1. Modelagem de uma Praça de Pedágio usando Teoria das Filas Disciplina: Análise do Fluxo de Tráfego Professor: Paulo César Marques da Silva Aluno: Luiz Fernando Castilho

2. Teoria das Filas - Introdução É uma modelagem dos sistemas em que as entidades que chegam aleatoriamente e necessitam de períodos diversos de tempo para serem atendidas, possam esperar em fila até serem servidas. Os modelos desse tipo trabalham com padrões típicos de chegada e atendimento, e por meio de fórmulas analíticas, medem características intrínsecas às filas de espera, tais como: comprimento, tempo de espera entre outros.

4. Teoria das Filas - Definição A Teoria das Filas analisa o fenômeno de formação de filas e suas características, com a finalidade de prever o seu comportamento de modo a permitir o dimensionamento adequado de instalações, equipamentos e sua infra-estrutura.

10. 5. Capacidade de armazenamento do sistema Em alguns processos de filas existem restrições físicas na quantidade de espaço de espera. Referem-se a situações finitas de fila, nas quais existe um limite para seu comprimento máximo, que reflete a capacidade máxima de armazenamento de clientes pelo sistema. Teoria das Filas – Características

14. Teoria das Filas – Modelo Simplificações do Modelo: 3. O tráfego é uniforme nas saídas das cabines de pedágio; 4. Os condutores sobre atraso enquanto esperam nas faixas de aproximação das cabines de pedágio para atendimento; Será assumido que a saída das cabines de pedágio não contribuem para o atraso de forma que pudesse alterar o valor das variáveis consideradas no modelos Se há uma fila na cabine de pedágio escolhida pelo condutor, este deverá aguardar que os condutores à sua frente sejam atendidos até que chegue a sua vez (FIFO).

15. Teoria das Filas – Modelo Simplificações do Modelo: 5. Os condutores sofrem atraso na coleta do pedágio, e este atraso é distribuído exponencialmente; Todas as cabines são idênticas, e a média de tempo no atendimento das cabines é a mesma com o fluxo máximo de veículos com cabines entre 350 e 500 veículos por hora em cabines padrão (dinheiro ou automática). Assim como o fluxo de tráfego na rodovia, esta taxa pode ser considerada constante, seguindo também uma distribuição exponencial. As cabines de pedágio expressas, nas quais os condutores não precisam parar, não são relevantes para o modelo por não permitirem a formação de fila.

16. Teoria das Filas – Modelo Segundo nossas hipóteses, o atraso no tráfego em uma praça de pedágio é causado pela coleta realizada nas cabines de pedágio e pela corrente de tráfego que se funde na saída da praça de pedágio. Dessa forma, o problema será dividido em duas partes: o atraso nas cabines de pedágio e o atraso nos pontos de fusão na saída da praça de pedágio. Assim, numa cabine de pedágio, os condutores esperam pelo atendimento de coleta de pedágio enquanto que em pontos de fusão o condutor encara a possibilidade de ter que parar e aguardar uma chance para entrar na faixa fundida.

17. Teoria das Filas – Modelo Praça de Pedágio De acordo com nossas simplificações, as correntes de tráfego que adentram a praça de pedágio serão uniformemente distribuídas em todas as cabines de pedágio, e cada cabine de pedágio receberá uma corrente de tráfego na qual o tempo entre-chegadas segue uma distribuição exponencial. Além disso, o tempo de serviço nas cabines também segue uma distribuição exponencial.

18. Teoria das Filas – Modelo Praça de Pedágio Assim, poderemos analisar cada cabine de pedágio de forma independente, seguindo o modelo de fila M/M/1, onde: First in, First out FIFO Disciplina da Fila (Z) 1,2,...,œ Capacidade do Sistema (Y) 1,2,...,œ Número de Canais de Serviço (X) Distribuição Geral G Distribuição Exponencial M Padrão de Serviço (B) Distribuição Exponencial M Padrão de Chegada (A) Descrição Símbolo Característica

19. Teoria das Filas – Modelo Pontos de Fusão O atraso total causado por processos de fusão é de difícil análise. Primeiramente, consideraremos um processo de fusão simples onde veículos em duas faixas distintas se fundem em uma única faixa, chamado do Ponto de Fusão 2-em-1. Quando um condutor se aproxima de um ponto de fusão, o atraso dependerá da existência de outro veículo trafegando na outra faixa. De forma a simplificar o problema, trataremos as duas faixas como uma fila onde o motorista deverá parar sempre que houver outro veículo na fila. Definiremos então como tempo de serviço de um veículo como o tempo gasto para o mesmo sair da área de fusão de faixas de rolamento. Assim, a taxa de serviço será igual a μ b quando mais de um veículo está presente no sistema, e μ 0 quando o sistema possui apenas um veículo, onde μ 0 e μ b são constantes.

20. Teoria das Filas – Modelo Processo de Fusão Total Se existem T cabines de pedágio e que após a coleta de pedágio a corrente de tráfego é fundida em N faixas de rolamento, o número total de pontos de fusão será dado por T – N. Contudo, as taxas de chegada nas cabines de pedágio e nos pontos de fusão são diferentes. Se um ponto de fusão receber uma corrente de tráfego de k cabines de pedágio, com um fluxo de tráfego total de Φ, sua taxa de chegada será dado por: O valor de k depende diretamente do layout da saída da praça de pedágio. Por exemplo, em uma praça com fusão lateral com T cabines de pedágio, o primeiro ponto de fusão recebe a corrente de tráfego de duas cabines de pedágio, e o segundo ponto de fusão recebe a corrente de tráfego de três cabines de pedágio.

21. Teoria das Filas – Modelo Processo de Fusão Total O tempo médio total gasto corresponde ao somatório de todo o tempo médio gasto em cada ponto de fusão e a probabilidade de um condutor alcançar um determinado ponto de fusão é dado por k/T. A tabela abaixo mostra a taxa de chegada e a probabilidade em cada ponto de fusão. (T-N+1)/T ... 4/T 3/T 2/T Probabilidade (T-N+1) Φ /T ... 4 Φ /T 3 Φ /T 2 Φ /T Taxa de chegada (T-N) ... 3 2 1 Ponto de Fusão

24. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Cabine de Pedágio A partir das definições dadas anteriormente a taxa de chegada de cada cabine de pedágio é Φ/T. Considerando a taxa de chegada e a taxa de serviço de uma cabine de pedágio, o tempo médio de serviço de cada cabine de pedágio é dado por:

25. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão Um ponto de fusão é modelado como um Sistema Markoviano. O estado μ 0 representa a possibilidade de não ocorrer nenhum conflito no ponto de fusão. A taxa de chegada é dada por λ. Será calculado o tempo médio gasto t diff ( λ) após o cálculo do tempo médio de espera no sistema t sys (λ). Sabendo que P n é a probabilidade de haver n condutores no sistema.

26. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão Assim, chegaremos no sistema: Resolvendo a equação, obtemos:

27. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão Com as probabilidades calculadas, podemos calcular o número de condutores esperados no sistema De acordo com o Teorema de Little, o tempo médio de espera no sistema t sys ( λ) é igual ao número de motoristas esperados no sistema L(λ) dividido pela taxa de chegada λ.

28. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão O tempo médio gasto por um condutor em um ponto de fusão é a diferença entre o tempo médio de espera no sistema t sys ( λ) e o tempo gasto quando não há conflito em um ponto de fusão (1/μ 0 ). Assim: Assim, o tempo total gasto nos pontos de fusão é:

29. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Cabine de Pedágio + Ponto de Fusão Finalmente, o tempo médio gasto por um condutor em toda a praça de pedágio será dado pela some entre w a e w b .

30. Teoria das Filas – Modelo O valor mínimo referente ao tempo total médio é de 31,6 segundo, o que ocorre quando T=7, ou seja, 7 cabines de pedágio é o valor ótimo para esta configuração da praça de pedágio.

31. Teoria das Filas – Modelo Obrigado.