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Pesquisa Operacional
Seção 6: Teoria de filas
Maria SuelenaSantiago
Curso: Engenharia
Objetivos:
Apresentar conceitos e utilidades do
estudo de filas.
Analisar principais tipos de filas e
caracteristicas de desempenho
Cálculos: apresentação de fórmulas
Apresentação
• Esta seção baseia-se no
capítulo 7 de:
• Andrade, Eduardo Leopoldino de.
Introdução à Pesquisa
Operacional, 3a. ed. Rio de Janeiro:
LTC Editora, 2004
•
PROBLEMAS DE
CONGESTIONAMENTO:
Teoria das Filas
, Eduardo L. de. CAPÍTULO 6 de:
ANDRADE, Eduardo L. de. INTRODUÇÃO À PESQUISA
OPECAPÍTULO 6 de:
ANDRADE, Eduardo L. de. INTRODUÇÃO À PESQUISA
OPERACIONAL, 3a. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004.
CARACTERÍSTICA PRINCIPAL:
presença de “clientes” solicitando “serviços” em um posto de
serviço e que, eventualmente, devem esperar até que o posto esteja
disponível.
POSTO DE ATENDIMENTO AO PÚBLICO:
formulação de uma política determinando-se o número de atendentes
e a especialização de cada um.
SETOR DE MANUTENÇÃO:
dimensionamento da equipe onde haja custos elevados
associados a equipamentos danificados, à espera de reparos.
OPERAÇÃO DE CAIXAS:
(bancos, supermercados etc.) com o objetivo de estabelecer
uma política ótima de atendimento ao público.
EXEMPLOS:
FATORES QUE CONDICIONAM A
OPERAÇÃO DOS SISTEMAS
 Identificação do cliente
 Identificação do atendente
 Forma de atendimento
 Modo de chegada
 Disciplina da fila
 Estrutura do sistema
DEVEM SER DETERMINADOS NO INÍCIO DO ESTUDO
FORMA DE ATENDIMENTO
LEVANTAMENTO ESTATÍSTICO: determinar a distribuição de
probabilidades do número de atendimentos ou da duração de cada
atendimento.
Número de
atendimentos/t
Probabilidade
1 2 3 4 5 6 7
Característica principal: duração aleatória dos atendimentos
Distribuição de
Probabilidades
do Número
de Atendimentos /tempo
MODO DE CHEGADA
As chegadas de clientes a um sistema ocorrem de
maneira aleatória.
Número de
Chegadas / t
Probabilidade
1 2 3 4 5 6 7
Distribuição de
Probabilidades
do Número
de Chegadas /tempo
ESTRUTURA DO SISTEMA
CHEGADA DE
CLIENTES
. . .
FILA DE
CLIENTES
CANAL DE
SERVIÇO
SAÍDA
Sistema de 1 fila e 1 canal
CHEGADA DE
CLIENTES
. . .
FILA DE
CLIENTES
CANAIS DE
SERVIÇO
SAÍDA
Sistema de 1 fila e 3 canais
MEDIDAS DA EFETIVIDADE DE UM
SISTEMA
Percentual de tempo ocioso ou ocupado
Tempo médio que cada cliente gasta na fila de espera
Tempo médio gasto pelo cliente no sistema
Número médio de clientes na fila
Número médio de clientes no sistema
Probabilidade de existir um número n de clientes
no sistema.
1.º MODELO: SISTEMA DE 1 CANAL E 1 FILA COM
POPULAÇÃO INFINITA
CHEGADA DE
CLIENTES
. . .
FILA DE
CLIENTES
CANAL DE
SERVIÇO
SAÍDA
Sistema de 1 fila e 1 canal
Distr. Poisson
Média  cheg/t
Distr. Poisson
Média  atend/t
CARACTERÍSTICAS GERAIS DO 1. MODELO
CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
com média  chegadas/tempo
TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuição exponencial
negativa com média 1/
NÚMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuição de Poisson
com média 
O atendimento à fila é feito por ordem de chegada
O número de clientes potenciais é suficientemente grande para que
a população possa ser considerada infinita.
Condição de estabilidade do sistema:  < 
EQUAÇÃO BÁSICA DO SISTEMA
a. Probabilidade de haver n clientes no sistema







 















n
n
P )
( 






 















n
n
P )
( 






 















n
n
P )
(
1
)
(











r
r
n
P


Probabilidade de que o número de clientes no
sistema seja superior a um certo valor r:







 





)
0
(n
P
Probabilidade de que o sistema esteja ocioso:
Probabilidade de que o sistema esteja ocupado:



 )
0
(n
P





NS
Número médio de clientes no sistema (NS):
Número médio de clientes na fila (NF):
 






2
NF





 )
0
(Fila
NF
Número médio de clientes na fila (para fila > 0):
Tempo médio de espera na fila por cliente (TF):
Tempo médio gasto no sistema por cliente (TS):
 

 

1
TS
 






TF
 






TF

RELAÇÕES ENTRE TF, TS, NF e NS











1
TS
TF



 NS
NF
NS TS

 
NF TF

 
TAXA DE SERVIÇO PARA MÍNIMO CUSTO
TOTAL DO SISTEMA
• CT: custo total do sistema
• CE: custo de permanência do cliente no sistema médio por período
• CA: custo de atendimento médio por período
• CEunit: custo de permanência unitário (por cliente) por período
• CAunit: custo de atendimento unitário, por cliente
CUSTO TOTAL




´


´
 unit
unit CA
CE
CT
unit
unit
CA
CE
×




*
sendo µ* a taxa de serviço que resulta no menor custo total no modelo de 1 fila e
1 canal.
EVOLUÇÃO DOS CUSTOS
Taxa de atendimento

CA
CT
CE
Custos
*
2.º MODELO: SISTEMA DE 1 FILA E DIVERSOS
CANAIS COM POPULAÇÃO INFINITA
CHEGADA DE
CLIENTES
. . .
FILA DE
CLIENTES
CANAIS DE
SERVIÇO
SAÍDA
Sistema de 1 fila e 1 canal
Distr. Poisson
Média  cheg/t
Distr. Poisson
Média  atend/t
.
.
.
Número de
Canais = S
CARACTERÍSTICAS GERAIS DO 2. MODELO
CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
com média  chegadas/tempo
TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuição exponencial
negativa com média 1/
NÚMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuição de Poisson
com média 
O atendimento à fila é feito por ordem de chegada
Número de canais de serviço: S
O número de clientes potenciais é suficientemente grande para que
a população possa ser considerada infinita.
Ritmo de serviço:  . S
Condição de estabilidade do sistema:  <  . S
EQUAÇÕES BÁSICAS DO MODELO
Probabilidade de haver 0 cliente no sistema:
com
μ
λ
ρ
Probabilidade de que todos os canais estejam
ocupados:

o j S
S 1
j! (S  1)! × (S  r)
j = 0
1
P =
+
 r r

S
=P(n S)=
ocup. total o
(s 1)! (S )
P
P  r
r 

Medidas de Efetividade:
A. Número médio de clientes na fila:
B. Tempo médio de espera na fila:
C. Número médio de clientes no sistema:
D. Tempo médio gasto no sistema: TS = NS  1/
NS = NF + r
 1
TF=NF

 ocup. total
NF=
S
P
r
r
Cálculo Gráfico da POCUP. TOTAL
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
,
S=4
S=3
S=2
P OCUP. TOTAL
r = /
3.º MODELO: SISTEMA DE 1 CANAL COM
POPULAÇÃO FINITA
CHEGADA DE
CLIENTES
. . .
FILA DE
CLIENTES
CANAL DE
SERVIÇO
SAÍDA
Sistema de 1 fila e 1 canal
Distr. Poisson
Média  cheg/t
Distr. Poisson
Média  atend/t
NÚMERO TOTAL DE CLIENTES = K
CARACTERÍSTICAS GERAIS DO 3. MODELO
CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
com média  chegadas/tempo
TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuição exponencial
negativa com média 1/
NÚMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuição de Poisson
com média 
O atendimento à fila é feito por ordem de chegada
Número finito de clientes igual a K
Condição de estabilidade do sistema:  < 
Probabilidade de haver n clientes no sistema:
com
EQUAÇÕES BÁSICAS DO MODELO:
μ
λ
ρ

K n
j
K
(K n)!
j!
j=0
P(n)



r
r
Medidas de Efetividade:
A. Número médio de clientes na fila:
B. Tempo médio de espera na fila:
C. Número médio de clientes no sistema:
D. Tempo médio gasto no sistema:
NS=K (1 P )
o


   



NF=K (1 P )
o
 
  


( ) (1 P )
o
K
TF=
2
  
 

( ) (1 P )
o
K 1
TS=
2
  

 
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  • 1. Pesquisa Operacional Seção 6: Teoria de filas Maria SuelenaSantiago Curso: Engenharia
  • 2. Objetivos: Apresentar conceitos e utilidades do estudo de filas. Analisar principais tipos de filas e caracteristicas de desempenho Cálculos: apresentação de fórmulas
  • 3. Apresentação • Esta seção baseia-se no capítulo 7 de: • Andrade, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional, 3a. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004 •
  • 4. PROBLEMAS DE CONGESTIONAMENTO: Teoria das Filas , Eduardo L. de. CAPÍTULO 6 de: ANDRADE, Eduardo L. de. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPECAPÍTULO 6 de: ANDRADE, Eduardo L. de. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL, 3a. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004.
  • 5. CARACTERÍSTICA PRINCIPAL: presença de “clientes” solicitando “serviços” em um posto de serviço e que, eventualmente, devem esperar até que o posto esteja disponível. POSTO DE ATENDIMENTO AO PÚBLICO: formulação de uma política determinando-se o número de atendentes e a especialização de cada um. SETOR DE MANUTENÇÃO: dimensionamento da equipe onde haja custos elevados associados a equipamentos danificados, à espera de reparos. OPERAÇÃO DE CAIXAS: (bancos, supermercados etc.) com o objetivo de estabelecer uma política ótima de atendimento ao público. EXEMPLOS:
  • 6. FATORES QUE CONDICIONAM A OPERAÇÃO DOS SISTEMAS  Identificação do cliente  Identificação do atendente  Forma de atendimento  Modo de chegada  Disciplina da fila  Estrutura do sistema DEVEM SER DETERMINADOS NO INÍCIO DO ESTUDO
  • 7. FORMA DE ATENDIMENTO LEVANTAMENTO ESTATÍSTICO: determinar a distribuição de probabilidades do número de atendimentos ou da duração de cada atendimento. Número de atendimentos/t Probabilidade 1 2 3 4 5 6 7 Característica principal: duração aleatória dos atendimentos Distribuição de Probabilidades do Número de Atendimentos /tempo
  • 8. MODO DE CHEGADA As chegadas de clientes a um sistema ocorrem de maneira aleatória. Número de Chegadas / t Probabilidade 1 2 3 4 5 6 7 Distribuição de Probabilidades do Número de Chegadas /tempo
  • 9. ESTRUTURA DO SISTEMA CHEGADA DE CLIENTES . . . FILA DE CLIENTES CANAL DE SERVIÇO SAÍDA Sistema de 1 fila e 1 canal CHEGADA DE CLIENTES . . . FILA DE CLIENTES CANAIS DE SERVIÇO SAÍDA Sistema de 1 fila e 3 canais
  • 10. MEDIDAS DA EFETIVIDADE DE UM SISTEMA Percentual de tempo ocioso ou ocupado Tempo médio que cada cliente gasta na fila de espera Tempo médio gasto pelo cliente no sistema Número médio de clientes na fila Número médio de clientes no sistema Probabilidade de existir um número n de clientes no sistema.
  • 11. 1.º MODELO: SISTEMA DE 1 CANAL E 1 FILA COM POPULAÇÃO INFINITA CHEGADA DE CLIENTES . . . FILA DE CLIENTES CANAL DE SERVIÇO SAÍDA Sistema de 1 fila e 1 canal Distr. Poisson Média  cheg/t Distr. Poisson Média  atend/t
  • 12. CARACTERÍSTICAS GERAIS DO 1. MODELO CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIÇÃO DE POISSON com média  chegadas/tempo TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuição exponencial negativa com média 1/ NÚMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuição de Poisson com média  O atendimento à fila é feito por ordem de chegada O número de clientes potenciais é suficientemente grande para que a população possa ser considerada infinita. Condição de estabilidade do sistema:  < 
  • 13. EQUAÇÃO BÁSICA DO SISTEMA a. Probabilidade de haver n clientes no sistema                         n n P ) (                         n n P ) (                         n n P ) (
  • 14. 1 ) (            r r n P   Probabilidade de que o número de clientes no sistema seja superior a um certo valor r:
  • 15.               ) 0 (n P Probabilidade de que o sistema esteja ocioso: Probabilidade de que o sistema esteja ocupado:     ) 0 (n P
  • 16.      NS Número médio de clientes no sistema (NS): Número médio de clientes na fila (NF):         2 NF
  • 17.       ) 0 (Fila NF Número médio de clientes na fila (para fila > 0):
  • 18. Tempo médio de espera na fila por cliente (TF): Tempo médio gasto no sistema por cliente (TS):       1 TS         TF         TF 
  • 19. RELAÇÕES ENTRE TF, TS, NF e NS            1 TS TF     NS NF NS TS    NF TF   
  • 20. TAXA DE SERVIÇO PARA MÍNIMO CUSTO TOTAL DO SISTEMA • CT: custo total do sistema • CE: custo de permanência do cliente no sistema médio por período • CA: custo de atendimento médio por período • CEunit: custo de permanência unitário (por cliente) por período • CAunit: custo de atendimento unitário, por cliente CUSTO TOTAL     ´   ´  unit unit CA CE CT unit unit CA CE ×     * sendo µ* a taxa de serviço que resulta no menor custo total no modelo de 1 fila e 1 canal.
  • 21. EVOLUÇÃO DOS CUSTOS Taxa de atendimento  CA CT CE Custos *
  • 22. 2.º MODELO: SISTEMA DE 1 FILA E DIVERSOS CANAIS COM POPULAÇÃO INFINITA CHEGADA DE CLIENTES . . . FILA DE CLIENTES CANAIS DE SERVIÇO SAÍDA Sistema de 1 fila e 1 canal Distr. Poisson Média  cheg/t Distr. Poisson Média  atend/t . . . Número de Canais = S
  • 23. CARACTERÍSTICAS GERAIS DO 2. MODELO CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIÇÃO DE POISSON com média  chegadas/tempo TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuição exponencial negativa com média 1/ NÚMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuição de Poisson com média  O atendimento à fila é feito por ordem de chegada Número de canais de serviço: S O número de clientes potenciais é suficientemente grande para que a população possa ser considerada infinita. Ritmo de serviço:  . S Condição de estabilidade do sistema:  <  . S
  • 24. EQUAÇÕES BÁSICAS DO MODELO Probabilidade de haver 0 cliente no sistema: com μ λ ρ Probabilidade de que todos os canais estejam ocupados:  o j S S 1 j! (S  1)! × (S  r) j = 0 1 P = +  r r  S =P(n S)= ocup. total o (s 1)! (S ) P P  r r  
  • 25. Medidas de Efetividade: A. Número médio de clientes na fila: B. Tempo médio de espera na fila: C. Número médio de clientes no sistema: D. Tempo médio gasto no sistema: TS = NS  1/ NS = NF + r  1 TF=NF   ocup. total NF= S P r r
  • 26. Cálculo Gráfico da POCUP. TOTAL 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 , S=4 S=3 S=2 P OCUP. TOTAL r = /
  • 27. 3.º MODELO: SISTEMA DE 1 CANAL COM POPULAÇÃO FINITA CHEGADA DE CLIENTES . . . FILA DE CLIENTES CANAL DE SERVIÇO SAÍDA Sistema de 1 fila e 1 canal Distr. Poisson Média  cheg/t Distr. Poisson Média  atend/t NÚMERO TOTAL DE CLIENTES = K
  • 28. CARACTERÍSTICAS GERAIS DO 3. MODELO CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIÇÃO DE POISSON com média  chegadas/tempo TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuição exponencial negativa com média 1/ NÚMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuição de Poisson com média  O atendimento à fila é feito por ordem de chegada Número finito de clientes igual a K Condição de estabilidade do sistema:  < 
  • 29. Probabilidade de haver n clientes no sistema: com EQUAÇÕES BÁSICAS DO MODELO: μ λ ρ  K n j K (K n)! j! j=0 P(n)    r r
  • 30. Medidas de Efetividade: A. Número médio de clientes na fila: B. Tempo médio de espera na fila: C. Número médio de clientes no sistema: D. Tempo médio gasto no sistema: NS=K (1 P ) o          NF=K (1 P ) o        ( ) (1 P ) o K TF= 2       ( ) (1 P ) o K 1 TS= 2      

Notas do Editor

  1. Formulas apresentadas no WinQSB