora o valor obtido
seja o mesmo, a amplitude de 𝛽
não poderia ser obtida a partir da
operação 90° − 53,1°, pois a
segunda parcela já se trata de um
arredondamento (obtido na
alínea anterior), pelo que o
resultado poderia não ser o
mesmo.
1.6. No caso do triângulo apresentado, tem-se
cos(90° − α) = cos 𝛽 =
4
5
= sen 𝛼. Com efeito,
em qualquer triângulo retângulo, a igualdade é
verificada, tendo em conta que o cateto oposto a
um dos ângulos agudos α do triângulo é o cateto
adjacente ao outro ângulo agudo, resultando na
igualdade sen 𝛼 = cos(90° − α).
2.1. sen 60° =
3
2
(a tabela trigonométrica pode ser
consultada no anexo).
2.2. Seja ℎ a medida da hipotenusa do triângulo.
Atendendo ao valor obtido na alínea anterior e aos
dados da Figura, vem sem 60° =
3
2
=
5
ℎ
⇔
ℎ =
10
3
=
10 3
3
. Pelo Teorema de Pitágoras, a
medida do restante cateto é dada por
100
3
− 25 =
5 3
3
. Portanto, o perímetro do triângulo é
aproximado por 5 +
10 3
3
+
5 3
3
≈ 13,7 cm.
3.1. Sabemos que, para qualquer angulo agudo 𝛼, vale a
relação sen 𝛼 = cos(90° − α). Assim, é imediato
reconhecer que sen 20° = cos 𝟖𝟎°.
3.2. Seguindo o mesmo raciocínio que anteriormente,
resulta cos2
(35°) = sen2
(𝟓𝟓°).
3.3. Tem-se sen 41° = cos 49° e, portanto, sen 41° +
cos 𝟒𝟗° = cos49° + cos49° = 2 cos49°.
3.4. Queremos identificar a amplitude de um ângulo
agudo 𝛼 que verifique sen 𝛼 = cos 𝛼.
Ora, como sem 𝛼 = cos 90° − α , a igualdade
sem 𝛼 = cos 𝛼 é satisfeita se 90° − α = α ⇔
2α = 90° ⇔ α = 45°. Portanto, sen 𝟒𝟓° = 𝟒𝟓°.
4.1. Por exemplo, o triângulo retângulo cujos catetos
medem 4 cm e 2 cm e o ângulo α é o ângulo
oposto ao cateto de 4 cm.
4.2. O triângulo é escaleno. Com efeito, o facto de
tan 𝛼 =
cateto oposto
cateto adjacente
= 2, em relação a algum
ângulo agudo 𝛼 no triângulo, mostra que a medida
do cateto oposto ao ângulo é o dobro da medida do
cateto adjacente. Assim, como a medida da
hipotenusa é sempre superior à dos catetos,
conclui-se que as medidas dos lados do triângulo
que verifique tan 𝛼 = 2 são todas diferentes, pelo
que o triângulo é escaleno.
4.3. Uma infinidade. Pela alínea anterior, basta que a
medida de um dos catetos seja o dobro da do outro
para se ter tan 𝛼 = 2 e é evidente que existe uma
infinidade de triângulos nessa condição.
5. Basta notar que a razão
cateto oposto
hipotenusa
é um
número inferior a 1, dada a inferioridade do
numerador em relação ao denominador. Assim,
sendo 𝛼 um ângulo agudo, sen α < 1. O mesmo se
concluiria em relação ao cosseno.
2
6. Como
cateto oposto
hipotenusa
<
cateto oposto
cateto adjacen te
(o
denominador da primeira é superior ao da segunda
razão), tem-se sen α < tan 𝛼, onde 𝛼 é um ângulo
agudo.
7. Tem-se tan 𝛼 = 1 ⇔
cateto oposto
cateto adjacente
= 1 ⇔
cateto oposto = cateto adjacente, ou seja, as
medidas dos catetos são as mesmas. Seja ℎ a medida
da hipotenusa do triângulo e 𝑐 a medida de cada
cateto. Assim, 2𝑐 = 10 ⇔ 𝑐 = 5 e ℎ = 2 × 52 =
50. Portanto, no triângulo retângulo em causa, cada
cateto mede 5 e a hipotenusa 50.
8. Tem-se sen 𝛼 > cos 𝛼 ⇔
cateto oposto
hipotenusa
>
cateto adjacente
hipotenusa
⇔ cateto oposto >
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒. Portanto, a medida do cateto
oposto é superior à do cateto adjacente ao ângulo 𝛼.
9. Como o triângulo é isósceles, as medidas dos catetos
são iguais e, consequentemente, as razões
trigonométricas que definem sen 𝛼 e cos 𝛼. Logo
cos 𝛼 = sen 𝛼.
10. sen2
𝛼 + cos2
𝛼 =
cateto oposto
hipotenusa
2
+
cateto adjacente
hipotenusa
2
=
cateto oposto 2+cateto adjacente 2
hipotenusa 2 =
hipotenusa 2
hipotenusa 2 = 1, onde a penúltima igualdade
advém do Teorema de Pitágoras.
Portanto, sen2
𝛼 + cos2
𝛼 = 1 com 𝛼 um ângulo
agudo.
11.1. sen2
25° + cos2
25° = 𝟏, pela Fórmula
Fundamental da Trigonometria.
11.2. sen2
25° + sen2
𝟔𝟓° = sen2
25° +
cos2
25° = 1, onde a primeira igualdade tem
em conta a relação sen 𝛼 = cos(90° − α).
11.3. sen 33° + cos 33° 2
= sen2
33° +
2sen 33° cos 33° + cos2
33° = 1 +
2sen 33° cos 33° .
Portanto,
sen 33° + cos 33° 2
− 𝟐𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟑° 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟑° =
1.
11.4. 3sen2
25° + 3cos2
25° = 3 sen2
25° +
cos225°=3.
Portanto, 3sen2
25° = 𝟑 − 3cos2
25° .
12. Tem-se:
sen 𝛼 + cos 𝛼 2
− 1 2
=
= sen2
𝛼 + 2sen 𝛼 cos 𝛼 + cos2
𝛼 − 1 2
= 2sen 𝛼 cos 𝛼 2
= 4sen2
𝛼 cos2
𝛼 =
= 4sen2
𝛼 1 − sen2
𝛼 = 4(sen2
𝛼 − sen4
𝛼),
onde a penúltima igualdade advém da equivalência
sen2
𝛼 + cos2
𝛼 = 1 ⇔ cos2
𝛼 = 1 − sen2
𝛼.
13. A afirmação é falsa, pois se existisse um ângulo
agudo 𝛼 de um triângulo retângulo tal que cos 𝛼 =
1
3
e sen 𝛼 =
3
5
, então, pela fórmula fundamental da
trigonometria, ter-se-ia
1
3
2
+
3
5
2
= 1, o que não
se verifica
1
3
2
+
3
5
2
=
106
225
.
14. Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se
sen2
𝛼 = 1 −
2
3
2
⇔ sen2
𝛼 =
7
9
⇔ sen 𝛼 =
7
3
,
onde esta última equivalência se deve ao facto de 𝛼
ser um ângulo agudo e, portanto, sen 𝛼 é um
número positivo. Uma alternativa de resolução
(talvez menos intuitiva) consiste em “construir” um
triângulo retângulo com um ângulo agudo 𝛼 cujo
cosseno seja igual a
2
3
. Assim, podemos supor que
o cateto adjacente a 𝛼 mede 2 e a hipotenusa 3.
Pelo Teorema de Pitágoras, o restante cateto (cateto
oposto a 𝛼) mede 9 − 2 = 7. Assim, é imediato
que sen 𝛼 =
7
3
.
15.
sen α
cos 𝛼
=
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente
hipotenusa
=
cateto oposto
cateto adjacente
= tan 𝛼, o que conclui a prova.
16. Tem-se cos 𝛼 =
2
3
e, pela resolução de 14.,
sen 𝛼 =
7
3
. Portanto, tan 𝛼 =
sen α
cos 𝛼
=
7
3
2
3
=
7
2
.
17. tan 𝛼 =
sen α
cos 𝛼
⇒ tan2
𝛼 =
sen2 α
cos2 𝛼
⇒ tan2
𝛼 =
1−cos 2 α
cos 2 𝛼
⇒ tan2
𝛼 + 1 =
1
cos 2 𝛼
⇒ cos2
𝛼 =
1
tan 2 𝛼+1
.
18.1. 𝛼 = 𝛽 = 60°, pois os triângulos que completam o
retângulo são semelhantes pelo critério LAL
(lado-ângulo-lado).
18.2. Seja 𝑑 a diagonal do quadrado, que coincide com
a hipotenusa dos triângulos retângulos que
3
completam o retângulo. Como a amplitude do
ângulo 𝛽 é de 60° e um dos catetos do triângulo
mede 4 cm, tem-se cos 60° =
4
𝑑
⇔ 𝑑 =
4
cos60°
=
4
1
2
= 8. Portando, a medida da diagonal
do retângulo é 8 cm.
19. Traduzindo o problema por uma Figura, tem-se:
Portanto, a altura ℎ em falta resulta de:
sen 23° =
ℎ
3
⇔ ℎ = 3sen 23° ≈ 1,2 m.
20. Traduzindo o problema por uma Figura, tem-se:
A distância 𝑑 obtém-se de:
sen 40° =
15
𝑑
⇔ 𝑑 =
15
sen 40°
≈ 23,3 m.
Exercícios Suplementares
1. Sejam 𝑐1 e 𝑐2 as medidas dos catetos do triângulo e
ℎ a medida da hipotenusa (neste caso, 841).
Como o triângulo é retângulo, a sua área é igual a
metade do produto das medidas dos catetos. Então,
tem-se 𝑐1 𝑐2 = 420 e ℎ = 841 ⇒ ℎ2
= 841 ⇒
𝑐1
2
+ 𝑐2
2
= 841 ⇒ 𝑐1 + 𝑐2
2
− 2𝑐1 𝑐2 = 841 ⇒
𝑐1 + 𝑐2
2
= 1681 ⇒ 𝑐1 + 𝑐2 = 41 ⇒
𝑐1 = 41 − 𝑐2. As igualdades 𝑐1 𝑐2 = 420 e 𝑐1 =
41 − 𝑐2 conduzem a 41 − 𝑐2 𝑐2 = 420 ⇔ −𝑐2
2
+
41𝑐2 − 420 = 0 ⇔ 𝑐2 = 20 ∨ 𝑐2 = 21, o que
significa que as medidas dos catetos do triângulo são
20 e 21. Por conseguinte, tem-se que a amplitude
dos seus ângulos agudos são dadas por tan−1 20
21
≈
44° e 90° − tan−1 20
21
≈ 46°.
2.1. Seja 𝛼 o ângulo 𝐴𝐶𝐷. Então, em relação ao
triângulo [𝐴𝐶𝐷], tem-se 𝛼 + 𝛽 = 90°. Mas, por
outro lado, os ângulos 𝐴𝐶𝐷 e 𝐵𝐶𝐷 são
complementares, ou seja, a sua soma é 90° e,
portanto, a amplitude de 𝐷𝐶𝐵 é igual à amplitude
de 𝛽. Assim, é imediato reconhecer que os
triângulos 𝐴𝐶𝐷 e 𝐵𝐶𝐷 são semelhantes pelo facto
de terem os ângulos iguais (critério AAA).
2.2. Como os triângulos são semelhantes, tem-se
𝐴𝐷
𝐶𝐷
=
𝐶𝐷
𝐷𝐵
⇔
2
𝐶𝐷
=
𝐶𝐷
10−2
⇔ 𝐶𝐷
2
= 16, donde
resulta que 𝐶𝐷 = 4 cm.
2.3. Em relação ao triângulo [𝐵𝐶𝐷], tem-se, pelo
Teorema de Pitágoras, que 𝐶𝐵2
= 𝐶𝐷2
+ 𝐷𝐵2
⇔
𝐶𝐵2
= 16 + 64 ⇔ 𝐶𝐵2
= 80, ou seja, 𝐶𝐵 =
80 = 4 5 cm. Pelo mesmo motivo, no triângulo
[𝐴𝐶𝐷], 𝐴𝐶2
= 𝐶𝐷2
+ 𝐴𝐷2
⇔ 𝐴𝐶2
= 16 + 4 ⇔
𝐴𝐶2
= 20, logo 𝐴𝐶 = 20 = 2 5 cm. Portanto, o
perímetro do triângulo [𝐴𝐵𝐶] é 4 5 + 2 5 +
10 = 6 5 + 10 cm.
2.4. Comecemos por encontrar os valores de sen 𝛽 e
cos 𝛽: sen 𝛽 =
𝐶𝐷
𝐴𝐶
=
4
2 5
=
2 5
5
e cos 𝛽 =
𝐴𝐷
𝐴𝐶
=
2
2 5
=
5
5
. Assim, 2sen 𝛽 − cos 𝛽 =
4 5
5
−
5
5
=
3 5
5
. Opção correta: C.
3. Seja 𝑐1 a medida do cateto oposto do triângulo, 𝑐2
a medida do cateto adjacente e ℎ a medida da
hipotenusa.
3.1. Tem-se sen 𝛼 = 𝑘cos 𝛼 ⇔
𝑐1
ℎ
= 𝑘
𝑐2
ℎ
⇔ 𝑐1 =
𝑘𝑐2 e, como as medidas dos catetos são
números inteiros, resulta que 𝑘 é um número
positivo e racional (podendo ser um número
natural).
Opção correta: C.
3.2. Elevando ao quadrado ambos os membros da
igualdade sem 𝛼 = 𝑘cos 𝛼, obtém-se sem2
𝛼 =
𝑘cos2
𝛼 ⇒ 1 − cos2
𝛼 = 𝑘cos2
𝛼 ⇒
𝑘 + 1 cos2
𝛼 = 1 ⇒ cos 𝛼 =
1
𝑘+1
, onde a
primeira implicação advém da Fórmula
Fundamental e a última pelo facto de o ângulo
𝛼 ser agudo e, portanto, o respetivo valor do
cosseno ser positivo.
3.3. sen 𝛼 = 𝑘cos 𝛼 ⇒
sen α
cos 𝛼
= 𝑘 ⇒ tan 𝛼 = 𝑘.
3.4. Pela primeira alínea e pelo Teorema de
Pitágoras, 𝑘2
𝑐2
2
+ 𝑐2
2
= ℎ2
⇒ ℎ = 𝑘2 + 1𝑐2.
Agora, é fácil de verificar que, para qualquer
𝑘 > 0 inteiro, 𝑘2
+ 1 não é um quadrado
perfeito (exercício extra), donde se conclui que
a medida da hipotenusa do triângulo não pode
ser um número inteiro.
4. A medida do cateto oposto a 𝛼 é dada por
2A
𝑐
e,
portanto, tan 𝛼 =
2A
𝑐
𝑐
=
2A
𝑐2 .
5. sen4
𝛼 − cos4
𝛼 =
= sen2
𝛼 + cos2
𝛼 sen2
𝛼 − cos2
𝛼 =
= sen2
𝛼 − cos2
𝛼 = sen2
𝛼 − 1 − sen2
𝛼 =
= 2sen2
𝛼 − 1, onde a segunda e terceira
igualdades usam a Fórmula Fundamental.
4
6. sen 𝛼 =
25
12
± 25
12
2
−4
2
⇔ sen 𝛼 =
25
12
± 25
12
2
−4
2
⇔
sen 𝛼 =
25
12
± 7
12
2
⇔ sen 𝛼 =
32
24
∨ sen 𝛼 =
18
24
e,
como sen 𝛼 < 1, a única solução da equação é
𝛼 = sen−1 3
4
, 𝐶. 𝑆. = sen−1 3
4
.
7. sen 𝛼 + cos 𝛼 =
3
4
⇒ sen 𝛼 =
3
4
− cos 𝛼 e, pela
Fórmula Fundamental, vem:
3
4
− cos 𝛼
2
+ cos2
𝛼 = 1 ⇔
⇔
3
16
−
3
2
cos 𝛼 + cos2
𝛼 + cos2
𝛼 = 1 ⇔
⇔ 2cos2
𝛼 −
3
2
cos 𝛼 −
13
16
= 0 ⇔
⇔ cos 𝛼 =
3
2
± 3
2
2
−4×2× −
13
16
4
⇔
⇔ cos 𝛼 =
3
2
±2 29
4
4
⇔
⇔ cos 𝛼 =
2 3+2 29
16
∨ cos 𝛼 =
2 3−2 29
16
e,
como 1 > cos 𝛼 > 0, resulta cos 𝛼 =
2 3+2 29
16
.
8. Tem-se tan 𝛼 = sen α ⇔
sen α
cos 𝛼
= sen α ⇔
cos 𝛼 = 1, o que se sabe ser uma proposição falsa,
para qualquer 𝛼 agudo.
9. Pela Fórmula Fundamental, sen2
𝛼 + cos2
𝛼 = 1 ⇔
𝑚2
+ 𝑚 − 1 2
= 1 ⇔ 2𝑚2
− 2𝑚 = 0 ⇔ 𝑚 = 0 ∨
𝑚 = 1, mas, nesse caso, ter-se-ia sen α = 0 ∨
sen α = 1, o que se sabe ser falso para ângulos
agudos.
10. De acordo com os
dados do enunciado
e da Figura, tem-se:
 A área do triângulo é igual a 24 +
32 3
3
, ou
seja,
𝑥+𝑦 ×ℎ
2
= 24 +
32 3
3
⇔
⇔ (𝑥 + 𝑦) × ℎ = 48 +
64 3
3
;
 tan 60° =
ℎ
𝑥
⇔ 𝑥 =
ℎ
3
;
 sen 𝛽 =
4
5
⇔ tan 𝛽 =
4
3
=
ℎ
𝑦
⇔ 𝑦 =
3ℎ
4
,
utilizando a identidade 1 − sen2
𝛼 =
1
1+tan2 𝛼
.
Portanto, 48 +
64 3
3
=
1
3
+
3
4
ℎ2
⇔ ℎ2
= 64,
donde ℎ = 8 (subentendem-se cálculos auxiliares
que justificam estas passagens) e, por isso,
𝑥 =
8 3
3
e 𝑦 = 6. Usando razões trigonométricas
ou o Teorema de Pitágoras, os restantes lados do
triângulo podem ser determinados, donde resulta o
perímetro, aproximado às centésimas, 29,86.
11.1. 2cotg 30° − cossec 45° + sec 60° =
2
tan 30°
−
1
sen 45°
+
1
cos 60°
=
6
3
−
2
2
+
2 = 2 3 − 2 + 2.
11.2. tan(90° − 𝛼) =
sen(90°−α)
cos(90°−𝛼)
=
cos α
sen 𝛼
=
1
tan 𝛼
= cotg α.
11.3. cotg α =
cos α
sen 𝛼
=
1
sen𝛼
1
cos 𝛼
=
cosssec α
sec 𝛼
.
11.4. cossec2
α + sec2
α =
1
sen2 𝛼
+
1
cos2 𝛼
=
cos 2 𝛼+sen 2 𝛼
sen 2 𝛼 cos 2 𝛼
=
1
sen 2 𝛼 cos 2 𝛼
=
1
sen 2 𝛼
1
cos 2 𝛼
= cossec2
α × sec2
α, usando
a Fórmula Fundamental.
11.5. cotg α + sen α 2
=
cotg2
α + 2 cotg α sen α + sen2
α =
=
1
tan2 𝛼
+
2sen 𝛼
tan 𝛼
+ sen2
α =
=
cos2 α
sen2 𝛼
+ 2 cos 𝛼 + sen2
α =
=
1−sen2 α
sen2 𝛼
+ 2 cos 𝛼 + sen2
α =
=
1
sen2 𝛼
− 1 + sen2
α + 2 cos 𝛼 =
= cossec2
α − cos2
α + 2 cos 𝛼, onde a
terceira igualdade usa a identidade tan 𝛼 =
sen α
cos 𝛼
.
12.1. Seja ℎ1 a altura relativa ao lado 𝑐 do triângulo.
Tem-se ℎ1 = 𝑏 sen α e também ℎ1 = 𝑎 sen 𝛽
e, portanto, 𝑏 sen α = 𝑎 sen 𝛽 ⇔
𝑎
sen 𝛼
=
𝑏
sen 𝛽
. Por outro lado, considerando ℎ2 a
altura relativa ao lado 𝑎 do triângulo, obtém-
se ℎ2 = 𝑐 sen 𝛽 e ℎ2 = 𝑏 sen γ, donde resulta
𝑐 sen 𝛽 = 𝑏 sen γ ⇔
𝑏
sen 𝛽
=
𝑐
sen 𝛾
. Daí
obtém-se a lei dos senos:
5
𝑎
sen 𝛼
=
𝑏
sen 𝛽
=
𝑐
sen 𝛾
.
12.2. Tem-se:
5
sen 60°
=
𝑏
sen 45°
=
𝑐
sen 75°
⇔
⇔
5
3
2
=
𝑏
2
2
=
𝑐
sen75°
⇔ 5
2
2
=
𝑏 3
2
=
𝑐
sen75°
,
donde resulta 𝑏 =
5 6
3
e 𝑐 =
5 2sen75°
2
.
Portanto, o perímetro do triângulo resulta
𝑃 = 5 +
5 6
3
+
5 2sen75°
2
≈ 12,5 cm.
12.3. Seja ℎ a altura relativa ao lado 𝑐 do triângulo.
Tem-se ℎ = 𝑏 sen α e, portanto, a área do
triângulo é igual a 𝐴 =
𝑐𝑏 sen α
2
e, usando a
igualdade
𝑏
sen 𝛽
=
𝑐
sen 𝛾
⇔ 𝑏 =
𝑐 sen 𝛽
sen 𝛾
,
resulta 𝐴 =
𝑐2sen 𝛽 sen α
2sen 𝛾
.
12.4. Seja ℎ nas mesmas
condições da
alínea anterior e 𝑐1
e 𝑐2 a partição do
lado 𝑐 determinada
por ℎ (tal como a
Figura sugere),
donde 𝑐 = 𝑐1 + 𝑐2 ⇔ 𝑐2 = 𝑐 − 𝑐1. Pelo Teorema
de Pitágoras, tem-se, em relação ao triângulo
menor da direita: 𝑎2
= ℎ2
+ 𝑐2
2
e, usando a
igualdade 𝑐2 = 𝑐 − 𝑐1, resulta 𝑎2
= ℎ2
+
𝑐 − 𝑐1
2
⇔ 𝑎2
= ℎ2
+ 𝑐2
− 2𝑐𝑐1 + 𝑐1
2
. Agora,
em relação ao triângulo menor da esquerda, tem-
se também 𝑏2
= 𝑐1
2
+ ℎ2
e, por isso, 𝑎2
= 𝑏2
+
𝑐2
− 2𝑐𝑐1. Como 𝑐1 = 𝛼 cos 𝛼, fazendo nova
substituição, resulta a lei dos cossenos: 𝑎2
=
𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 cos 𝛼 ⇔ 𝑎 =
𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼.
12.5. Como cos 𝛼 > 0 (o triângulo apenas possui
ângulos agudos, em particular, 𝛼 é agudo), é
imediato reconhecer que 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
−
2𝑏𝑐 cos 𝛼 < 𝑏2
+ 𝑐2
.
12.6. Comece-se por escrever fórmulas semelhantes a
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 cos 𝛼, em relação aos lados
𝑏 e 𝑐: 𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐 cos 𝛽 e
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎𝑏 cos 𝛾. Daí vem:
cos 𝛼
𝑎
=
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑎𝑏𝑐
,
cos 𝛽
𝑏
=
𝑎2+𝑐2−𝑏2
2𝑎𝑏𝑐
e
cos 𝛾
𝑐
=
𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏𝑐
(cálculos auxiliares subentendidos).
Assim,
cos 𝛼
𝑎
+
cos 𝛽
𝑏
+
cos 𝛾
𝑐
=
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑎𝑏𝑐
+
𝑎2+𝑐2−𝑏2
2𝑎𝑏𝑐
+
𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏𝑐
=
𝑎2+𝑏2+𝑐2
2𝑎𝑏𝑐
.
12.7. A medida do lado oposto ao ângulo oposto de
30° é dada, pela lei dos cossenos, por
32 + 42 − 2 × 3 × 4 × cos 60° = 13.
Portanto, o valor exato do perímetro do triângulo
nessas condições é 7 + 13 cm.
13.1.
13.2. sen 𝛽 =
𝑦0−𝑦1
𝑑
.
13.3. O declive da reta 𝑃𝑄 é dado por
𝑦0−𝑦1
𝑥0−𝑥1
.
Relativamente ao ângulo 𝛽 do triângulo, tem-se
𝑦0−𝑦1
𝑥0−𝑥1
=
cateto oposto
cateto adjacente
= tan 𝛽.
14.1. sen 𝛽 > sen 𝛼 ⇔
𝐶𝐵
𝐶𝐷
>
𝐶𝐵
𝐴𝐶
⇔ 𝐶𝐷 < 𝐴𝐶.
14.2. tan 𝛼 =
𝐵𝐶
𝐴𝐵
e tan 𝛽 =
𝐵𝐶
𝐵𝐷
, donde
1
tan 𝛼
+
1
tan 𝛽
=
𝐴𝐵+𝐵𝐷
𝐵𝐶
=
𝐴𝐷
𝐵𝐶
⇔
tan 𝛽+tan 𝛼
tan 𝛼 tan 𝛽
=
𝐴𝐷
𝐵𝐶
⇔
tan 𝛼 tan 𝛽
tan 𝛼+tan 𝛽
=
𝐵𝐶
𝐴𝐷
.
15.1. Cone reto.
15.2. A altura do cone é dada por 𝐴𝐶 = 5 cos 𝛼 e o raio
da base por 𝐴𝐵 = 5 sem 𝛼. Por conseguinte, o
volume do cone gerado pela rotação em torno de
𝐴𝐶 é dada, em função de 𝛼, por
𝑉 =
1
3
𝜋 5 sem 𝛼 2
× 5 cos 𝛼 =
=
5
3
3
𝜋 sem2
𝛼 cos 𝛼 =
=
5
3
3
𝜋 1 − cos2
𝛼 cos 𝛼 =
=
5
3
3
𝜋 cos 𝛼 − cos3
𝛼 .
16.
tan 2 𝛼+𝑘
𝑘−1+tan 2 𝛼
=
tan 2 𝛼+𝑘−1+1
𝑘−1+tan 2 𝛼
=
= 1 +
1
𝑘−1+tan2 𝛼
= 1 +
1
𝑘−2+1+tan2 𝛼
e, usando a já provada identidade 1 + tan2
𝛼 =
1
cos 2 𝛼
, resulta 𝑘 − 2 + 1 + tan2
𝛼 = 𝑘 − 2 +
1
cos 2 𝛼
=
𝑘−2 cos 2 𝛼+1
cos 2 𝛼
e, portanto, 1 +
1
𝑘−2+1+tan 2 𝛼
= 1 +
cos 2 𝛼
𝑘−2 cos 2 𝛼+1
.
6

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Estatística 8.º ano
Estatística 8.º anoEstatística 8.º ano
Estatística 8.º anoaldaalves
 
Ângulos internos e ângulos externos de um polígono
Ângulos internos e ângulos externos de um polígonoÂngulos internos e ângulos externos de um polígono
Ângulos internos e ângulos externos de um polígonoFilipa Guerreiro
 
Isometrias 6º ano (translação, rotação, reflexão) - exercícios
Isometrias   6º ano (translação, rotação, reflexão) - exercíciosIsometrias   6º ano (translação, rotação, reflexão) - exercícios
Isometrias 6º ano (translação, rotação, reflexão) - exercíciosAna Tapadinhas
 
Desigualdade triangular
Desigualdade triangularDesigualdade triangular
Desigualdade triangularVítor Batista
 
Lugares geométricos
Lugares geométricosLugares geométricos
Lugares geométricossaramramos
 
Função afim-linear-constante-gráficos
Função  afim-linear-constante-gráficosFunção  afim-linear-constante-gráficos
Função afim-linear-constante-gráficosmarmorei
 
áreas e volumes 6º ano
áreas e volumes 6º anoáreas e volumes 6º ano
áreas e volumes 6º anoAna Duarte
 
Polinómios e monómios
Polinómios e monómiosPolinómios e monómios
Polinómios e monómiosaldaalves
 
8 ano - Exercícios - Ângulos
8 ano - Exercícios - Ângulos8 ano - Exercícios - Ângulos
8 ano - Exercícios - ÂngulosAndréia Rodrigues
 
Materialdeapoioextensivo matematica-exercicios-poligonos-regulares-inscritos-...
Materialdeapoioextensivo matematica-exercicios-poligonos-regulares-inscritos-...Materialdeapoioextensivo matematica-exercicios-poligonos-regulares-inscritos-...
Materialdeapoioextensivo matematica-exercicios-poligonos-regulares-inscritos-...Breno Raphael
 
Lista de relações métricas no triangulo retângulo
Lista de  relações métricas no triangulo retânguloLista de  relações métricas no triangulo retângulo
Lista de relações métricas no triangulo retânguloRosana Santos Quirino
 
Teste Matemática 6ºano: áreas, perimetros,volumes
Teste Matemática 6ºano: áreas, perimetros,volumesTeste Matemática 6ºano: áreas, perimetros,volumes
Teste Matemática 6ºano: áreas, perimetros,volumesProfjoaopaulo Silva
 
Razaoproporcao
RazaoproporcaoRazaoproporcao
Razaoproporcaotetsu
 

Mais procurados (20)

Estatística 8.º ano
Estatística 8.º anoEstatística 8.º ano
Estatística 8.º ano
 
Ângulos internos e ângulos externos de um polígono
Ângulos internos e ângulos externos de um polígonoÂngulos internos e ângulos externos de um polígono
Ângulos internos e ângulos externos de um polígono
 
Isometrias 6º ano (translação, rotação, reflexão) - exercícios
Isometrias   6º ano (translação, rotação, reflexão) - exercíciosIsometrias   6º ano (translação, rotação, reflexão) - exercícios
Isometrias 6º ano (translação, rotação, reflexão) - exercícios
 
Desigualdade triangular
Desigualdade triangularDesigualdade triangular
Desigualdade triangular
 
Funções
FunçõesFunções
Funções
 
Lugares geométricos
Lugares geométricosLugares geométricos
Lugares geométricos
 
Função afim-linear-constante-gráficos
Função  afim-linear-constante-gráficosFunção  afim-linear-constante-gráficos
Função afim-linear-constante-gráficos
 
áreas e volumes 6º ano
áreas e volumes 6º anoáreas e volumes 6º ano
áreas e volumes 6º ano
 
1 lista arredondamento
1 lista arredondamento1 lista arredondamento
1 lista arredondamento
 
Polinómios e monómios
Polinómios e monómiosPolinómios e monómios
Polinómios e monómios
 
8 ano - Exercícios - Ângulos
8 ano - Exercícios - Ângulos8 ano - Exercícios - Ângulos
8 ano - Exercícios - Ângulos
 
Materialdeapoioextensivo matematica-exercicios-poligonos-regulares-inscritos-...
Materialdeapoioextensivo matematica-exercicios-poligonos-regulares-inscritos-...Materialdeapoioextensivo matematica-exercicios-poligonos-regulares-inscritos-...
Materialdeapoioextensivo matematica-exercicios-poligonos-regulares-inscritos-...
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 
Ficha revisões4
Ficha revisões4Ficha revisões4
Ficha revisões4
 
Lista de relações métricas no triangulo retângulo
Lista de  relações métricas no triangulo retânguloLista de  relações métricas no triangulo retângulo
Lista de relações métricas no triangulo retângulo
 
Teste Matemática 6ºano: áreas, perimetros,volumes
Teste Matemática 6ºano: áreas, perimetros,volumesTeste Matemática 6ºano: áreas, perimetros,volumes
Teste Matemática 6ºano: áreas, perimetros,volumes
 
Ficha de avaliação sumativa 1 matemática b 10º ano
Ficha de avaliação sumativa 1 matemática b 10º anoFicha de avaliação sumativa 1 matemática b 10º ano
Ficha de avaliação sumativa 1 matemática b 10º ano
 
Razaoproporcao
RazaoproporcaoRazaoproporcao
Razaoproporcao
 
Operações com intervalos
Operações com intervalosOperações com intervalos
Operações com intervalos
 
Semelhança unidade 7
Semelhança unidade 7Semelhança unidade 7
Semelhança unidade 7
 

Semelhante a Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Parte III

Trigonometria exercícios resolvidos e teoria
Trigonometria   exercícios resolvidos e teoriaTrigonometria   exercícios resolvidos e teoria
Trigonometria exercícios resolvidos e teoriatrigono_metria
 
Matematica aplicada
Matematica aplicadaMatematica aplicada
Matematica aplicadacon_seguir
 
Trigonometria- Básica
Trigonometria- BásicaTrigonometria- Básica
Trigonometria- BásicaIsabele Félix
 
1 ano trigonometria no triângulo retângulo - 2008
1 ano   trigonometria no triângulo retângulo - 20081 ano   trigonometria no triângulo retângulo - 2008
1 ano trigonometria no triângulo retângulo - 2008Erick Fernandes
 
Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico
Identificando os quadrantes do ciclo trigonométricoIdentificando os quadrantes do ciclo trigonométrico
Identificando os quadrantes do ciclo trigonométricotrigono_metria
 
isoladas-matematica-do-zero-na-fundatec-aula-15-dudan.pdf
isoladas-matematica-do-zero-na-fundatec-aula-15-dudan.pdfisoladas-matematica-do-zero-na-fundatec-aula-15-dudan.pdf
isoladas-matematica-do-zero-na-fundatec-aula-15-dudan.pdfDanielaSilvaBraz1
 
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...eliveltonhg
 
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptxangulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptxalessandraoliveira324
 
Trigonometria 11.º Ano - Ficha de trabalho
Trigonometria 11.º Ano - Ficha de trabalhoTrigonometria 11.º Ano - Ficha de trabalho
Trigonometria 11.º Ano - Ficha de trabalhoMaths Tutoring
 
071 ficha de avaliação geometria
071 ficha de avaliação    geometria071 ficha de avaliação    geometria
071 ficha de avaliação geometriaRute Raposo
 

Semelhante a Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Parte III (20)

Trigonometra
TrigonometraTrigonometra
Trigonometra
 
Trigonometria exercícios resolvidos e teoria
Trigonometria   exercícios resolvidos e teoriaTrigonometria   exercícios resolvidos e teoria
Trigonometria exercícios resolvidos e teoria
 
Matematica aplicada
Matematica aplicadaMatematica aplicada
Matematica aplicada
 
Matematica aplicada
Matematica aplicadaMatematica aplicada
Matematica aplicada
 
Trigonometria- Básica
Trigonometria- BásicaTrigonometria- Básica
Trigonometria- Básica
 
1 ano trigonometria no triângulo retângulo - 2008
1 ano   trigonometria no triângulo retângulo - 20081 ano   trigonometria no triângulo retângulo - 2008
1 ano trigonometria no triângulo retângulo - 2008
 
Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico
Identificando os quadrantes do ciclo trigonométricoIdentificando os quadrantes do ciclo trigonométrico
Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico
 
Trigonometria (1)
Trigonometria (1)Trigonometria (1)
Trigonometria (1)
 
isoladas-matematica-do-zero-na-fundatec-aula-15-dudan.pdf
isoladas-matematica-do-zero-na-fundatec-aula-15-dudan.pdfisoladas-matematica-do-zero-na-fundatec-aula-15-dudan.pdf
isoladas-matematica-do-zero-na-fundatec-aula-15-dudan.pdf
 
Alguns tópicos de geometria
Alguns tópicos de geometriaAlguns tópicos de geometria
Alguns tópicos de geometria
 
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
 
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptxangulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
 
Exercicios de trigonometria
Exercicios de trigonometriaExercicios de trigonometria
Exercicios de trigonometria
 
Trigonometria 11.º Ano - Ficha de trabalho
Trigonometria 11.º Ano - Ficha de trabalhoTrigonometria 11.º Ano - Ficha de trabalho
Trigonometria 11.º Ano - Ficha de trabalho
 
071 ficha de avaliação geometria
071 ficha de avaliação    geometria071 ficha de avaliação    geometria
071 ficha de avaliação geometria
 
Ficha nº18 trigonometria
Ficha nº18 trigonometriaFicha nº18 trigonometria
Ficha nº18 trigonometria
 
Ficha nº18 trigonometria
Ficha nº18 trigonometriaFicha nº18 trigonometria
Ficha nº18 trigonometria
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 
Trigonometria básica
Trigonometria básicaTrigonometria básica
Trigonometria básica
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 

Mais de Maths Tutoring

Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricasIdentidades trigonométricas
Identidades trigonométricasMaths Tutoring
 
Trigonometria 12 ano revisoes
Trigonometria 12 ano revisoesTrigonometria 12 ano revisoes
Trigonometria 12 ano revisoesMaths Tutoring
 
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevadoIntervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevadoMaths Tutoring
 
Teste 11ano produto interno e vetores
Teste 11ano produto interno e vetoresTeste 11ano produto interno e vetores
Teste 11ano produto interno e vetoresMaths Tutoring
 
Teste eqs e intervalos com res
Teste eqs e intervalos com resTeste eqs e intervalos com res
Teste eqs e intervalos com resMaths Tutoring
 
Teste equações e intervalos
Teste equações e intervalosTeste equações e intervalos
Teste equações e intervalosMaths Tutoring
 
Sucessoes e series com res
Sucessoes e series com resSucessoes e series com res
Sucessoes e series com resMaths Tutoring
 
Sucessoes, séries 20/21
Sucessoes, séries 20/21Sucessoes, séries 20/21
Sucessoes, séries 20/21Maths Tutoring
 
Ano 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
Ano 20/21 - Ficha 9ano - IntervalosAno 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
Ano 20/21 - Ficha 9ano - IntervalosMaths Tutoring
 
Fluid Mechanics Exercises
Fluid Mechanics ExercisesFluid Mechanics Exercises
Fluid Mechanics ExercisesMaths Tutoring
 
Dynamical systems solved ex
Dynamical systems solved exDynamical systems solved ex
Dynamical systems solved exMaths Tutoring
 
Worksheet - Differential Equations
Worksheet - Differential EquationsWorksheet - Differential Equations
Worksheet - Differential EquationsMaths Tutoring
 

Mais de Maths Tutoring (20)

O que é a pedagogia
O que é a pedagogiaO que é a pedagogia
O que é a pedagogia
 
Teste Derivadas
Teste DerivadasTeste Derivadas
Teste Derivadas
 
Ficha2 Derivadas
Ficha2 DerivadasFicha2 Derivadas
Ficha2 Derivadas
 
Teste 12ano
Teste 12ano Teste 12ano
Teste 12ano
 
Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricasIdentidades trigonométricas
Identidades trigonométricas
 
limite sinx/x 12 ano
limite sinx/x 12 anolimite sinx/x 12 ano
limite sinx/x 12 ano
 
Trigonometria 12 ano revisoes
Trigonometria 12 ano revisoesTrigonometria 12 ano revisoes
Trigonometria 12 ano revisoes
 
Teorema de Bolzano
Teorema de BolzanoTeorema de Bolzano
Teorema de Bolzano
 
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevadoIntervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
 
Teste algebra linear
Teste algebra linearTeste algebra linear
Teste algebra linear
 
Teste 11ano produto interno e vetores
Teste 11ano produto interno e vetoresTeste 11ano produto interno e vetores
Teste 11ano produto interno e vetores
 
Teste eqs e intervalos com res
Teste eqs e intervalos com resTeste eqs e intervalos com res
Teste eqs e intervalos com res
 
Teste equações e intervalos
Teste equações e intervalosTeste equações e intervalos
Teste equações e intervalos
 
Sucessoes e series com res
Sucessoes e series com resSucessoes e series com res
Sucessoes e series com res
 
Sucessoes, séries 20/21
Sucessoes, séries 20/21Sucessoes, séries 20/21
Sucessoes, séries 20/21
 
Ano 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
Ano 20/21 - Ficha 9ano - IntervalosAno 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
Ano 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
 
Fluid Mechanics Exercises
Fluid Mechanics ExercisesFluid Mechanics Exercises
Fluid Mechanics Exercises
 
Dynamical systems solved ex
Dynamical systems solved exDynamical systems solved ex
Dynamical systems solved ex
 
Linear Algebra
Linear AlgebraLinear Algebra
Linear Algebra
 
Worksheet - Differential Equations
Worksheet - Differential EquationsWorksheet - Differential Equations
Worksheet - Differential Equations
 

Último

Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptxQuímica-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptxKeslleyAFerreira
 
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - materialFUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - materialDouglasVasconcelosMa
 
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande""Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"Ilda Bicacro
 
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdfCarinaSofiaDiasBoteq
 
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º anoNós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º anoIlda Bicacro
 
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxAspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxprofbrunogeo95
 
Sequência didática Carona 1º Encontro.pptx
Sequência didática Carona 1º Encontro.pptxSequência didática Carona 1º Encontro.pptx
Sequência didática Carona 1º Encontro.pptxCarolineWaitman
 
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptxEBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptxIlda Bicacro
 
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdf
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdfHistória concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdf
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdfGisellySobral
 
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilPower Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilMariaHelena293800
 
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docxSílvia Carneiro
 
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSSFormação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSSPedroMatos469278
 
472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...
472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...
472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...GisellySobral
 
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfGramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfKelly Mendes
 
Histogramas.pptx...............................
Histogramas.pptx...............................Histogramas.pptx...............................
Histogramas.pptx...............................mariagrave
 
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdfApostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdflbgsouza
 
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na ÁfricaPeriodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na Áfricajuekfuek
 
Slides Lição 7, CPAD, O Perigo Da Murmuração, 2Tr24.pptx
Slides Lição 7, CPAD, O Perigo Da Murmuração, 2Tr24.pptxSlides Lição 7, CPAD, O Perigo Da Murmuração, 2Tr24.pptx
Slides Lição 7, CPAD, O Perigo Da Murmuração, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
Acróstico - Maio Laranja
Acróstico  - Maio Laranja Acróstico  - Maio Laranja
Acróstico - Maio Laranja Mary Alvarenga
 

Último (20)

Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptxQuímica-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
 
Poema - Maio Laranja
Poema - Maio Laranja Poema - Maio Laranja
Poema - Maio Laranja
 
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - materialFUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
 
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande""Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
 
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf
 
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º anoNós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
 
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxAspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
 
Sequência didática Carona 1º Encontro.pptx
Sequência didática Carona 1º Encontro.pptxSequência didática Carona 1º Encontro.pptx
Sequência didática Carona 1º Encontro.pptx
 
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptxEBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
 
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdf
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdfHistória concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdf
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdf
 
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilPower Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
 
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
 
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSSFormação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
 
472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...
472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...
472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...
 
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfGramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
 
Histogramas.pptx...............................
Histogramas.pptx...............................Histogramas.pptx...............................
Histogramas.pptx...............................
 
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdfApostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
 
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na ÁfricaPeriodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
 
Slides Lição 7, CPAD, O Perigo Da Murmuração, 2Tr24.pptx
Slides Lição 7, CPAD, O Perigo Da Murmuração, 2Tr24.pptxSlides Lição 7, CPAD, O Perigo Da Murmuração, 2Tr24.pptx
Slides Lição 7, CPAD, O Perigo Da Murmuração, 2Tr24.pptx
 
Acróstico - Maio Laranja
Acróstico  - Maio Laranja Acróstico  - Maio Laranja
Acróstico - Maio Laranja
 

Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Parte III

  • 1. 1 Capítulo III TRIGONOMETRIA 35 exercícios  Consolidação dos conteúdos 1. A Figura representa um triângulo retângulo cujas medidas dos catetos estão assinaladas na mesma. 1.1. Calcula a medida da hipotenusa do triângulo. 1.2. Marca na Figura o ângulo 𝛼 oposto ao cateto de 8 cm. 1.3. Indica os valores exatos de sen 𝛼, cos 𝛼 e tan 𝛼. 1.4. Utiliza a função sin−1 (ou uma das outras) da tua máquina calculadora para encontrar a amplitude do ângulo 𝛼. Apresenta o resultado em graus e arredondado às décimas. 1.5. Seja 𝛽 o restante ângulo agudo do triângulo. Marca-o na Figura e, nas mesmas condições do exercício anterior, indica a medida da sua amplitude. 1.6. Verifica que sen α = cos(90° − α). Justifica que esta conclusão se estende a quaisquer ângulos agudos. 2. A Figura representa um triângulo retângulo e um ângulo 𝛽 de amplitude 60°. A medida de um dos catetos está também assinalada na Figura. 2.1. Qual o valor de sen 60°? (Consulta a tabela trigonométrica). 2.2. Determina o perímetro do triângulo. Apresenta o resultado arredondado às décimas. 3. Completa as igualdades que se seguem com valores de amplitude de ângulos agudos. 3.1. sen 20° = cos 3.2. cos2 (35°) = sen2 3.3. sen 41° + cos = 2cos 49° 3.4. cos = sen (os valores em falta são iguais) 4. Considera um triângulo retângulo tal que, sendo 𝛼 um dos seus ângulos agudos, tan 𝛼 = 2. 4.1. Indica possíveis medidas para os lados desse triângulo. Nota: Identifica, nesse triângulo, o ângulo 𝛼. 4.2. Classifica o triângulo quantos aos lados. Justifica a tua resposta. 4.3. Quantos triângulos retângulos verificam a condição enunciada? Porquê? 5. Justifica que, sendo 𝛼 o ângulo agudo de um triângulo retângulo, sen 𝛼 e cos 𝛼 são números inferiores a 1. 6. Justifica que, sendo 𝛼 o ângulo agudo de um triângulo retângulo, sen 𝛼 é sempre um número inferior a tan 𝛼.
  • 2. 2 7. Para um dado triângulo retângulo com um ângulo agudo 𝛼, tem-se tan 𝛼 = 1. Sabendo que a soma das medidas dos catetos desse triângulo é igual a 10, determina as medidas dos lados do triângulo. 8. Em relação a um determinado ângulo agudo 𝛼 de um triângulo retângulo, sabe-se que sen 𝛼 > cos 𝛼. Interpreta esse resultado em termos das medidas dos catetos do triângulo. 9. Num triângulo retângulo e isósceles, qual a relação entre sen 𝛼 e cos 𝛼? Justifica a tua resposta. 10. Verifica que sen2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 (Fórmula Fundamental da Trigonometria). 11. Completa as igualdades que se seguem. 11.1. sen2 (25°) + cos2 (25°) = 11.2. sen2 (25°) + sen2 = 1 11.3. sen 33° + cos 33° 2 + = 1 11.4. 3sen2 25° = − 3cos2 (25°) 12. Mostra que sen 𝛼 + cos 𝛼 2 − 1 2 = 4 sen2 𝛼 − sen4 𝛼 . 13. Comenta a afirmação seguinte: “Em relação ao ângulo agudo 𝛼 de um triângulo retângulo, tem-se cos 𝛼 = 1 3 e sen 𝛼 = 3 5 .” 14. Seja 𝛼 um ângulo agudo para o qual cos 𝛼 = 2 3 . Determina o valor exato de sen 𝛼. 15. Verifica que tan 𝛼 = sen α cos 𝛼 . 16. Determina o valor exato de tan 𝛼, onde 𝛼 é o ângulo do exercício 14. 17. Mostra que cos2 𝛼 = 1 1+tan2 𝛼 . 18. Observa a Figura que representa um retângulo, uma das suas diagonais e os ângulos 𝛼 e 𝛽, onde a medida de um dos lados do retângulo e da amplitude do ângulo 𝛼 estão devidamente identificadas na Figura. 18.1. Indica, justificando, a medida da amplitude do ângulo 𝛽. 18.2. Calcula a medida da diagonal do retângulo. Apresenta o resultado arredondado às décimas. 19. Uma rampa lisa de comprimento 3 m faz um ângulo de 23° com o plano horizontal. Quantos metros está uma pessoa acima do plano horizontal após subir a rampa? Faz um esquema da situação descrita e apresenta o resultado com arredondamento às décimas. 20. Após descolar, um avião faz, durante a sua trajetória retilínea, um ângulo de 40° em relação à pista plana. Que distância percorreu o avião quando está a 15 m de altura? Elabora um esquema que te permita traduzir o problema e apresenta o resultado com arredondamento às décimas.
  • 3. 3  Exercícios suplementares 1. Em relação a um triângulo retângulo, sabe-se que a sua área é igual a 210 e o valor da medida da hipotenusa é 841. Determina a amplitude dos ângulos agudos do triângulo. Apresenta os resultados com arredondamento às unidades. 2. Na Figura estão representados dois triângulos retângulos, [𝐴𝐵𝐶] e [𝐵𝐶𝐷], e o ângulo 𝛽. Sabe-se que:  𝐴𝐷 = 2 cm;  𝐴𝐵 = 10 cm. 2.1. Justifica que os triângulos [𝐴𝐵𝐶] e [𝐵𝐶𝐷] são semelhantes. 2.2. Determina a medida do segmento [𝐶𝐷]. 2.3. Determina o valor exato do perímetro do triângulo [𝐴𝐵𝐶]. 2.4. Qual o valor de 2sen 𝛽 − cos 𝛽? Assinala a opção correta. (A) 5 5 (B) 2 5 5 (C) 3 5 5 (D) 4 5 5 3. Em relação a um triângulo retângulo, sabe-se que as medidas dos seus catetos são números inteiros e, sendo 𝛼 um dos seus ângulos agudos, sen 𝛼 = 𝑘cos 𝛼, para algum 𝑘 real. 3.1. Assinala a opção que completa corretamente a afirmação seguinte. 𝑘 é um número… (A) Irracional e positivo. (B) Irracional e negativo. (C) Racional e positivo. (D) Racional e negativo. 3.2. Mostra que cos 𝛼 = 1 𝑘+1 . 3.3. Indica o valor de tan 𝛼. 3.4. Mostra que se 𝑘 for um número natural, a medida da hipotenusa do triângulo não é um número inteiro. 4. Seja 𝐴 a área de um triângulo retângulo, 𝛼 um dos seus ângulos agudos e 𝑐 a medida do cateto adjacente ao ângulo. Mostra que tan 𝛼 = 2𝐴 𝑐2 . 5. Mostra que sen4 𝛼 − cos4 𝛼 = 2sen2 𝛼 − 1. 6. Resolve a equação sen2 𝛼 − 25 12 sen 𝛼 + 1 = 0, onde 𝛼 é um ângulo agudo. (Sugestão: Utiliza a fórmula resolvente em sen 𝛼). 7. Em relação a um determinado ângulo agudo 𝛼, sabe-se que sen 𝛼 + cos 𝛼 = 3 4 . Determina o valor de cos 𝛼. 8. Verifica que não existe nenhum ângulo agudo 𝛼 que satisfaça tan 𝛼 = sen α.
  • 4. 4 9. Justifica que nenhum ângulo agudo α verifica sen α = 𝑚 e cos α = 𝑚 − 1. 10. Na Figura está representado um triângulo. Sabe-se que:  A amplitude do ângulo 𝛼 do triângulo mede 60°;  Em relação ao ângulo 𝛽 do triângulo, sen 𝛽 = 4 5 ;  A área do triângulo é igual a 24 + 32 3 3 . Determina o perímetro do triângulo. Apresenta o resultado arredondado às centésimas. 11. Seja 𝛼 um ângulo agudo. Atenta às seguintes definições:  cotg 𝛼 denomina-se cotangente de 𝛼 e representa o número 1 tan 𝛼 ;  cossec 𝛼 denomina-se cossecante de 𝛼 e representa o número 1 sen 𝛼 ;  sec 𝛼 denomina-se secante de 𝛼 e representa o número 1 cos 𝛼 . 11.1. Indica o valor exato da expressão 2cotg 30° − cossec 45° + sec 60°. (Consulta a tabela trigonométrica). 11.2. Verifica que cotg 𝛼 = tan(90° − 𝛼). 11.3. Escreve uma fórmula que permita relacionar cotg 𝛼 com cossec 𝛼 e sec 𝛼. 11.4. Verifica que cossec2 α + sec2 α = cossec2 α × sec2 α. 11.5. Mostra que cotg α + sen α 2 = cossec2 α − cos2 α + 2 cos 𝛼. 12. A Figura representa um triângulo com os lados e ângulos devidamente identificados. 12.1. A lei dos senos assenta na relação seguinte: 𝑎 sen 𝛼 = 𝑏 sen 𝛽 = 𝑐 sen 𝛾 . Isto significa que, num dado triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante (daí a designação da lei). Prova a lei dos senos. 12.2. Considera 𝛼 = 60°, 𝛽 = 45° e 𝑎 = 5 cm. Determina o perímetro do triângulo nessas condições. Apresenta o resultado arredondado às décimas. 12.3. Mostra que a área do triângulo da Figura pode ser obtida através da expressão 𝑐2sen 𝛽 sen α 2 sen 𝛾 . 12.4. A lei dos cossenos, por outro lado, denomina a seguinte igualdade: 𝑎 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 (fórmulas análogas podem ser escritas para 𝑏 e 𝑐, fazendo as devidas adaptações). Prova a lei dos cossenos.
  • 5. 5 12.5. Assume que o triângulo da Figura é acutângulo. Justifica que 𝑎2 < 𝑏2 + 𝑐2 (repara que esta desigualdade nada tem a ver com a desigualdade triangular, pois estamos a tomar os quadrados das medidas dos lados). (Sugestão: Usa a lei dos cossenos). 12.6. Mostra que cos 𝛼 𝑎 + cos 𝛽 𝑏 + cos 𝛾 𝑐 = 𝑎2+𝑏2+𝑐2 2𝑎𝑏𝑐 . 12.7. Num triângulo, dois lados de comprimento 3 cm e 4 cm definem um ângulo de 60°. Usando a lei dos cossenos, determina o valor exato do perímetro do triângulo. 13. Relembra o exercício 37. dos Exercícios Suplementares do Capítulo I no qual é apresentada a Figura. 13.1. Marca no triângulo retângulo da Figura o ângulo 𝛽 oposto ao cateto de medida 𝑦0 − 𝑦1. 13.2. Indica, usando os dados da Figura, o valor de sen 𝛽. 13.3. Mostra que o declive da reta que contém os pontos 𝑃 e 𝑄 é dado por tan 𝛽. 14. Considera os triângulos [𝐴𝐵𝐶] e [𝐵𝐶𝐷] representados na Figura. Tal como a Figura sugere, os ângulos 𝛼 e 𝛽 são ângulos dos triângulos [𝐴𝐵𝐶] e [𝐵𝐶𝐷], respetivamente. Admite sen 𝛽 > sen 𝛼. 14.1. Justifica que 𝐶𝐷 < 𝐴𝐶. 14.2. Mostra que 𝐵𝐶 𝐴𝐷 = tan 𝛼 tan 𝛽 tan 𝛼+tan 𝛽 . 15. Considera o triângulo [𝐴𝐵𝐶] representado na Figura. Sabe-se que a medida da hipotenusa desse triângulo é 5 cm e um dos seus ângulos é o ângulo 𝛼 assinalado. 15.1. Qual é o sólido resultante da rotação do triângulo em torno do cateto [𝐴𝐶]? 15.2. Mostra que o volume do sólido da alínea anterior é dado, em função de 𝛼, por 53 3 𝜋(cos 𝛼 − cos 3 𝛼). 16. Mostra que tan 2 𝛼+𝑘 tan 2 𝛼+𝑘−1 = 1 + cos 2 𝛼 1+(𝑘−2) cos 2 𝛼 , 𝑘 ∈ ℝ.
  • 6. 1 Capítulo III Consolidação dos conteúdos 1.1. Seja ℎ a medida da hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se ℎ2 = 62 + 82 ⇔ ℎ2 = 100 ⇔ ℎ = ±10. Atendendo ao contexto do problema, resulta ℎ = 10 cm. 1.2. 1.3. Dado um ângulo 𝛼 agudo de um triângulo retângulo, definem-se as seguintes razões trigonométricas: sen 𝛼 = cateto oposto hipotenusa , cos 𝛼 = cateto adjacente hipotenusa e tan 𝛼 = cateto oposto cateto adjacente . Da mesma forma que em muitas das resoluções deste capítulo, por abuso de linguagem, cada um dos termos cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa refere-se à medida do respetivo lado do triângulo. Deste modo, no caso em particular, obtemos sen 𝛼 = 8 10 = 4 5 , cos 𝛼 = 6 10 = 3 5 e tan 𝛼 = 8 6 = 4 3 . 1.4. Pela alínea anterior, tem-se sen 𝛼 = 4 5 . A amplitude do ângulo 𝛼 obtém-se usando a função sen−1 , que pode ser encontrada nas máquinas calculadoras científicas. Procedendo dessa forma, resulta sen−1 4 5 ≈ 53,1. Tal como o enunciado indica, poder-se-ia, igualmente, utilizar as funções cos−1 e tan−1 para obter a amplitude do ângulo 𝛼. 1.5. A amplitude de 𝛽 é igual a 90° − sen−1 4 5 ≈ 36,9°, atendendo à soma dos ângulos internos de um triângulo. Repara que, embora o valor obtido seja o mesmo, a amplitude de 𝛽 não poderia ser obtida a partir da operação 90° − 53,1°, pois a segunda parcela já se trata de um arredondamento (obtido na alínea anterior), pelo que o resultado poderia não ser o mesmo. 1.6. No caso do triângulo apresentado, tem-se cos(90° − α) = cos 𝛽 = 4 5 = sen 𝛼. Com efeito, em qualquer triângulo retângulo, a igualdade é verificada, tendo em conta que o cateto oposto a um dos ângulos agudos α do triângulo é o cateto adjacente ao outro ângulo agudo, resultando na igualdade sen 𝛼 = cos(90° − α). 2.1. sen 60° = 3 2 (a tabela trigonométrica pode ser consultada no anexo). 2.2. Seja ℎ a medida da hipotenusa do triângulo. Atendendo ao valor obtido na alínea anterior e aos dados da Figura, vem sem 60° = 3 2 = 5 ℎ ⇔ ℎ = 10 3 = 10 3 3 . Pelo Teorema de Pitágoras, a medida do restante cateto é dada por 100 3 − 25 = 5 3 3 . Portanto, o perímetro do triângulo é aproximado por 5 + 10 3 3 + 5 3 3 ≈ 13,7 cm. 3.1. Sabemos que, para qualquer angulo agudo 𝛼, vale a relação sen 𝛼 = cos(90° − α). Assim, é imediato reconhecer que sen 20° = cos 𝟖𝟎°. 3.2. Seguindo o mesmo raciocínio que anteriormente, resulta cos2 (35°) = sen2 (𝟓𝟓°). 3.3. Tem-se sen 41° = cos 49° e, portanto, sen 41° + cos 𝟒𝟗° = cos49° + cos49° = 2 cos49°. 3.4. Queremos identificar a amplitude de um ângulo agudo 𝛼 que verifique sen 𝛼 = cos 𝛼. Ora, como sem 𝛼 = cos 90° − α , a igualdade sem 𝛼 = cos 𝛼 é satisfeita se 90° − α = α ⇔ 2α = 90° ⇔ α = 45°. Portanto, sen 𝟒𝟓° = 𝟒𝟓°. 4.1. Por exemplo, o triângulo retângulo cujos catetos medem 4 cm e 2 cm e o ângulo α é o ângulo oposto ao cateto de 4 cm. 4.2. O triângulo é escaleno. Com efeito, o facto de tan 𝛼 = cateto oposto cateto adjacente = 2, em relação a algum ângulo agudo 𝛼 no triângulo, mostra que a medida do cateto oposto ao ângulo é o dobro da medida do cateto adjacente. Assim, como a medida da hipotenusa é sempre superior à dos catetos, conclui-se que as medidas dos lados do triângulo que verifique tan 𝛼 = 2 são todas diferentes, pelo que o triângulo é escaleno. 4.3. Uma infinidade. Pela alínea anterior, basta que a medida de um dos catetos seja o dobro da do outro para se ter tan 𝛼 = 2 e é evidente que existe uma infinidade de triângulos nessa condição. 5. Basta notar que a razão cateto oposto hipotenusa é um número inferior a 1, dada a inferioridade do numerador em relação ao denominador. Assim, sendo 𝛼 um ângulo agudo, sen α < 1. O mesmo se concluiria em relação ao cosseno.
  • 7. 2 6. Como cateto oposto hipotenusa < cateto oposto cateto adjacen te (o denominador da primeira é superior ao da segunda razão), tem-se sen α < tan 𝛼, onde 𝛼 é um ângulo agudo. 7. Tem-se tan 𝛼 = 1 ⇔ cateto oposto cateto adjacente = 1 ⇔ cateto oposto = cateto adjacente, ou seja, as medidas dos catetos são as mesmas. Seja ℎ a medida da hipotenusa do triângulo e 𝑐 a medida de cada cateto. Assim, 2𝑐 = 10 ⇔ 𝑐 = 5 e ℎ = 2 × 52 = 50. Portanto, no triângulo retângulo em causa, cada cateto mede 5 e a hipotenusa 50. 8. Tem-se sen 𝛼 > cos 𝛼 ⇔ cateto oposto hipotenusa > cateto adjacente hipotenusa ⇔ cateto oposto > 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒. Portanto, a medida do cateto oposto é superior à do cateto adjacente ao ângulo 𝛼. 9. Como o triângulo é isósceles, as medidas dos catetos são iguais e, consequentemente, as razões trigonométricas que definem sen 𝛼 e cos 𝛼. Logo cos 𝛼 = sen 𝛼. 10. sen2 𝛼 + cos2 𝛼 = cateto oposto hipotenusa 2 + cateto adjacente hipotenusa 2 = cateto oposto 2+cateto adjacente 2 hipotenusa 2 = hipotenusa 2 hipotenusa 2 = 1, onde a penúltima igualdade advém do Teorema de Pitágoras. Portanto, sen2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 com 𝛼 um ângulo agudo. 11.1. sen2 25° + cos2 25° = 𝟏, pela Fórmula Fundamental da Trigonometria. 11.2. sen2 25° + sen2 𝟔𝟓° = sen2 25° + cos2 25° = 1, onde a primeira igualdade tem em conta a relação sen 𝛼 = cos(90° − α). 11.3. sen 33° + cos 33° 2 = sen2 33° + 2sen 33° cos 33° + cos2 33° = 1 + 2sen 33° cos 33° . Portanto, sen 33° + cos 33° 2 − 𝟐𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟑° 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟑° = 1. 11.4. 3sen2 25° + 3cos2 25° = 3 sen2 25° + cos225°=3. Portanto, 3sen2 25° = 𝟑 − 3cos2 25° . 12. Tem-se: sen 𝛼 + cos 𝛼 2 − 1 2 = = sen2 𝛼 + 2sen 𝛼 cos 𝛼 + cos2 𝛼 − 1 2 = 2sen 𝛼 cos 𝛼 2 = 4sen2 𝛼 cos2 𝛼 = = 4sen2 𝛼 1 − sen2 𝛼 = 4(sen2 𝛼 − sen4 𝛼), onde a penúltima igualdade advém da equivalência sen2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 ⇔ cos2 𝛼 = 1 − sen2 𝛼. 13. A afirmação é falsa, pois se existisse um ângulo agudo 𝛼 de um triângulo retângulo tal que cos 𝛼 = 1 3 e sen 𝛼 = 3 5 , então, pela fórmula fundamental da trigonometria, ter-se-ia 1 3 2 + 3 5 2 = 1, o que não se verifica 1 3 2 + 3 5 2 = 106 225 . 14. Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se sen2 𝛼 = 1 − 2 3 2 ⇔ sen2 𝛼 = 7 9 ⇔ sen 𝛼 = 7 3 , onde esta última equivalência se deve ao facto de 𝛼 ser um ângulo agudo e, portanto, sen 𝛼 é um número positivo. Uma alternativa de resolução (talvez menos intuitiva) consiste em “construir” um triângulo retângulo com um ângulo agudo 𝛼 cujo cosseno seja igual a 2 3 . Assim, podemos supor que o cateto adjacente a 𝛼 mede 2 e a hipotenusa 3. Pelo Teorema de Pitágoras, o restante cateto (cateto oposto a 𝛼) mede 9 − 2 = 7. Assim, é imediato que sen 𝛼 = 7 3 . 15. sen α cos 𝛼 = cateto oposto hipotenusa cateto adjacente hipotenusa = cateto oposto cateto adjacente = tan 𝛼, o que conclui a prova. 16. Tem-se cos 𝛼 = 2 3 e, pela resolução de 14., sen 𝛼 = 7 3 . Portanto, tan 𝛼 = sen α cos 𝛼 = 7 3 2 3 = 7 2 . 17. tan 𝛼 = sen α cos 𝛼 ⇒ tan2 𝛼 = sen2 α cos2 𝛼 ⇒ tan2 𝛼 = 1−cos 2 α cos 2 𝛼 ⇒ tan2 𝛼 + 1 = 1 cos 2 𝛼 ⇒ cos2 𝛼 = 1 tan 2 𝛼+1 . 18.1. 𝛼 = 𝛽 = 60°, pois os triângulos que completam o retângulo são semelhantes pelo critério LAL (lado-ângulo-lado). 18.2. Seja 𝑑 a diagonal do quadrado, que coincide com a hipotenusa dos triângulos retângulos que
  • 8. 3 completam o retângulo. Como a amplitude do ângulo 𝛽 é de 60° e um dos catetos do triângulo mede 4 cm, tem-se cos 60° = 4 𝑑 ⇔ 𝑑 = 4 cos60° = 4 1 2 = 8. Portando, a medida da diagonal do retângulo é 8 cm. 19. Traduzindo o problema por uma Figura, tem-se: Portanto, a altura ℎ em falta resulta de: sen 23° = ℎ 3 ⇔ ℎ = 3sen 23° ≈ 1,2 m. 20. Traduzindo o problema por uma Figura, tem-se: A distância 𝑑 obtém-se de: sen 40° = 15 𝑑 ⇔ 𝑑 = 15 sen 40° ≈ 23,3 m. Exercícios Suplementares 1. Sejam 𝑐1 e 𝑐2 as medidas dos catetos do triângulo e ℎ a medida da hipotenusa (neste caso, 841). Como o triângulo é retângulo, a sua área é igual a metade do produto das medidas dos catetos. Então, tem-se 𝑐1 𝑐2 = 420 e ℎ = 841 ⇒ ℎ2 = 841 ⇒ 𝑐1 2 + 𝑐2 2 = 841 ⇒ 𝑐1 + 𝑐2 2 − 2𝑐1 𝑐2 = 841 ⇒ 𝑐1 + 𝑐2 2 = 1681 ⇒ 𝑐1 + 𝑐2 = 41 ⇒ 𝑐1 = 41 − 𝑐2. As igualdades 𝑐1 𝑐2 = 420 e 𝑐1 = 41 − 𝑐2 conduzem a 41 − 𝑐2 𝑐2 = 420 ⇔ −𝑐2 2 + 41𝑐2 − 420 = 0 ⇔ 𝑐2 = 20 ∨ 𝑐2 = 21, o que significa que as medidas dos catetos do triângulo são 20 e 21. Por conseguinte, tem-se que a amplitude dos seus ângulos agudos são dadas por tan−1 20 21 ≈ 44° e 90° − tan−1 20 21 ≈ 46°. 2.1. Seja 𝛼 o ângulo 𝐴𝐶𝐷. Então, em relação ao triângulo [𝐴𝐶𝐷], tem-se 𝛼 + 𝛽 = 90°. Mas, por outro lado, os ângulos 𝐴𝐶𝐷 e 𝐵𝐶𝐷 são complementares, ou seja, a sua soma é 90° e, portanto, a amplitude de 𝐷𝐶𝐵 é igual à amplitude de 𝛽. Assim, é imediato reconhecer que os triângulos 𝐴𝐶𝐷 e 𝐵𝐶𝐷 são semelhantes pelo facto de terem os ângulos iguais (critério AAA). 2.2. Como os triângulos são semelhantes, tem-se 𝐴𝐷 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 𝐷𝐵 ⇔ 2 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 10−2 ⇔ 𝐶𝐷 2 = 16, donde resulta que 𝐶𝐷 = 4 cm. 2.3. Em relação ao triângulo [𝐵𝐶𝐷], tem-se, pelo Teorema de Pitágoras, que 𝐶𝐵2 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐵2 ⇔ 𝐶𝐵2 = 16 + 64 ⇔ 𝐶𝐵2 = 80, ou seja, 𝐶𝐵 = 80 = 4 5 cm. Pelo mesmo motivo, no triângulo [𝐴𝐶𝐷], 𝐴𝐶2 = 𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2 ⇔ 𝐴𝐶2 = 16 + 4 ⇔ 𝐴𝐶2 = 20, logo 𝐴𝐶 = 20 = 2 5 cm. Portanto, o perímetro do triângulo [𝐴𝐵𝐶] é 4 5 + 2 5 + 10 = 6 5 + 10 cm. 2.4. Comecemos por encontrar os valores de sen 𝛽 e cos 𝛽: sen 𝛽 = 𝐶𝐷 𝐴𝐶 = 4 2 5 = 2 5 5 e cos 𝛽 = 𝐴𝐷 𝐴𝐶 = 2 2 5 = 5 5 . Assim, 2sen 𝛽 − cos 𝛽 = 4 5 5 − 5 5 = 3 5 5 . Opção correta: C. 3. Seja 𝑐1 a medida do cateto oposto do triângulo, 𝑐2 a medida do cateto adjacente e ℎ a medida da hipotenusa. 3.1. Tem-se sen 𝛼 = 𝑘cos 𝛼 ⇔ 𝑐1 ℎ = 𝑘 𝑐2 ℎ ⇔ 𝑐1 = 𝑘𝑐2 e, como as medidas dos catetos são números inteiros, resulta que 𝑘 é um número positivo e racional (podendo ser um número natural). Opção correta: C. 3.2. Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade sem 𝛼 = 𝑘cos 𝛼, obtém-se sem2 𝛼 = 𝑘cos2 𝛼 ⇒ 1 − cos2 𝛼 = 𝑘cos2 𝛼 ⇒ 𝑘 + 1 cos2 𝛼 = 1 ⇒ cos 𝛼 = 1 𝑘+1 , onde a primeira implicação advém da Fórmula Fundamental e a última pelo facto de o ângulo 𝛼 ser agudo e, portanto, o respetivo valor do cosseno ser positivo. 3.3. sen 𝛼 = 𝑘cos 𝛼 ⇒ sen α cos 𝛼 = 𝑘 ⇒ tan 𝛼 = 𝑘. 3.4. Pela primeira alínea e pelo Teorema de Pitágoras, 𝑘2 𝑐2 2 + 𝑐2 2 = ℎ2 ⇒ ℎ = 𝑘2 + 1𝑐2. Agora, é fácil de verificar que, para qualquer 𝑘 > 0 inteiro, 𝑘2 + 1 não é um quadrado perfeito (exercício extra), donde se conclui que a medida da hipotenusa do triângulo não pode ser um número inteiro. 4. A medida do cateto oposto a 𝛼 é dada por 2A 𝑐 e, portanto, tan 𝛼 = 2A 𝑐 𝑐 = 2A 𝑐2 . 5. sen4 𝛼 − cos4 𝛼 = = sen2 𝛼 + cos2 𝛼 sen2 𝛼 − cos2 𝛼 = = sen2 𝛼 − cos2 𝛼 = sen2 𝛼 − 1 − sen2 𝛼 = = 2sen2 𝛼 − 1, onde a segunda e terceira igualdades usam a Fórmula Fundamental.
  • 9. 4 6. sen 𝛼 = 25 12 ± 25 12 2 −4 2 ⇔ sen 𝛼 = 25 12 ± 25 12 2 −4 2 ⇔ sen 𝛼 = 25 12 ± 7 12 2 ⇔ sen 𝛼 = 32 24 ∨ sen 𝛼 = 18 24 e, como sen 𝛼 < 1, a única solução da equação é 𝛼 = sen−1 3 4 , 𝐶. 𝑆. = sen−1 3 4 . 7. sen 𝛼 + cos 𝛼 = 3 4 ⇒ sen 𝛼 = 3 4 − cos 𝛼 e, pela Fórmula Fundamental, vem: 3 4 − cos 𝛼 2 + cos2 𝛼 = 1 ⇔ ⇔ 3 16 − 3 2 cos 𝛼 + cos2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 ⇔ ⇔ 2cos2 𝛼 − 3 2 cos 𝛼 − 13 16 = 0 ⇔ ⇔ cos 𝛼 = 3 2 ± 3 2 2 −4×2× − 13 16 4 ⇔ ⇔ cos 𝛼 = 3 2 ±2 29 4 4 ⇔ ⇔ cos 𝛼 = 2 3+2 29 16 ∨ cos 𝛼 = 2 3−2 29 16 e, como 1 > cos 𝛼 > 0, resulta cos 𝛼 = 2 3+2 29 16 . 8. Tem-se tan 𝛼 = sen α ⇔ sen α cos 𝛼 = sen α ⇔ cos 𝛼 = 1, o que se sabe ser uma proposição falsa, para qualquer 𝛼 agudo. 9. Pela Fórmula Fundamental, sen2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 ⇔ 𝑚2 + 𝑚 − 1 2 = 1 ⇔ 2𝑚2 − 2𝑚 = 0 ⇔ 𝑚 = 0 ∨ 𝑚 = 1, mas, nesse caso, ter-se-ia sen α = 0 ∨ sen α = 1, o que se sabe ser falso para ângulos agudos. 10. De acordo com os dados do enunciado e da Figura, tem-se:  A área do triângulo é igual a 24 + 32 3 3 , ou seja, 𝑥+𝑦 ×ℎ 2 = 24 + 32 3 3 ⇔ ⇔ (𝑥 + 𝑦) × ℎ = 48 + 64 3 3 ;  tan 60° = ℎ 𝑥 ⇔ 𝑥 = ℎ 3 ;  sen 𝛽 = 4 5 ⇔ tan 𝛽 = 4 3 = ℎ 𝑦 ⇔ 𝑦 = 3ℎ 4 , utilizando a identidade 1 − sen2 𝛼 = 1 1+tan2 𝛼 . Portanto, 48 + 64 3 3 = 1 3 + 3 4 ℎ2 ⇔ ℎ2 = 64, donde ℎ = 8 (subentendem-se cálculos auxiliares que justificam estas passagens) e, por isso, 𝑥 = 8 3 3 e 𝑦 = 6. Usando razões trigonométricas ou o Teorema de Pitágoras, os restantes lados do triângulo podem ser determinados, donde resulta o perímetro, aproximado às centésimas, 29,86. 11.1. 2cotg 30° − cossec 45° + sec 60° = 2 tan 30° − 1 sen 45° + 1 cos 60° = 6 3 − 2 2 + 2 = 2 3 − 2 + 2. 11.2. tan(90° − 𝛼) = sen(90°−α) cos(90°−𝛼) = cos α sen 𝛼 = 1 tan 𝛼 = cotg α. 11.3. cotg α = cos α sen 𝛼 = 1 sen𝛼 1 cos 𝛼 = cosssec α sec 𝛼 . 11.4. cossec2 α + sec2 α = 1 sen2 𝛼 + 1 cos2 𝛼 = cos 2 𝛼+sen 2 𝛼 sen 2 𝛼 cos 2 𝛼 = 1 sen 2 𝛼 cos 2 𝛼 = 1 sen 2 𝛼 1 cos 2 𝛼 = cossec2 α × sec2 α, usando a Fórmula Fundamental. 11.5. cotg α + sen α 2 = cotg2 α + 2 cotg α sen α + sen2 α = = 1 tan2 𝛼 + 2sen 𝛼 tan 𝛼 + sen2 α = = cos2 α sen2 𝛼 + 2 cos 𝛼 + sen2 α = = 1−sen2 α sen2 𝛼 + 2 cos 𝛼 + sen2 α = = 1 sen2 𝛼 − 1 + sen2 α + 2 cos 𝛼 = = cossec2 α − cos2 α + 2 cos 𝛼, onde a terceira igualdade usa a identidade tan 𝛼 = sen α cos 𝛼 . 12.1. Seja ℎ1 a altura relativa ao lado 𝑐 do triângulo. Tem-se ℎ1 = 𝑏 sen α e também ℎ1 = 𝑎 sen 𝛽 e, portanto, 𝑏 sen α = 𝑎 sen 𝛽 ⇔ 𝑎 sen 𝛼 = 𝑏 sen 𝛽 . Por outro lado, considerando ℎ2 a altura relativa ao lado 𝑎 do triângulo, obtém- se ℎ2 = 𝑐 sen 𝛽 e ℎ2 = 𝑏 sen γ, donde resulta 𝑐 sen 𝛽 = 𝑏 sen γ ⇔ 𝑏 sen 𝛽 = 𝑐 sen 𝛾 . Daí obtém-se a lei dos senos:
  • 10. 5 𝑎 sen 𝛼 = 𝑏 sen 𝛽 = 𝑐 sen 𝛾 . 12.2. Tem-se: 5 sen 60° = 𝑏 sen 45° = 𝑐 sen 75° ⇔ ⇔ 5 3 2 = 𝑏 2 2 = 𝑐 sen75° ⇔ 5 2 2 = 𝑏 3 2 = 𝑐 sen75° , donde resulta 𝑏 = 5 6 3 e 𝑐 = 5 2sen75° 2 . Portanto, o perímetro do triângulo resulta 𝑃 = 5 + 5 6 3 + 5 2sen75° 2 ≈ 12,5 cm. 12.3. Seja ℎ a altura relativa ao lado 𝑐 do triângulo. Tem-se ℎ = 𝑏 sen α e, portanto, a área do triângulo é igual a 𝐴 = 𝑐𝑏 sen α 2 e, usando a igualdade 𝑏 sen 𝛽 = 𝑐 sen 𝛾 ⇔ 𝑏 = 𝑐 sen 𝛽 sen 𝛾 , resulta 𝐴 = 𝑐2sen 𝛽 sen α 2sen 𝛾 . 12.4. Seja ℎ nas mesmas condições da alínea anterior e 𝑐1 e 𝑐2 a partição do lado 𝑐 determinada por ℎ (tal como a Figura sugere), donde 𝑐 = 𝑐1 + 𝑐2 ⇔ 𝑐2 = 𝑐 − 𝑐1. Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se, em relação ao triângulo menor da direita: 𝑎2 = ℎ2 + 𝑐2 2 e, usando a igualdade 𝑐2 = 𝑐 − 𝑐1, resulta 𝑎2 = ℎ2 + 𝑐 − 𝑐1 2 ⇔ 𝑎2 = ℎ2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑐1 + 𝑐1 2 . Agora, em relação ao triângulo menor da esquerda, tem- se também 𝑏2 = 𝑐1 2 + ℎ2 e, por isso, 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑐1. Como 𝑐1 = 𝛼 cos 𝛼, fazendo nova substituição, resulta a lei dos cossenos: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 ⇔ 𝑎 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼. 12.5. Como cos 𝛼 > 0 (o triângulo apenas possui ângulos agudos, em particular, 𝛼 é agudo), é imediato reconhecer que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 < 𝑏2 + 𝑐2 . 12.6. Comece-se por escrever fórmulas semelhantes a 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼, em relação aos lados 𝑏 e 𝑐: 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝛽 e 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾. Daí vem: cos 𝛼 𝑎 = 𝑏2+𝑐2−𝑎2 2𝑎𝑏𝑐 , cos 𝛽 𝑏 = 𝑎2+𝑐2−𝑏2 2𝑎𝑏𝑐 e cos 𝛾 𝑐 = 𝑎2+𝑏2−𝑐2 2𝑎𝑏𝑐 (cálculos auxiliares subentendidos). Assim, cos 𝛼 𝑎 + cos 𝛽 𝑏 + cos 𝛾 𝑐 = 𝑏2+𝑐2−𝑎2 2𝑎𝑏𝑐 + 𝑎2+𝑐2−𝑏2 2𝑎𝑏𝑐 + 𝑎2+𝑏2−𝑐2 2𝑎𝑏𝑐 = 𝑎2+𝑏2+𝑐2 2𝑎𝑏𝑐 . 12.7. A medida do lado oposto ao ângulo oposto de 30° é dada, pela lei dos cossenos, por 32 + 42 − 2 × 3 × 4 × cos 60° = 13. Portanto, o valor exato do perímetro do triângulo nessas condições é 7 + 13 cm. 13.1. 13.2. sen 𝛽 = 𝑦0−𝑦1 𝑑 . 13.3. O declive da reta 𝑃𝑄 é dado por 𝑦0−𝑦1 𝑥0−𝑥1 . Relativamente ao ângulo 𝛽 do triângulo, tem-se 𝑦0−𝑦1 𝑥0−𝑥1 = cateto oposto cateto adjacente = tan 𝛽. 14.1. sen 𝛽 > sen 𝛼 ⇔ 𝐶𝐵 𝐶𝐷 > 𝐶𝐵 𝐴𝐶 ⇔ 𝐶𝐷 < 𝐴𝐶. 14.2. tan 𝛼 = 𝐵𝐶 𝐴𝐵 e tan 𝛽 = 𝐵𝐶 𝐵𝐷 , donde 1 tan 𝛼 + 1 tan 𝛽 = 𝐴𝐵+𝐵𝐷 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 𝐵𝐶 ⇔ tan 𝛽+tan 𝛼 tan 𝛼 tan 𝛽 = 𝐴𝐷 𝐵𝐶 ⇔ tan 𝛼 tan 𝛽 tan 𝛼+tan 𝛽 = 𝐵𝐶 𝐴𝐷 . 15.1. Cone reto. 15.2. A altura do cone é dada por 𝐴𝐶 = 5 cos 𝛼 e o raio da base por 𝐴𝐵 = 5 sem 𝛼. Por conseguinte, o volume do cone gerado pela rotação em torno de 𝐴𝐶 é dada, em função de 𝛼, por 𝑉 = 1 3 𝜋 5 sem 𝛼 2 × 5 cos 𝛼 = = 5 3 3 𝜋 sem2 𝛼 cos 𝛼 = = 5 3 3 𝜋 1 − cos2 𝛼 cos 𝛼 = = 5 3 3 𝜋 cos 𝛼 − cos3 𝛼 . 16. tan 2 𝛼+𝑘 𝑘−1+tan 2 𝛼 = tan 2 𝛼+𝑘−1+1 𝑘−1+tan 2 𝛼 = = 1 + 1 𝑘−1+tan2 𝛼 = 1 + 1 𝑘−2+1+tan2 𝛼 e, usando a já provada identidade 1 + tan2 𝛼 = 1 cos 2 𝛼 , resulta 𝑘 − 2 + 1 + tan2 𝛼 = 𝑘 − 2 + 1 cos 2 𝛼 = 𝑘−2 cos 2 𝛼+1 cos 2 𝛼 e, portanto, 1 + 1 𝑘−2+1+tan 2 𝛼 = 1 + cos 2 𝛼 𝑘−2 cos 2 𝛼+1 .
  • 11. 6