O documento descreve os conceitos de fluxo de caixa, valor presente, valor futuro, taxa de juros e suas representações gráficas.

1. Fluxo de Caixa
A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste de uma escala horizontal onde são marcados
os períodos de tempo e na qual são representadas com setas para cima as entradas e com setas para
baixo as saídas de caixa. A unidade de tempo - mês, semestre, ano - deve coincidir com o período de
capitalização de juros considerado.<O:P</O:P
Adotaremos as convenções a seguir descritas que procuram auxiliar a memorização da simbologia
PV = quantia existente ou equivalente no instante inicial e conhecida por Valor Presente ou Valor Atual
(ou hoje): A representação gráfica é a seguinte:
FV = quantia existente ou equivalente num instante futuro em relação ao inicial e conhecida por Valor
Futuro (ou montante);<O:P</O:P
A representação gráfica é a seguinte
i= taxa de juros por período de capitalização;
n= número de períodos de capitalização;
PMT = valor de cada contribuição considerada em uma série uniforme de dispêndios (prestações ou
parcelas iguais) ou recebimentos que ocorrem nos períodos 1,2,3,...,n chamados Períodos de
Capitalização;
A representação gráfica é a seguinte:
G= quantia chamada Gradiente Aritmético que aumenta, gradativamente, de forma uniforme, após cada
período de capitalização, constituindo uma série de valores G, 2G, 3G,..., (N-1)G que ocorrem nos
instantes 2,3,4,..n.
A representação gráfica é a seguinte:

2. Equivalência
Definição: vários capitais são ditos equivalentes quando os seus valores, transformados para a mesma
data, com a mesma taxa de juros (custo de oportunidade), são iguais (Hummel, 1986).
Exemplo 01:
Considere-se um empréstimo de R$ 1.000,00 hoje, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano,
sendo os juros capitalizados anualmente. No final do quinto ano, quando se tiver de pagar o empréstimo
de uma só vez, ter-se-á de pagar R$ 1.610,00. Diz-se então que, a uma taxa de 10% ao ano, após cinco
anos a quantia de R$ 1.610,00 é equivalente à quantia de R$ 1.000,00 no momento zero (ou seja, hoje)
(Hummel, 1986).
Exemplo 02:
Considere que você deseja fazer um empréstimo de R$ 10.000,00, para compra de veículo em uma
concessionária, a uma taxa de juros de 10% ao ano. A concessionária lhe oferece então quatro formas
de pagamento : plano I, II, III e IV, veja quadro abaixo. Pergunta-se há diferença em pagar ou outro plano
do ponto de vista econômico? (Hummel, 1986).
Ano Investimento Plano I 1_ftn1 Plano II 2 Plano III 3 Plano IV 4
0 R$ 10.000,00R$ 1.000,00 R$ 2.000,00 R$ 1.627,00
1 R$ 1.000,00 R$ 1.900,00 R$ 1.627,00
2 R$ 1.000,00 R$ 1.800,00 R$ 1.627,00
3 R$ 1.000,00 R$ 1.700,00 R$ 1.627,00
4 R$ 1.000,00 R$ 1.600,00 R$ 1.627,00
5 R$ 1.000,00 R$ 1.500,00 R$ 1.627,00
6 R$ 1.000,00 R$ 1.400,00 R$ 1.627,00
7 R$ 1.000,00 R$ 1.300,00 R$ 1.627,00
8 R$ 1.000,00 R$ 1.200,00 R$ 1.627,00
9 R$ 11.000,00 R$ 1.100,00 R$ 1.627,00
10 R$ 25.937,00
Se analisarmos o quadro anterior, observaremos que todos os planos de I a IV a uma taxa de 10% ao
ano são equivalentes. Isto porque todos são planos que possibilitam a esta taxa o pagamento de uma
dívida de R$ 10.000,00 hoje. Portanto, pode-se dizer que é indiferente pagar um ou outro plano.
Analisando, no entanto, o quadro abaixo, observando que há diferentes taxas de juros, as séries de
pagamentos anteriores correspondem a diferentes valores quando trazidas para o presente, ou seja, não
são equivalentes, exceto para a taxa de juros de 10% a qual foi inicialmente calculada.
Taxa de Juros Plano I Plano II Plano III Plano IV
0% 20.000 15.500 16.270 25.937
5% 13.861 12.278 12.563 15.923
10% 10.000 10.000 10.000 10.000
15% 7.491 8.340 8.166 6.411
20% 5.808 7.096 6.821 4.189

3. 1 O plano I : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Americano, que será
visto mais detalhadamente a frente.
2 O plano II : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Amortização Constante -
SAC
3 O plano III : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Prestações Constantes -
PRICE
4 O plano IV : corresponde no sistema de amortização de dívidas ao Sistema de Pagamento Único
Relação entre FV e PMT
Representação Gráfica :
Exemplo::
Ricardo deseja amortizar uma dívida da compra de uma casa, cujo valor restante a ser pago daqui a 5
meses será R$ 4.000,00. O valor da taxa de juros é 4% a.m. Pergunta-se, quanto Ricardo terá que pagar
de prestações iguais, a cada fim de mês, sem entrada, durante 5 meses para quitar esta dívida?
Solução:
a) Resolvendo utilizando fórmula
PMT = montante devido
b) Resolvendo com a calculadora
HP12C

4. CASIO
Exercício 01:
Verônica deseja fazer depósitos ao fim de cada mês, de modo a obter um montante equivalente a R$
5.000,00, para trocar seus móveis, daqui a 2 anos (24 meses). Sabendo-se que ela vai depositar na
caderneta de poupança que tem remuneração média esperada de 1% a.m., pergunta-se quanto ela
deverá depositar mensalmente sem entrada para obter o valor desejado? Resposta: R$ 185,37 por mês.
Exercício 02:
Fábio deseja ter um montante igual a R$ 12.000,00 para financiar seus estudos na universidade, daqui a
48 meses (4 anos). Quanto ele deve depositar mensalmente sem entrada em fundo de aplicações (por
exemplo, FIX 30), para obter esta quantia? O fundo de aplicações remunera a uma taxa de 3,5 % a.m.
Resposta: R$ 99,68 por mês.
Exercício 03: André tem uma dívida de R$ 1.200,00 a ser paga daqui a 18 meses (1 ano e meio). No
entanto, ele deseja depositar ao fim de cada mês uma certa quantia para criar fundo de reserva para
quitar a dívida. Pergunta-se quanto André deverá depositar mensalmente em parcelas iguais, a cada fim
de mês, para obter o montante desejado? O fundo de aplicações remunera a uma taxa de 2,5% a.m.
Resposta: R$ 53,61 por mês
Relação entre FV e PV
Representação Gráfica :
Exemplo:
Vera deseja quitar uma dívida da comprar de um aparelho celular, cujo preço
ao final de 5 meses é de R$ 700,00. A taxa de juros compostos do crediário é
de 2% a.m. Pergunta-se, quanto Vera terá de pagar se desejar liquidar o
empréstimo hoje?
Solução :
a) Resolvendo utilizando fórmula
PV = valor atual a ser pago hoje

5. b) Resolvendo com a calculadora
HP12C
CASIO
Exercício 01:
Se eu quiser ter R$ 100.000,00 dentro de 20 anos, quanto deverei aplicar agora, considerando-se uma
taxa de juros de 10 % a.a.?
Resposta: R$ 14.864,30 hoje
Exercício 02:
Quer-se depositar uma quantia a 8% a.a. a fim de obter, 13 anos mais tarde a quantia de R$ 5.000,00.
Quanto se deverá depositar hoje?
Resposta: R$ 1.838,49 hoje
Exercício 03:
Se eu quiser ter R$ 400.000,00 dentro de 5 anos, quanto deverei aplicar agora, considerando-se uma
taxa de juros de 10% a.a.?
Resposta: R$ 248.368,53 hoje
Exercício 04:
Fernanda tem uma dívida de R$ 1.000,00 a ser paga daqui a 4 meses, a uma taxa de juros compostos
de 4% a.m. No entanto, ela recebeu hoje uma quantia de R$ 900,00. Pergunta-se ela conseguirá quitar a
dívida hoje?
Resposta: Sim, poderá quitar a dívida
Relação entre PMT e FV
Representação Gráfica :

6. Exemplo:
Luiz deseja quitar uma dívida da compra de uma estante, cujas
prestações são no valor R$ 250,00 mensais. Faltam ainda pagar 5 (0+5)
prestações. A taxa de juros compostos do crediário é de 4% a.m.
Pergunta-se, quanto Luiz terá de pagar se desejar liquidar o empréstimo
no final de meses?
Solução:
a) Resolvendo utilizando fórmula <O:P</O:P
FV = montante devido
b) Resolvendo com a calculadora
HP12C
CASIO
Exercício 01:
Marcos fez um crediário para a compra de algumas camisas, cujas prestações são no valor R$ 50,00
mensais. Faltam ainda pagar 3 (0+3) prestações. A taxa de juros compostos do crediário é de 8% a.m..
Estando, no momento, impossibilitado de pagar as prestações da dívida, Marcos foi à loja e perguntou se

7. poderia renegociar a dívida e pagar todas as prestações acumuladas daqui a três meses (sem juros de
mora). Pergunta-se qual é o valor da dívida acumulada destas três últimas prestações?<O:P</O:P
Resposta: R$162,32 daqui a 3 meses
Exercício 02:
Antônio fez um crediário para a compra de um televisor, cujas prestações são no valor R$ 40,00
mensais. Faltam ainda pagar 7 (0+7) prestações. A taxa de juros compostos do crediário é de 9% a.m..
Se Antônio quiser quitar toda a dívida de uma só vez daqui a 7 meses, quanto ele terá que pagar?
(despreze os juros de mora)
Resposta: R$ 368,02 daqui a 7 meses
Exercício 03: Rosana e Marcos, preocupados com o futuro de seu filho, depositam ao fim de cada mês
uma quantia de R$ 500,00, em fundo de aplicações que rende 3,5% a.m.. Pergunta-se quanto se terá ao
final de 48 meses (4 anos)? Resposta: R$ 60.194,13 daqui a 4 anos