O documento discute poliedros, definindo-os como sólidos limitados por quatro ou mais polígonos planos. Apresenta exemplos de poliedros convexos e côncavos, classificação de poliedros de acordo com o número de faces, e os cinco poliedros regulares. Também fornece fórmulas importantes para cálculo de vértices, arestas e faces.
O documento fornece as coordenadas de vários pontos no plano cartesiano e instrui o leitor a ligá-los com segmentos de reta. Ao fazer isso, desenhos serão formados que podem ser coloridos. Há 11 conjuntos de coordenadas separados por #.
Âgulos formados por duas retas paralelas e uma transversalAndréa Thees
O documento discute os diferentes tipos de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, incluindo ângulos correspondentes, alternos, e colaterais. Exemplos e exercícios são fornecidos para ilustrar as propriedades desses ângulos, como ter a mesma medida ou serem suplementares. Os alunos são designados a fazer exercícios adicionais para praticar.
Grandezas diretamente e inversamente proporcionaisHomailson Lopes
(EF09MA08) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
O documento apresenta 10 questões de múltipla escolha sobre relações e funções matemáticas. As questões abordam conjuntos, diagramas de funções, equações do segundo grau e operações com conjuntos e funções. O documento também fornece gabaritos para duas provas sobre o assunto.
O documento contém 15 exercícios de matemática sobre equações do 1° grau. Os exercícios envolvem identificar equações de 1° grau, verificar se números são raízes de equações, resolver equações, calcular massas usando balanças e equações, e resolver problemas envolvendo idades e quantidades de itens.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
Ampliação e redução de figuras geométricas, proporcionalidade uso do papel q...João Batista Barbosa Filho
Este documento discute ampliação e redução de figuras geométricas e proporcionalidade usando papel quadriculado. Ele fornece exemplos de como construir figuras geométricas em malhas quadriculadas de diferentes tamanhos para mostrar ampliação e redução. O documento também explica conceitos-chave como figuras semelhantes e proporcionalidade de lados correspondentes.
O documento apresenta 12 exercícios sobre cálculo de áreas, volumes e diagonais de paralelepípedos retângulos e cubos. Os exercícios envolvem determinar medidas como diagonais, áreas totais e volumes a partir de informações como dimensões das arestas, diagonais ou áreas das faces.
O documento fornece as coordenadas de vários pontos no plano cartesiano e instrui o leitor a ligá-los com segmentos de reta. Ao fazer isso, desenhos serão formados que podem ser coloridos. Há 11 conjuntos de coordenadas separados por #.
Âgulos formados por duas retas paralelas e uma transversalAndréa Thees
O documento discute os diferentes tipos de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, incluindo ângulos correspondentes, alternos, e colaterais. Exemplos e exercícios são fornecidos para ilustrar as propriedades desses ângulos, como ter a mesma medida ou serem suplementares. Os alunos são designados a fazer exercícios adicionais para praticar.
Grandezas diretamente e inversamente proporcionaisHomailson Lopes
(EF09MA08) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
O documento apresenta 10 questões de múltipla escolha sobre relações e funções matemáticas. As questões abordam conjuntos, diagramas de funções, equações do segundo grau e operações com conjuntos e funções. O documento também fornece gabaritos para duas provas sobre o assunto.
O documento contém 15 exercícios de matemática sobre equações do 1° grau. Os exercícios envolvem identificar equações de 1° grau, verificar se números são raízes de equações, resolver equações, calcular massas usando balanças e equações, e resolver problemas envolvendo idades e quantidades de itens.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
Ampliação e redução de figuras geométricas, proporcionalidade uso do papel q...João Batista Barbosa Filho
Este documento discute ampliação e redução de figuras geométricas e proporcionalidade usando papel quadriculado. Ele fornece exemplos de como construir figuras geométricas em malhas quadriculadas de diferentes tamanhos para mostrar ampliação e redução. O documento também explica conceitos-chave como figuras semelhantes e proporcionalidade de lados correspondentes.
O documento apresenta 12 exercícios sobre cálculo de áreas, volumes e diagonais de paralelepípedos retângulos e cubos. Os exercícios envolvem determinar medidas como diagonais, áreas totais e volumes a partir de informações como dimensões das arestas, diagonais ou áreas das faces.
1) O documento contém exercícios de matemática sobre volumes e simetria. Nos exercícios de volumes, são apresentados problemas envolvendo cálculos de volumes de paralelepípedos, cubos e agrupamentos de blocos retangulares.
2) Nos exercícios de simetria, são abordados conceitos como eixos de simetria e pontos simétricos em figuras geométricas e logomarcas de empresas.
O documento explica como calcular áreas e perímetros de figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área e o perímetro de cada figura e dá exemplos práticos de como essas medidas são usadas para tarefas como calcular a quantidade de material necessário para construção ou pintura.
O documento apresenta fórmulas para calcular área e perímetro de quadrados, retângulos, triângulos, losangos e trapézios. Fornece também exemplos de problemas envolvendo cálculo de dimensões desses polígonos a partir de informações como perímetro, área ou medidas de lados.
Apresentação do Teorema de Pitágoras, triângulo pitagórico e aplicações. O objetivo é levar os alunos a visualizarem os triângulos ocultos nas situações apresentadas.
Este documento fornece uma introdução sobre raiz quadrada, explicando que se refere ao lado de um quadrado com determinada área. Ele apresenta exemplos de como calcular a raiz quadrada de números e define que apenas números perfeitos quadrados possuem raiz quadrada. Por fim, sugere construir uma tabela com raízes quadradas.
El documento presenta una serie de 17 expresiones numéricas con números enteros y naturales que deben resolverse. Luego, presenta 20 expresiones numéricas similares pero con números racionales que también deben calcularse. El objetivo es evaluar cada expresión y encontrar el valor numérico resultante (R).
O documento apresenta uma lista de 53 exercícios de geometria plana sobre ângulos, triângulos e paralelismo de retas. Os exercícios envolvem cálculos de medidas de ângulos, propriedades de figuras planas e relações métricas entre os elementos das figuras.
O documento discute os tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista exemplos de quadriláteros convexos e côncavos. Também descreve os tipos de paralelogramos, incluindo seus ângulos, lados, diagonais e eixos de simetria. Finalmente, fornece exercícios sobre propriedades dos paralelogramos.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
1) O documento introduz conceitos básicos de probabilidade como espaço amostral, eventos elementares e compostos, e cálculo de probabilidades.
2) É apresentado o método de Laplace para calcular probabilidades através da razão entre casos favoráveis e casos possíveis.
3) São fornecidos exemplos de cálculo de probabilidades para lançamento de dados, moedas e outros experimentos aleatórios.
Dois triângulos são congruentes se tiverem:
1) Lados correspondentes congruentes;
2) Ângulos correspondentes congruentes.
Existem três critérios de congruência: LLL (lado, lado, lado), LAL (lado, ângulo, lado), e ALA (ângulo, lado, ângulo).
Este documento apresenta uma aula sobre probabilidade. Ele introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de um evento, soma de probabilidades e probabilidade de eventos independentes. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e exercícios são resolvidos para reforçar a compreensão.
O documento apresenta os conceitos básicos sobre números decimais, incluindo escrita, adição, subtração, multiplicação e divisão. Explica que os cálculos com números decimais seguem as mesmas regras dos números naturais devido ao sistema posicional de escrita dos números. Apresenta também exemplos de cada operação com números decimais.
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
Este documento descreve os principais tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista seus elementos. Em seguida, discute quadriláteros convexos e côncavos e a fórmula para a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo. Por fim, descreve propriedades específicas de paralelogramos, retângulos, losangos, quadrados e trapézios.
O documento apresenta 12 questões sobre polígonos regulares, incluindo questões sobre o número de lados, diagonais e medidas de ângulos internos e externos de polígonos como hexágono, heptágono, decágono e dodecágono. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exerciciostrigono_metria
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre semelhança de triângulos para um curso preparatório de matemática ministrado no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 08 de setembro de 2011 pelo professor Paulo Roberto Martins Berndt. Os exercícios vão de 01 a 31 e abordam problemas envolvendo semelhança entre triângulos.
1) O documento apresenta uma atividade de geometria sobre retas, segmentos de reta e suas propriedades. 2) Os alunos devem identificar propriedades como posição relativa, congruência e paralelismo de retas e segmentos em figuras geométricas. 3) Questões incluem identificar pares de segmentos consecutivos e colineares, determinar se afirmações sobre figuras são verdadeiras ou falsas e representar geometricamente conceitos.
1) O documento contém uma lista de exercícios de matemática sobre áreas e volumes de figuras geométricas como quadrados, retângulos, triângulos, paralelogramos e cubos. As medidas são fornecidas em centímetros.
2) Os alunos devem calcular áreas, lados e volumes utilizando fórmulas geométricas e raiz quadrada.
3) Há também exercícios sobre determinar o lado de um terreno quadrado e a largura de um retângulo dado seu comprimento e área.
El documento presenta una lista de ejercicios de matemáticas sobre cuadriláteros creada por el profesor Heráclito en su sitio web www.tioheraclito.com, con preguntas sobre identificar y clasificar diferentes tipos de cuadriláteros basados en las longitudes de sus lados y medidas de sus ángulos.
09 eac proj vest mat módulo 2 geometria espacialcon_seguir
1) O documento discute poliedros, incluindo suas definições, elementos, classificações e teorema de Euler.
2) São apresentados cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
3) Prismas são definidos e classificados, com discussão de suas áreas, volumes e elementos.
1) O documento contém exercícios de matemática sobre volumes e simetria. Nos exercícios de volumes, são apresentados problemas envolvendo cálculos de volumes de paralelepípedos, cubos e agrupamentos de blocos retangulares.
2) Nos exercícios de simetria, são abordados conceitos como eixos de simetria e pontos simétricos em figuras geométricas e logomarcas de empresas.
O documento explica como calcular áreas e perímetros de figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área e o perímetro de cada figura e dá exemplos práticos de como essas medidas são usadas para tarefas como calcular a quantidade de material necessário para construção ou pintura.
O documento apresenta fórmulas para calcular área e perímetro de quadrados, retângulos, triângulos, losangos e trapézios. Fornece também exemplos de problemas envolvendo cálculo de dimensões desses polígonos a partir de informações como perímetro, área ou medidas de lados.
Apresentação do Teorema de Pitágoras, triângulo pitagórico e aplicações. O objetivo é levar os alunos a visualizarem os triângulos ocultos nas situações apresentadas.
Este documento fornece uma introdução sobre raiz quadrada, explicando que se refere ao lado de um quadrado com determinada área. Ele apresenta exemplos de como calcular a raiz quadrada de números e define que apenas números perfeitos quadrados possuem raiz quadrada. Por fim, sugere construir uma tabela com raízes quadradas.
El documento presenta una serie de 17 expresiones numéricas con números enteros y naturales que deben resolverse. Luego, presenta 20 expresiones numéricas similares pero con números racionales que también deben calcularse. El objetivo es evaluar cada expresión y encontrar el valor numérico resultante (R).
O documento apresenta uma lista de 53 exercícios de geometria plana sobre ângulos, triângulos e paralelismo de retas. Os exercícios envolvem cálculos de medidas de ângulos, propriedades de figuras planas e relações métricas entre os elementos das figuras.
O documento discute os tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista exemplos de quadriláteros convexos e côncavos. Também descreve os tipos de paralelogramos, incluindo seus ângulos, lados, diagonais e eixos de simetria. Finalmente, fornece exercícios sobre propriedades dos paralelogramos.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
1) O documento introduz conceitos básicos de probabilidade como espaço amostral, eventos elementares e compostos, e cálculo de probabilidades.
2) É apresentado o método de Laplace para calcular probabilidades através da razão entre casos favoráveis e casos possíveis.
3) São fornecidos exemplos de cálculo de probabilidades para lançamento de dados, moedas e outros experimentos aleatórios.
Dois triângulos são congruentes se tiverem:
1) Lados correspondentes congruentes;
2) Ângulos correspondentes congruentes.
Existem três critérios de congruência: LLL (lado, lado, lado), LAL (lado, ângulo, lado), e ALA (ângulo, lado, ângulo).
Este documento apresenta uma aula sobre probabilidade. Ele introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de um evento, soma de probabilidades e probabilidade de eventos independentes. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e exercícios são resolvidos para reforçar a compreensão.
O documento apresenta os conceitos básicos sobre números decimais, incluindo escrita, adição, subtração, multiplicação e divisão. Explica que os cálculos com números decimais seguem as mesmas regras dos números naturais devido ao sistema posicional de escrita dos números. Apresenta também exemplos de cada operação com números decimais.
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
Este documento descreve os principais tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista seus elementos. Em seguida, discute quadriláteros convexos e côncavos e a fórmula para a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo. Por fim, descreve propriedades específicas de paralelogramos, retângulos, losangos, quadrados e trapézios.
O documento apresenta 12 questões sobre polígonos regulares, incluindo questões sobre o número de lados, diagonais e medidas de ângulos internos e externos de polígonos como hexágono, heptágono, decágono e dodecágono. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exerciciostrigono_metria
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre semelhança de triângulos para um curso preparatório de matemática ministrado no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 08 de setembro de 2011 pelo professor Paulo Roberto Martins Berndt. Os exercícios vão de 01 a 31 e abordam problemas envolvendo semelhança entre triângulos.
1) O documento apresenta uma atividade de geometria sobre retas, segmentos de reta e suas propriedades. 2) Os alunos devem identificar propriedades como posição relativa, congruência e paralelismo de retas e segmentos em figuras geométricas. 3) Questões incluem identificar pares de segmentos consecutivos e colineares, determinar se afirmações sobre figuras são verdadeiras ou falsas e representar geometricamente conceitos.
1) O documento contém uma lista de exercícios de matemática sobre áreas e volumes de figuras geométricas como quadrados, retângulos, triângulos, paralelogramos e cubos. As medidas são fornecidas em centímetros.
2) Os alunos devem calcular áreas, lados e volumes utilizando fórmulas geométricas e raiz quadrada.
3) Há também exercícios sobre determinar o lado de um terreno quadrado e a largura de um retângulo dado seu comprimento e área.
El documento presenta una lista de ejercicios de matemáticas sobre cuadriláteros creada por el profesor Heráclito en su sitio web www.tioheraclito.com, con preguntas sobre identificar y clasificar diferentes tipos de cuadriláteros basados en las longitudes de sus lados y medidas de sus ángulos.
09 eac proj vest mat módulo 2 geometria espacialcon_seguir
1) O documento discute poliedros, incluindo suas definições, elementos, classificações e teorema de Euler.
2) São apresentados cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
3) Prismas são definidos e classificados, com discussão de suas áreas, volumes e elementos.
O documento discute diferentes tipos de poliedros, incluindo:
1) Poliedros são sólidos limitados por quatro ou mais polígonos planos pertencentes a planos diferentes.
2) Poliedros convexos e não convexos são definidos pela relação entre as faces.
3) A relação de Euler relaciona o número de vértices, arestas e faces de um poliedro.
O documento descreve os conceitos fundamentais de poliedros e pirâmides. Define poliedro como um sólido limitado por planos e delimitado por faces poligonais. Explora os elementos que compõem poliedros e pirâmides, como vértices, arestas e faces. Apresenta exemplos de poliedros regulares e classificações de pirâmides.
Este documento contém uma série de exercícios sobre poliedros convexos, incluindo determinar o número de faces, arestas e vértices de vários poliedros, identificar afirmações verdadeiras sobre propriedades geométricas de poliedros, e resolver problemas envolvendo relações entre componentes de poliedros. As respostas são fornecidas no final.
Poliedro é um sólido limitado por planos no espaço R3, cujas regiões planas que o limitam são chamadas de faces. As interseções das faces são as arestas e das arestas são os vértices. Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais entre faces adjacentes são menores que 180 graus. Poliedros regulares são aqueles em que todas as faces são polígonos regulares com mesmo número de lados e mesmo número de arestas em cada vértice.
O documento descreve diferentes tipos de poliedros e suas características. É definido poliedro, poliedros convexos e côncavos, classificação de poliedros de acordo com o número de faces, poliedros regulares, relação de Euler, poliedros platônicos, elementos e classificação de prisma, áreas e volume de prisma e paralelepípedo.
O documento introduz os conceitos básicos de sólidos geométricos tridimensionais, especificamente poliedros. Apresenta exemplos de poliedros regulares como cubo, tetraedro e poliedros não regulares. Explica os elementos que compõem um poliedro - vértices, arestas e faces. Também introduz a fórmula de Euler para relacionar esses elementos.
Um poliedro é formado por polígonos (faces) conectados por lados (arestas) e vértices. A relação de Euler estabelece que em qualquer poliedro convexo, o número de arestas somado a 2 é igual à soma do número de faces e vértices. Existem cinco poliedros regulares chamados de Platônicos.
Este documento discute os sólidos de Platão e poliedros regulares. Explica que Platão associou os elementos da natureza a sólidos geométricos regulares, como o tetraedro ao fogo e o cubo à terra. Descreve os cinco sólidos de Platão e suas propriedades, incluindo o número de faces e vértices de cada um. Também fornece exemplos de cálculos de volume para diferentes sólidos geométricos.
O documento discute poliedros, que são sólidos limitados por polígonos planos pertencentes a planos diferentes. Apresenta exemplos de poliedros convexos e côncavos, explica a relação de Euler e propriedades dos poliedros platônicos e regulares, que são subclasses especiais de poliedros convexos.
1 Ponto, reta, plano, espaço, aresta.pptxFabio259607
O documento discute três tipos de figuras geométricas: semirretas, retas e segmentos de reta. Uma semirreta possui início, mas não possui fim, enquanto um segmento de reta se encontra entre dois pontos.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria espacial como posições relativas de retas e planos, projeções ortogonais, poliedros e suas propriedades, além de prisma e pirâmides.
2) Inclui definições, exemplos e fórmulas para cálculo de área total, volume e diagonal de poliedros regulares como cubo, paralelepípedo retângulo e tetraedro regular.
3) Fornece detalhes sobre elementos, classificação e propriedades de prisma e pirâmides como f
O documento discute geometria, especificamente poliedros. Define poliedros e poliedros regulares, listando os cinco poliedros regulares. Apresenta a relação de Euler que relaciona vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Fornece exemplos de cálculos usando a relação de Euler e exercícios propostos.
O documento discute os tipos de sólidos geométricos, divididos em poliedros e não poliedros. Poliedros incluem prismas e pirâmides, que são classificados de acordo com o polígono da base. Regras para calcular faces, vértices e arestas de prismas e pirâmides são fornecidas.
O documento discute conceitos geométricos como pontos, retas, segmentos de retas, semirretas e planos. Em seguida, aborda polígonos, definindo-os e discutindo seus elementos, classificação, número de diagonais e soma dos ângulos internos. Por fim, foca em triângulos e quadriláteros, definindo seus tipos e propriedades.
Este documento apresenta 8 exercícios sobre poliedros, resolvidos passo a passo. Os exercícios envolvem cálculos do número de vértices, arestas e faces de diferentes poliedros convexos, usando as fórmulas topológicas que relacionam esses elementos.
1) O documento discute a história e construção dos poliedros, figuras geométricas com quatro ou mais faces polígonais.
2) Platão foi o primeiro a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
3) Cauchy provou posteriormente que existem nove poliedros regulares no total e não apenas cinco como acreditavam Platão e Pitágoras.
1) O documento discute a história e construção dos poliedros, figuras geométricas com quatro ou mais faces polígonais.
2) Platão foi o primeiro a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
3) Cauchy provou posteriormente que existem nove poliedros regulares no total e não apenas cinco como acreditavam Platão e Pitágoras.
O documento descreve diferentes tipos de poliedros, incluindo poliedros regulares, sólidos de Arquimedes, prismas, antiprismas e outros. Explica como o software Poly pode ser usado para visualizar e estudar poliedros convexos.
1. Geometria Espacial – Cap/UERJ - 2ª Série / Médio
Assunto: Poliedros - Prof. Ilydio Pereira de Sá
1
3ª aula: Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos
diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os
vértices do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os
poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses
poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido
apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por
exemplo:
• tetraedro: quatro faces ; pentaedro: cinco faces ; hexaedro: seis faces ; heptaedro: sete faces
• octaedro: oito faces ; icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o
mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.
Existem apenas cinco poliedros regulares:
Poliedro Planificação Elementos
Tetraedro Regular
4 faces triangulares equiláteras
4 vértices
6 arestas
Hexaedro Regular
6 faces quadradas
8 vértices
12 arestas
Octaedro Regular
8 faces triangulares equiláteras
6 vértices
12 arestas
2. Geometria Espacial – Cap/UERJ - 2ª Série / Médio
Assunto: Poliedros - Prof. Ilydio Pereira de Sá
2
Dodecaedro Regular
12 faces pentagonais equiláteras
20 vértices
30 arestas
Icosaedro Regular
20 faces triangulares equiláteras
12 vértices
30 arestas
Fórmulas e Relações Importantes nos Poliedros:
1) Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V + F = A + 2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Observe os exemplos:
V=8 A =12 F=6
8 + 6 = 12 + 2
2) Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
Verifique que todos os poliedros regulares são platônicos, sendo que as faces são polígonos
regulares. Alguns autores não fazem a diferença entre poliedros regulares e platônicos, considerando
sinônimos esses dois conceitos.
3) Contagem das arestas
a) Contagem pelos tipos de faces.
V = 12 A = 18 F = 8
12 + 8 = 18 + 2
3. Geometria Espacial – Cap/UERJ - 2ª Série / Médio
Assunto: Poliedros - Prof. Ilydio Pereira de Sá
3
Vamos representar por f 3
o número de faces triangulares do poliedro, por f 4
o número de faces
quadrangulares, por f 5
o número de faces pentagonais, etc...Se contarmos as arestas de cada uma
das faces, teremos o dobro das arestas do poliedro, já que cada aresta serve para duas de suas
faces. Logo, teremos:
......5.4.3.2 543 +++= fffA
b) Contagem pelos tipos de ângulos poliédricos
Vamos representar por v 3
o número de vértices com 3 arestas do poliedro, por v 4
o número de
vértices com 4 arestas, por v 5
o número de vértices com 5 arestas, etc...Se contarmos as arestas de
cada um dos vértices, teremos o dobro das arestas do poliedro, já que cada aresta serve para dois
vértices. Logo, teremos:
......5.4.3.2 543 +++= vvvA
4) Cálculo do número total de Diagonais de um poliedro convexo.
dACD v= 2,
Sendo d = total das diagonais das faces do poliedro.
Lembrete: A contagem do número de diagonais de uma das faces é feita pela fórmula
2
3)n.(n
D =
n representa o número de arestas da face.
5) Soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro
S = 360º . ( V – 2) (Faça, como exercício, a demonstração dessa fórmula)
EXERCÍCIOS:
1)
2) Quantas diagonais possui o icosaedro regular? Qual a soma dos ângulos internos de todas as
faces do icosaedro regular?
3) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces
hexagonais. Obtenha:
a) O número total de vértices, faces e arestas do poliedro.
b) O número de diagonais do poliedro
c) A soma dos ângulos internos de todas as faces.
Obtenha o total de diagonais do poliedro convexo visto na figura ao lado.
Diagonal
4. Geometria Espacial – Cap/UERJ - 2ª Série / Médio
Assunto: Poliedros - Prof. Ilydio Pereira de Sá
4
4) (AFA) Um poliedro convexo tem 16 faces. De um dos seus vértices partem 5 arestas; de cinco
outros vértices partem 4 arestas e, de cada um dos vértices restantes, partem 3 arestas. Qual o
número total de arestas desse poliedro?
5) Numa publicação científica, de 1985, foi divulgada a descoberta de uma
molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os
vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20
hexágonos regulares, como numa bola de futebol. Essa molécula foi
denominada “fulereno”, em homenagem ao arquiteto norte-americano
B. Fuller. Quantos são os átomos de carbono dessa molécula e o
número de ligações entre eles.
6) (CEFET - PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro
pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será:
a) 3240º b) 3640º c) 3840º c) 4000º d) 4060º
7) (CEFET - PR) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é:
a) 32 b) 12 c) 20 d) 15 e) 18
8) (PUC - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o
número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de
faces triangulares?
a. 4 b. 3 c. 5 d. 6 e. 8
9) ( ITA - SP ) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6
outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes
partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:
a. 13 b. 17 c. 21 d. 24 e. 27
10) ( PUC - PR ) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número
de arestas desse poliedro é:
a. 12 b. 8 c. 6 d. 20 e. 4