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4ª Lista de Exercícios – Logaritmos

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4ª Lista de Exercícios – Logaritmos

  1) Calcule:
                                         log 1 125                                                               8
      a) log 3 27                   b)                              c) log 4     32                 d) log 2
                                               5
                                                                                                             3
                                                                                                                 27
  2) Calcule o valor de x:
                                          1                                                                        log 1 32 = x
      a) log x 8 = 3        b) log x        =2              c) log 2 x = 5        d) log 9 27 = x             e)
                                         16                                                                              2

  3) Calcule:
      a) log 2 2 −3         b) log 7       7               c) 5 log5 7           d)   2 log 2 7 + log 2 3        e)   2 2+ 2 log 2 5
                                                         a.b 2                  
  4) Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule log
                                                         c                      .
                                                                                 
                                                                                
  5) Sendo logx 2 = a , logx 3 = b calcule log x 3 12 .

  6) Sendo loga 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule log a 100 .

  7) Resolva as seguintes equações:
     a) log x −3 9 = 2         b) log 4 ( 2 x + 10 ) = 2                                             c) log 2 ( log 3 ( x − 1) ) = 2
               (       )
     d) log x +1 x + 7 = 2
                  2
                                         e) log 2 3 + log 2 ( x − 1) = log 2 6               f) log 3 2 + log 3 ( x + 1) = 1
     g)   2 log x = log 2 + log x                          (             )
                                                   h) log 2 x 2 + 2 x − 7 − log 2 ( x − 1) = 2

  8) Determine a solução da equação: log 2 ( x − 2) + log 2 ( x − 3) = 1 + log 2 ( 2 x − 7 )

  9) Em Química, defini-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal do inverso da respectiva
     concentração de H3O+ . O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H3O+ é 4,8. 10 -8
     mol/l. Qual será o pH desse líquido?

  10) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco,
      desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente
      pelas funções:
                                         altura: H(t) = 1 + (0,8).log2 (t + 1)
                                         diâmetro do tronco: D(t) = (0,1).2 t/7
                                         com H(t) e D(t) em metros e t em anos.
      a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros,
         das árvores no momento em que são plantadas.
      b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em
         centímetros.




  11. (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:
      a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
      b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
      c) a potência de base b e expoente a.
      d) a potência de base a e expoente b.
      e) a potência de base 10 e expoente a.

  12. (PUC) Assinale a propriedade válida sempre:
a) log (a . b) = log a . log b
    b) log (a + b) = log a + log b
    c) log m . a = m . log a
    d) log am = log m . a
    e) log am = m . log a
    (Supor válidas as condições de existências dos logaritmos)

13. (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é:
    a) 0,0209
    b) 0,09
    c) 0,209
    d) 1,09
    e) 1,209

14. Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são:
    a) 9 e -4
    b) 9 e 4
    c) -4
    d) 9
    e) 5 e -4

15. Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo
     decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra
    ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no
    visor, apareça ERRO pela primeira vez é:
    a) 2
    b) 3
    c) 4
    d) 5
    e) 6

    Respostas:

        11. B                                 13. B
                          12. E
        14. D             15. D




Resolução:
14) Vamos usar a seguinte propriedade de logaritmo: log a/b = log a - log b

Podemos escrever assim: log101,23 = log 10123/100 = log 10123 - log 100 = 2,09 - 2 = 0,09


15) Já sabemos que o logaritmo decimal de um número positivo N é indicado por log N, que representa o logaritmo de N
na base 10.
Já sabemos que se log N > 0 então N > 1 e que se log N < 0 então 0 < N < 1.
Se necessário, revise logaritmos.
Seja Ai o número que aparece no visor da calculadora no i-ésimo toque na tecla LOG, ou seja, no toque de ordem i da
tecla LOG. Por exemplo, no primeiro toque, A1, no segundo toque, A2, no terceiro toque, A3 e assim sucessivamente.
Vamos considerar que o número introduzido na calculadora para o cálculo do log seja
A0 = 48 bilhões = 48 000 000 000 = 4,8.1010.

Teremos então:

A0 = 48 000 000 000 = 4,8.1010

A1 = log A0 = log (4,8.1010) = log 4,8 + log 1010 = 10 + log 4,8


Então:
A2 = log A1 = log 10 + log 4,8

Ora, como 10° < 4,8 < 10¹, podemos concluir que log 4,8 será uma número entre 0 e 1 e, portanto, da forma 0,m (um
número decimal entre 0 e 1).

Então, A1 = 10 + log 4,8 = 10 + 0,m = 10,m , que é um número entre 10 = 10¹ e 100 = 10².

Nestas condições, teremos: A2 = log A1 = log (10,m)
Como 101 < 10,m < 102 , podemos concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja,
log (10,m) será um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um número decimal entre 1 e 2), ou seja log A 2 = 1,n.

Portanto,
A3 = log A2 = log (1,n)

Como 1,n é um número decimal entre 1 = 100 e 10 = 101, podemos afirmar que
log (1,n) será um número decimal entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p .

Portanto, A3 = 0,p

A4 = log A3 = log (0,p)

Ora, como 0,p é um número decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p < 1, já sabemos que o resultado será um número
negativo pois o logaritmo decimal de N, para N entre 0 e 1 é negativo. Portanto, A 4 é menor do que zero, ou seja, um
número negativo.
Logo, A5 = log A4 e como A4 é negativo (menor do que zero) e já sabemos que não existe logaritmo decimal de número
negativo, a calculadora vai apresentar mensagem de ERRO. Portanto, na quinta vez - o que corresponde a A 5 - ao teclar
LOG vai dar ERRO no visor da calculadora, o que nos leva tranquilamente à alternativa D.

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4ª Lista de Exercícios – Logaritmos

  • 1. 4ª Lista de Exercícios – Logaritmos 1) Calcule: log 1 125 8 a) log 3 27 b) c) log 4 32 d) log 2 5 3 27 2) Calcule o valor de x: 1 log 1 32 = x a) log x 8 = 3 b) log x =2 c) log 2 x = 5 d) log 9 27 = x e) 16 2 3) Calcule: a) log 2 2 −3 b) log 7 7 c) 5 log5 7 d) 2 log 2 7 + log 2 3 e) 2 2+ 2 log 2 5  a.b 2  4) Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule log  c .    5) Sendo logx 2 = a , logx 3 = b calcule log x 3 12 . 6) Sendo loga 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule log a 100 . 7) Resolva as seguintes equações: a) log x −3 9 = 2 b) log 4 ( 2 x + 10 ) = 2 c) log 2 ( log 3 ( x − 1) ) = 2 ( ) d) log x +1 x + 7 = 2 2 e) log 2 3 + log 2 ( x − 1) = log 2 6 f) log 3 2 + log 3 ( x + 1) = 1 g) 2 log x = log 2 + log x ( ) h) log 2 x 2 + 2 x − 7 − log 2 ( x − 1) = 2 8) Determine a solução da equação: log 2 ( x − 2) + log 2 ( x − 3) = 1 + log 2 ( 2 x − 7 ) 9) Em Química, defini-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração de H3O+ . O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H3O+ é 4,8. 10 -8 mol/l. Qual será o pH desse líquido? 10) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções: altura: H(t) = 1 + (0,8).log2 (t + 1) diâmetro do tronco: D(t) = (0,1).2 t/7 com H(t) e D(t) em metros e t em anos. a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas. b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros. 11. (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é: a) o número ao qual se eleva a para se obter b. b) o número ao qual se eleva b para se obter a. c) a potência de base b e expoente a. d) a potência de base a e expoente b. e) a potência de base 10 e expoente a. 12. (PUC) Assinale a propriedade válida sempre:
  • 2. a) log (a . b) = log a . log b b) log (a + b) = log a + log b c) log m . a = m . log a d) log am = log m . a e) log am = m . log a (Supor válidas as condições de existências dos logaritmos) 13. (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é: a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209 14. Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são: a) 9 e -4 b) 9 e 4 c) -4 d) 9 e) 5 e -4 15. Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Respostas: 11. B 13. B 12. E 14. D 15. D Resolução: 14) Vamos usar a seguinte propriedade de logaritmo: log a/b = log a - log b Podemos escrever assim: log101,23 = log 10123/100 = log 10123 - log 100 = 2,09 - 2 = 0,09 15) Já sabemos que o logaritmo decimal de um número positivo N é indicado por log N, que representa o logaritmo de N na base 10. Já sabemos que se log N > 0 então N > 1 e que se log N < 0 então 0 < N < 1. Se necessário, revise logaritmos.
  • 3. Seja Ai o número que aparece no visor da calculadora no i-ésimo toque na tecla LOG, ou seja, no toque de ordem i da tecla LOG. Por exemplo, no primeiro toque, A1, no segundo toque, A2, no terceiro toque, A3 e assim sucessivamente. Vamos considerar que o número introduzido na calculadora para o cálculo do log seja A0 = 48 bilhões = 48 000 000 000 = 4,8.1010. Teremos então: A0 = 48 000 000 000 = 4,8.1010 A1 = log A0 = log (4,8.1010) = log 4,8 + log 1010 = 10 + log 4,8 Então: A2 = log A1 = log 10 + log 4,8 Ora, como 10° < 4,8 < 10¹, podemos concluir que log 4,8 será uma número entre 0 e 1 e, portanto, da forma 0,m (um número decimal entre 0 e 1). Então, A1 = 10 + log 4,8 = 10 + 0,m = 10,m , que é um número entre 10 = 10¹ e 100 = 10². Nestas condições, teremos: A2 = log A1 = log (10,m) Como 101 < 10,m < 102 , podemos concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja, log (10,m) será um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um número decimal entre 1 e 2), ou seja log A 2 = 1,n. Portanto, A3 = log A2 = log (1,n) Como 1,n é um número decimal entre 1 = 100 e 10 = 101, podemos afirmar que log (1,n) será um número decimal entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p . Portanto, A3 = 0,p A4 = log A3 = log (0,p) Ora, como 0,p é um número decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p < 1, já sabemos que o resultado será um número negativo pois o logaritmo decimal de N, para N entre 0 e 1 é negativo. Portanto, A 4 é menor do que zero, ou seja, um número negativo. Logo, A5 = log A4 e como A4 é negativo (menor do que zero) e já sabemos que não existe logaritmo decimal de número negativo, a calculadora vai apresentar mensagem de ERRO. Portanto, na quinta vez - o que corresponde a A 5 - ao teclar LOG vai dar ERRO no visor da calculadora, o que nos leva tranquilamente à alternativa D.