06 filas

2.665 visualizações

Publicada em

0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.665
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
6
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
58
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

06 filas

  1. 1. Capítulo 6Sistemas de Filas de EsperaUma fila de espera ocorre sempre que a demanda por um serviço excedenum dado instante a capacidade do sistema para prover o serviço. Um sistema de fila deespera é um conceito mais geral do que simplesmente pessoas aguardando em fila parareceberem atendimento em um estabelecimento de prestação de serviços. Podemos citaralguns exemplos de sistemas de filas de espera, como a seguir: atendimento de chamadastelefônicas de uma companhia, o sistema de atendimento ao consumidor (normalmentedesignado pela sigla SAC), processos esperando em fila pela execução numa rede decomputadores e aviões que chegam e solicitam permissão para aterragem num aeroporto,dentre outros.Em análises de sistemas de filas de espera normalmente desejamos obterinformações objetivas sobre a capacidade de serviço que deve ser disponibilizada aos usuáriose os custos operacionais envolvidos desde a espera até o atendimento. Se por um lado acapacidade de serviço for insuficiente, tempos de espera excessivos podem implicar em custosadicionais por perdas de consumidores e ociosidade da parte de quem espera, enquanto que,por outro lado, oferecer muita capacidade de serviço requer investimentos e pode levarociosidade ao sistema de atendimento. A teoria de filas de espera trabalha, portanto, comobjetivos conflitantes. Dado um modelo, a principal motivação para seu estudo está na buscade soluções que representem um ponto de equilíbrio entre os conflitos.Há um grande número de modelos matemáticos de filas de espera quepermite descrever diferentes situações observadas na prática. Existem modelos elementarespara descrever sistemas de filas com um único atendente em que o número máximo deconsumidores permitido no sistema é ilimitado, assim como também aqueles sistemas que sãotão complexos que se mostram mais adequados para serem resolvidos através de simulaçãocomputacional ao invés da utilização de modelos analíticos.Normalmente, quando estudamos sistemas de filas procuramos respostassob a forma de medidas objetivas que sejam capazes de orientar o projetista do sistema. Asgrandezas mais comuns são:
  2. 2. 202– o tempo médio que um usuário aguarda pelo atendimento;– o grau de ociosidade do sistema de atendimento;– o número médio de usuários no sistema;– o número médio de usuários na fila.Uma característica normalmente exibida pelos sistemas de filas maiscomplexos é a incerteza dos dados de entrada. Por exemplo, na maioria dos sistemas de filas,não é possível precisar exatamente em que instante um usuário irá acessar o sistema e nemtampouco quanto tempo vai durar o seu atendimento. Um sistema desse tipo é dito denatureza estocástica e o seu funcionamento é descrito como um processo estocástico.Com o objetivo de descrever os principais modelos analíticos de sistemas defilas de espera, vamos apresentar a seguir uma notação universalmente aceita: a notação deKendall-Lee. Também serão apresentados elementos básicos de sistemas de filas.6.1 Elementos Básicos de Sistemas de Filas e Notação de Kendall-LeeEm qualquer sistema de filas podemos identificar os seguintes elementos:– a fila propriamente dita, que é caracterizada essencialmente por aqueles indivíduos que nãosão atendidos assim que chegam e podem esperar pelo serviço;– o servidor que tem a função de prover o serviço ao usuário, que pode ou não seguir umasistemática de atendimento, identificando-se aí o atendente e o mecanismo de serviço;– a fonte de usuários do sistema de filas.A Figura 6.1 ilustra os elementos básicos de um sistema de filas de espera.Figura 6.1: Elementos básicos de um sistema de filas.Fonte deusuáriosFila Servidorconsumidores consumidoresservidos
  3. 3. 203A fonte de usuários do sistema de filas é composta pelos consumidorespotenciais do serviço oferecido pelo sistema. Uma característica da fonte de usuários é o seutamanho. Por exemplo, o escritório de uma seguradora de veículos oferece atendimento aosseus segurados numa cidade. O número de usuários que demandam pelos serviços oferecidospelo escritório é um subconjunto pequeno da população da cidade. Não devemos confundir otamanho da fonte de usuários com a capacidade do sistema de fila. A capacidade do sistemaestá associada ao máximo número de usuários que o sistema pode comportar num dadoperíodo de seu funcionamento. Numa modelagem simplificada, geralmente supomos que afonte e a capacidade do sistema são ilimitadas e a razão para isto é que as expressões resultammais simples e conduzem a cálculos mais fáceis. Todavia, podemos ter um modelo em que acapacidade do sistema é limitada e a fonte de usuários, mesmo não sendo infinita, mas por terum tamanho muito grande é suposta infinita. Neste último caso, as expressões serão maiscomplexas que na abordagem simplificada.O comportamento estatístico dos consumidores para acessarem o sistema defilas pode ser descrito por uma distribuição de probabilidades empírica que pode serrepresentada por um modelo analítico conhecido de probabilidade. O modelo de Poisson écomumente usado para descrever a forma como os consumidores são gerados pela fonte e,para definir completamente essa distribuição, é necessário ter apenas a taxa média dechegadas.Um aspecto importante associado à fila é a ordem com que os usuários sãoselecionados para o atendimento. Isto é referido como disciplina da fila. Por exemplo, ocritério adotado pode ser ‘primeiro a chegar, primeiro a ser atendido’, ou alguma outra ordem.O tempo transcorrido desde o começo do atendimento até a sua conclusãopara um consumidor que está recebendo o serviço é o tempo de serviço. Para descrever oatendimento, devemos especificar uma distribuição de probabilidade para os tempos deserviço. A distribuição mais comumente especificada para tempos de serviço é a distribuiçãoexponencial.Diante do exposto, percebemos que pode haver uma grande variedade decombinações de características de sistemas de filas, sendo que cada uma dessas combinaçõesimplicará num modelo diferente. Daí surge a notação atribuída a Kendall e a Lee. O uso destanotação tem a finalidade de descrever os sistemas de filas de espera de modo claro e objetivo.
  4. 4. 204A notação de Kendall-Lee consiste de rótulos dispostos em formaseqüencial como mostra o exemplo ilustrado na Figura 6.2, de modo que cada rótulo possuium significado.M / M / s : FIFO / C / KDistribuiçãodos temposentrechegadasDistribuiçãodos tempos deserviçoNúmero deservidoresDisciplinada filaNúmeromáximo deconsumidoresno sistemaTamanhoda fontedeusuáriosFigura 6.2: Um exemplo de notação de Kendall-Lee.O primeiro campo descreve o processo de chegada e o segundo campo omodelo estatístico do atendimento. As letras mais usadas são as seguintes: M , D , E e G .M no primeiro campo significa que o processo de chegada é do tipo Poisson e os temposentre chegadas têm distribuição exponencial. M no segundo campo quer dizer que oatendimento segue o modelo de Poisson e os tempos de atendimento obedecem a distribuiçãoexponencial. A letra M é uma alusão ao termo ‘markoviano’ implicando em distribuiçãoexponencial para tempos de serviço e tempos entre chegadas, de acordo com o que estádemonstrado na seção 5.4 que trata de processos de Markov de tempo contínuo. As demaisletras significam: D é determinístico, G é uma distribuição genérica e E é a distribuição deErlang. Quanto ao símbolo G , um sistema de filas, por exemplo, do tipo 1//GM , temdistribuição exponencial dos tempos entre chegadas, os tempos de atendimento possuemdistribuição genérica, o sistema possui um atendente, a disciplina da fila é FIFO (first-in-first-out), a capacidade do sistema é infinita e a fonte de usuários é ilimitada. Se o modelo de filastem distribuição genérica, as grandezas de desempenho do sistema ficam em função daesperança matemática, )(SE . Neste caso, os tempos de serviço são genericamentedistribuídos de acordo com uma variável aleatória genérica, S .A disciplina da fila, além de FIFO, pode ser LIFO, que significa ‘último achegar, primeiro a ser atendido’, ou PRI, se para o atendimento é observada algumaprioridade.Na próxima seção trataremos dos principais conceitos e parâmetros desistemas de filas. Posteriormente, obteremos expressões analíticas de cálculo de desempenhode sistemas de filas iniciando o estudo pelo modelo mais simples, que é o 1// MM .
  5. 5. 2056.2 Conceitos básicos e parâmetros de sistemas de filasConhecer a terminologia empregada nos estudos de sistemas de filas é oprimeiro passo no estudo dessa área da Pesquisa Operacional.Definiremos a seguir alguns termos básicos sobre filas de espera.Definição 6.1: (Cliente) Elemento que chega e requer atendimento. Os clientes podem serpessoas, máquinas, peças, torcedor que vai comprar ingressos, cartas que chegam e devem serentregues, carros estacionados, etc.Alguns sinônimos são usados para o termo cliente, tais como consumidor eusuário.Definição 6.2: (Canal de atendimento) Processo ou pessoa que realiza o atendimento docliente. É comum usar o termo atendente para referir ao canal de atendimento. Comoexemplos podemos citar a impressora que executa as requisições de impressões numa rede decomputadores, o vendedor de ingressos, o carteiro, o estacionamento, etc.Quanto à capacidade C do sistema e o número s de atendentes, os sistemasde filas podem ser classificados como está ilustrado no esquema da Figura 6.3.Figura 6.3: Um esquema com uma classificação de sistemas de filas.Os usuários ou clientes chegam ao sistema a uma razão, que é determinadapela quantidade de usuários dividida pelo intervalo de tempo de observação. Esta taxa éCapacidade dosistema, CModelos defilaInfinito FinitoÚnico ÚnicoMúltiplo MúltiploNúmero decanais deatendimento, s
  6. 6. 206designada como taxa de chegada e é representada pela letra λ (leia-se “lâmbda”) e écalculada conforme (6.1).tempodeintervalochegamqueusuáriosdenúmero=λ . (6.1)A freqüência ou a velocidade com a qual os usuários são atendidos ourecebem o serviço é denominada de taxa de atendimento. Esta taxa é representada pela letraµ (“mi”) e é calculada pela expressão (6.2).tempodeintervaloatendidosusuáriosdenúmero=µ . (6.2)Para tornar mais claras as definições dos parâmetros λ e µ , vamos resolvero seguinte exemplo.Exemplo 6.1: Clientes chegam a um posto de atendimento e é observado que num intervalo detempo de 5 minutos chegam 6 clientes. Qual é a taxa de chegada, λ ? Se no atendimento, emmédia, um usuário demanda 40 segundos, qual é a taxa de atendimento?Aplicamos a expressão (6.1) para calcular λ e obtemos:minutoclientes2,1minutos5clientes6==λ .Para determinarmos a taxa de atendimento, podemos usar o seguinteraciocínio: se em média um atendimento é completado em 40 segundos, quantos clientesserão atendidos num tempo igual a 1 minuto?x→→60140atendidosclientestempo16040 ×=× x →234060==x .
  7. 7. 207Portanto, a taxa de atendimento é minutoclientes23=µ .Os problemas de filas de espera consistem em ajustar adequadamente a taxade atendimento do processo com a taxa de chegada do trabalho a ser feito. Do ponto de vistado projetista, isto é feito através do correto dimensionamento do número de servidores dosistema de filas. Para entendermos melhor os parâmetros λ e µ , suponha as seguintessituações extremas para um sistema com um único atendente:1. Um sistema de fila e atendimento possui uma taxa de chegada λ maiorque a taxa de atendimento µ ;2. Um outro sistema raramente recebe clientes e quando um clienteaparece este é atendido imediatamente. Neste caso, a taxa de chegada émuito baixa e menor que a taxa de atendimento.As situações imaginadas merecem alguns comentários. A primeira situaçãonão pode em princípio ser resolvida da forma como está: sendo µλ > não há sistema deatendimento capaz de absorver esta demanda e a fila tende a crescer indefinidamente. Umasolução possível é instalar mais guichês de atendimento e dessa forma adequar a taxa deatendimento às condições da taxa de chegada (isto é, tornar µλ < ). Outra solução, emboraruim para o cliente, mas aparentemente mais econômica, é limitar o número de clientes quechegam ao sistema. Para o sistema que recebe poucos clientes e quando os recebe eles sãorapidamente atendidos, podemos supor que não haverá formação de fila. Este é, com certeza,um sistema mal dimensionado. Neste caso, naturalmente algo deve ser feito no sentido deadequar λ e µ .O parâmetro λ é um dado de entrada muito importante nas análises desistemas de filas e, por esta razão, devemos discutir de forma mais aprofundada o seusignificado. Primeiramente vamos supor a chegada de, por exemplo, 5 usuários num sistemade filas hipotético. Suponhamos também que foram anotados os instantes de chegada dosusuários, denotados por it , com 5,4,3,2,1=i , medidos a partir do instante zero. Essestempos são marcados no eixo dos tempos, como ilustra a Figura 6.4.
  8. 8. 208Figura 6.4: Instantes de chegada de usuários num sistema de filas marcados no eixo dostempos.Identificamos na Figura 6.4 os tempos entre chegadas consecutivas, demodo que para cada usuário é possível associar um único desses tempos. Neste exemplo,associamos os tempos entre chegadas aos usuários na seguinte ordem:1ºusuário: 011 −= tT2ºusuário: 122 ttT −=3ºusuário: 233 ttT −=4ºusuário: 344 ttT −=5ºusuário: 455 ttT −=Os tempos entre chegadas são representados pela letra T para evitarconfusão de notação, conforme ilustra a Figura 6.5.Figura 6.5: Tempos entre chegadas de usuários num sistema de filas marcados no eixo dostempos.Se aplicarmos aos dados deste exemplo a expressão (6.1), calculamos oparâmetro λ dividindo o número de usuários pelo intervalo de tempo,tempodeintervalochegamqueusuáriosdenúmero=λ543215TTTTT ++++=→ λ .1t 2t 3t 4t 5t01t 2t 3t 4t 5t01T 2T 3T 4T 5T
  9. 9. 209Ora, partindo da análise da última expressão é imediata a constatação de quea taxa de chegada λ é o inverso da média dos tempos entre chegadas.Podemos expressar formalmente esta conclusão através da expressão (6.3),onde TMC é o tempo médio entre chegadas (que é o mesmo que a média dos tempos entrechegadas).TMC1=λ . (6.3)Uma expressão análoga à expressão (6.3) relaciona a taxa de atendimento µe a média dos tempos de serviço, TMS .TMS1=µ . (6.4)Diante do exposto, a segunda parte do Exemplo 6.1 poderia ser resolvida deforma direta, ou seja, pela aplicação da expressão (6.4), assim,→= segundos40TMS401=µ ,que, ao ser convertida para atendimentos por minuto, assume o seguinte valor:minutoclientes234060==µ .É interessante notar quanto aos parâmetros λ e µ , que o parâmetro λ emgeral não permite qualquer controle por parte do projetista do sistema de filas, uma vez queeste valor é determinado pela fonte de usuários. Já o parâmetro µ , embora fortementedependente da natureza e volume do serviço demandado pelo usuário, pode ser de algummodo influenciado pelo projetista do sistema de filas, por exemplo, em função da sistemáticade atendimento e da habilidade do atendente para realizar o serviço.Depois de levantados os dados λ e µ de um determinado sistema de filasprecisamos obter grandezas que representem medidas objetivas da situação operacional da fila
  10. 10. 210em regime estacionário. Tais grandezas são designadas como medidas de efetividade dossistemas de filas.6.3 Medidas de efetividade dos sistemas de filasAs mais primitivas medidas de efetividade são as esperanças matemáticas davariável aleatória tempo que os usuários permanecem na fila e da variável aleatória tempo queos usuários permanecem no sistema.Designamos os símbolos T , Q e S para representar as variáveis aleatórias‘tempo no sistema’, ‘tempo na fila’ e ‘tempo de serviço’, respectivamente, para umconsumidor selecionado aleatoriamente. Os valores esperados dessas variáveis aleatórias são)(TE , )(QE e )(SE , respectivamente, para T , Q e S .O tempo de espera é o tempo gasto na fila antes de receber o serviço e, aotérmino do período de espera, o consumidor é imediatamente atendido, é natural que o tempode permanência no sistema (sistema é entendido aqui como fila em conjunto com servidor)seja calculado pela soma indicada na expressão (6.5).)()()( SEQETE += . (6.5)A esperança matemática do tempo de serviço, )(SE , é igual a µ1 , uma queesses tempos são exponencialmente distribuídos. Além disso, designamos )(QE por qW (quevem do termo inglês waiting time in the queue) e )(TE pela letra W . A expressão (6.5) podeentão ser reescrita como mostrada a seguir.µ1+= qWW . (6.6)É importante frisar que a expressão (6.6) é geral, ou seja, ela valeindependentemente do modelo de filas estudado e de suas características intrínsecas.A medida de efetividade que se refere ao número médio de usuários nosistema é designada como L (que vem do termo inglês length). Se n for o número deusuários no sistema e nP a probabilidade de que existam n usuários no sistema, dado que a
  11. 11. 211variável aleatória é discreta, a esperança matemática )(nE é trivialmente calculada pelaexpressão (6.7).==∞=0)(nnnPLnE . (6.7)O número médio de usuários na fila é designada por qL (do inglês, length ofthe queue) e é definida como a esperança matemática, )( qnE , obtida pela expressão (6.8).−==∞=snnqq PsnLnE )()( . (6.8)As medidas de efetividade, W , qW , L e qL , formam uma espécie de figurade mérito do desempenho de um sistema de filas, sendo que, a partir de seus valores, épossível emitir um parecer consubstanciado sobre a condição operacional do sistema. Porexemplo, a partir delas podemos ter um indicativo da necessidade ou não de ampliar o sistemade atendimento ou de cortar custos.Há relações matemáticas entre as medidas de efetividade de tempo e asmedidas de efetividade do número de usuários, que foram demonstradas por J. D.C. Little nadécada de 70 do século XX.6.3.1 Fórmula de LittlePara qualquer processo de filas em regime estacionário, a fórmula (6.9) éválida.WL λ= . (6.9)Esta expressão é conhecida por fórmula de Little.De maneira análoga, temos uma relação entre qL e qW .qq WL λ= . (6.10)
  12. 12. 212As expressões (6.6), (6.9) e (6.10) são extremamente importantes porquerelacionam as quatro quantidades fundamentais que são determinadas à medida que qualqueruma delas é encontrada. Além disso, essas relações são genéricas, ou seja, são válidas paratodo tipo de modelo de sistemas de fila.De posse dos conceitos básicos, das definições das medidas de efetividade edas relações fundamentais, estamos prontos para desenvolver e estudar modelos de filas deespera. Iniciaremos nosso estudo pelos modelos estocásticos de filas mais simples e depoispassaremos à análise de modelos mais complexos.Iniciaremos na próxima seção o estudo dos sistemas de filas em que aschegadas e os atendimentos ocorrem segundo o modelo estocástico de Poisson e os temposentre chegadas e os tempos de atendimento seguem a distribuição exponencial.6.4 Sistemas de filas com chegadas e atendimentos do tipo ‘markoviano’A fim de tornar didático o estudo que faremos a seguir, dividiremos estaseção nos seguintes tópicos:– sistemas de filas 1// MM , que têm apenas um atendente (ou seja, um servidor ou um canalde atendimento) e capacidade infinita;– sistemas de filas sMM // , que têm s atendentes e capacidade infinita;– sistemas de filas CMM /1// , que têm um atendente e capacidade finita C ;– sistemas de filas CsMM /// , que têm s atendentes e capacidade finita C .Os dois últimos tópicos são designados como sistemas multicanal. Em todosos tópicos que serão abordados a disciplina da fila (ou das filas) é FIFO e a fonte de usuáriospossui um número ilimitado de usuários potenciais. Em um sistema com capacidade finitaC ,se um usuário chegar e encontrar o sistema em sua capacidade máxima este usuário éautomaticamente descartado.6.4.1 Sistemas de filas 1// MMSeja )(tX o número de consumidores no sistema no instante t esuponhamos que µλ < . Dado que o tempo entre chegadas e o tempo de atendimento são
  13. 13. 213variáveis aleatórias com distribuição exponencial, o processo cujo estado é caracterizado por)(tX é um processo de Markov. Portanto, podemos desenvolver o estudo de sistemas de filas1// MM com base nos procedimentos apresentados na seção 5.4.1.Primeiramente procuraremos obter uma expressão para a probabilidade deencontrar n usuários no sistema, que designaremos por nP . Os desenvolvimentos que serãoapresentados a seguir também podem ser encontrados na referência (NELSON, 1995).Figura 6.6: Diagrama de transição de um sistema de filas do tipo 1// MM .Processo de Markov como o que está ilustrado no diagrama da Figura 6.5 éconhecido como processo de nascimento e morte.Partindo da lei de formação da matriz de transição P ,elemento da posiçãojiji≠),( = taxa ijq (arco orientado de i para j ),elemento da posição ),( jj = jq−1 ,e analisando o diagrama da Figura 6.6, identificamos os seguintes elementos diferentes dezero das posições de fora da diagonal:λ=01pµ=10p...λ=− nnp ,1µ=−1,nnpλ=+1,nnpµ=+ nnp ,1...Nas posições da diagonal principal, obtemos os seguintes elementos:λ=01q10µ=10qλ=− nnq ,11−nµ=−1,nnqλ=+1,nnqµ=+ nnq ,1n 1+n
  14. 14. 214λ−= 100p)(111 µλ +−=p...)(11,1 µλ +−=−− nnp)(1, µλ +−=nnp)(11,1 µλ +−=++ nnp...Finalmente, o sistema de equações para a obtenção das probabilidadesestacionárias fica da seguinte forma:vPv = ,Pvvvvvvvvvv nnnnnn ][][ 11101110 +−+− = ,sendo que as probabilidades limites, ,,,,,, 1110 +− nnn vvvvv , são as probabilidades dosestados, ,,,,,, 1110 +− nnn PPPPP ,PPPPPPPPPPP nnnnnn ][][ 11101110 +−+− = ,onde, a matriz de transição P com um número infinito de estados é:+−+−+−+−−+−=+−)(1000)(1000)(100000)(1000111101110µλµλµλµλµλµλµλλnnnPnnn.A equação do estado 0 é a seguinte:100 )1( PPP µλ +−= ,que nos permite escrever 01 PPµλ= .Para 1≥n , a −n ésima equação é dada por:
  15. 15. 21511 )](1[ +− ++−+= nnnn PPPP µµλλ .Partindo de 01 PPµλ= e da −n ésima equação para 1=n calculamos 2P :022 PP =µλ.Continuamos com este procedimento e obtemos a solução procurada, nP .0PPnn =µλpara ,2,1=n , (6.11)onde, nP é a probabilidade do estado n , ou seja, a probabilidade de encontrar exatamenten usuários no sistema.A expressão para cálculo de 0P é obtida usando o fato de que 10=∞=nnP :=∞=001nnPµλ. (6.12)Considerando a condição 1<µλestabelecida na seção 6.2, a série dodenominador de (6.12) converge paraµλ−11. Conseqüentemente obtemos uma expressãosucinta para a probabilidade do estado 0 .µλ−= 10P . (6.13)A probabilidade 0P é a probabilidade de encontrar o sistema ocioso.Portanto, da análise da expressão (6.13), concluímos que µλ é a probabilidade de encontrar osistema ocupado. A razão µλ é simbolizada pela letra grega ρ (leia-se “ro”).A expressão da probabilidade de n usuários no sistema, fica então da formaindicada pela expressão (6.14).)1( ρρ −= nnP para ,2,1=n . (6.14)
  16. 16. 216Dessa forma, concluímos a determinação da probabilidade de encontrar nusuários no sistema, conforme nos propusemos a fazer no início desta seção.Cabe ressaltar aqui o significado do parâmetro ρ . Este parâmetro admitealgumas interpretações de grande utilidade nas análises, a saber:– ρ é a proporção do tempo em que o sistema está ocupado ( 01 P−=ρ );– ρ é a intensidade de tráfego ou o fator de utilização do sistema.No contexto de aplicação de ρ como intensidade de tráfego, a unidadeusada é o erlangs, que é uma unidade usual em sistemas de filas em geral.Vamos resolver um exemplo com o objetivo de tornar mais claros osconceitos desenvolvidos.Exemplo 6.2: Um pronto socorro médico presta serviços de atendimento a acidentadosdurante as 24 horas do dia. Em média, num dia típico, 42 pacientes recorrem aleatoriamenteao atendimento deste pronto socorro. Um paciente requer em média 25 minutos para receberos primeiros socorros, serviço que é feito por uma única equipe de profissionais. Assuma queo modelo é de uma fila 1// MM e efetue os seguintes cálculos:(a) a taxa média de chegadas;(b) a taxa média de atendimentos;(c) a probabilidade de que, num intervalo de tempo de 1,5 horas, 2 pacientes cheguem aopronto socorro;(d) a probabilidade de que um paciente selecionado aleatoriamente encontre o pronto socorrodesocupado;(e) o percentual do tempo em que o pronto socorro está ocupado;(f) se há somente uma sala de espera no pronto socorro, qual é a probabilidade de quepacientes tenham de esperar no corredor pelo atendimento?As taxas λ e µ são determinadas aplicando-se os procedimentos da seção6.2.horapacientes75,12442==λ ,minutopacientes04,0251==µ horapacientes4,26004,0 =×=→ µ .
  17. 17. 217Como o modelo de chegadas de pacientes é uma distribuição de Poissoncom taxa média igual a λ , e o intervalo de tempo é conhecido, vamos aplicar a fórmulaαα −=∆ extxPx!),( , +∈ Zx ,para horas5,1=∆t , 625,25,175,1 =×=α . Fazendo 2=x , temos a seguinte probabilidade:625,22!2625,2)5,1,2( −= eP 2496,0)5,1,2( ≅→ P .Portanto, em um intervalo de tempo de uma hora e meia, há umaprobabilidade de 24,96% de que cheguem dois pacientes no pronto socorro.A probabilidade de um paciente encontrar o pronto socorro desocupado édada por 0P , que é a probabilidade do sistema vazio. Aplicamos então a fórmula (6.13).2708,04,275,111 00 ≅−=→−= PP µλ .O percentual do tempo em que o pronto socorro está ocupado é dado por ρ .7292,04,275,1≅=→= ρρ µλ .Isto significa que cerca de 73% do tempo (no caso, 24 horas, implica em 17horas e meia) o pronto socorro está ocupado.O parâmetro ρ é também a intensidade de tráfego, que é expressa como7292,0 erlangs.Finalmente, se há apenas uma sala de espera e a sala comporta um pacientee outro paciente está sob os cuidados da equipe, então se o número de pacientes no sistema forsuperior a dois teremos pacientes no corredor do pronto socorro. Portanto, precisamoscalcular a probabilidade de encontrar mais de dois pacientes no sistema.)(1 2102 PPPPn ++−=> .
  18. 18. 218Basta aplicar a fórmula (6.14), )1( ρρ −= nnP para 2,1=n .)1440,01975,02708,0(12 ++−=>nP 3877,02 =→ >nP .Partiremos agora para a determinação das medidas de efetividade do modelode filas 1// MM .Número esperado de usuários no sistema, L :Recorremos à expressão (6.7) que define L e também à expressão (6.14).−=→−=∞=∞= 00)1()1(nnnnnLnL ρρρρ .A somatória é identificada como uma conhecida série convergente uma vezque 1<ρ . Conseqüentemente, o número esperado de usuários no sistema, L , é dado pelaexpressão (6.15).ρρ−=1L . (6.15)Usamos a fórmula de Little (6.9) e obtemos a expressão para cálculo de W .Tempo médio de permanência do usuário no sistema, W :)1( ρλρ−=W . (6.16)Para calcular qW podemos usar a expressão (6.6) combinada com a fórmulapara cálculo de W .
  19. 19. 219Tempo médio de espera na fila, qW :)1(2ρλρ−=qW . (6.17)Número médio de usuários na fila, qL :Recorremos à expressão (6.8) para 1=s e também à expressão (6.14).−=−=∞=∞=∞=111)1(nnnnnnqPnPPnLρρρρρ−−=−−−=1),1(10PO número médio de usuários na fila é calculado pela expressão (6.18).ρρ−=12qL . (6.18)Vamos resolver um exemplo de aplicação das grandezas cujas expressõesforam obtidas.Exemplo 6.3: Um sistema de atendimento ao cliente de uma pequena empresa comercial éoperado por uma pessoa através de uma central telefônica. As demandas dos clientes aosistema seguem uma distribuição de Poisson, com uma taxa média de chegada de 10solicitações por hora. Os clientes são atendidos em base FIFO e os clientes que ligam eencontram o sistema ocupado esperam pelo atendimento. Isto faz com que às vezes existamchamadas em espera, ou seja, forma-se uma fila. O tempo gasto para atender a um cliente éestimado como exponencialmente distribuído, com um tempo médio de atendimento de 4minutos. Determine:(a) o número médio de usuários no sistema;
  20. 20. 220(b) o tamanho médio da fila;(c) o tempo esperado que um cliente deve aguardar na fila;(d) o tempo médio que um cliente deve ficar na loja.Primeiramente vamos calcular os parâmetros do sistema a partir dos dadosde entrada.A taxa de chegada é horaclientes10=λ . O tempo médio de atendimento éµ1, que foi dado como 4 minutos, portanto, a taxa de atendimento é minutoclientes41=µ . Ataxa λ está em horaclientes e a taxa µ está expressa em minutoclientes . É preciso deixar estastaxas em unidades coerentes. Vamos exprimir λ em minutoclientes , tal como µ .minutoclientesminutoclientes4161==µλPortanto, o valor de ρ , 32== µλρ .Concluída a fase preparatória dos dados, estamos prontos para aplicar asfórmulas e solucionar os itens pedidos.O número médio de usuários no sistema é calculado pela aplicação de(6.15).2321321=−=→−= LLρρclientes.O tamanho médio da fila é dado pela expressão (6.18).33,1341)(1 322322≅→=−=→−= qqq LLLρρclientes.O tempo esperado que um cliente deve aguardar na fila é:88)1()()1( 32612322=→=−=→−= qqq WWWρλρminutos.O tempo médio que um cliente deve permanecer na loja é o tempo médio dosistema. Vamos aplicar a expressão (6.16).1212)1()1( 326132=→=−=→−= WWWρλρminutos.
  21. 21. 2216.4.2 Sistemas de filas sMM //O objetivo é obter uma expressão para a probabilidade de encontrarexatamente n usuários no sistema, nP . Para tal usaremos a modelagem do sistema de filasmulticanal como um processo de Markov de nascimento e morte, cujo diagrama de transiçãoestá ilustrado na Figura 6.7.Figura 6.7: Diagrama de transição de um sistema de filas do tipo sMM // .Com a suposição de que a taxa média de atendimento de cada servidor é µ ,a taxa média global de atendimento de n servidores é µn . Quando todos os servidoresestiverem ocupados, ou seja, sn ≥ , a taxa média global de atendimento é µs .Um procedimento mais simples do que o utilizado no desenvolvimentoapresentado na seção 6.4.1 para obter nP consiste em escrever equações de Kolmogorov paraos −j ésimos estados (vide equação (5.23) do Capítulo 5) do diagrama da Figura 6.7. Parafacilitar o emprego desse método, basta escrever as equações de balanço para o processo denascimento e morte, como é indicado a seguir:Estado Taxa de saída = Taxa de entrada0 10 PP µλ =1 201 2)( PPP µλµλ +=+2 312 3)2( PPP µλµλ +=+... ...1−s sss PsPPs µλµλ +=−+ −− 21])1([s 11)( +− +=+ sss PsPPs µλµλsn ≥ 11)( +− +=+ nnn PsPPs µλµλ .λ=01q10µ=10qλ=− ssq ,11−sµsq ss =−1,λ=+1,ssqµsq ss =+ ,1s 1+sλ=−− 1,2 ssqµ)1(2,1 −=−− sq ss
  22. 22. 222A partir das equações escritas anteriormente, para sn ≤ , temos que:( )0!PnPnnµλ= , para sn ,,2,1= . (6.19)A partir das equações escritas anteriormente, para sn ≥ , temos que:( )0!PssPsnsn −=µλ, para sn ≥ . (6.20)Usamos o fato de que 10=∞=nnP e as relações (6.19) e (6.20) para obter aprobabilidade de encontrar o sistema vazio, 0P .( ) ( ))1(!!1100ρµλµλ−+=−= snPssnn,(6.21)onde, µλρ s= , que é menor que a unidade.Precisamos obter uma medida de efetividade e todas as outras medidas serãoencontradas. Optamos por aplicar a expressão (6.8) que define qL .( )02)1(!PsLsqρρµλ−= . (6.22)O número médio de usuários no sistema é calculado pela expressão (6.23).( )µλρρµλ+−= 02)1(!PsLs. (6.23)O tempo médio de permanência do usuário no sistema é calculado pelaexpressão (6.24).
  23. 23. 223( )µρµµλ1)1(!02+−= PssWs, (6.24)O tempo médio de permanência do usuário no sistema é calculado pelaexpressão (6.25).( )02)1(!PssWsqρµµλ−= , (6.25)Se um usuário ao chegar ao sistema encontrar pelo menos s usuáriosconcluirá que o sistema está ocupado. A probabilidade de encontrar o sistema ocupado é asomatória das probabilidades para encontrar pelo menos s usuários no sistema,( )==∞=−∞=≥snsnssnnsn PssPP 0!µλ,que resulta na expressão (6.26).( )0)1(!PsPssnρµλ−=≥ . (6.26)Em outras palavras, a probabilidade snP ≥ é a probabilidade de que umachegada ao sistema tenha de esperar.Iremos resolver a seguir um exemplo para consolidar os conceitosdesenvolvidos nesta seção.Exemplo 6.4: Um centro de distribuição de mercadorias distribui seus produtos porintermédio de caminhões que são carregados em dois postos de carregamento. Os caminhõessão carregados à medida que chegam e às vezes têm de esperar pelo atendimento. Apósobservações foram colhidos os seguintes dados: taxa média de chegada de 2 veículos porhora; cada caminhão gasta em média 20 minutos para ser carregado.(a) Qual é a probabilidade de que um caminhão ao chegar ao centro de distribuição tenha queesperar para ser atendido?(b) Qual é o número médio de caminhões na fila?
  24. 24. 224(c) Qual é o número esperado de caminhões no sistema?A taxa de atendimento por servidor, µ , é obtida do tempo médio deatendimento. Portanto, horacaminhões3=µ . A taxa de chegada é horaveículos2=λ e doenunciado concluímos que .2=sAplicamos a expressão (6.21) para calcular 0P :( ) ( ))1(!!1100ρµλµλ−+=−= snPssnn( ) ( )( )31232103201!2!1−+=→=nnnP ,( ) ( ) ( )( ) 6232111!2!1!010312321320320++=→−++= PP ,5,00 =P .A probabilidade 0P é a probabilidade do sistema vazio. É importanteressaltar que 0P é o valor chave nos cálculos de sistemas sMM // , uma vez que as medidasde efetividade têm suas expressões dependentes deste valor.A probabilidade de que um caminhão ao chegar ao centro de distribuiçãotenha que esperar para ser atendido é 2≥nP .( )→×−=≥ 5,0)311(!22322nP 1667,02 ≅≥nP .O número esperado de caminhões na fila é qL . Aplicamos a expressão(6.22).( ) →−= 02)1(!PsLsqρρµλ ( )clientes083,05,0)311(!2 231232≅×−=qL .O número esperado de caminhões no sistema é L . Aplicamos a expressão(6.23).
  25. 25. 225( ) →+−=µλρρµλ02)1(!PsLsclientes75,032121=+=L .À primeira vista o leitor pode estranhar os valores decimais obtidos para asgrandezas qL e L , uma vez que as medidas possuem a conotação de grandezas inteiras.Entretanto, os valores decimais podem ser explicados por se tratar de esperanças matemáticasque resultam de produtos de probabilidades por números inteiros.A teoria das filas de espera propicia uma ferramenta valiosa para orientar oprojetista no planejamento de sistemas de atendimento a usuários em geral. Odimensionamento de um Call Center, por exemplo, requer conhecimentos de sistemas defilas. O Exemplo 6.5 é extraído da referência (SHAMBLIN, 1989) e mostra como as fórmulaspodem ser usadas com esta finalidade.Exemplo 6.5: Uma companhia telefônica está planejando instalar cabinas telefônicas em umnovo aeroporto. Ela traçou a norma de que uma pessoa não deve esperar mais que 10% dasvezes que ela tentar usar o telefone nesse sistema. A demanda de uso é estimada como sendouma distribuição de Poisson com uma média de 30 usuários por hora. A chamada telefônicatem uma distribuição exponencial com um tempo médio de 5 minutos. Coloca-se então aquestão: quantas cabinas telefônicas devem ser instaladas?Os valores de λ e µ são respectivamente horausuários30 ehorausuários12 . Como µλ s< , e não sabemos qual é o valor de s , o número de cabinas nãopode ser menor que 3 ( 12330 ×< ). Vamos resolver a questão por tentativa: calculamos 0Ppara 3=s e a correspondente probabilidade 3≥nP ; depois calculamos para 4=s , e assim pordiante até alcançarmos a norma especificada pela companhia. Os resultados dos cálculos estãomostrados na Tabela 6.1.Tabela 6.1: Valores de 0P e snP ≥ para diversos valores supostos de s .Número de servidores,sProbabilidade do sistemaocioso, 0PProbabilidade do sistemaocupado, snP ≥3 0,0449 0,702 → 70,2%4 0,0737 0,320 → 32%5 0,0801 0,130 → 13%6 0,0816 0,047 → 4,7%
  26. 26. 226Da análise da Tabela 6.1, notamos que com 5 (cinco) cabinas, aprobabilidade de um encontrar o sistema ocupado é superior ao índice especificado. Ainstalação de seis (6) cabinas telefônicas daria ao usuário uma probabilidade de 4,7% deespera. Como este número é inferior a 10%, o menor número de cabinas que atenderá àsexigências da companhia é, portanto, 6.A referência (HILLIER e LIEBERMAN, 1995) mostra traçados de famíliade curvas de probabilidade 0P e da grandeza L em função do fator de utilização ρ ,parametrizadas por s . Essas curvas são úteis na solução de problemas do tipo abordado noExemplo 6.5.Na próxima seção trataremos de sistemas de filas do tipo ‘markoviano’ comum único atendente e capacidade do sistema finita, dada pela quantidade especificada C .6.4.3 Sistemas de filas CMM /1//Neste modelo, se um usuário chega e o sistema já possui C usuários estenão é atendido e é imediatamente descartado. Isto significa que o número de consumidores nosistema não pode exceder o número especificado C . Em relação ao modelo estudado na seção6.4.1, a principal modificação é que a taxa média de chegada de usuário será λ para todos osestados 1−≤ Cn e será zero para Cn ≥ .O diagrama de transição é parecido com aquele mostrado na Figura 6.6,exceto pelo fato que o processo pára no estado Cn = . A Figura 6.8 ilustra o diagrama domodelo CMM /1// .Figura 6.8: Diagrama de transição de um sistema de filas do tipo CMM /1// .A exemplo do desenvolvimento apresentado para sistemas 1// MM , para osistema CMM /1// temos a probabilidade de encontrar n usuários no sistema dada pelafórmula (6.27).λ10µ1−CµCλµλ
  27. 27. 2270PPnn =µλ, para Cn ,,1,0= . (6.27)Supondo 1<= µλρ , o cálculo de 0P passa pela avaliação da somatória100 ==CnnPρ , que é uma progressão geométrica de 1+C termos.1011+−−=CPρρ. (6.28)As relações (6.27) e (6.28) implicam na expressão (6.29),nCnP ρρρ111+−−= , para Cn ,,1,0= . (6.29)As medidas de efetividade qWWL ,, e qL são então obtidas, calculando-seprimeiramente a grandeza L , conforme é mostrada em (6.30).111)1(1 ++−+−−=CCCLρρρρ. (6.30)A referência (HILLIER e LIEBERMAN, 1995) traz em detalhes estademonstração.As demais medidas de efetividade são obtidas utilizando-se as seguintesrelações:ρ−= LLq ,λLW = ,λqqLW = ,onde,
  28. 28. 228)1(10−=→=−=CnCn PP λλλλ . (6.31)A probabilidade CP é a probabilidade de um usuário encontrar o sistema emsua capacidade máxima.11)1(+−−=CCCPρρρ, para 1<ρ . (6.32)A obtenção de W e qW a partir de L e qL , respectivamente, requer para omodelo CMM /1// o emprego do parâmetro λ , que é a esperança matemática da taxa dechegada. Esta exigência é inerente aos processos de filas cujos sistemas têm capacidadeslimitadas. A explicação para isto é a seguinte. Para o −n ésimo estado, a taxa de chegada é arigor nλ , sendo a probabilidade correspondente dada por nP . A razão disso é que a taxa nλé também uma variável aleatória do processo de nascimento e morte. Em nossas análises, parafins de simplificação das expressões, adotamos a suposição de que as taxas independem dosestados ,2,1,0=n e são iguais a λ . Contudo, a taxa média de chegada a longo prazo deveser calculada como o valor esperado, ou seja, =∞=0nnnPλλ , sendo nP a proporção do tempoem que o processo está no estado n . Ora, para sistemas com capacidade ilimitada temosλλλ ==∞=0nnP , porém, para sistemas limitados, em geral, λλ ≠ , como é o caso mostradona expressão (6.31).Resolveremos um exemplo com a finalidade de esclarecer a aplicação domodelo estudado nesta seção.Exemplo 6.6: Um laboratório de radiologia possui apenas um equipamento e atende pacientesnuma base FIFO. Por razões de limitação de espaço físico, o laboratório comporta ummáximo de 4 pacientes. Os pacientes chegam ao laboratório de acordo com um processo dePoisson, a uma taxa média de 1 paciente por hora. O tempo necessário para atender umpaciente é exponencialmente distribuído com um tempo médio de 45 minutos. Determine:(a) o número médio de pacientes presentes no laboratório;
  29. 29. 229(b) a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso encontrar o laboratório ocupado;(c) o tempo médio que um paciente deve esperar para ser atendido.As taxas de chegada e atendimento são horapaciente1=λ ehorapacientes34=µ , respectivamente. A intensidade de tráfego oferecida no sistema é43== µλρ erlangs.Dado que 4=C e foi pedido o número médio de pacientes no laboratório,L , aplicamos a fórmula (6.30).111)1(1 ++−+−−=CCCLρρρρ,5575,0175,0575,0175,0−×−−=L ,444,1≅L pacientes.A probabilidade de encontrar o laboratório ocupado é a probabilidade deencontrar 4 pacientes no sistema.11)1(+−−=CCCPρρρ,54475,0175,0)75,01(−−=P ,1037,04 ≅P .O tempo médio que um paciente deve esperar para ser atendido é qW , querequer o cálculo de λ .)1( CP−= λλ ,)1037,01(1 −=λ → 8963,0=λ horapacientes.ρ−= LLq ,694,075,0444,1 ≅→−= qq LL pacientes.8963,0694,0=qW , hora7743,08963,0694,0 ≅=qW 46≅→ qW minutos.
  30. 30. 230Portanto, o tempo médio de espera de pacientes no laboratório éaproximadamente de 46 minutos.Trataremos a seguir dos sistemas de filas do tipo ‘markoviano’ commúltiplos servidores de atendimento e capacidade finita do sistema.6.4.4 Sistemas de filas CsMM ///A dedução da fórmula para cálculo da probabilidade de encontrar n usuáriosno sistema para o modelo CsMM /// fica trivial em vista dos desenvolvimentos feitosanteriormente. A suposição mais forte é que o número de servidores (ou atendentes) é nomáximo igual à capacidade do sistema, ou seja, Cs ≤ .Para um número n de usuários menores ou iguais ao número de servidoress , a probabilidade nP é a mesma calculada pela expressão (6.19). Por outro lado, paraCns ≤≤ , a probabilidade nP é a mesma calculada pela expressão (6.20). Para Cn > ,0=nP , uma vez que a taxa de chegada é nula já que não é mais admitido nenhum usuário nosistema.( )( )>+===−.para,0,,,1,para,!,,,2,1para,!00CnCssnPsssnPnPsnnnn µλµλ(6.33)A expressão para o cálculo da probabilidade do sistema ocioso é dada por:( ) ( )+== +=−snCsnsnssnsnP0 10!!1µλµλµλ(6.34)Já que para sn ≤ não há fila, a fórmula para cálculo do número médio deusuários na fila é obtida efetuando o desenvolvimento da seguinte expressão:
  31. 31. 231( )0!)( PsssnLqsnnCsn−=−=µλ,para jsn =− ,( )00 !PssjLqjjssCj+−==µλ,jssCjsjsPLq =−=µλµλ00!,jsCjsjsPLq ρµλ=−=00!,100!−−== jsCjsjsPLq ρρµλ ,mas, 1−= jjjddρρρ, =−=sCjjsddsPLq00! ρρρµλ ,=−=sCjjsddsPLq00!ρρρµλ ,−−=++ρρρρµλ11!10sCsddsPLq .A última expressão é válida para 1<ρ . O desenvolvimento então éconcluído processando a derivada que compõe a expressão. Conseqüentemente, a expressãopara cálculo de Lq para o modelo de filas CsMM /// é dada por (6.35).( ) [ ] 02)1()(1)1(!PsCsL sCsCsq ρρρρρµλ−−−−−= −−, (6.35)onde, µλρ s= .De posse do valor qL , o número médio de usuários no sistema pode sercalculado pela expressão (6.36).)1(1010−++=−=−=snnsnnqq PsnPLL , (6.36)onde,( )0!PnPnnµλ= .
  32. 32. 232As demais medidas de efetividade são obtidas pela aplicação das seguintesexpressões:λLW = ,λqqLW = .A importância da teoria de filas em áreas aplicadas é inquestionável. Comoexemplo, citamos o seguinte fato. Numa lista telefônica da companhia Pacific Bell, queatende a região da Califórnia nos EUA, podemos ler a seguinte frase: “30 second responsetime to 90% of customer service phone calls”. Isto quer dizer que, em 90% das chamadasfeitas pelos clientes que usam o sistema da companhia, o tempo de resposta esperado é de 30segundos. Esta informação só é possível porque algum método que usa teoria de filas foiaplicado no planejamento do sistema telefônico.Na área de telefonia, o modelo de filas mais usado é o modelo de Erlang(vide seção 4.7.4). Em sistemas de comunicações, a intensidade de tráfego é uma variávelaleatória que varia com o tempo, podendo experimentar períodos de ociosidade e decongestionamento. O projeto de um dado sistema telefônico deve garantir que a probabilidadede haver congestionamento seja menor ou no máximo igual a um certo valor consideradorazoável. Esta probabilidade é designada como probabilidade de bloqueio, designada pelosímbolo bP . Dentre os modelos estocásticos de tráfego, o modelo conhecido como Erlang-B éo indicado para medir a taxa de bloqueio de requisições quando o tráfego é aleatório e nãoexiste fila de espera. Este é o caso em que a requisição de chamada ao encontrar o sistemaocupado abandona o sistema, portanto, não formando fila.No modelo de Erlang, as chamadas chegam a um enlace conforme umprocesso de Poisson de taxa conhecida, λ , que é uma medida do número médio de chamadaspor unidade de tempo. Os tempos de serviços seguem a distribuição exponencial, com taxaµ . O tráfego é caracterizado pela relação µλ , que designaremos por ρ . O enlace écomposto por circuitos (troncos ou linhas), e uma chamada é bloqueada e perdida se todos oscircuitos estiverem ocupados. Em caso contrário, a chamada é aceita e utiliza um circuitodurante o seu tempo de retenção. Estudos realizados sobre a distribuição estatística de Poissonpara cálculo da probabilidade de bloqueio podem ser sintetizados na fórmula B de Erlang, oufórmula de perda de Erlang, que é dada pela expressão (6.37).
  33. 33. 233==NkkNb kNP0!!ρρ.(6.37)Cabe notar que o modelo de Erlang é apenas parte de uma área de estudoconhecida como teoria de filas, que é capaz de tratar problemas complexos de tráfego emredes que são compartilhadas pelos mais diversos tipos de informação, tais com voz, dados emultimídia. No caso do tráfego de chamadas telefônicas, o modelo de Erlang-B se aplica semrestrições.A avaliação numérica da probabilidade bP através da aplicação direta dafórmula (6.37) oferece dificuldades uma vez que o número N de linhas pode assumir valoresmuito altos. O problema advém tanto do cálculo do fatorial quanto do cálculo das potênciasde ρ à medida que N cresce. A referência (QIAO, 1998) propõe um método eficiente deavaliação da expressão (6.37), e também apresenta um procedimento para obter N ao seremdados os valores bP e ρ .Existem outros modelos de filas que possuem expressões analíticas paracálculo das medidas de efetividade, mas que não serão tratados neste livro. As referências(HILLIER e LIEBERMAN, 1995) e (NELSON, 1995) são excelentes fontes bibliográficas depesquisa e estudo de sistemas de filas. Para o leitor interessado em ampliar seusconhecimentos sobre a teoria de filas, aconselhamos as referências mencionadasanteriormente.6.5 Exercícios propostos1. O modelo de chegadas de carros seguindo por uma via estreita e única a um banco caixa-rápido segue um processo de Poisson, com taxa média de um carro por minuto. Os tempos deutilização são exponencialmente distribuídos, com uma média de 45 segundos. Considerandoque um carro esperará o quanto for necessário, determine (a) o número esperado de carrosaguardando por utilização do caixa-rápido; (b) o tempo médio que um carro espera pelautilização do serviço; (c) o tempo médio que um carro gasta no sistema e; (d) a probabilidadede que existam carros esperando na rua, se o estabelecimento do banco pode somentecomportar um máximo de 5 automóveis.
  34. 34. 2342. Veículos chegam a um semáforo com duas opções de movimento, seguir em frente ou virarà direita. Imaginar que os veículos formam fila única ao chegarem no cruzamento. Aschegadas obedecem a um processo de Poisson, com taxa média de 9 veículos a cada 2minutos. Os tempos de utilização são exponencialmente distribuídos, com uma média de 25segundos (utilização é quando um veículo recebe permissão de passagem). Supondo taxasiguais para as demandas e para as duas opções de movimento e considerando que um carroesperará o quanto for necessário, determine: (a) a probabilidade de encontrar o sistemaocioso; (b) o número esperado de carros aguardando pela sua vez de passagem; (c) o tempomédio que um carro espera pela passagem; (d) o tempo médio que um carro permanece nosistema; e (e) a probabilidade de que um carro tenha que parar neste cruzamento.3. Uma companhia telefônica instalou 3 cabinas telefônicas em um aeroporto. A demanda deuso dos aparelhos é estimada como sendo uma distribuição de Poisson de modo que em médiaa cada 2,4 minutos chega um novo usuário. Os tempos gastos nas chamadas telefônicas têmuma distribuição exponencial de modo que, em média, a cada 2 horas 18 usuários concluemsuas ligações. Pergunta-se:(a) Qual é o fator de utilização das cabinas?(b) Qual é a probabilidade de encontrar as cabinas vazias, ou seja, o sistema desocupado?(c) Qual é o número médio de usuários no sistema?(d) Qual é a probabilidade de que um usuário ao chegar para utilizar o serviço telefônicotenha que esperar pelo atendimento?4. Os aviões requisitam permissão para aterrissar em um aeroporto de pista única a uma médiade um a cada 4 minutos; a distribuição das requisições se aproxima da distribuição dePoisson. Os aviões recebem permissão em uma base de primeiro a chegar, primeiro a seratendido, sendo que aqueles que não têm condições de pouso imediato devido acongestionamento de tráfego aéreo são colocados em espera, mas por restrições do espaçoaéreo da cidade, apenas 3 aviões podem permanecer em espera. O tempo requerido parapousar um avião varia com a experiência do piloto e é exponencialmente distribuído commédia de 3 minutos. Determine: (a) o número médio de aviões em espera; (b) o tempo médioque um avião aguarda até conseguir a permissão de pouso; (c) a probabilidade de que existammais que dois aviões em espera.
  35. 35. 2355. Resolva o exercício anterior supondo que há duas pistas no aeroporto, ou seja,4/2// MM .6. Em relação ao modelo de fila estudado na seção 6.4.4, complete a dedução da expressão decálculo de qL , que deve resultar em (6.35).7. Faça uma comparação entre os sistemas de filas 1// MM e CMM /1// , e verifique que asfórmulas de cálculo das medidas de efetividade do primeiro modelo podem ser obtidas a partirdas fórmulas correspondentes do modelo com capacidade finita ao considerar o limite para∞→C .8. Utilize como fonte bibliográfica inicial o artigo (QIAO, 1998) e procure compreender aproposta dos autores para avaliar a expressão (6.37) contornando as dificuldades numéricascomputacionais verificadas quando o cálculo dessa expressão é efetuado de forma direta.

×