Este documento fornece exercícios de cálculo de primitivas de funções por meio da regra da "uvelhinha". A seção 1 introduz a teoria, a seção 2 apresenta exercícios resolvidos de vários tipos de funções, a seção 3 propõe exercícios e a seção 4 fornece sugestões de solução. O documento aborda cálculo de primitivas de polinômios, exponenciais, trigonométricas e outras funções.

1. Exercícios de Revisão
Primitivas Por Partes
§1 Introdução Teórica ..............................................................................................................2
§2 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................2
§2.1 Polinómio/Exponencial ................................................................................................2
§2.2 Polinómio/(Sin ou Cos) ................................................................................................4
§2.3 (Exponencial ou Sin ou Cos)/ (Sin ou Cos) ................................................................4
§2.4 Logaritmo .....................................................................................................................6
§2.5 Trigonométricas ...........................................................................................................7
§2.6 Trigonométricas Inversas............................................................................................7
§2.7 Outras situações ...........................................................................................................8
§3 Exercícios Propostos ............................................................................................................9
§4 Soluções/Sugestões dos exercícios propostos....................................................................10
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2. §1 Introdução Teórica
Regra da “uvelhinha”:
Puv´=uv −Pu´v
ou equivalentemente:
P ( fg ) = fG − P ( f ′ ) = gF − P ( g ′F ) = P ( gf ) em que G ≡ Pg
G
Neste texto usaremos sempre na primeira forma, os resultados são obviamente os mesmos, no
entanto a primeira forma tem mostrado ser estatisticamente mais “fácil de fixar” por parte dos
alunos. No entanto cada aluno deve sempre usar a forma que é explicada na sua disciplina.
§2 Exercícios Resolvidos
§2.1 Polinómio/Exponencial
Neste caso sabemos primitivar/derivar quer o polinómio, quer a exponencial. Devemos
observar que a exponencial após se primitivar/derivar, fica na “mesma”. Ao passo que o
polinómio não. Devemos escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que “diminui
um grau” por cada derivação “que sofre”.
2.1.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções:
(a) ( x + 3) e x 2
(b) (2 x 2 + 1) e 3 x
(c) x3 e x
4
(d) x7 e x
Resolução:
(a) P ( x − 3) ex 2 seja: u = x+3 ; u′ = 1
v′ = e v = 2 ex 2
x2
;
então:
1 x2
P ( x − 3) ex 2 = 2 ( x − 3) ex 2 − 2 P ex 2 = 2 ( x − 3) ex 2 − 4 P e = 2 ( x − 3)ex 2 − 4 ex 2
2
(b) P (2 x 2 + 1) e3 x seja: u = 2 x2 + 1 ; u′ = 4 x
1 3x
v′ = e3 x ; v= e
3
então:
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3. 2 x 2 + 1 3x 4
P (2 x 2 + 1) e 3 x = e − P x e 3x
3 3
seja agora: u= x ; u′ = 1
1 3x
v′ = e3 x ; v= e
3
então:
2 x 2 + 1 3x 4 ⎡ x 3x 1 3x ⎤ 2 x 2 + 1 3x 4 3x 4 3x
P (2 x 2 + 1) e 3 x = e − ⎢ e − Pe ⎥ = e − xe + e
3 3⎣ 3 3 ⎦ 3 9 27
(c) P x3 ex seja: u = x3 ; u′ = 3 x 2
v′ = e x ; v = e x
então:
P x3 ex = x3 ex − 3 P x2 ex de novo se: u = x2 ; u′ = 2 x
v′ = e x ; v = e x
fica: [ ]
P x3 ex = x3 ex − 3 x2 ex − 2 P x ex = x3 ex − 3 x2 ex + 6 P x ex
e se: u= x ; u′ = 1
v′ = e x ; v = e x
[ ]
obtém-se finalmente: P x 3 e x = x 3 e x − 3 x 2 e x + 6 x e x − P e x = x 3 e x − 3 x 2 e x + 6 x e x − 6 e x
4 1 4
(d) P ( x7 ex ) = P ( x4 4 x3 ex ) seja: u = x4 ; u′ = 4 x 3
4
4 4
v ′ = 4 x3 ex ; v = ex
4 1 4 1 4 4 1 4 4 x 4 − 1 x4
P ( x7 ex ) = P ( x 4 4 x 3 e x ) = ( x 4 e x − P 4x 3 e x ) = ( x 4 e x − e x ) = e
4 4 4 4
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4. §2.2 Polinómio/(Sin ou Cos)
Neste caso sabemos primitivar/derivar quer o polinómio, quer o sen/cos. Devemos observar
que o sen/cos após se primitivar/derivar, fica na “mesma”. Ao passo que o polinómio não.
Devemos escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que “diminui um grau” por
cada derivação “que sofre”.
2.2.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções:
(a) (2 x − 1) sin 2 x
x+2
(b) cos 5x
3
Resolução:
(a) P (2 x − 1) sin 2 x seja: u = 2x − 1 ; u′ = 2
1
v′ = sin 2 x ; v = − cos 2 x
2
2x − 1 2x − 1 1
P (2 x − 1) sin 2 x = − cos 2 x + P cos 2 x = − cos 2 x + sin 2 x
2 2 2
x+2 x+2 1
(b) P cos5x seja: u= ; u′ =
3 3 3
1
v′ = cos5x ; v= sin 5x
5
x+2 x+2 1 x+2 1
P cos5x = sin 5x − P sin 5x = sin 5x + cos5x
3 15 15 15 75
§2.3 (Exponencial ou Sin ou Cos)/ (Sin ou Cos)
Neste caso sabemos primitivar/derivar quer a exponencial, quer o sen/cos. Devemos observar
que o sen/cos após se primitivar/derivar, fica na “mesma”. Tal como a exponecial. A escolha
é arbitrária e a primitiva é “recurvisa”. No entanto a segunda escolha deve ser igual escolher
o polinómio como função a derivar, uma vez que “diminui um grau” por cada derivação “que
sofre”.
2.3.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções:
(a) e 2 x sin 3x
(b) sin 2 x cos 3x
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5. Resolução:
(a) P e 2 x sin 3x seja: u = e2 x ; u′ = 2 e2 x
1
v′ = sin 3x ; v = − cos 3x
3
1 2x 2
P e 2 x sin 3x = − e cos 3x + P e 2 x cos 3x
3 3
seja: u = e2 x ; u′ = 2 e2 x
1
v ′ = cos 3x ; v = sin 3x
3
1 2x 2 ⎡ e2 x 2 ⎤
P e 2 x sin 3x = − e cos 3x + ⎢ sin 3x − P e 2 x sin 3x ⎥
3 3⎣ 3 3 ⎦
1 2x 2 4
P e 2 x sin 3x = − e cos 3x + e 2 x sin 3x − P e 2 x sin 3x
3 9 9
portanto:
4 1 2
P e 2 x sin 3x + P e 2 x sin 3x = − e 2 x cos 3x + e 2 x sin 3x
9 3 9
13 1 2
P e 2 x sin 3x = − e 2 x cos 3x + e 2 x sin 3x
9 3 9
9 1 2 3 2 2x
P e2 x sin 3x = (− e2 x cos 3x + e2 x sin 3x ) = − e2 x cos 3x + e sin 3x
13 3 9 13 13
(b) P sin 2x cos 3x seja: u = sin 2x ; u′ = 2 cos 2x
1
v ′ = cos 3x ; v= sin 3x
3
1 2
P sin 2x cos 3x = sin 2x sin 3x − P cos 2x sin 3x
3 3
seja: u = cos 2x ; u′ = − 2 sin 2x
1
v ′ = sin 3x ; v=− cos 3x
3
1 2⎡ 1 2 ⎤
P sin 2x cos 3x = sin 2x sin 3x − ⎢ − cos 2x cos 3x − sin 2x cos 3x ⎥
3 3⎣ 3 3 ⎦
1 2 4
= sin 2x sin 3x 6 + cos 2x cos 3x + sin 2x cos 3x
3 9 9
ou seja:
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6. 5 1 2
P sin 2x cos 3x = sin 2 x sin 3x + cos 2 x cos 3x
9 3 9
9 1 2
P sin 2x cos 3x = ( sin 2 x sin 3x + cos 2 x cos 3x )
5 3 9
9 2 3 2
P sin 2x cos 3x = sin 2 x sin 3x + cos 2 x cos 3x = sin 2 x sin 3x + cos 2 x cos 3x
15 5 5 5
§2.4 Logaritmo
Neste caso temos apenas “uma função” em que a função e primitivar é a unidade, i.e. v′ = 1 ,
pois a derivada de uma constante é nula.
2.4.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções:
(a) log x
(b) log 2 x
Resolução:
1
(a) P [ log x ] seja: u = log x ; u ′ =
x
v′ = 1 ; v=x
⎡ 1⎤
P [ log x ] = x log x − P ⎢ x ⎥ = x log x − P [1] = x ( log x − 1)
⎣ x⎦
1
(b) P ⎡ log 2 x ⎤
⎣ ⎦ seja: u = log2 x ; u′ = 2 log x
x
v′ = 1 ; v=x
P log 2 x = x log 2 x − 2 P log x
1
seja: u = log x ; u′ =
x
v′ = 1 ; v=x
P log 2 x = x log 2 x − 2 [ x log x − P 1 ] = x log 2 x − 2 x log x + 2 x
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7. §2.5 Trigonométricas
2.5.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções:
(a) tg 2 x sec x
Resolução:
sin 2 x 1 − cos2 x sec x
(a) P tg 2 x sec x = P 2
sec x = P 2
sec x = P − P sec x = P sec 3 x − P sec x
cos x cos x cos2 x
A segunda primitiva é imediata P sec x = log sec x + tg x , a primeira primitiva-se por partes:
u = sec x ; u′ = tg x sec x
v ′ = sec x2
; v = tg x
P tg 2 x sec x = sec x tg x − P tg 2 x sec x − log sec x + tg x = sec x tg x − P tg 2 x sec x − log sec x + tg x
2 P tg 2 x sec x = sec x tg x − log sec x + tg x
1 1
P tg 2 x sec x = sec x tg x − log sec x + tg x
2 2
§2.6 Trigonométricas Inversas
2.6.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções:
(a) arctg 3x
x
(b) arcsin
3
Resolução:
3
(a) P arctg 3x seja: u = arctg 3x ; u′ =
1 + 9x2
v′ = 1 ; v=x
3x 1 18 x 1
P arctg 3x = x arctg 3x − P = x arctg 3x − P = x arctg 3x − log 1 + 9 x 2
1 + (3 x ) 2
6 1 + 9x 2
6
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8. x x 13
(b) P arcsin seja: u = arcsin ; u′ =
3 3 x2
1−
9
v′ = 1 ; v=x
x x x3 x x x 2 −1 2 x 3 2x x 2 −1 2
P arcsin = x arcsin − P = x arcsin − P ( 1− ) = x arcsin + P ( 1− )
3 3 x2 3 3 9 3 2 9 9
1−
9
x2 1 2
( 1− )
x 3 9 x x2
= x arcsin + = x arcsin + 3 1−
3 2 12 3 9
§2.7 Outras situações
2.7.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções:
(a) 1 − x 2
Resolução:
1 − x2 1 x2 x2
(a) P 1 − x2 = P =P −P = arcsin x − P
1 − x2 1 − x2 1 − x2 1 − x2
seja: u =x ; u′ = 1
x −1
v′ = = ( −2x )(1 − x 2 ) −1 2 ; v = − 1 − x 2
1− x 2 2
[
P 1 − x 2 = arcsin x − − x (1 − x 2 )1 2 + P 1 − x 2 ]
= arcsin x + x 1 − x 2 − P 1 − x 2
portanto:
2 P 1 − x 2 = arcsin x + x 1 − x 2
arcsin x + x 1 − x 2
P 1 − x2 =
2
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9. §3 Exercícios Propostos
x2 − 2x + 5
(a)
ex
(b) x sin x cos x
log x
(c)
x3
log x
(d)
x
(e) log ( x + 1 + x 2 )
x
(f)
sin 2 x
(g) sin ( log x )
log 2 x
(h)
x2
(i) arcsin 2 x
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10. §4 Soluções/Sugestões dos exercícios propostos
x 2 − 2x + 5
(a) P = P ( x 2 − 2x + 5 ) e − x
ex
Seja: u = x 2 − 2x + 5 ; u′ = 2x − 2
v ′ = e− x ; v = − e− x
x 2 − 2x + 5
P = − ( x 2 − 2 x + 5 ) e − x + P ( 2 x − 2) e − x
ex
Seja: u = 2x − 2 ; u′ = 2
v ′ = e− x ; v = − e− x
x 2 − 2x + 5 x 2 − 2x + 5 2 − 2x x 2 − 2x + 5 2 − 2 x 2 x2 + 5
P x
=− x
+ x
+ 2 P e−x = − x
+ x
− x =− x
e e e e e e e
1
(b) P x sin x cos x = P x sin 2x
2
Seja: u =x ; u′ = 1
1
v ′ = sin 2x ; v=− cos 2x
2
1 ⎡ x 1 ⎤ x 1 1 x 1
P x sin x cos x = ⎢− 2 cos 2x + 2 P cos 2x⎥ = − 4 cos 2x + 4 2 sin 2x = − 4 cos 2x + 8 sin 2x
2 ⎣ ⎦
log x
(c) P = P x −3 log x
x3
1
Seja: u = log x ; u′ =
x
1
v′ = x −3 ; v=−
2 x2
log x log x 1 log x 1
P 3
=− 2
+ P x −3 = − 2
− 2
x 2x 2 2x 4x
log x
(d) P = P x −1 2 log x
x
1
Seja: u = log x ; u′ =
x
v ′ = x −1 2 ; v = −2 x
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11. log x x
P = 2 x log x − 2 P = 2 x log x − 2 P x −1 2 = 2 x log x − 4 x
x x
(e) P log ( x + 1 + x 2 )
2x 1 + x2 + x
1+
Seja: u = log ( x + 1 + x 2 ) ; u′ = 2 1 + x2 = 1 + x2 = 1
x + 1 + x2 x + 1 + x2 1 + x2
v′ = 1 ; v=x
x 1
P log ( x + 1 + x 2 ) = x log ( x + 1 + x 2 ) − P = x log ( x + 1 + x 2 ) − P 2x (1 + x 2 ) −1 2
1+ x 2 2
1 (1 + x 2 )1 2
= x log ( x + 1 + x 2 ) − = x log ( x + 1 + x 2 ) − 1 + x 2
2 12
x
(f) P = P x cos ec 2 x
sin2 x
Seja: u=x ; u′ = 1
v′ = cos ec 2 x ; v = − cot g x
x
P = − x cot g x + P cot g x = − x cot g x + log sin x
sin 2 x
(g) P sin ( log x )
1
Seja: u = sin ( log x ) ; u′ = cos( log x )
x
v′ = 1 ; v=x
P sin ( log x ) = x sin ( log x ) − P cos( log x )
1
seja: u = cos( log x ) ; u′ = − sin ( log x )
x
v′ = 1 ; v=x
P sin ( log x ) = x sin ( log x ) − x cos( log x ) − P sin ( log x )
2 P sin ( log x ) = x sin ( log x ) − x cos( log x )
x sin ( log x ) − x cos( log x )
P sin ( log x ) =
2
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12. log2 x
(h) P
x2
2
Seja: u = log2 x ; u′ = log x
x
1
v′ = x −2 ; v=−
x
log 2 x log 2 x log x
P 2
=− + 2P 2
x x x
1
Seja: u = log x ; u′ =
x
1
v ′ = x −2 ; v = −
x
log 2 x log 2 x ⎡ log x ⎤ log 2 x log x 2
P =− + 2⎢ − + P x −2 ⎥ = − −2 −
⎣ ⎦
2
x x x x x x
(i) P arcsin2 x
2 arcsin x
Seja: u = arcsin2 x ; u′ =
1 − x2
v′ = 1 ; v=x
x arcsin x
P arcsin 2 x = x arcsin 2 x − 2 P
1 − x2
1
Seja: u = arcsin x ; u′ =
1 − x2
x
v′ = = x (1 − x 2 ) −1 2 ; v = − 1 − x 2
1 − x2
[ ]
P arcsin 2 x = x arcsin 2 x − 2 − arcsin x 1 − x 2 + P 1 = x arcsin 2 x + 2 arcsin x 1 − x 2 − 2x
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