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1ºT.D- FAÇA A DIFERENÇA – GEOMETRIA ANALÍTICA-PONTO/RETA
                                                 Professor: Edi Reis Bessa



TÓPICOS DE AJUDA - (T.A.)
Neste T.D. você terá tópico(s) de ajuda na resolução em algumas questões. Cada tópico possui o seu código
apresentado logo aqui abaixo e , após o enunciado de cada problema.

     o     A-1: Teorema de Pitágoras: a²= b ² + c ² ;
     o     A-2:∆ isósceles Triângulo com dois lados congruentes;
     o     A-3: As diagonais de um paralelogramo (quadrilátero) interceptam-se em seus ponto médio;
     o     A-4: Termo Geral das Prog. Aritméticas: an = a1 + (n-1) r
     o     A-5: Eqüidistante a igual distância;
     o     A.6: Faça esboço da figura;
     o     A.7: r // s  mr = ms
     o     A.8: r ⊥ s    mr.ms = -1
     o     A.9: Ponto médio;
     o     A.10: A altura de um ∆ é sempre perpendicular ao lado oposto do vértice considerado:
     o     A.11- Interseção entre retas sistemas com as equações;
     o     A.12: Mediatriz reta que “passa” perpendicularmente pelo ponto médio de um segmento;
     o     A.13: Eq. Modular: │x │= a, com a ≥ 0 x = ± a ;
     o     A.14: Equação segmentaria:
     o     A.15: Equação da reta que passa por dois pontos usar determinante;
     o     A.16: Para verificar se o ponto P(xp, yp) pertence a uma reta a x+ b y +c= 0, substitui-se x por xp e y por
           yp e a igualdade se verifica;

Exercícios de revisão. Com certeza você já ouviu falar nisso. Pois é. Habitue-se a rever, periodicamente, os estudos
feitos. Reler e refazer cuidadosamente lições já estudadas é um exercício de revisão. Agindo assim, você está
colhendo frutos que não estavam ainda maduros na primeira leitura.


                                                     EXERCÍCIOS
01- (Ccvest) Considere o Triângulo retângulo ABC, sendo A (-2,5), B(-4,-1) e C(4,3),mostre que o triângulo è retângulo e isósceles.
(T.A A-1 e A-2).

02- (Ccvest) O ponto M tem coordenadas iguais e fica distante 5 unidades do ponto A(2,3). Determine as coordenadas de M.
Resp: N(6,6) ou M(-1,-1).

03- (CCVEST) Dados os pontos A(3,5), B(-1, 5/2) e C(2,-4/3), calcule as coordenadas do ponto D tal que ABCD seja um
paralelogramo. (T.A A.3) Resp: (6.7/6)

04- (Ccvest) Ache as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes iguais, sabendo que A(1/2,,-4) e B(5/2,2).
(T.A A.4) Resp: (11/6,0) e (7/6,-2).

05-(Ccvest) Considere os pontos A(-1,3) e B(2,4). Determinar a equação:
            a) Geral          b) Reduzida             c) Segmentária da reta
            Resp: a) x-3y+10 = 0 b) y = 1/3 x + 10/3         c) x / -10 + 3y / 10 = 1.

06-(Ccvest) Considere os pontos A(1,5) B(3,0) e C(4,-5/2).
             a) Determinar a equação reduzida da reta AB.
             b) Verificar se o ponto C é ou não colinear com a reta A e B.
             c) Calcule k de modo que o ponto D(k², 5k) esteja alinhado com A e B.
             Resp: a) y = -5/2 x + 15/2      b) É colinear c) k = 1 ou k = -3

07- (Ccvest) Calcule o coeficiente angular das seguintes retas:
             a) 2x + 5y – 4= 0           b) x = -1 +2 t
                                               y=3-t
                                                             Resp: a) – 2/5 b) – ½.

08-(Ccvest) A reta r está definida pelas equações:
              ( r ) : x = 2 – 5t
                       y = 1+t .



                                                                 1
a) Escreva a equação reduzida de r.
            b) Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados
            c) Escreva a equação segmentária de r.
            Resp: a) y = - 1/5 x + 7/5      b) (0, 7/5) e ( 7, 0 ) c) x / 7 + y/(7/5)=1

09- (Ccvest) Calcule as coordenadas do ponto da reta (r): 2x – y +3 =0 que é eqüidistante dos pontos A(3, 0) e B(1,-4). (T.A           A.5)
Resp: (-8/5;-1/5).

10-(Ccvest) Considere as retas r e s definidas por: ( r): kx – (k+2)y = 2 e ( s ):ky –x=3k Calcule k, de modo que: a) r e s sejam
concorrentes
                         b) r e s sejam paralelas
                         c) r e s sejam coincidentes.
             Resp: a) K ≠ -1 e K ≠ 2        b) k = 1 ou k = 2          c) @ k , R .

11- (Ccvest) Num triângulo ABC, retângulo em A, de vértices B(1, 1) e C(3, -2), o cateto que contém o ponto B é paralelo à reta ( r)
3x – 4y + 2 = 0. Determine a equação da reta que contém o cateto AC. (T.A A.6)              Resp:4x + 3y – 6 = 0.

12- (Ccvest) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(3, 4) e é paralela à bissetriz do 2º quadrante.        (T.A         A.6)
Resp: x + y – 7 = 0.

13- (Ccvest) Considere o quadrilátero ABCD tal que A(-1, 2), B(1, 3), C(2,-2) e D(0,-3)
Determine as coordenadas do ponto de encontro das suas diagonais.
(T.A A.6 e A.3)                                      Resp: ( ½; 0)

14- (Ccvest) A reta r passa pelo ponto P(1,2) e é perpendicular à reta (s) 2x + 3y – 6 = 0. Ache os pontos de interseção de r com os
eixos coordenados.
(T.A A.6 e A.8)                                          Resp: (0, ½) e (-1/3, 0).

15-(Ccvest) Para todo número real p, a equação (p -= 1)x + 4y + p = 0 representa uma reta. Calcule p de modo que a reta seja:
           a) paralela à reta 4x – 2y + 6 = 0
           b) perpendicular à reta     x = 4k
                                       y=1–k
(T.A    A.7 e A.8)                                      Resp: a) p = -7 b) p = -15.

16-(Ccvest) Determine as coordenadas do ponto P’, simétrico de P (-1, 6) em relação a reta 3x – 4y +2 = 0.        (T.A         A.6 , A.8 e
A.9)      Resp: P’ (5, -2)

17-(Ccvest) Considere o ∆ ABC, em que a reta AB tem por equação x – 12y + 6 = 0. e o vértice C é o ponto (1, 1).
             a) Ache a equação da altura correspondente ao lado AB
             b) Determine a medida da altura encontrada no item anterior.
             (T.A A.6, A.8 e A.10)          Resp: a) 12x + y – 13 =0 b) √145 / 29.

18-(Ccvest) Determinar s coordenadas da projeção ortogonal do ponto A (3, -2) sobre a reta (r ): 2x -3y + 14 = 0.            (T.A     A.6,
A.8 e A.11)     Resp: (-1, 4).

19-(Ccvest) Ache a equação da mediatriz do segmento cujas extremidades são os pontos A (3, 2) e B(-2, -4).            (T.A     A.6, A.8
,A.9 e A.12) Resp: 10x + 12y + 7 = 0.

20-(Ccvest) Determine o ângulo agudo formado pelas retas AB e CD sendo dados os pontos: A (1, 4), B (5, 10), C (7, 2) e D (5, 5).
             (T. A A.6 )                               Resp: ө = arctg 6/5 = 50°

21-(Ccvest) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(-1, 4) e forma ângulo de 45° com a reta ( r ) 4x + y + 2 + 0.
                                        Resp: 5x – 3y + 17 = 0 ou 3x + 3y – 17 = 0.

22-(Ccvest) Ache a distância entre as retas 3x + y – 4 = 0 e 3x + y = 0.
             (T.A A.6)                                      Resp: 2 √ 10 / 5.

23-(Ccvest) Determine as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas:
           a) ( r ) 2x + 5y – 1 = 0 e ( s ) 5x – 2y + 3 = 0
           b) ( t ) x = 1 e ( w ) y = 2.
Resp: a) 7y – 3x – 4 = 0 ou 7x + 3y + 2 = 0         b) x – y + 1 = 0 ou x + y – 3 = 0.

24-(Ccvest) Calcule k de modo que a reta ( r ) 3x + 4 y + k = 0 esteja localizada a três unidades do ponto P(5, 2).
            (T.A A.6 e A. 13)                              Resp: k = -38 ou k = -8.

25-(Ccvest) Dê o ponto pertencente a reta y = 3x+2 e ao primeiro quadrante, que determina com A(1,2) e B(3,4) um triângulo de
área 5.
                                                           Resp: (2, 8)




                                                                   2
26-(Ccvest) As retas r, s e t são definidas respectivamente, por: 4x – 7y + 18 = 0, 2x – y – 6 = 0 e 4x + 3y – 2 = 0. Calcule a área da
região limitada por essas retas.
            (T.A A.6 e A. 11)                                Resp: 20

27-(UECE) Se o ponto P(m.0) é eqüidistante dos pontos A(2, 4) e B(4, 6), então m é igual a :      (T.A    A.5)
Resp: 8

28-(UFC) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos forma um triângulo retângulo Calcule o valor da hipotenusa desse
triângulo
          (T.A A.6 e A.14)                                 Resp: 5 √ 13 / 6.

29-(UECE) Se a soma das coordenadas do ponto interseção entre as retas x = 1 e -2x + y = k é igual a 8 , então o valor de k, é:
(T.A A.11) Resp: 5.

30-(UFC) Sejam os pontos: A(0, 0), B( 1/3, 7/2), C(p, q) e D(8/3, 3/2) vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Determine o
valor de p.q.
       (T.A A.6 e A.3)                                    Resp: 15

31-( UECE) Sejam os pontos P1(x1 , y1) e P2(2 , 4). Se P1 é o ponto de interseção das retas 5x - 7y = 6 e 9y - 2x = 10, então o
ponto médio do segmento P1P2 é:
      (T.A    A.6, A.11, A.9)                               Resp: (3, 3)

32-(UECE) Seja r a reta que passa pelos pontos P(k, 0) e Q(0, k), sendo k um número real negativo. Se o ponto Q(3,-7) pertence a r,
então k² - 3k +5 é 9 igual a:
       (T.A A.15)                                         Resp: 33.

33-(UNIFOR) Os pontos A(0,2), B(1,0) e C(p,q) são colineares. Então os parâmetros p e q satisfazem a relação:
a) p+q=2   b) p-q=1           . c) 2p = 2 – q       d) p = q – 2

34-(UFC) A distância entre o ponto de encontro (interseção) das retas x+y-2+0 e x-y-4+0, e a origem do sistema de coordenadas
(o,o) é:
       (T.A A.11)                                         Resp: √ 10.

35-(UECE) Sejam P(1, y1) e Q(x2, 1) pontos da reta 5x + 2y – 17 = 0. Se M (xm, ym) é ponto médio do segmento PQ, então 7xm +
6ym é igual a:
     (T.A A.16 e A.9)                                    Resp: 35

36-(UFC) Considere os pontos A(-5,-3), B(-2,12) e C(4,6) e o triângulo ABC.Determine o coeficiente angular da reta que contem a
mediana obtida a partir do vértice A.
     (T.A A.6 e A.9)                                      Resp: 2

37-(UFC) Encontre o número real m de modo que as retas (r): x + y = 8;(s):2x – 3y = 6 e (t): 5x + m y = 3 passe por um mesmo
ponto.
     (T.A A.6 e A.11)                                   Resp: -27/2.

38-(FATEC) Se A(-1,3) e B(1,1), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto:
     (T.A A.6, A.9, e A.11)                              Resp: (-1, 1)

39-(UFC) A equação da reta que é perpendicular à reta 4x + y – 1 = 0 e que passa pelo ponto de interseção das retas 2x – 5y + 3 = 0
e x – 3y – 7 = 0 é:
     (T.A A.6, A.8 e A.11)                                Resp: x – 4y – 24 = 0

40-(UFC) A reta que passa pelo ponto (1,4) intercepta perpendicularmente a reta y = x + 1 no ponto (xo, yo), então o valor de xo, é:
    (T.A A.6,A.8 e A.11)                                   Resp: 2


     “O que você usa muito, deve fazê-lo com alta competência”




                                                                   3

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Ponto reta

  • 1. 1ºT.D- FAÇA A DIFERENÇA – GEOMETRIA ANALÍTICA-PONTO/RETA Professor: Edi Reis Bessa TÓPICOS DE AJUDA - (T.A.) Neste T.D. você terá tópico(s) de ajuda na resolução em algumas questões. Cada tópico possui o seu código apresentado logo aqui abaixo e , após o enunciado de cada problema. o A-1: Teorema de Pitágoras: a²= b ² + c ² ; o A-2:∆ isósceles Triângulo com dois lados congruentes; o A-3: As diagonais de um paralelogramo (quadrilátero) interceptam-se em seus ponto médio; o A-4: Termo Geral das Prog. Aritméticas: an = a1 + (n-1) r o A-5: Eqüidistante a igual distância; o A.6: Faça esboço da figura; o A.7: r // s mr = ms o A.8: r ⊥ s mr.ms = -1 o A.9: Ponto médio; o A.10: A altura de um ∆ é sempre perpendicular ao lado oposto do vértice considerado: o A.11- Interseção entre retas sistemas com as equações; o A.12: Mediatriz reta que “passa” perpendicularmente pelo ponto médio de um segmento; o A.13: Eq. Modular: │x │= a, com a ≥ 0 x = ± a ; o A.14: Equação segmentaria: o A.15: Equação da reta que passa por dois pontos usar determinante; o A.16: Para verificar se o ponto P(xp, yp) pertence a uma reta a x+ b y +c= 0, substitui-se x por xp e y por yp e a igualdade se verifica; Exercícios de revisão. Com certeza você já ouviu falar nisso. Pois é. Habitue-se a rever, periodicamente, os estudos feitos. Reler e refazer cuidadosamente lições já estudadas é um exercício de revisão. Agindo assim, você está colhendo frutos que não estavam ainda maduros na primeira leitura. EXERCÍCIOS 01- (Ccvest) Considere o Triângulo retângulo ABC, sendo A (-2,5), B(-4,-1) e C(4,3),mostre que o triângulo è retângulo e isósceles. (T.A A-1 e A-2). 02- (Ccvest) O ponto M tem coordenadas iguais e fica distante 5 unidades do ponto A(2,3). Determine as coordenadas de M. Resp: N(6,6) ou M(-1,-1). 03- (CCVEST) Dados os pontos A(3,5), B(-1, 5/2) e C(2,-4/3), calcule as coordenadas do ponto D tal que ABCD seja um paralelogramo. (T.A A.3) Resp: (6.7/6) 04- (Ccvest) Ache as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes iguais, sabendo que A(1/2,,-4) e B(5/2,2). (T.A A.4) Resp: (11/6,0) e (7/6,-2). 05-(Ccvest) Considere os pontos A(-1,3) e B(2,4). Determinar a equação: a) Geral b) Reduzida c) Segmentária da reta Resp: a) x-3y+10 = 0 b) y = 1/3 x + 10/3 c) x / -10 + 3y / 10 = 1. 06-(Ccvest) Considere os pontos A(1,5) B(3,0) e C(4,-5/2). a) Determinar a equação reduzida da reta AB. b) Verificar se o ponto C é ou não colinear com a reta A e B. c) Calcule k de modo que o ponto D(k², 5k) esteja alinhado com A e B. Resp: a) y = -5/2 x + 15/2 b) É colinear c) k = 1 ou k = -3 07- (Ccvest) Calcule o coeficiente angular das seguintes retas: a) 2x + 5y – 4= 0 b) x = -1 +2 t y=3-t Resp: a) – 2/5 b) – ½. 08-(Ccvest) A reta r está definida pelas equações: ( r ) : x = 2 – 5t y = 1+t . 1
  • 2. a) Escreva a equação reduzida de r. b) Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados c) Escreva a equação segmentária de r. Resp: a) y = - 1/5 x + 7/5 b) (0, 7/5) e ( 7, 0 ) c) x / 7 + y/(7/5)=1 09- (Ccvest) Calcule as coordenadas do ponto da reta (r): 2x – y +3 =0 que é eqüidistante dos pontos A(3, 0) e B(1,-4). (T.A A.5) Resp: (-8/5;-1/5). 10-(Ccvest) Considere as retas r e s definidas por: ( r): kx – (k+2)y = 2 e ( s ):ky –x=3k Calcule k, de modo que: a) r e s sejam concorrentes b) r e s sejam paralelas c) r e s sejam coincidentes. Resp: a) K ≠ -1 e K ≠ 2 b) k = 1 ou k = 2 c) @ k , R . 11- (Ccvest) Num triângulo ABC, retângulo em A, de vértices B(1, 1) e C(3, -2), o cateto que contém o ponto B é paralelo à reta ( r) 3x – 4y + 2 = 0. Determine a equação da reta que contém o cateto AC. (T.A A.6) Resp:4x + 3y – 6 = 0. 12- (Ccvest) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(3, 4) e é paralela à bissetriz do 2º quadrante. (T.A A.6) Resp: x + y – 7 = 0. 13- (Ccvest) Considere o quadrilátero ABCD tal que A(-1, 2), B(1, 3), C(2,-2) e D(0,-3) Determine as coordenadas do ponto de encontro das suas diagonais. (T.A A.6 e A.3) Resp: ( ½; 0) 14- (Ccvest) A reta r passa pelo ponto P(1,2) e é perpendicular à reta (s) 2x + 3y – 6 = 0. Ache os pontos de interseção de r com os eixos coordenados. (T.A A.6 e A.8) Resp: (0, ½) e (-1/3, 0). 15-(Ccvest) Para todo número real p, a equação (p -= 1)x + 4y + p = 0 representa uma reta. Calcule p de modo que a reta seja: a) paralela à reta 4x – 2y + 6 = 0 b) perpendicular à reta x = 4k y=1–k (T.A A.7 e A.8) Resp: a) p = -7 b) p = -15. 16-(Ccvest) Determine as coordenadas do ponto P’, simétrico de P (-1, 6) em relação a reta 3x – 4y +2 = 0. (T.A A.6 , A.8 e A.9) Resp: P’ (5, -2) 17-(Ccvest) Considere o ∆ ABC, em que a reta AB tem por equação x – 12y + 6 = 0. e o vértice C é o ponto (1, 1). a) Ache a equação da altura correspondente ao lado AB b) Determine a medida da altura encontrada no item anterior. (T.A A.6, A.8 e A.10) Resp: a) 12x + y – 13 =0 b) √145 / 29. 18-(Ccvest) Determinar s coordenadas da projeção ortogonal do ponto A (3, -2) sobre a reta (r ): 2x -3y + 14 = 0. (T.A A.6, A.8 e A.11) Resp: (-1, 4). 19-(Ccvest) Ache a equação da mediatriz do segmento cujas extremidades são os pontos A (3, 2) e B(-2, -4). (T.A A.6, A.8 ,A.9 e A.12) Resp: 10x + 12y + 7 = 0. 20-(Ccvest) Determine o ângulo agudo formado pelas retas AB e CD sendo dados os pontos: A (1, 4), B (5, 10), C (7, 2) e D (5, 5). (T. A A.6 ) Resp: ө = arctg 6/5 = 50° 21-(Ccvest) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(-1, 4) e forma ângulo de 45° com a reta ( r ) 4x + y + 2 + 0. Resp: 5x – 3y + 17 = 0 ou 3x + 3y – 17 = 0. 22-(Ccvest) Ache a distância entre as retas 3x + y – 4 = 0 e 3x + y = 0. (T.A A.6) Resp: 2 √ 10 / 5. 23-(Ccvest) Determine as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas: a) ( r ) 2x + 5y – 1 = 0 e ( s ) 5x – 2y + 3 = 0 b) ( t ) x = 1 e ( w ) y = 2. Resp: a) 7y – 3x – 4 = 0 ou 7x + 3y + 2 = 0 b) x – y + 1 = 0 ou x + y – 3 = 0. 24-(Ccvest) Calcule k de modo que a reta ( r ) 3x + 4 y + k = 0 esteja localizada a três unidades do ponto P(5, 2). (T.A A.6 e A. 13) Resp: k = -38 ou k = -8. 25-(Ccvest) Dê o ponto pertencente a reta y = 3x+2 e ao primeiro quadrante, que determina com A(1,2) e B(3,4) um triângulo de área 5. Resp: (2, 8) 2
  • 3. 26-(Ccvest) As retas r, s e t são definidas respectivamente, por: 4x – 7y + 18 = 0, 2x – y – 6 = 0 e 4x + 3y – 2 = 0. Calcule a área da região limitada por essas retas. (T.A A.6 e A. 11) Resp: 20 27-(UECE) Se o ponto P(m.0) é eqüidistante dos pontos A(2, 4) e B(4, 6), então m é igual a : (T.A A.5) Resp: 8 28-(UFC) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos forma um triângulo retângulo Calcule o valor da hipotenusa desse triângulo (T.A A.6 e A.14) Resp: 5 √ 13 / 6. 29-(UECE) Se a soma das coordenadas do ponto interseção entre as retas x = 1 e -2x + y = k é igual a 8 , então o valor de k, é: (T.A A.11) Resp: 5. 30-(UFC) Sejam os pontos: A(0, 0), B( 1/3, 7/2), C(p, q) e D(8/3, 3/2) vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Determine o valor de p.q. (T.A A.6 e A.3) Resp: 15 31-( UECE) Sejam os pontos P1(x1 , y1) e P2(2 , 4). Se P1 é o ponto de interseção das retas 5x - 7y = 6 e 9y - 2x = 10, então o ponto médio do segmento P1P2 é: (T.A A.6, A.11, A.9) Resp: (3, 3) 32-(UECE) Seja r a reta que passa pelos pontos P(k, 0) e Q(0, k), sendo k um número real negativo. Se o ponto Q(3,-7) pertence a r, então k² - 3k +5 é 9 igual a: (T.A A.15) Resp: 33. 33-(UNIFOR) Os pontos A(0,2), B(1,0) e C(p,q) são colineares. Então os parâmetros p e q satisfazem a relação: a) p+q=2 b) p-q=1 . c) 2p = 2 – q d) p = q – 2 34-(UFC) A distância entre o ponto de encontro (interseção) das retas x+y-2+0 e x-y-4+0, e a origem do sistema de coordenadas (o,o) é: (T.A A.11) Resp: √ 10. 35-(UECE) Sejam P(1, y1) e Q(x2, 1) pontos da reta 5x + 2y – 17 = 0. Se M (xm, ym) é ponto médio do segmento PQ, então 7xm + 6ym é igual a: (T.A A.16 e A.9) Resp: 35 36-(UFC) Considere os pontos A(-5,-3), B(-2,12) e C(4,6) e o triângulo ABC.Determine o coeficiente angular da reta que contem a mediana obtida a partir do vértice A. (T.A A.6 e A.9) Resp: 2 37-(UFC) Encontre o número real m de modo que as retas (r): x + y = 8;(s):2x – 3y = 6 e (t): 5x + m y = 3 passe por um mesmo ponto. (T.A A.6 e A.11) Resp: -27/2. 38-(FATEC) Se A(-1,3) e B(1,1), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto: (T.A A.6, A.9, e A.11) Resp: (-1, 1) 39-(UFC) A equação da reta que é perpendicular à reta 4x + y – 1 = 0 e que passa pelo ponto de interseção das retas 2x – 5y + 3 = 0 e x – 3y – 7 = 0 é: (T.A A.6, A.8 e A.11) Resp: x – 4y – 24 = 0 40-(UFC) A reta que passa pelo ponto (1,4) intercepta perpendicularmente a reta y = x + 1 no ponto (xo, yo), então o valor de xo, é: (T.A A.6,A.8 e A.11) Resp: 2 “O que você usa muito, deve fazê-lo com alta competência” 3