1. EXERCITANDO (Aula 4)
1. Mostre que o ponto (1, −2, 1) não pertence à reta X = (1, 0, 1) + t (1, −2, 1).
2. Dê a equação normal da reta que passa nos pontos (3, −1) e (1, 2).
3. Mostre que os pontos A = (1, 1) , B = (2, −2) e C = (−1, 1) não são colineares.
4. Sejam A = (a1, a2) e B = (b1, b2) pontos distintos. Mostre que a equação normal da reta que passa em A e B é
dada por
1 1 1
x a1 b1
y a2 b2
= 0.
5. Sejam A = (a1, a2), B = (b1, b2) e C = (c1, c2) pontos em R2
. Mostre que A, B e C são colineares ⇔
1 1 1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
= 0.
6. Dê a equação da reta que passa no ponto (1, 3) e é perpendicular à reta 2x + y = 1.
7. Qual a posição relativa entre a reta X = (1, −1, 2) + t (−1, 0, 4) e o plano 4x − y + z = 7?
8. Determine a equação da reta que passa pelos seguintes pares de pontos:
a) (1, 1, −1) e (−2, 1, 3); b) (−1, 5, 2) e (3, −4, 1) .
9. Verifique se as retas X = (1, 0, 1) + t (3, −2, 1) e X = (−1, 0, 5) + t (−1, 0, 2) são concorrentes ou não. Em caso
afirmativo, determine o cosseno do ângulo entre elas.
10. Determine a equação do plano que passa pelos seguintes pontos: (2, 1, 1) , (3, −1, 1) e (4, 1, −1) .
11. Encontre a equação do plano que passa nos pontos (1, a, a) , (a, 1, a) e (a, a, 1), em que a = 1.
12. Determine o valor de m a fim de que os pontos (m, 1, 2) , (2, −2, −3) , (5, −1, 1) e (3, −2, −2) sejam coplanares.
13. Sejam A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3) e C = (c1, c2, c3) pontos não colineares. Mostre que a equação do plano que
passa em A, B e C é dada por
1 1 1 1
x a1 b1 c1
y a2 b2 c2
z a3 b3 c3
= 0.
14. Encontre dois planos cuja interseção é a reta X = (1, 2, 2) + t (3, 0, 5) .
15. Determine o cosseno do ângulo entre os planos x + y + z = 1 e x − y − z = 5.
16. Determine a interseção da reta passando por (1, 3, −1) e na direção de (−2, 1, 1) com o plano 2x + 3y − z = 1.
17. Calcule a distância do ponto (1, 1, 2) ao plano 3x + y − 5z = 2.
18. Determine a distância entre os planos x + y + z = 1 e x + y + z = −1.
19. Qual a distância entre o ponto (3, 2, −5) e a reta que passa nos pontos (1, 0, 1) e (0, 1, −1)?
20. Ache a equação da reta que passa no ponto (1, −2, 1) e é perpendicular à reta X = (1, 0, 1) + t (1, −2, 1).
21. Sejam A, B e C os vértices de um triângulo, e, r a reta que contém a bissetriz de Â. Mostre que a equação de r é
dada por X = A + t B−A
|B−A| + C−A
|C−A| .
22. Sejam A = (−2, 1) , B = (2, −2) e C = (−1, 1). Calcule o comprimento da bissetriz do triângulo ABC relativa ao
lado BC.
23. Determine dois vetores perpendiculares, não nulos, contidos no plano x + 2y − z = 0.
24. Encontre dois vetores perpendiculares, não nulos, ambos paralelos ao plano x + y + z = 1.
25. Sejam r e s, respectivamente, as retas reversas X = (1, 0, −1) + t (2, 1, 1) e X = (−3, 2, 0) + t (−1, 0, 2). Calcule a
distância entre r e s, e, determine a reta t simultaneamente perpendicular a r e a s.
26. Sejam A = (1, 2) e r a reta x − 2y = 3. Ache o ponto simétrico de A em relação à reta r.
27. Sejam A = (1, 2) , B = (0, 1) e r a reta x − 2y = 3. Determine C ∈ r tal que d (A, C) + d (C, B) seja a menor
possível.
28. Sejam A = (1, 0, 1) e α o plano x + y + z = 1. Ache o ponto simétrico de A em relação ao plano α.
29. Sejam A = (1, 0, 1) , B = (0, 1, 1) e α o plano x + y + z = 1. Determine C ∈ α tal que d (A, C) + d (C, B) seja a
menor possível.
30. Sejam A e B dois pontos distintos em Rn
e Pi = A + i
m (B − A), em que n ∈ {1, 2, 3}, m > 1 é um inteiro, e,
i ∈ {1, 2, ..., m−1}. Mostre que os pontos P1, P2, ..., Pm−1 dividem o segmento de reta AB em m partes congruentes.
31. Seja ABC um triângulo. Demonstre que as medianas de ABC contêm o ponto P = 1
3 (A + B + C) .
32. Mantendo as notações do exercício anterior, mostre que a distância de P a qualquer vértice do triângulo vale duas
vezes sua distância ao ponto médio do lado oposto.
1

2. 33. Seja ABC um triângulo e H o pé da altura de ABC em relação ao lado BC. Demonstre que H = (A−C)·(B−C)
|B−C|2 B +
(A−B)·(C−B)
|C−B|2 C.
34. Sejam ABC um triângulo, I seu incentro, e, a, b e c as medidas dos lados opostos, respectivamente, a A, B e C.
Demonstre que I =
aA + bB + cC
a + b + c
.
35. Sejam A e B dois pontos distintos em Rn
, em que n = 1, 2, 3. Mostre que um ponto P ∈ AB ⇔ existem números
reais não negativos x e y tais que P = xA + yB e x + y = 1.
36. Sejam A, B e C pontos não colineares em Rn
, em que n = 2, 3, e, seja T o triângulo ABC mais seu interior. Mostre
que um ponto P ∈ T ⇔ existem números reais não negativos x, y e z tais que P = xA + yB + zC e x + y + z = 1.
37. Sejam A, B, C e D pontos não coplanares em R3
, e, seja T o tetraedro com vértices em A, B, C e D mais seu interior.
Mostre que um ponto P ∈ T ⇔ existem números reais não negativos x, y, z e w tais que P = xA + yB + zC + wD
e x + y + z + w = 1.
38. Seja f (x, y) = ax + by + c, em que a, b e c são constantes reais não simultaneamente nulas. Sejam A e B pontos
em R2
, e, r a reta f (x, y) = 0. Demonstre que A e B se situam num mesmo semi-plano aberto determinado pela
reta r ⇔ f (A) · f (B) > 0.
39. Seja f (x, y, z) = ax + by + cz + d, em que a, b, c e d são constantes reais não simultaneamente nulas. Sejam A
e B pontos em R3
, e, π o plano f (x, y, z) = 0. Demonstre que A e B se situam num mesmo semi-espaço aberto
determinado pelo plano π ⇔ f (A) · f (B) > 0.
RESPOSTAS
2) 3x + 2y = 7; 4) Observe que
1 1 1
x a1 b1
y a2 b2
= 0 é uma equação do tipo ax + by = c, em que a = 0 ou b = 0, e que os pontos
A e B satisfazem a esta equação;
5) Use o exercício anterior; 6) X = (1, 3) + t (2, 1); 7) A reta está contida no plano;
8) a) X = (1, 1, −1) + t (−3, 0, 4); b) X = (−1, 5, 2) + t (4, −9, −1); 9) Considere a equação vetorial (1, 0, 1) + t (3, −2, 1) =
(−1, 0, 5) + λ (−1, 0, 2) e verifique se ela admite solução ou não. As retas são concorrentes e o cosseno do ângulo entre elas vale
√
70/70;
10) 2x + y + 2z = 7; 11) x + y + z = 1 + 2a; 12) m = 4;
13) Observe que
1 1 1 1
x a1 b1 c1
y a2 b2 c2
z a3 b3 c3
= 0 é uma equação do tipo ax + by + cz = d, em que a = 0, b = 0 ou c = 0, e que os pontos
A, B e C satisfazem a esta equação; 14) 5x − 3z + 1 = 0 e y = 2, por exemplo; 15) 1/3; 16) (−10, 17/2, 9/2); 17) 8
√
35/35; 18)
2
√
3/3; 19) 2
√
5; 20) X = (1, −2, 1) + t (1, 1, 1);
21) Observe que o triângulo de vértices na origem, B−A
|B−A| e C−A
|C−A| é isósceles e que sua mediana relativa à base é também bissetriz, a
qual está na mesma direção da bissetriz do ângulo Â; 22)
√
10/2; 23) (1, 0, 1) e (−1, 1, 1); 24) (1, 0, −1) e (1, −2, 1);
25) Tome P ∈ r e Q ∈ s, e, imponha a condição do vetor P − Q ficar na mesma direção do produto vetorial dos vetores nas direções de
r e s. Distância: 17
30
√
30; equação da reta: X = (−9/5, 2, −12/5) + t (2, −5, 1); 26) (17/5, −14/5);
27) C é a interseção da reta r com a reta que passa nos pontos B e A , em que A é o ponto simétrico de A em relação à reta r.
C = (17/11, −8/11); 28) (1/3, −2/3, 1/3);
29) C é a interseção do plano α com a reta que passa nos pontos B e A , em que A é o ponto simétrico de A em relação ao plano α.
C = (1/6, 1/6, 2/3);
33) Sendo H um ponto pertencente à reta que passa por B e C, então existe t ∈ R tal que H = B + t (C − B). Agora imponha a
condição do vetor H − A ser perpendicular ao vetor C − B; 34) I é a interseção das retas que contêm as bissetrizes de A e B. Em seguida
use o exercício 21;
35) Use o fato de que um ponto P ∈ AB ⇔ existe t ∈ [0, 1] tal que P = A + t (B − A);
36) Use o fato de que um ponto P ∈ T ⇔ a reta
←→
AP intercepta o segmento BC num ponto D tal que P ∈ AD, e, utilize também o
exercício anterior;
37) Use o fato de que um ponto P ∈ T ⇔ a reta
←→
AP intercepta o triângulo BCD num ponto E tal que P ∈ AE, e, utilize também o
exercício anterior;
38) Admitindo que A = B, A /∈ r e B /∈ r, seja s a reta que passa por A e B. Então, X = A + t (B − A) é a equação de s. Notemos
que, para X ∈ s, X ∈ AB − {A, B} ⇔ 0 < t < 1. Observemos ainda que A e B se situam num mesmo semi-plano aberto determinado
pela reta r ⇔ AB não intercepta r, e, A e B se situam em semi-planos abertos opostos em relação à reta r ⇔ AB intercepta r num ponto
interior de AB. Considere o seguinte sistema
X = A + t (B − A)
f (X) = 0
e o analise em função do parâmetro t;
39) Proceda como no exercício anterior.
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