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  1. 1. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 1 / 13 Exercícios de testes intermédios 1. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer x pertencente ao intervalo 3 , 2         ? (A) sin x  cos x (B) cos tan x x (C) tan x  sin x (D) sin x  tan x Teste intermédio, 11-03-2014 2. Considere, em , a equação trigonométrica sin x  0,3. Quantas soluções tem esta equação no intervalo 20 ,20  ? (A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 Teste intermédio, 11-03-2014 3. Na figura ao lado, estão representados:  o retângulo [ABCD], em que CD  1 e BC  2  o ponto O, ponto médio do segmento [AD]  uma semicircunferência de centro no ponto O e raio 1 Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento de reta [AB], nunca coincidindo com A, mas podendo coincidir com B. Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto de interseção da reta PO com a semicircunferência. Seja x a amplitude, em radianos, do ângulo DOQ 0, 4 x              Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora. 3.1. Mostre que a área do polígono [BCDQP], representado a sombreado, é dada, em função de x, por tan sin 2 2 2 x x   3.2. Para uma certa posição do ponto P, tem-se 3 3 cos 2 5 x           Determine, para essa posição do ponto P, a área do polígono [BCDQP] Apresente o resultado na forma de fração irredutível. Teste intermédio, 11-03-2014
  2. 2. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 2 / 13 4. Considere o intervalo 5 4 , 6 3         Qual das equações seguintes não tem solução neste intervalo? (A) cos x  0,5 (B) sin x  0,5 (C) cos x  0,9 (D) sin x  0,9 Teste intermédio, 06-03-2013 5. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico. Os pontos A, B, C e D são os pontos de interseção da circunferência com os eixos do referencial. Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco BC, nunca coincidindo com B nem com C. Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto do arco AB que tem ordenada igual à ordenada do ponto P e seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa igual à abcissa do ponto Q. Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo Ox e por lado extremidade a semirreta , 2 OP                 Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora. 5.1. Mostre que a área do trapézio [OPQR] é dada por 3 sin cos 2    5.2. Para uma certa posição do ponto P, a reta OP interseta a reta de equação x  1 num ponto de ordenada 7 24  . Determine, para essa posição do ponto P, a área do trapézio [OPQR] Apresente o resultado na forma de fração irredutível. Teste intermédio, 06-03-2013 6. Seja  um número real. Sabe-se que  é uma solução da equação 1 sin 3 x   . Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação 1 sin 3 x  ? (A)   (B)   (C) 2   (D) 2   Teste intermédio, 09-02-2012
  3. 3. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 3 / 13 7. Considere o triângulo [ABC] representado na figura ao lado. Sabe-se que:  AB  2  ACB  30º Seja   BAC Qual das expressões seguintes representa AB , em função de α? (A) 4sin (B) 6sin (C) 4cos (D) 6cos Teste intermédio, 09-02-2012 8. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico. Sabe-se que:  o ponto A tem coordenadas 1,0  o ponto B tem coordenadas 3,0 Considere que um ponto P se move sobre a circunferência. Para cada posição do ponto P, seja d  PB e seja  0,2  a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OP  . Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora. 8.1. Mostre que 2 d 10  6cos Sugestão: Exprima as coordenadas do ponto P em função de α e utilize a fórmula da distância entre dois pontos. 8.2. Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que 2 d 10  6cos 8.2.1. Determine os valores de  0,2  para os quais 2 d  7 8.2.2. Para um certo valor de α pertencente ao intervalo 0,  , tem-se tan   35 Determine d, para esse valor de α. Teste intermédio, 09-02-2012
  4. 4. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 4 / 13 9. Determine o valor de 1 3 tan  sabendo que 0, 2         e que 3 4 cos 2 5            Resolva este item sem recorrer à calculadora. Teste intermédio, 24-05-2011 10. Considere, em , a equação trigonométrica cos x  0,9 Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução? (A) , 2 2         (B) 0,  (C) 3 , 4 4        (D) , 4 4         Teste intermédio, 27-01-2011 11. Na figura ao lado, está representado o círculo trigonométrico. Sabe-se que:  a reta r é tangente à circunferência no ponto A1,0  a reta s passa na origem do referencial e interseta a reta r no ponto P, cuja ordenada é 2  o ponto Q, situado no terceiro quadrante, pertence à reta s. Seja  a amplitude, em radianos, do ângulo orientado, assinalado na figura, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta OQ. Qual é o valor de  , arredondado às centésimas? (A) 4,23 (B) 4,25 (C) 4,27 (D) 4,29 Teste intermédio, 27-01-2011 12. Sejam  ,  e  três número reais. Sabe-se que:  0, 4          2          2 Qual das expressões seguintes é equivalente a sin  sin  sin ? (A) 2sin  cos (B) 2sin  cos (C) cos (D) cos Teste intermédio, 27-01-2011
  5. 5. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 5 / 13 13. Na figura ao lado, está representada, em referencial o.n. xOy, a circunferência de centro em O e raio 5. Os pontos A e B são os pontos de interseção da circunferência com os semieixos positivos Ox e Oy, respetivamente. Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B. Para cas posição do ponto P, sabe-se que:  o ponto Q é o ponto do eixo Ox tal que PO  PQ  a reta r é a mediatriz do segmento [OQ]  o ponto R é o ponto de interseção da reta r com o eixo Ox  α é a amplitude, em radianos, do ângulo AOP 0, 2               Seja f a função, de domínio 0, 2        , definida por f  x  25sin x cos x Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora. 13.1. Mostre que a área do triângulo [OPQ] é dada por f   13.2. Determine o valor de α, pertencente ao intervalo 0, 2        , para o qual se tem   2 f   25cos  13.3. Seja  um número real, pertencente ao intervalo 0, 2        , tal que f    5 Determine o valor de  2 sin  cos Teste intermédio, 27-01-2011
  6. 6. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 6 / 13 14. Na figura ao lado, está representada um triângulo retângulo [ABC] cujos lados medem 3, 4 e 5. Considere que um ponto D se desloca ao longo do cateto [AB], nunca coincidindo com o ponto A. Para cada posição do ponto D, seja x o comprimento do segmento de reta [AD]. Qual das expressões seguintes dá o perímetro do triângulo [ACD], em função de x? (A) 2 x  4  25  x (B) 2 x  5  25  x (C) 2 x  4  x  6x  25 (D) 2 x  5  x  6x  25 Teste intermédio, 06-05-2010 15. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica E, de equação  2 2 2 x  y  z  2  4 Para um certo valor de α pertencente ao intervalo 0, 2        , o ponto P, de coordenadas  tan , sin , 2  cos  , pertence à superfície esférica E. Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto P. Teste intermédio, 06-05-2010 16. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox. Em qual das figuras esse ângulo pode ter 3 radianos de amplitude? (A) (B) (C) (D) Teste intermédio, 27-01-2010 17. Considere a equação trigonométrica sin x  0,1 Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução? (A) , 2 2         (B) 0,  (C) 0, 6        (D) , 6 2        Teste intermédio, 27-01-2010
  7. 7. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 7 / 13 18. Na figura abaixo, está representado o quadrado [ABCD] de lado 2 Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo BAP , 4 2 x              Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos. 18.1. Mostre que a área da região sombreada é dada por 2 4 tan x  . 18.2. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é 12 2 3 3  . 18.3. Para um certo valor de x, sabe-se que 15 cos 2 17 x           Determine, para esse valor de x, a área da região sombreada. Teste intermédio, 27-01-2010 19. Na figura abaixo, está representado, em referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico. Os pontos P e Q pertencem à circunferência, sendo a reta PQ paralela ao eixo Ox. O ponto R pertence ao eixo Ox. O ângulo ROP tem 53º de amplitude. Qual é o perímetro do triângulo [OPQ] (valor aproximado às décimas)? (A) 3,2 (B) 3,4 (C) 3,6 (D) 3,8 Teste intermédio, 07-05-2009
  8. 8. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 8 / 13 20. A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10h e 45 minutos. Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos minutos tinha rodado 3 radianos. Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante? (A) 11h e 15 min (B) 11h e 45 min (C) 12h e 15 min (D) 13h e 45 min Teste intermédio, 07-05-2009 21. Considere a equação trigonométrica cos x  0,3 Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles? (A) 0, 2        (B) 0,  (C) 3 , 2 2        (D) 3 ,2 2         Teste intermédio, 29-01-2009 22. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy:  o círculo trigonométrico  o raio [OB] deste círculo  o arco de circunferência AB, de centro no ponto C Tal como a figura sugere, o ponto B pertence ao primeiro quadrante, os pontos A e C pertencem ao eixo Ox e a reta BC é perpendicular a este eixo. Seja  a amplitude do ângulo AOB. Qual é a abcissa do ponto A? (A) 1 sin (B) 1 cos (C) cos  sin (D) 1 cos  sin Teste intermédio, 29-01-2009 23. Relativamente à figura junto, sabe-se que:  o triângulo [ABD] é retângulo  o ponto C pertence ao cateto [BD]  x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAD  AB  2 e BC  1 23.1. Mostre que a área do triângulo [ACD] é dada por 2 tan x 1. 23.2. Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ACD] é igual a 1.
  9. 9. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 9 / 13 23.3. Sabendo que 5 sin 2 13           e que 0, 2               , determine o valor de 2 tan 1 Teste intermédio, 29-01-2009 24. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco de circunferência AB, de centro na origem do referencial e raio igual a 1. A reta r tem equação y 1. O ponto C pertence ao arco AB Seja α a amplitude do ângulo AOC. Qual das expressões seguintes dá a distância d do ponto C à reta r? (A) 1 sin (B) 1 sin (C) 1 cos (D) 1 cos Teste intermédio, 06-05-2008 25. Seja 0, 2 x        . Qual das expressões seguintes designa um número positivo? (A) cos   x (B) sin   x (C) 3 cos 2 x         (D) 3 sin 2 x         Teste intermédio, 06-05-2008 26. Na figura está representado um triângulo [ABC] com dois ângulos de amplitude α e um ângulo de amplitude β. Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições? (A) cos  sin2  (B) cos  cos 2  (C) cos  sin 2  (D) cos  cos 2  Teste intermédio, 24-01-2008
  10. 10. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 10 / 13 27. Seja  um valor pertencente ao intervalo , 2         . Qual das expressões seguintes designa um número real positivo? (A) cos  sin (B) sin  cos (C) sin  tan (D) sin  tan Teste intermédio, 24-01-2008 28. Considere a equação 1 3tan 2x  4 . Qual dos seguintes valores é solução desta equação? (A) 8   (B) 3 8  (C) 5 8  (D) 7 8  Teste intermédio, 24-01-2008 29. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy, uma reta AB e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5. Os pontos A e B pertencem à circunferência. O ponto A também pertence ao eixo das abcissas. Admita que o ponto B se desloca ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. Para cada posição do ponto B, seja α a amplitude do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OB  Seja d o comprimento do segmento [AB] 29.1. Mostre que 2 d  50  50cos . 29.2. Para uma certa posição do ponto B, tem-se tan  24 Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o valor de d. Teste intermédio, 24-01-2008 30. Indique as soluções da equação 5  2cos x  6 que pertencem ao intervalo 0,2  (A) 3  e 4 3  (B) 3  e 5 3  (C) 6  e 7 6  (D) 6  e 11 6  Teste intermédio, 10-05-2007
  11. 11. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 11 / 13 31. 31.1. Na figura junta estão representados, em referencial o.n. xOy:  o circulo trigonométrico  a reta r, de equação x  1  o ângulo, de amplitude α, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta OA   o ponto B, interseção do prolongamento da semirreta OA  com a reta r. Como a figura sugere, a ordenada de B é 8 Sem recorrer à calculadora, determine o valor de 5sin 2cos 3  2              31.2. Considere agora um ponto P, do primeiro quadrante (eixos não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio 1. Sejam  r, s  as coordenadas do ponto P. Seja t a reta tangente à circunferência no ponto P. Seja Q o ponto de interseção da reta t com o eixo Ox. Prove que a abcissa do ponto Q é 1 r . Teste intermédio, 10-05-2007 32. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OPR]. O ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante.
  12. 12. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 12 / 13 O ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que o triângulo [OPR] é sempre isósceles. Sendo α a amplitude, em radianos, do ângulo ROP, qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OPR], em função de α? (A) sin .cos (B) 2.sin .cos (C) 1 sin .cos 2    (D) 1 cos .sin 2    Teste intermédio, 19-05-2006 33. Da amplitude α de um certo ângulo orientado sabe-se que cos  0 e tan  0 . Qual das expressões seguintes dá o valor de sin ? (A) 2 1 cos  (B) 2  1 cos  (C) 2 1 cos  (D) 2  1 cos  Teste intermédio, 19-05-2006 34. Sabe-se que   é uma solução da equação 1 sin 5 x  Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação 1 cos 5 x   ? (A)    (B) 2    (C)  (D) 2    Teste intermédio, 19-05-2006 Bom trabalho!!
  13. 13. matA11 trigonometria www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt 13 / 13 Principais soluções 1. (C) 2. (B) 3. 3.1. 3.2. 77 40 4. (D) 5. 5.1. 5.2. 252 625 6. (B) 7. (A) 8. 8.1. 8.2. 8.2.1. 5 ; 3 3   8.2.2. d  11 9. 9 4 10. (C) 11. (B) 12. (D) 13. 13.1. 13.2. 4    13.3. 7 5 14. (D) 15. 3 5 3, , 2 2       16. (B) 17. (D) 18. 18.1. 18.2. 3 x   18.3. 44 15 19. (A) 20. (C) 21. (B) 22. (C) 23. 23.1. 23.2. 4 x   23.3. 19 5 24. (B) 25. (B) 26. (D) 27. (D) 28. (C) 29. 29.1. 29.2. d  60 30. (B) 31. 31.1. 31.2. 32. (A) 33. (B) 34. (B)

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