O documento apresenta um sumário sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, incluindo definições de tipos de matrizes, operações com matrizes e cálculo de determinantes.

1. Matemática
2ª Série
Apostila 1
Prof. Cesar H. Fieschi

2. 2
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Apostila 1 de Matemática
Índice
1. Conteúdo:---------------------------------------------------------------------------------------3
Matrizes------------------------------------------------------------------------------------------3
1.1.1 Tipos de Matrizes---- ----------------------------------------------------------4
1.1.2 Operações com Matrizes-----------------------------------------------------6
2. Determinantes--------------------------------------------------------------------------------10
3. Sistemas Lineares--------------------------------------------------------------------------12
3.1.1 Sistema Lineares Homogêneos-------------------------------------------15
3.1.2 Regra de Cramer---------------------------------------------------------------16
4. Exercício Propostos ------------------------------------------------------------------18
5. Bibliografia-----------------------------------------------------------------------------------20
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3. 3
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1. Conteúdo:
Matrizes
- Conceito
Matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x
n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o
número de colunas.
- Representação
Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas
barras duplas, exemplo:
0 1 2 3 4
A3x5 = 3 5 7 9 11 ;
0 2 4 6 8
Observe que a matriz do exemplo acima tem indicação do número de linhas e do número de colunas. O
exemplo esta indicado A3 x 5 que lê: matriz A de ordem três por cinco.
Cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento.
Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la?
Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Considere a matriz a A 3 x 5 do exemplo
anterior: o elemento 1 pertence a 1ª linha e a 2ª coluna e o elemento 11 pertence a 2ª linha e a 5ª coluna.
Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da
seguinte forma:
a11 a12
a21 a22
a11,a12,a21 e a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas).
Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1ª coluna.
Exemplo:
Escreva a matriz A = (ai j)2 x 3 tal que ai j = 2i + j.
A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
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4. 4
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Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada no
enunciado: ai j = 2i + j.
Então iremos calcular cada elemento sabendo que:
i é a linha que o elemento pertence.
j é a coluna que o elemento pertence.
a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1
a11 = 3 a21 = 5
a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2
a12 = 4 a22 = 6
a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3
a13= 5 a23 = 7
Então os elementos que pertencem a matriz A são:
3 4 5
5 6 7
De maneira abreviada podemos escrever a matriz A na forma : A= (ai)mxn, 1≤ i≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i, j є N.
Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou
apenas por características específicas.
1.1.1 Tipos de Matrizes
Matriz Linha
Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é
independente. Por exemplo:
A1 x 3= [ -1 0 3]
Matriz Coluna
Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é
independente. Por exemplo:
0
A5 x 1= 2
5
Matriz Nula
Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos
os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:
Podendo ser representada por 2 x 2.
0 0
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5. 5
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0 0
Matriz Quadrada
Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:
2 0 5
A3x3= 0 1 4
6 4 3
Diagonal principal
Diagonal secundária
Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma
diagonal principal.
Matriz Diagonal
Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à
diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser
iguais a zero ou não. Por exemplo:
3 0 0
A= 0 1 0
0 0 2
Matriz Identidade
Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à
diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:
1 0 0
I3 = 0 1 0
0 0 1
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6. 6
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Matriz Oposta
Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:
3 4 -5
B=
5 -6 7
A matriz oposta a ela é:
-3 -4 5
B=
-5 6 -7
Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos
elementos.
Matrizes Iguais ou igualdade de matrizes
Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos
correspondentes forem iguais.
Matrizes Transpostas
Dada a matriz A, chamamos de transposta de A a matriz At , na qual as linhas de A são suas colunas e
vice-versa.
2 5 0 2 1
A= , At = 5 3
1 3 5 0 5
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7. 7
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1.1.2 Operações com Matrizes
A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação
utilizada.
Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada:
toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas.
A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a
linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º
linha e 2° coluna será representado por b12.
Adição de Matrizes
As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também
outra matriz com a mesma ordem.
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os
elementos correspondentes de A e B.
Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.
Solução:
Propriedades da adição
Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades:
- Comutativa: A+B = B+A
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neuto: A+O = O+A = A
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8. 8
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Subtração de Matrizes
As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar
como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.
A subtração de matrizes é dada pela sentença:
A – B = A + (– B )
Multiplicação
Multiplicação de número real por matriz
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do numero real K por
A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k.
Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de
Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da multiplicação de numero real
por matriz:
- 1.A = A
- (-1).A = -A
- p.O = O
- 0.A = 0
- p.(A + B) = p.A + p.B
- (p + q).B = p.B + q.B
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9. 9
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- p.(q.A) = (p.q).A
Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz
B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:
Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da
matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos.
Veja abaixo:
O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da matriz A for
igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:
O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade(I).
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10. 10
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Exercício - exemplo
 1 0
5 − 3
Sendo A = − 2 3 e B = 
   calcule AB.
 0 4 1 2 
 
Essa é uma questão de multiplicação de matrizes, onde estamos multiplicando uma matriz 3x2
por uma 2x2. O resultado será obtido pelo produto de cada linha da matriz A por cada coluna
da matriz B. O resultado será uma matriz 3x2.
 1.5 + 0.1 1.( −3) + 0.2   5 − 3
(−2).5 + 3.1 (−2)(−3) + 3.2 ⇒ AB =
AB =  − 7 12 
  
 0.5 + 4.1
 0(−3) + 4.2   4
 8
2 Determinantes
Determinante é o valor numérico de uma matriz quadrada (que tem o mesmo número de linhas e de
colunas).
• Determinantes de matrizes de ordem 1
Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna.
Por exemplo:
A = (1)
B = [-5]
O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz de ordem 1, assim
podemos concluir que o determinante das matrizes A e B serão:
det A = | 1 | = 1
det B = | -5 | = -5
OBSERVAÇÃO: As duas barras que limitam os elementos de um determinante não devem ser considerados
módulos, é apenas um símbolo que representa os determinantes.
• Determinantes de matrizes de ordem 2
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11. 11
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Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, basta multiplicar os elementos da
diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal secundária.
Dada uma matriz de ordem 2:
O seu determinante será = a11 . a22 – a21 . a12.
Exemplo:
Dada a matriz B de ordem 2x2 . Calcule o seu determinante:
= -3 . 0 – 1 . 2 = 0 – 2 = -2, portanto det B = -2
• Determinantes de Matrizes de ordem 3
O cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é feito utilizando um processo chamado de regra de
Sarrus..
Dada a matriz A de ordem 3x3 , o seu determinante será calculado da seguinte forma:
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12. 12
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Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A:
Agora devemos multiplicar os elementos conforme indicado abaixo, sabendo que os produtos da direita
conservaram os sinais e os produtos da esquerda inverteram os sinais:
Feito as multiplicações devemos somar os seus produtos.
det A = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59, obtendo o det A = -59
Equação Linear
É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b,
em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:
x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0
3. Sistemas Lineares
Um conjunto de m equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com m
equações e n incógnitas.
Exemplos:
Sistema linear com duas equações e duas variáveis.
x+y=3
x–y=1
Sistema linear com duas equações e três variáveis.
2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
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13. 13
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Sistema linear com três equações e três variáveis.
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e quatro variáveis.
x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x+y=3
x–y=1
A solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x=2ey=1
2+1=33=3
2–1=11=1
Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema
linear. Veja:
2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 = 20
2*5–2*3+2*2=8 10 – 6 + 4 = 8 = 8
2*5–2*3–2*2=0 10 – 6 – 4 = 0 = 0
Classificação de um sistema linear
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.
SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.
Associando um sistema linear a uma matriz
Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da
matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema:
x+y=3
x–y=1
pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
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14. 14
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Matriz completa
1 1 3
1 -1 1
Matriz incompleta
1 1
1 -1
Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Matriz completa
1 10 -12 120
4 -2 -20 60
-1 1 5 10
Matriz incompleta
1 10 -12
4 -2 -20
-1 1 5
Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Equação matricial do sistema:
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15. 15
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Denominamos de sistema linear o conjunto de equações lineares na variável x com m equações e n
variáveis. Ao resolvermos um sistema linear podemos obter as seguintes condições de solução: uma única
solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Sistema Possível e Determinado (SPD): ao ser resolvido encontraremos uma única solução, isto é,
apenas um único valor para as incógnitas. O sistema a seguir é considerado um sistema possível e determinado,
pois a única solução existente para ele é o par ordenado (9,1).
X + y = 10
X–y = 8
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e
y assumem inúmeros valores. Observe o sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (1,-3), (3,110,
(0,-5), (1/2,-4) e etc.
2x - y = 5
4x - 2y =10
Sistema Impossível (SI): ao ser resolvido, não encontraremos soluções possíveis para as incógnitas, por
isso esse tipo de sistema é classificado como impossível. O sistema a seguir é impossível.
x + y=6
3x + 3y = 9
Determinado
Possível
Indeterminado
Sistema
Impossível
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16. 16
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3.3.1 Sistema Linear Homogêneo
Equação linear homogênea é uma equação que possui os termos independentes iguais a zero, por
exemplo, 2x+5y-z = 0 é uma equação homogênea, portanto, podemos concluir que um sistema linear será
considerado homogêneo se todas as suas equações tiverem os seus termos independentes iguais à zero.
Em um sistema linear homogêneo seu conjunto solução (conjunto verdade) será sempre possível, ou seja, ao
estudarmos um sistema homogêneo iremos encontrar sempre um sistema possível determinado ou possível
indeterminado.
O sistema linear será considerado possível, pois irá obter pelo menos um conjunto solução o (0, 0, 0, ... , 0), esse
é chamado de solução trivial, nula ou imprópria do sistema.
Veja a classificação de um sistema linear homogêneo e suas características:
3.3.3 Regra de Cramer
3Regra de Cramer é usada para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.
Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
....................................................= ...
....................................................= ...
an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn
onde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termos independentes
b1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xn são as incógnitas do sistema nxn.
Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.
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17. 17
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Seja D xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da
incógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... , bn.
A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo
denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:
xi = D xi / D
Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6
Teremos:
Portanto, pela regra de Cramer, teremos:
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4
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18. 18
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Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.
4. Exercícios propostos:
-2 6 -3
Considere a matriz A= 4 0 2 Pede-se calcular:
0 -1 2
1) a11 + a22 + a32
(a13)2
2) At
-1 6 -3
3) Sendo a matriz B= -2 0 3 . Calcule A – B
3 -1 0
4) A2 – I3
x -2 -2x –3 y -2
Considere as matrizes A e B sendo A=B, onde A= e B=
0 z w+3 -1
5) Calcule os valores de x, y, w e z .
6) Calcule At + Bt
7) As matrizes A e B são quadradas ? Justifique sua resposta.
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19. 19
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8) calcule a matriz C = A.B
9) Petrobrás – BR – Técnico de Instrumentação – Maio 2006
Uma rede distribuidora é composta de 4 lojas instaladas numa mesma cidade. Na matriz M4x7 abaixo,
cada elemento mij representa a quantidade de latas de certo tipo de lubrificante vendida na loja i no
dia j da semana de 12 a 18 de março.
Assim, por exemplo, o elemento m13 corresponde às vendas da loja 1 no dia 14 (terceiro dia da
semana) e o e elemento m47, às vendas da loja 4 no dia 18 (sétimo dia da semana).
M4x7 =
75 83 79 91 84 79 113
128 114 123 109 114 123 142
103 98 121 111 119 112 136
169 168 154 148 162 171 189
De acordo com as informações acima, qual a quantidade total de latas de lubrificante que esta rede
distribuidora vendeu no dia 15/03?
(A) 459
(B) 463
(C) 477
(D) 479
(E) 485
10) Se A é uma matriz 2x3 definida por aij = 2 , se i=j e 2+j, se i ≠ j então a matriz A será ?
5 0 0 -1
11) Dadas as matrizes A = e B= , calcule as matrizes X e Y solução
0 -5 1 0
2X + Y = 3A -B
do sistema
X – 2Y = 5A + 2B
12) Determine x, y e z no sistema:
x + 2y – z = - 5
- x – 2y –3z = - 3
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20. 20
CNPJ: 06.306.644/0001-99
4x – y - z = 4
13) Calcule o valor de m, para o sistema ser SPD
x - 3y + 2z = 1
2y + z = 3
-x + 3m y + z = -2
14) Resolva em R a seguinte equação:
1 2 x
-1 x x+1 =6
3 2 x
15) Calcule o valor de x e y para que o determinante seja igual a zero
3 2 -2 9
-1 -1 3 7
3 2 5x -3y
0 -1 1 2
4. Bibliografia
Provas dos concursos de anos anteriores
www.brasilescola.com
Matemática: Livro do Professor / Luiz Roberto Dante . – 1ª Edição – São Paulo : Ática, 2004.
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