O documento discute conceitos de teoria de filas, incluindo: 1) o tempo médio de espera, definido como o tempo médio que o cliente espera na fila; 2) as variáveis que afetam o tempo de espera, como o número de pedidos na fila e o tempo de serviço; 3) a equação de Little, que relaciona o tamanho médio do sistema ao tempo médio de espera.

1. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
O resultado e o tempo de espera.Distribuição nos instantes de
saída.Fórmula de Little.Reversibilidade.Modelos M/M/C e
M/M/C/K.Exemplos de fluxos em filas.
Aluna: Magda Alves de Medeiros
Matrícula:201401231641
Professor: Márcio
Cabo Frio
2019

2. Introdução
A disciplina de Filas utiliza alguns parâmetros para avaliar o comportamento de
um sistema de filas, dentre eles podem ser destacados o tempo de espera médio;
probabilidade de formação de fila; Porcentagem de clientes rejeitados pelo sistema;
Probabilidade de um cliente esperar mais do que um certo tempo; Número médio de
clientes na fila;Probabilidade de que todos os servidores estejam ociosos.

3. Objetivo
O objetivo desse trabalho é apresentar de forma clara alguns conceitos e conteúdos
relacionados a disciplina Teoria de Filas, abaixo estarão relacionados os tópicos propostos
para esse estudo.
1. Tempo Médio de espera
Pode ser entendido como a média de tempo em que o cliente fica na fila aguardando
atendimento.
“Otimizar” o funcionamento das filas de espera, encontrando soluções
equilibradas entre dois extremos:
Congestionamento – os clientes têm que esperar demasiado tempo na fila → taxa de
ocupação dos servidores próxima dos 100%. Só aceitável quando o custo do servidor ´e
muito maior do que o custo de espera do cliente.
Rarefacção – os servidores permanecem inativos durante uma percentagem de tempo
elevada (situação por vezes desejável, p.ex. serviços de bombeiros).
Estabelecimento de trade-offs entre o custo do serviço e o “custo” do tempo perdido pelos
clientes na fila de espera → crescimento acentuado para tempos de espera elevados.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DA FILA:
N c : número de pedidos na fila quando nosso pedido chega (incluindo o que está sendo
atendido);
R : tempo residual (tempo para finalizar atendimento do pedido sendo atendido) ;
Xi : tempo necessário para atender o i-ésimo pedido da fila (i=1, 2, ..., N c - 1) ;
W : tempo de espera de um pedido (do instante de chegada até o instante de saída).
TEMPO DE ESPERA
É Tempo médio de espera pelo cliente na fila esperando para ser atendido, que vai desde
o instante da chegada até o instante da saída. Também pode ser entendido das seguintes
maneiras:
 É Tempo médio de espera pelo cliente na fila esperando para ser atendido;
 Tempo para atender cada um dos pedidos da fila;
 Tempo para atender o pedido que acabou de chegar.

4. VARIÁVEIS
 W: tempo de espera do pedido que chegou
 N c pedidos no sistema
 1 em atendimento + N c – 1 na fila
Quanto vale w ?
TEMPO MÉDIO DE ESPERA
 Aplicar valor esperado – E[.]
 Tempo médio de espera: E[W]
E[W] = E[R + X1 + X 2 + ... + XNc-1 + X]
E[W] = E[R] + E[X1 ]+ ... + E[XNc-1 ]+ E[X]
E[W] = E[R] + E[N c ]E[X]
2. Distribuição do tempo de serviço
Assim como no processo de chegada, também é necessário conhecer a distribuição
de probabilidade do tempo de serviço, sendo válidas as mesmas distribuições
apresentadas.
Os serviços podem também ser simples ou batch.
O estado pode ser independente: o processo de atendimento não depende do
número de clientes esperando pelo serviço. Em contrapartida, em um estado dependente,
o processo de atendimento muda de acordo com o número de clientes na fila. Por
exemplo, um servidor pode trabalhar mais rápido quando a fila aumenta ou, ao contrário,
ficar confuso e então mais lento.
Da mesma forma que no processo de chegada, o padrão de serviço pode variar de
acordo com o tempo. Por exemplo, a experiência adquirida com o serviço pode aumentar

5. a produtividade; o cansaço, por outro lado, pode diminuí-la. Caso não haja variação o
padrão é estacionário.
3- Equação de Little
Uma das fórmulas mais importantes em Teoria de Filas foi desenvolvida por John Little
no início dos anos 60 que relacionou o tamanho médio do sistema em estado de equilíbrio
com o tempo médio de espera dos clientes, também em estado de equilíbrio.
A fórmula permite calcular a quantidade de clientes (itens) em qualquer Sistema de Fila.
Resumidamente podemos entender da seguinte forma:
QUANTIDADE MÉDIA = TAXA DE CHEGADA X TEMPO MÉDIO DE RESPOSTA
A Equação poderá ser aplicada a um subsistema ou todo sistema de fila, conforme estará
relacionado abaixo:
 Na fila de espera: nq =  . w
 No servidor: ns =  . s =  / 
 No sistema inteiro: n =  . r

6. 4 – Reversibilidade
A reversibilidade do tempo pode ser entendida como sendo uma propriedade de
um processo matemático ou físico cuja dinâmica permanece bem definida quando a
sequência de estados de tempo é revertida.
Um processo determinístico é reversível no tempo se o processo com tempo
revertido satisfizer as mesmas equações dinâmicas do processo original. Em outras
palavras, as equações são invariantes ou simétricas sob uma mudança no sinal de tempo.
Um processo estocástico é reversível se as propriedades estatísticas do processo
forem iguais às propriedades estatísticas para os dados com tempo revertido a partir do
mesmo processo.
Em equilíbrio, transições de um estado para outro em tempo reverso ocorrem com
as mesmas taxas que para as mesmas transições em tempo direto.
Então, a sequência de chegada original é equivalente em todos os aspectos a
sequência de partida em tempo reverso, o que é a essência da equação:
5 – Modelo M/M/C e M/M/C/k
O modelo M/M/c é definido como o sistema que apresenta uma única fila de
clientes, e os tempos entre chegadas sucessivas seguem uma distribuição exponencial
com média 1/ 𝜆, onde 𝜆 é a taxa de chegada ao sistema, assim como os tempos de
atendimento que possuem média 1/𝜇, onde 𝜇 e a taxa de serviço dos servidores. Neste
modelo não existem limitações para o tamanho da fila diante do servidor, assim como
para o tamanho da população e sua disciplina de gerenciamento é do tipo FIFO. No
entanto, este modelo difere do modelo M/M/1 por apresentar número de servidores maior
que um (c>1). Se existem mais que c clientes no sistema, todos os c servidores devem
estar ocupados com uma taxa média de serviço 𝜇 e com a taxa média de saída do sistema
igual 𝑐𝜇. O M/M/c é aplicado em casos de população infinita.
5.1 Modelo Analítico
Um modelo analítico pode ser definido de maneira geral como sendo aquele no
qual os parâmetros de desempenho desejados para a análise do sistema estão definidos
mediante equações matemáticas que modelam a dinâmica do sistema. Logo o modelo
analítico M/M/c nada mais é, que relações matemáticas entre a taxa de chegada (𝜆) e taxa
de serviço (𝜇). Este sistema pode ser modelado como um processo de Nascimento e
Morte, ou seja seu estado futuro só depende do seu estado atual, de modo que 𝜆 permanece
constante e o parâmetro 𝜇 depende do número de clientes (n) e servidores (c).

7. Sendo a taxa de utilização do sistema dado por:
e então a probabilidade de n cliente no sistema é dada por:
Os principais resultados sobre o desempenho desse sistema podem ser obtidos por
meio das fórmulas apresentada na Tabela abaixo:
Principais fórmulas para avaliação do comportamento de Modelos M/M/c
6 - Exemplos de fluxos em Filas

8. Bibliografia
FERREIRA, Alisson de Amorim. SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE FILA M/M/c. 2017.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CURSO DE GRADUAÇÃO EM
ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO. Disponível em:
http://www.univasf.edu.br/~brauliro.leal/tcc/AlissonAFerreira/AlissonAFerreira.pdf. Acesso em: 15
abr. 2019.
PINHEIRO, Gil. Teoria de Filas e Sistemas de Comunicação. 2013. DETEL – Depto. de Engenharia
Eletrônica e Telecomunicações. Disponível em: http://www.lee.eng.uerj.br/~gil/filas/Filas.pdf.
Acesso em: 15 abr. 2019.
PROCESSOS Estocásticos para Engenharia. 2019. DECOM-FEEC-UNICAMP. Disponível em:
http://www.decom.fee.unicamp.br/~baldini/IE509/ParteIII.pdf. Acesso em: 15 abr. 2019.
SILVA, Figueiredo Souza. Teoria de Filas – Aula 15. [S. l.]: Figueiredo de souza e silv, 2007.
Disponível em: http://www.fisiocomp.ufjf.br/anapaula/TF/TF_aula_15.pdf. Acesso em: 10 abr.
2019.