Teoria das Filas:
* O que é fila
* Teoria das Filas
* Principais Características de uma Fila
* Notação e Terminologia
* Probabilidade e Estatística para Filas
* Exemplo de Aplicação
* Referências
2. Agenda
O que é fila
Teoria das Filas
Principais Características de uma Fila
Notação e Terminologia
Probabilidade e Estatística para Filas
Exemplo de Aplicação
Referências
3. O que é fila
Cliente
Atendimento
Servidor
Demanda > Capacidade
4. Teoria das Filas
Agner Erlang (1909)
Tráfego de Telefonia
Teoria das Probabilidades
Processos Estocásticos
Pesquisa Operacional
Ponto de Equilíbrio
6. Principais Características de uma Fila
Padrão de Chegada dos Clientes
Padrão de Serviço dos Servidores
Disciplina de Filas
Capacidade do Sistema
Número de Canais do Serviço
7. Padrão de Chegada dos Clientes
Tempos de Chegada (Poisson)
Tempos de Interchegada (Exponencial)
Simultaneidade?
Reação dos Clientes
14. Notação e Terminologia
Notação de Kendall
Criada pelo professor D. G. Kendall em 1953
FormatoA/B/c:K/m/Z
Algumas notações omitem o “m”
15. Notação e Terminologia
Notação de Kendall A/B/c : K/m/Z ou A/B/c : Z/m/K
A: distribuição dos intervalos entre chegadas
B: distribuição do tempo de serviço
c: o número de servidores ou quantidade de atendentes
K: a capacidade da fila de espera (alguns autores definem K como capacidade total de usuários no sistema)
m: tamanho da população que fornece clientes
Z a disciplina de atendimento.
16. Notação e Terminologia
Notação de Kendall Valores para A e B
M: Distribuição Exponencial (processo Poisson, M de Markov)
Ek: Distribuição de Erlang-k
D: Distribuição Determinística ou degenerada
U: Distribuição Uniforme
G: Distribuição Geral (não especificada)
17. Notação e Terminologia
Notação de Kendall
Caso K, m e Z sejam omitidos
Disciplina FIFO (First In First Out)
População Infinita
Capacidade Infinita
18. Outras notações e terminologias
Estado do Sistema: Número de clientes no sistema de fila
Comprimento de Fila: Número de clientes esperando um serviço ou estado do sistema menos o
número de clientes sendo servido
N(t): Número de clientes no sistema de fila no tempo t (t maior ou igual a 0)
Pn(t): Probabilidade de que exatamente n clientes estejam no sistema de fila no tempo t, dado o
número no tempo 0
S: Número de servidores (canais de serviços paralelos) no sistema de fila
19. Outras notações e terminologias
λn: Taxa média de chegada de novos clientes quando n clientes estão no sistema.
μn: Taxa média de serviço para todo o sistema quando n clientes estão no sistema.
Quando a taxa média de serviço por servo ocupado é constante para todo n >= 1, está constante
é representada por μ
ρ = λ/(sμ) é a taxa de utilização do sistema: fração de tempo esperada dos servos em que eles
estão ocupados
22. Exemplo 1:
Em uma barbearia de um único barbeiro, os clientes chegam, com uma duração média
de 20 minutos entre cada chegada. O barbeiro gasta em média 15 minutos com cada
cliente.
a) Qual a probabilidade de um cliente não ter que esperar para ser atendido?
b) Qual o número esperado de clientes no salão do barbeiro? Na fila?
c) Quanto tempo, em média, um cliente permanece no salão?
d) Quanto tempo, em média, um cliente espera na fila?
23. Exemplo 2:
Supondo-se que a chegada de um navio ao berço portuário siga a distribuição de Poisson, com uma
taxa de 6 navios por dia. A duração média de atendimento dos navios é de 3 horas, seguindo-se a
distribuição exponencial.
a) Qual a probabilidade de um navio chegar ao porto e não esperar para atracar?
b) Qual é a quantidade média de navios na fila do porto?
c) Qual é a quantidade média de navios no sistema portuário?
d) Qual é a quantidade média de navios utilizando o porto?
e) Qual é o tempo médio de um navio na fila?
f) Qual deve ser a taxa de chegada de um navio para que o tempo médio na fila seja de 3 horas?
g) Qual é a probabilidade do berço portuário estar um uso?
24. Exemplo 3:
Uma filial de grande empresa contábil recebe semanalmente em média 200 processos para
cálculo dos encargos trabalhistas, estes processos são verificados e calculados por 3
funcionários contábeis em uma média de 1 processo a cada 45 minutos para cada
funcionário. Esta empresa enfrenta um problema de acúmulo de trabalho, o que por fim
torna necessário o envio dos processos para cálculo na matriz.
a) Qual seria a probabilidade de não existir nenhum documento na fila?
b) Qual a média de processos na fila?
c) Qual o tempo médio de um processo na fila?
25. Referências
CARDELLINI, Valeria; Colajanni, Michele; Yu, Philip S. Dynamic Load Balancing on Web-Server
Systems. IEEE Internet Computing 3, 3, 28-39. Maio 2009.
COSTA, Luciano Cajado. Teoria das Filas. Universidade Federal do Maranhão. Setembro 2010.
FILHO, Virgílio José Martins Ferreira. Processos Estocásticos e Teoria de Filas. Universidade
Federal do Rio de Janeiro. 2009.
TEORIA DAS FILAS. Teoria das Filas. Disponível em <
http://www.youtube.com/watch?v=ybZe4spMFfk>. Acesso em 21/09/2014.
YNOGUTI, Carlos Alberto. Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos. Universidade
Federal do Paraná. Janeiro 2011.
Apresentação da agenda do trabalho resumindo rapidamente cada item abordado.
A fila basicamente é uma estrutura composta por clientes sendo atendidos por servidores. Cliente é um termo genérico, não necessariamente uma pessoa mas sim um termo abstrato. Servidor é aquela entidade que presta atendimento ao cliente, também não necessariamente sendo uma pessoa. Por fim, a formação da fila ocorre quando o tamanho da demanda é maior do que a da capacidade de atendimento.
O conceito de Teoria das Filas é então fundado em 1909 por Agner Erlang, um matemático dinamarquês, quando o mesmo observou que o comportamento do tráfego de telefonia, utilizando-se da Teoria das Probabilidades, fundamentada em Processos Estocásticos. Hoje, a TdF compõem a Pesquisa Operacional e, basicamente, resume-se a encontrar um ponto de equilíbrio a partir de duas restrições: inviabilidade econômica e a limitação de espaço. Ex: buffer de um roteador.
O sistema de filas é composto: pela chegada de clientes, pela fila de clientes formada, pelo atendimento que está sendo feito ao cliente, pelos servidores que estão atendendo aos clientes e pela saída dos clientes.
Decepcionado: nem ingressa na fila; Impaciente: abandona a fila ou muda de canal.
Distribuição Exponencial.
A Disciplina de Filas (ou de Atendimento, como também é conhecida).
Se não é informada a capacidade então assume-se que é infinita.