O documento apresenta conceitos e modelos matemáticos da teoria de filas, incluindo: (1) o modelo de uma fila com uma chegada e serviço Poisson e população infinita, (2) o modelo de múltiplas filas e população infinita, e (3) o modelo de uma fila com população finita. As equações fornecem medidas como tempo médio de espera, número médio de clientes e probabilidades.

1. Pesquisa Operacional
Seção 6: Teoria de filas
Maria SuelenaSantiago
Curso: Engenharia

2. Objetivos:
Apresentar conceitos e utilidades do
estudo de filas.
Analisar principais tipos de filas e
caracteristicas de desempenho
Cálculos: apresentação de fórmulas

3. Apresentação
• Esta seção baseia-se no
capítulo 7 de:
• Andrade, Eduardo Leopoldino de.
Introdução à Pesquisa
Operacional, 3a. ed. Rio de Janeiro:
LTC Editora, 2004
•

4. PROBLEMAS DE
CONGESTIONAMENTO:
Teoria das Filas
, Eduardo L. de. CAPÍTULO 6 de:
ANDRADE, Eduardo L. de. INTRODUÇÃO À PESQUISA
OPECAPÍTULO 6 de:
ANDRADE, Eduardo L. de. INTRODUÇÃO À PESQUISA
OPERACIONAL, 3a. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004.

5. CARACTERÍSTICA PRINCIPAL:
presença de “clientes” solicitando “serviços” em um posto de
serviço e que, eventualmente, devem esperar até que o posto esteja
disponível.
POSTO DE ATENDIMENTO AO PÚBLICO:
formulação de uma política determinando-se o número de atendentes
e a especialização de cada um.
SETOR DE MANUTENÇÃO:
dimensionamento da equipe onde haja custos elevados
associados a equipamentos danificados, à espera de reparos.
OPERAÇÃO DE CAIXAS:
(bancos, supermercados etc.) com o objetivo de estabelecer
uma política ótima de atendimento ao público.
EXEMPLOS:

6. FATORES QUE CONDICIONAM A
OPERAÇÃO DOS SISTEMAS
 Identificação do cliente
 Identificação do atendente
 Forma de atendimento
 Modo de chegada
 Disciplina da fila
 Estrutura do sistema
DEVEM SER DETERMINADOS NO INÍCIO DO ESTUDO

7. FORMA DE ATENDIMENTO
LEVANTAMENTO ESTATÍSTICO: determinar a distribuição de
probabilidades do número de atendimentos ou da duração de cada
atendimento.
Número de
atendimentos/t
Probabilidade
1 2 3 4 5 6 7
Característica principal: duração aleatória dos atendimentos
Distribuição de
Probabilidades
do Número
de Atendimentos /tempo

8. MODO DE CHEGADA
As chegadas de clientes a um sistema ocorrem de
maneira aleatória.
Número de
Chegadas / t
Probabilidade
1 2 3 4 5 6 7
Distribuição de
Probabilidades
do Número
de Chegadas /tempo

9. ESTRUTURA DO SISTEMA
CHEGADA DE
CLIENTES
. . .
FILA DE
CLIENTES
CANAL DE
SERVIÇO
SAÍDA
Sistema de 1 fila e 1 canal
CHEGADA DE
CLIENTES
. . .
FILA DE
CLIENTES
CANAIS DE
SERVIÇO
SAÍDA
Sistema de 1 fila e 3 canais

10. MEDIDAS DA EFETIVIDADE DE UM
SISTEMA
Percentual de tempo ocioso ou ocupado
Tempo médio que cada cliente gasta na fila de espera
Tempo médio gasto pelo cliente no sistema
Número médio de clientes na fila
Número médio de clientes no sistema
Probabilidade de existir um número n de clientes
no sistema.

11. 1.º MODELO: SISTEMA DE 1 CANAL E 1 FILA COM
POPULAÇÃO INFINITA
CHEGADA DE
CLIENTES
. . .
FILA DE
CLIENTES
CANAL DE
SERVIÇO
SAÍDA
Sistema de 1 fila e 1 canal
Distr. Poisson
Média  cheg/t
Distr. Poisson
Média  atend/t

12. CARACTERÍSTICAS GERAIS DO 1. MODELO
CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
com média  chegadas/tempo
TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuição exponencial
negativa com média 1/
NÚMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuição de Poisson
com média 
O atendimento à fila é feito por ordem de chegada
O número de clientes potenciais é suficientemente grande para que
a população possa ser considerada infinita.
Condição de estabilidade do sistema:  < 

13. EQUAÇÃO BÁSICA DO SISTEMA
a. Probabilidade de haver n clientes no sistema







 















n
n
P )
( 






 















n
n
P )
( 






 















n
n
P )
(

14. 1
)
(











r
r
n
P


Probabilidade de que o número de clientes no
sistema seja superior a um certo valor r:

15. 






 





)
0
(n
P
Probabilidade de que o sistema esteja ocioso:
Probabilidade de que o sistema esteja ocupado:



 )
0
(n
P

16. 




NS
Número médio de clientes no sistema (NS):
Número médio de clientes na fila (NF):
 






2
NF

17. 




 )
0
(Fila
NF
Número médio de clientes na fila (para fila > 0):

18. Tempo médio de espera na fila por cliente (TF):
Tempo médio gasto no sistema por cliente (TS):
 

 

1
TS
 






TF
 






TF


19. RELAÇÕES ENTRE TF, TS, NF e NS











1
TS
TF



 NS
NF
NS TS

 
NF TF

 

20. TAXA DE SERVIÇO PARA MÍNIMO CUSTO
TOTAL DO SISTEMA
• CT: custo total do sistema
• CE: custo de permanência do cliente no sistema médio por período
• CA: custo de atendimento médio por período
• CEunit: custo de permanência unitário (por cliente) por período
• CAunit: custo de atendimento unitário, por cliente
CUSTO TOTAL




´


´
 unit
unit CA
CE
CT
unit
unit
CA
CE
×




*
sendo µ* a taxa de serviço que resulta no menor custo total no modelo de 1 fila e
1 canal.

21. EVOLUÇÃO DOS CUSTOS
Taxa de atendimento

CA
CT
CE
Custos
*

22. 2.º MODELO: SISTEMA DE 1 FILA E DIVERSOS
CANAIS COM POPULAÇÃO INFINITA
CHEGADA DE
CLIENTES
. . .
FILA DE
CLIENTES
CANAIS DE
SERVIÇO
SAÍDA
Sistema de 1 fila e 1 canal
Distr. Poisson
Média  cheg/t
Distr. Poisson
Média  atend/t
.
.
.
Número de
Canais = S

23. CARACTERÍSTICAS GERAIS DO 2. MODELO
CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
com média  chegadas/tempo
TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuição exponencial
negativa com média 1/
NÚMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuição de Poisson
com média 
O atendimento à fila é feito por ordem de chegada
Número de canais de serviço: S
O número de clientes potenciais é suficientemente grande para que
a população possa ser considerada infinita.
Ritmo de serviço:  . S
Condição de estabilidade do sistema:  <  . S

24. EQUAÇÕES BÁSICAS DO MODELO
Probabilidade de haver 0 cliente no sistema:
com
μ
λ
ρ
Probabilidade de que todos os canais estejam
ocupados:

o j S
S 1
j! (S  1)! × (S  r)
j = 0
1
P =
+
 r r

S
=P(n S)=
ocup. total o
(s 1)! (S )
P
P  r
r 


25. Medidas de Efetividade:
A. Número médio de clientes na fila:
B. Tempo médio de espera na fila:
C. Número médio de clientes no sistema:
D. Tempo médio gasto no sistema: TS = NS  1/
NS = NF + r
 1
TF=NF

 ocup. total
NF=
S
P
r
r

26. Cálculo Gráfico da POCUP. TOTAL
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
,
S=4
S=3
S=2
P OCUP. TOTAL
r = /

27. 3.º MODELO: SISTEMA DE 1 CANAL COM
POPULAÇÃO FINITA
CHEGADA DE
CLIENTES
. . .
FILA DE
CLIENTES
CANAL DE
SERVIÇO
SAÍDA
Sistema de 1 fila e 1 canal
Distr. Poisson
Média  cheg/t
Distr. Poisson
Média  atend/t
NÚMERO TOTAL DE CLIENTES = K

28. CARACTERÍSTICAS GERAIS DO 3. MODELO
CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
com média  chegadas/tempo
TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuição exponencial
negativa com média 1/
NÚMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuição de Poisson
com média 
O atendimento à fila é feito por ordem de chegada
Número finito de clientes igual a K
Condição de estabilidade do sistema:  < 

29. Probabilidade de haver n clientes no sistema:
com
EQUAÇÕES BÁSICAS DO MODELO:
μ
λ
ρ

K n
j
K
(K n)!
j!
j=0
P(n)



r
r

30. Medidas de Efetividade:
A. Número médio de clientes na fila:
B. Tempo médio de espera na fila:
C. Número médio de clientes no sistema:
D. Tempo médio gasto no sistema:
NS=K (1 P )
o


   



NF=K (1 P )
o
 
  


( ) (1 P )
o
K
TF=
2
  
 

( ) (1 P )
o
K 1
TS=
2
  

 