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                               para Banco do Brasil S/A

Planos de Amortizações de Empréstimos e Financiamentos

       (6.1) Reembolso de Empréstimos sem Atualização Monetária

             O processo de reembolso de um empréstimo consiste nos
pagamentos das prestações em épocas determinadas. Estas prestações
consistem em duas parcelas: a) as amortizações (devolução do principal
emprestado). B -Os juros que corresponde ao saldo do empréstimo não
reembolsado, ou seja: P= A+J (prestação será igual às amortizações mais os
juros).
             O termo carência designa o período que vai desde a data de
concessão do empréstimo até a data que será paga a primeira prestação. Em
geral, este período é negociado entre o credor e o mutuário, ou devedor.
Qualquer sistema de amortização pode ou não ter carência.
             Alguns dos principais e mais utilizados sistemas de amortização
ou reembolso de empréstimo são: A) Sistema Francês de Amortização. B)
Tabela Price. C) Sistema de Amortização Constante.(SAC). D) Sistema de
Amortização Crescente. (SACRE)

       (6.2) Sistema Francês de Amortização.

(Exemplo 01) Um empréstimo de $200.000,00 será pago pelo sistema francês
de amortização em 4 prestações mensais postecipadas, sem período de
carência. Se a taxa de juros é de 10% ao mês, Construir a planilha.
Solução:
Considerando que o principal será devolvido em 4 prestações iguais temos que
calcular ema série uniforme que por nosso modelo básico de rendas uniformes
pode der assim calculada: U=P(P/U, i%,n)=$63.094,00.
O procedimento seguido na elaboração do quadro de pagamentos é o seguinte:
·(1) Cálculo da prestação:
Rt = $63.094,00


2) Calculam-se os juros sobre o saldo devedor do período anterior:
J t = i ⋅ SDt −1 = 0,10 ⋅ $156.906,00 = $15.690,60


3) A amortização de cada período é calculada pela diferença entre o valor da
prestação e o juros do período:
At = Rt − J t = $63.094,00 −$15.690,60 = $47.403,40



                                           -1-
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4) O saldo devedor de cada período será igual ao saldo devedor do período
anterior menos a amortização do período:
SDt = SDt −1 − At = $156.906,00 − $47.403,40




     Período    Saldo Devedor        Amortização           Juros          Prestação
        n       SDt = SDt −1 − At     At = Pt − J t    J t = i ⋅ SDt −1      Pt
        0        $200.000,00              -                 -                  -
        1        $156.906,00         $43.094,00         20.000,00         $63.094,00
        2        $109.502,60         $47.403,40        $15.690,60         $63.094,00
        3         $57.358,86         $52.143,74        $10.950,26         $63.094,00
        4              0             $57.358,86         $5.735,89         $63.094,00


_______________________________________________________________

(Exercício 02): No exemplo anterior, se considerarmos um período de
carência de 3 meses em que serão pagos unicamente os juros devidos,
construir a planilha de amortização pelo método francês


     Período    Saldo Devedor        Amortização           Juros          Prestação
        n       SD t = SDt −1 − At    At = Pt − J t    J t = i ⋅ SDt −1      Pt
        0        $200.000,00              -                 -                  -
        1        $200.000,00              -            $20.000,00         $20.000,00
        2        $200.000,00              -            $20.000,00         $20.000,00
        3        $156.906,00         $43.093,00        $20.000,00         $63.094,00
        4        $109.906,60         $47.358,86        $15.690,00         $63.094,00
        5         $57.358,86          52.143,74        $10.950,26         $63.094,00
        6              0              57.358,86         $5.735,89         $63.094,00


O procedimento é igual ao exercício anterior. A única diferença é que, nos
meses do período de carência, são pagos os juros devidos sobre o saldo
devedor, ou seja: 0,10.$200.000,00=$20.000,00




                                          -2-
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(Exercício 03) - No exemplo anterior, se o período de carência os juros forem
capitalizados e incorporados nas prestações, construir a planilha de
amortização.
Resolução:

     Período      Saldo Devedor          Amortização              Juros           Prestação
        n          SD t = SDt −1 − At      At = Pt − J t      J t = i ⋅ SDt −1       Pt
        0           $200.000,00                -                   -                   -
        1           $220.000,00                -                   -                   -
        2           $242.000,00                -                   -                   -
        3           $189.856,18           $52.143,82          $24.200,00          $76.343,82
        4           $132.497,98           $57.358,98          $18.985,62          $76.343,82
        5            $69.403,96           $63.094,02          $13.249,80          $76.343,82
        6                 0               $69.403,96           $6.940,40          $76.343,82

O empréstimo começará a ser amortizado no final do 3 º mês de carência, logo
o saldo devedor do empréstimo deverá ser capitalizado à taxa de 10% ao mês
durante 2 períodos, ou 3 períodos a partir da data zero.
      Através da fórmula abaixo poderemos calcular o valor das prestações

           (1 + i ) n ⋅ i                 (1 + 0,10 ) 3 ⋅ 0,10 
    U = P⋅                = 242.000,00 ⋅                        = 76.343,82
           (1 + i ) − 1                   (1 + 0,10) −1 
                    n                                      3




O saldo devedor no final do segundo período será calculado da seguinte
forma:

                       SD2=200.000,00(1+0,10)3=242.000,00




                                             -3-
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                     O Método Price de Financiamentos


      Este é um caso particular do Sistema Francês de Amortização, em que a
taxa de juros é dada em termos nominais (na prática é dada em termos anuais)
e as prestações tem período menor que aquele que se refere as taxas de juros
(em geral as prestações são mensais). Neste caso, o cálculo das prestações é
feito usando as taxas proporcionais ao período a que se refere a prestação,
calculada a partir da taxa nominal.


(Exemplo 01) – Um empréstimo de $200.000,00 será pago em 3 prestações
mensais iguais sem período de carência. Se a taxa de juros for de 180% ao
ano, construir a tabela de amortização.

   Resolução: Sendo os juros proporcionais, temos que: 180/12=15% ao mês.
   Portanto o cálculo das prestações fica:

                       (1 + 0,15) n ⋅ 0,15 
    P = $200.000,00 ⋅                      =   $87.595,21(Valor das Prestações).
                       (1 + 0,15) −1 
                                     n




     Período     Saldo Devedor         Amortização            Juros          Prestação
        n         SDt = SDt −1 − At      At = Pt − J t    J t = i ⋅ SDt −1      Pt

         0         $200.000,00                   -               -               -
         1         $142.404,79          $57.595,00         30.000,00         $87.595,21
         2          $76.170,30          $66.234,49        $21.360,72         $87.595,21
         3              zero            $76.170,30        $11.425,55         $87.595,21




                                            -4-
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(Exemplo 02) – Um empréstimo de $1.000,00 será pago em 3 prestações
trimestrais iguais com período de carência.de 3 trimestres. Se a taxa de juros
nominais for de 28% ao ano, construir a tabela de amortização. Os juros serão
capitalizados e incorporados ao principal durante o período de carência.



    Resolução: Considerando que os juros são capitalizados durante a carência,
    a capitalização do principal será feita no 2º trimestre. Os juros serão igual a
    (i/k) = 28%ao ano/4 trimestres= 7 % ao trimestre, assim o cálculo da
    prestação fica da seguinte forma:
                          (1 + 0,07 ) 5 ⋅ 0,07 
      P = $1.000.000,00 ⋅                       = $279.230,28 (Valor           das Prestações).
                           (1 + 0,07 ) 5 −1 
                                               




       Período       Saldo Devedor           Amortização              Juros          Prestação
          n           SDt = SD t −1 − At       At = Pt − J t      J t = i ⋅ SDt −1       Pt
          0              $1.000.000,00               -                   -                -
          1              $1.070.000,00               -                   -                -
          2              $1.144.900,00               -                   -                -
          3               $945.812,72          $199.087,28         $80.143,00        $279.230,28
          4               $732.789,33          $213.023,39         $66.206,89        $$279.230,28
          5               $504.854,30          $227.935,03         $51.295,25        $$279.230,28
          6               $260.963,82          $243.890,48         $35.339,80        $$279.230,28
          7                    0               $260.963,82         $18.267,47        $$279.230,28


Obs: Podemos observar na tabela acima que, as prestações são fixas e que as amortizações são crescentes
    bem com o saldo devedor, podemos salientar também que nesta tabela pode-se inserir algumas colunas
    que serão somadas nas prestações tais como: IOF e indexador aplicado ao saldo devedor com IGP-M,
    INPC, variação do dólar e outros.




            O Método SAC (Sistema de Amortização Constante)



                                                -5-
                                   Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
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                            para Banco do Brasil S/A
            Neste sistema, as amortizações são constantes e iguais ao valor do
   empréstimo dividido pelo número de períodos de pagamentos, ou seja, as
   prestações possuem um decréscimo constante em um certo nível. Esse
   nível é calculado da seguinte forma: pega-se o valor do empréstimo e
   divide pelo número de prestações a amortizar e somam-se os juros.


(Exemplo 01) – Considere os seguintes dados:
   • Valor do empréstimo: $200.000,00
   • Prazo do reembolso: n=4 meses sem período de carência
   • Taxa de juros cobrados: i=10 % ao mês



   Resolução: Cálculo das amortizações At=$200.000,00/4=$50.000,00 assim
   a tabela ficará da seguinte forma:

     Período   Saldo Devedor        Amortização           Juros          Prestação
        n      SDt = SDt −1 − At          At          J t = i ⋅ SDt −1   Pt = At + J t

        0        $200.000,00               -                  -                -
        1        $150.000,00        $50.000,00        $20.000,00         $70.000,00
        2        $100.000,00        $50.000,00        $15.000,00         65.000,00
        3        $50.000,00         $50.000,00        $10.000,00         $60.000,00
        5            Zero           $50.000,00        $5.000,00          55.000,00




                                         -6-
                            Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
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 (Exemplo 02) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SAC.
      •   Valor do empréstimo: $9.000,00
      •   Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência
      •   Taxa de juros cobrados: i=2 % ao mês
      •   IOF: 2% sobre o valor das amortizações
      •   IGP-M: 1% sobre o saldo devedor nos 6 meses.
                                                               $9.000,00
      Resolução: Cálculo das amortizações:             At =              = $1.500,00
                                                                   6


                               A Tabela SAC com IOF e IGP-M

              Saldo                                                     IGP-
período                       Amortização      Juros            IOF                  Prestação
             Devedor                                                     M
                                                                 It      I gt
  n       SDt = SDt −1 − At       At        J t = i ⋅ SDt −1                    P = At + J t + I t + I gt
                                                                                 t

  0         $9.000,00              -               -              -       -                -
                                                                $30,0   $90,0
  1         $7.500,00         $1.500,00      $180,00                                $1.800,00
                                                                  0       0
                                                                $30,0   $75,0
  2         $6.000,00         $1.500,00      $150,00                                $1.755,00
                                                                  0       0
                                                                $30,0   $60,0
  3         $4.500,00         $1.500,00      $120,00                                $1.710,00
                                                                  0       0
                                                                $30,0   $45,0
  4         $3.000,00         $1.500,00       $90,00                                $1.665,00
                                                                  0       0
                                                                $30,0   30,00
  5         $1.500,00         $1.500,00       $60,00                                $1.420,00
                                                                  0
                                                                $30,0   $15,0
  6            zero           $1.500,00       $30,00                                $1.575,00
                                                                  0       0
      Obs: A determinação do custo efetivo deste financiamento será calculada da seguinte forma:
        Determine a taxa interna de retorno do fluxo de caixa que representa a equação abaixo:



                                              -7-
                                 Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
Curso de Matemática Financeira com HP-12C
                          para Banco do Brasil S/A
               .800,00 1.755,00 1.710,00 1.665,00 1.420,00 1.575,00 
              1                                                                    
P = 9.000,00 −          +           +           +           +           +            =0
               (1 +i )1                                                          6 
                          (1 +i ) 2
                                       (1 +i ) 3
                                                   (1 +i ) 4
                                                               (1 +i ) 5
                                                                           (1 +i ) 
                     O custo efetivo será o valor da TIR: i = 2,97%




                                     -8-
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                              para Banco do Brasil S/A


        O Método SACRE (Sistema de Amortização Crescente)

      Alguns financiamentos do Sistema Financeiros de Habitação adotam o
sistema SACRE, em que correspondem as médias aritméticas das prestações do
sistema Francês e SAC. Estes sistemas mistos são basicamente Sistemas de
Amortização com Prestações em Progressão Aritmética Crescente (SAPPA). Os
reembolsos podem ser calculados pelas seguintes fórmulas:

                                            P ⋅ (1 − q )          1 
                                   R1 =                      + q ⋅ + i ⋅ P
   1. Valor da Prestação:                  (1 + i ) − 1
                                                  n               n 
                                                          
                                           (1 + i ) n ⋅ i 
                                                          

   2. Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das
                                            i⋅P
       prestações:                 r = q⋅
                                             n

   3. Valor das prestações no período t, (t>1): Rt +1 = Rt − r

   4. Onde:

              P = Valor do empréstimo no inicio do período

              Rt = Valor da primeira das n prestações decrescentes

              O valor de q = coeficiente variável por tipo de plano.

              O valor de r = razão da progressão que corresponde ao
              decréscimo do valor das prestações sucessivas

       Obs: Neste esquema, dependendo do valor de q, o sistema adotado pode resultar no
sistema Francês (q=0) ou no sistema SAC no caso q=1, o valor de q deve ser especificado
contratualmente.
       Um caso particular muito utilizado é denominado Sistema de Amortização Misto no
qual, q = ½. Neste sistema, as prestações corresponder a média aritmética devido a
ponderação ½ das prestações calculadas para o sistema Francês e SAC nas mesmas
condições de financiamentos.



                                          -9-
                             Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
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(Exemplo 01) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SACRE
   •   Valor do empréstimo: $12.000,00
   •   Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência
   •   Taxa de juros cobrados: i=2 % ao mês
   •   Considere q = ½. (previsto no contrato)

Resolução:
  Antes de construir a tabela de amortizações devemos primeiro calcular os
  seguintes valores:

   Valor da Prestação:
        12.000,00 ⋅ (1 − 0,50)             1       
   R1 =                           +1 / 2 ⋅  + 0,02  ⋅12.000,00 = 2.191,15
          (1 + 0,02) −1 
                        6                  6       
                               
          (1 + 0,02 ) 6 ⋅ 0,02 
                               

   Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das
                                                    0,02 ⋅12.000,00
   prestações:                         r =1 / 2 ⋅                   = 20
                                                           6

   Valor das prestações no período t, (t>1): Rt +1 = Rt           −r

   Agora temos condições de montar a tabela SACRE.

       Período    Saldo Devedor         Amortização              Juros          Prestação
          n       SD t = SDt −1 − At      At = Pt − J t      J t = i ⋅ SDt −1   Pt +1 = Pt − r

         0          $12.000,00                  -                   -                 -
         1          $10.048,85            $1.951,15            $240,00          $2.191,15
         2           $8.078,68            $1.970,17            $200,98          $2.171,15
         3           $6.098,10            1.989,58$            $161,57          $2.151,15
         4           $4.079,73            $2.009,37            $121,78          $2.131,15
         5           $2.050,17            $2.029,56            $81,59           $2.111,15
         6              zero              $2.050,15            $41,00           $2.091,15


                                           - 10 -
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Curso de Matemática Financeira com HP-12C
                                          para Banco do Brasil S/A


          (Exemplo 02) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SACRE
             • Valor do empréstimo: $10.000,00
             • Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência
             • Taxa de juros cobrados: i=2,50 % ao mês
             • IOF: 1,50% ao ano (taxa proporcional ao mês: 0,1250%), sobre o saldo
               devedor no mês anterior em cada período.
             • TR: 0,25% ao mês em média sobre o saldo devedor no mês anterior em
               cada período.
             • Considere q = ½. (Sistema Misto)

          Resolução:
            Antes de construir a tabela de amortizações devemos primeiro calcular os
            seguintes valores:
            Valor da Prestação:
                  10.000,00 ⋅ (1 − 0,50 )           1        
             R1 =                          +1 / 2 ⋅  + 0,025  ⋅10.000,00 = 1.866,08
                   (1 + 0,025) −1 
                                 6                  6        
                                        
                   (1 + 0,025) 6 ⋅ 0,02 
                                        
            Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das
                                                             0,025 ⋅10.000,00
             prestações:                        r =1 / 2 ⋅                       = 20,83
                                                                      6
             Valor das prestações no período t,            (t>1): Rt +1 = Rt − r
               Saldo       Amortizaçã                                                               Prestação c/
Período                                    Juros                   IOF      TR      Prestação
              Devedor              o                                                                 Imposto
  n        SDt = SD t −1 − At   At = Pt − J t   J t = i ⋅ SDt −1    It      I tr   Pt = Pt −1 − r   Ptotal = Pt + I total

   0         $10.000,00               -                -             -                     -                  -
                                                                   $12,5   $25,0
   1          $8.383,92         $1.616,08         $250,00                           $1.866,08           $1.903,58
                                                                     0       0
                                                                   $10,4   $20,9
   2          $6.748,27         $1.635,65         $209,60                           $1.845,25           $1.876,69
                                                                     8       6
                                                                           $16,8
   3          $5.092,56         $1.655,71         $168,71          $8,44            $1.824,42           $1.849,73
                                                                             7
                                                                           $12,7
   4          $3.416,28         $1.676,28         $127,31          $6,37            $1.803,59           $1.822,69
                                                                             3
   5          $1.718,93         $1.697,35          $85,41          $4,27   $8,54    $1.782,76           $1.795,57

   6             0,03           $1.718,96          $42,97          $2,15   $4,30    $1.761,93           $1.768,38


                                                      - 11 -
                                          Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
Curso de Matemática Financeira com HP-12C
                              para Banco do Brasil S/A
Obs: As amortizações foram feitas em relação à prestação sem incorporar o indexador (TR). Se a TR for
incorporada nas amortizações, ocorrerá em saldo devedor no 5º período menor que a amortização no
último período.


                         Custo Efetivo de Financiamentos

    Normalmente sobre os financiamentos incide uma série de custos
adicionais, como o imposto sobre operações financeiras, comissão, taxa de
administração, referencial etc. Estes encargos aumentam o custo do
financiamento, tornando indispensável o cálculo do custo efetivo de forma
a permitir comparações entre as diversas fontes de financiamento, assim na
tabela do exercício anterior poderemos calcular o custo efetivo do referido
financiamento.
    Para efetuar este cálculo, determina-se a taxa interna de retorno do
financiamento, usando uma calculadora financeira ou lançando mão de
métodos numéricos, ou seja, interpolação linear. Assim determina-se uma
taxa que faz com que o valor presente da equação financeira seja igual a
zero, da seguinte forma:
               .903,58 1.876,69 1.849,73 1.822,69 1.795,57 1.768,38 
              1                                                                    
P =10.000,00 −          +           +           +           +           +            =0
               (1 +i )                                                           6 
              
                       1
                           (1 +i ) 2
                                       (1 +i ) 3
                                                   (1 +i ) 4
                                                               (1 +i ) 5
                                                                           (1 +i ) 



    Esta equação representa o fluxo de caixa dos pagamentos no
financiamento na tabela do exercício anterior. Com o uso da HP-12C
calcula-se o valor do custo efetivo deste financiamento que será igual a
2,88% ao mês.
Bibliografia:
(1): Samanez, Carlos Patrício – Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos/ Carlos
Patrício Samanez – São Paulo: Makron Books, 1994.
(2): Hazzan, Samuel – Matemática Financeira / Samuel Hazzan, José Nicolau Pompeo. 5 a.Edição, São
Paulo – Saraiva: 2001.
(3): Puccini, Abelardo de Lima – Matemática Financeira / Abelardo de Lima Puccini. 5 a. Ed., Rio de
Janeiro – JC Editora, 1995.
(4): Samanez, Carlos Patrício – Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos/ Carlos
Patrício Samanez. 2a. Edição – São Paulo: Makron Books, 1999.
                                          - 12 -
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  • 1. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A Planos de Amortizações de Empréstimos e Financiamentos (6.1) Reembolso de Empréstimos sem Atualização Monetária O processo de reembolso de um empréstimo consiste nos pagamentos das prestações em épocas determinadas. Estas prestações consistem em duas parcelas: a) as amortizações (devolução do principal emprestado). B -Os juros que corresponde ao saldo do empréstimo não reembolsado, ou seja: P= A+J (prestação será igual às amortizações mais os juros). O termo carência designa o período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data que será paga a primeira prestação. Em geral, este período é negociado entre o credor e o mutuário, ou devedor. Qualquer sistema de amortização pode ou não ter carência. Alguns dos principais e mais utilizados sistemas de amortização ou reembolso de empréstimo são: A) Sistema Francês de Amortização. B) Tabela Price. C) Sistema de Amortização Constante.(SAC). D) Sistema de Amortização Crescente. (SACRE) (6.2) Sistema Francês de Amortização. (Exemplo 01) Um empréstimo de $200.000,00 será pago pelo sistema francês de amortização em 4 prestações mensais postecipadas, sem período de carência. Se a taxa de juros é de 10% ao mês, Construir a planilha. Solução: Considerando que o principal será devolvido em 4 prestações iguais temos que calcular ema série uniforme que por nosso modelo básico de rendas uniformes pode der assim calculada: U=P(P/U, i%,n)=$63.094,00. O procedimento seguido na elaboração do quadro de pagamentos é o seguinte: ·(1) Cálculo da prestação: Rt = $63.094,00 2) Calculam-se os juros sobre o saldo devedor do período anterior: J t = i ⋅ SDt −1 = 0,10 ⋅ $156.906,00 = $15.690,60 3) A amortização de cada período é calculada pela diferença entre o valor da prestação e o juros do período: At = Rt − J t = $63.094,00 −$15.690,60 = $47.403,40 -1- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 2. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A 4) O saldo devedor de cada período será igual ao saldo devedor do período anterior menos a amortização do período: SDt = SDt −1 − At = $156.906,00 − $47.403,40 Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SDt = SDt −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt 0 $200.000,00 - - - 1 $156.906,00 $43.094,00 20.000,00 $63.094,00 2 $109.502,60 $47.403,40 $15.690,60 $63.094,00 3 $57.358,86 $52.143,74 $10.950,26 $63.094,00 4 0 $57.358,86 $5.735,89 $63.094,00 _______________________________________________________________ (Exercício 02): No exemplo anterior, se considerarmos um período de carência de 3 meses em que serão pagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização pelo método francês Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SD t = SDt −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt 0 $200.000,00 - - - 1 $200.000,00 - $20.000,00 $20.000,00 2 $200.000,00 - $20.000,00 $20.000,00 3 $156.906,00 $43.093,00 $20.000,00 $63.094,00 4 $109.906,60 $47.358,86 $15.690,00 $63.094,00 5 $57.358,86 52.143,74 $10.950,26 $63.094,00 6 0 57.358,86 $5.735,89 $63.094,00 O procedimento é igual ao exercício anterior. A única diferença é que, nos meses do período de carência, são pagos os juros devidos sobre o saldo devedor, ou seja: 0,10.$200.000,00=$20.000,00 -2- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 3. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A (Exercício 03) - No exemplo anterior, se o período de carência os juros forem capitalizados e incorporados nas prestações, construir a planilha de amortização. Resolução: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SD t = SDt −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt 0 $200.000,00 - - - 1 $220.000,00 - - - 2 $242.000,00 - - - 3 $189.856,18 $52.143,82 $24.200,00 $76.343,82 4 $132.497,98 $57.358,98 $18.985,62 $76.343,82 5 $69.403,96 $63.094,02 $13.249,80 $76.343,82 6 0 $69.403,96 $6.940,40 $76.343,82 O empréstimo começará a ser amortizado no final do 3 º mês de carência, logo o saldo devedor do empréstimo deverá ser capitalizado à taxa de 10% ao mês durante 2 períodos, ou 3 períodos a partir da data zero. Através da fórmula abaixo poderemos calcular o valor das prestações  (1 + i ) n ⋅ i   (1 + 0,10 ) 3 ⋅ 0,10  U = P⋅ = 242.000,00 ⋅   = 76.343,82  (1 + i ) − 1   (1 + 0,10) −1  n 3 O saldo devedor no final do segundo período será calculado da seguinte forma: SD2=200.000,00(1+0,10)3=242.000,00 -3- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 4. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A O Método Price de Financiamentos Este é um caso particular do Sistema Francês de Amortização, em que a taxa de juros é dada em termos nominais (na prática é dada em termos anuais) e as prestações tem período menor que aquele que se refere as taxas de juros (em geral as prestações são mensais). Neste caso, o cálculo das prestações é feito usando as taxas proporcionais ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal. (Exemplo 01) – Um empréstimo de $200.000,00 será pago em 3 prestações mensais iguais sem período de carência. Se a taxa de juros for de 180% ao ano, construir a tabela de amortização. Resolução: Sendo os juros proporcionais, temos que: 180/12=15% ao mês. Portanto o cálculo das prestações fica:  (1 + 0,15) n ⋅ 0,15  P = $200.000,00 ⋅  = $87.595,21(Valor das Prestações).  (1 + 0,15) −1  n Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SDt = SDt −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt 0 $200.000,00 - - - 1 $142.404,79 $57.595,00 30.000,00 $87.595,21 2 $76.170,30 $66.234,49 $21.360,72 $87.595,21 3 zero $76.170,30 $11.425,55 $87.595,21 -4- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 5. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A (Exemplo 02) – Um empréstimo de $1.000,00 será pago em 3 prestações trimestrais iguais com período de carência.de 3 trimestres. Se a taxa de juros nominais for de 28% ao ano, construir a tabela de amortização. Os juros serão capitalizados e incorporados ao principal durante o período de carência. Resolução: Considerando que os juros são capitalizados durante a carência, a capitalização do principal será feita no 2º trimestre. Os juros serão igual a (i/k) = 28%ao ano/4 trimestres= 7 % ao trimestre, assim o cálculo da prestação fica da seguinte forma: (1 + 0,07 ) 5 ⋅ 0,07  P = $1.000.000,00 ⋅   = $279.230,28 (Valor das Prestações).  (1 + 0,07 ) 5 −1    Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SDt = SD t −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt 0 $1.000.000,00 - - - 1 $1.070.000,00 - - - 2 $1.144.900,00 - - - 3 $945.812,72 $199.087,28 $80.143,00 $279.230,28 4 $732.789,33 $213.023,39 $66.206,89 $$279.230,28 5 $504.854,30 $227.935,03 $51.295,25 $$279.230,28 6 $260.963,82 $243.890,48 $35.339,80 $$279.230,28 7 0 $260.963,82 $18.267,47 $$279.230,28 Obs: Podemos observar na tabela acima que, as prestações são fixas e que as amortizações são crescentes bem com o saldo devedor, podemos salientar também que nesta tabela pode-se inserir algumas colunas que serão somadas nas prestações tais como: IOF e indexador aplicado ao saldo devedor com IGP-M, INPC, variação do dólar e outros. O Método SAC (Sistema de Amortização Constante) -5- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 6. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A Neste sistema, as amortizações são constantes e iguais ao valor do empréstimo dividido pelo número de períodos de pagamentos, ou seja, as prestações possuem um decréscimo constante em um certo nível. Esse nível é calculado da seguinte forma: pega-se o valor do empréstimo e divide pelo número de prestações a amortizar e somam-se os juros. (Exemplo 01) – Considere os seguintes dados: • Valor do empréstimo: $200.000,00 • Prazo do reembolso: n=4 meses sem período de carência • Taxa de juros cobrados: i=10 % ao mês Resolução: Cálculo das amortizações At=$200.000,00/4=$50.000,00 assim a tabela ficará da seguinte forma: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SDt = SDt −1 − At At J t = i ⋅ SDt −1 Pt = At + J t 0 $200.000,00 - - - 1 $150.000,00 $50.000,00 $20.000,00 $70.000,00 2 $100.000,00 $50.000,00 $15.000,00 65.000,00 3 $50.000,00 $50.000,00 $10.000,00 $60.000,00 5 Zero $50.000,00 $5.000,00 55.000,00 -6- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 7. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A (Exemplo 02) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SAC. • Valor do empréstimo: $9.000,00 • Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência • Taxa de juros cobrados: i=2 % ao mês • IOF: 2% sobre o valor das amortizações • IGP-M: 1% sobre o saldo devedor nos 6 meses. $9.000,00 Resolução: Cálculo das amortizações: At = = $1.500,00 6 A Tabela SAC com IOF e IGP-M Saldo IGP- período Amortização Juros IOF Prestação Devedor M It I gt n SDt = SDt −1 − At At J t = i ⋅ SDt −1 P = At + J t + I t + I gt t 0 $9.000,00 - - - - - $30,0 $90,0 1 $7.500,00 $1.500,00 $180,00 $1.800,00 0 0 $30,0 $75,0 2 $6.000,00 $1.500,00 $150,00 $1.755,00 0 0 $30,0 $60,0 3 $4.500,00 $1.500,00 $120,00 $1.710,00 0 0 $30,0 $45,0 4 $3.000,00 $1.500,00 $90,00 $1.665,00 0 0 $30,0 30,00 5 $1.500,00 $1.500,00 $60,00 $1.420,00 0 $30,0 $15,0 6 zero $1.500,00 $30,00 $1.575,00 0 0 Obs: A determinação do custo efetivo deste financiamento será calculada da seguinte forma: Determine a taxa interna de retorno do fluxo de caixa que representa a equação abaixo: -7- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 8. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A  .800,00 1.755,00 1.710,00 1.665,00 1.420,00 1.575,00  1  P = 9.000,00 − + + + + + =0  (1 +i )1 6   (1 +i ) 2 (1 +i ) 3 (1 +i ) 4 (1 +i ) 5 (1 +i )  O custo efetivo será o valor da TIR: i = 2,97% -8- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 9. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A O Método SACRE (Sistema de Amortização Crescente) Alguns financiamentos do Sistema Financeiros de Habitação adotam o sistema SACRE, em que correspondem as médias aritméticas das prestações do sistema Francês e SAC. Estes sistemas mistos são basicamente Sistemas de Amortização com Prestações em Progressão Aritmética Crescente (SAPPA). Os reembolsos podem ser calculados pelas seguintes fórmulas: P ⋅ (1 − q ) 1  R1 = + q ⋅ + i ⋅ P 1. Valor da Prestação:  (1 + i ) − 1 n n     (1 + i ) n ⋅ i    2. Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das i⋅P prestações: r = q⋅ n 3. Valor das prestações no período t, (t>1): Rt +1 = Rt − r 4. Onde: P = Valor do empréstimo no inicio do período Rt = Valor da primeira das n prestações decrescentes O valor de q = coeficiente variável por tipo de plano. O valor de r = razão da progressão que corresponde ao decréscimo do valor das prestações sucessivas Obs: Neste esquema, dependendo do valor de q, o sistema adotado pode resultar no sistema Francês (q=0) ou no sistema SAC no caso q=1, o valor de q deve ser especificado contratualmente. Um caso particular muito utilizado é denominado Sistema de Amortização Misto no qual, q = ½. Neste sistema, as prestações corresponder a média aritmética devido a ponderação ½ das prestações calculadas para o sistema Francês e SAC nas mesmas condições de financiamentos. -9- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 10. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A (Exemplo 01) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SACRE • Valor do empréstimo: $12.000,00 • Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência • Taxa de juros cobrados: i=2 % ao mês • Considere q = ½. (previsto no contrato) Resolução: Antes de construir a tabela de amortizações devemos primeiro calcular os seguintes valores: Valor da Prestação: 12.000,00 ⋅ (1 − 0,50) 1  R1 = +1 / 2 ⋅  + 0,02  ⋅12.000,00 = 2.191,15  (1 + 0,02) −1  6 6     (1 + 0,02 ) 6 ⋅ 0,02    Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das 0,02 ⋅12.000,00 prestações: r =1 / 2 ⋅ = 20 6 Valor das prestações no período t, (t>1): Rt +1 = Rt −r Agora temos condições de montar a tabela SACRE. Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SD t = SDt −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt +1 = Pt − r 0 $12.000,00 - - - 1 $10.048,85 $1.951,15 $240,00 $2.191,15 2 $8.078,68 $1.970,17 $200,98 $2.171,15 3 $6.098,10 1.989,58$ $161,57 $2.151,15 4 $4.079,73 $2.009,37 $121,78 $2.131,15 5 $2.050,17 $2.029,56 $81,59 $2.111,15 6 zero $2.050,15 $41,00 $2.091,15 - 10 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 11. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A (Exemplo 02) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SACRE • Valor do empréstimo: $10.000,00 • Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência • Taxa de juros cobrados: i=2,50 % ao mês • IOF: 1,50% ao ano (taxa proporcional ao mês: 0,1250%), sobre o saldo devedor no mês anterior em cada período. • TR: 0,25% ao mês em média sobre o saldo devedor no mês anterior em cada período. • Considere q = ½. (Sistema Misto) Resolução: Antes de construir a tabela de amortizações devemos primeiro calcular os seguintes valores: Valor da Prestação: 10.000,00 ⋅ (1 − 0,50 ) 1  R1 = +1 / 2 ⋅  + 0,025  ⋅10.000,00 = 1.866,08  (1 + 0,025) −1  6 6     (1 + 0,025) 6 ⋅ 0,02    Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das 0,025 ⋅10.000,00 prestações: r =1 / 2 ⋅ = 20,83 6 Valor das prestações no período t, (t>1): Rt +1 = Rt − r Saldo Amortizaçã Prestação c/ Período Juros IOF TR Prestação Devedor o Imposto n SDt = SD t −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 It I tr Pt = Pt −1 − r Ptotal = Pt + I total 0 $10.000,00 - - - - - $12,5 $25,0 1 $8.383,92 $1.616,08 $250,00 $1.866,08 $1.903,58 0 0 $10,4 $20,9 2 $6.748,27 $1.635,65 $209,60 $1.845,25 $1.876,69 8 6 $16,8 3 $5.092,56 $1.655,71 $168,71 $8,44 $1.824,42 $1.849,73 7 $12,7 4 $3.416,28 $1.676,28 $127,31 $6,37 $1.803,59 $1.822,69 3 5 $1.718,93 $1.697,35 $85,41 $4,27 $8,54 $1.782,76 $1.795,57 6 0,03 $1.718,96 $42,97 $2,15 $4,30 $1.761,93 $1.768,38 - 11 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 12. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A Obs: As amortizações foram feitas em relação à prestação sem incorporar o indexador (TR). Se a TR for incorporada nas amortizações, ocorrerá em saldo devedor no 5º período menor que a amortização no último período. Custo Efetivo de Financiamentos Normalmente sobre os financiamentos incide uma série de custos adicionais, como o imposto sobre operações financeiras, comissão, taxa de administração, referencial etc. Estes encargos aumentam o custo do financiamento, tornando indispensável o cálculo do custo efetivo de forma a permitir comparações entre as diversas fontes de financiamento, assim na tabela do exercício anterior poderemos calcular o custo efetivo do referido financiamento. Para efetuar este cálculo, determina-se a taxa interna de retorno do financiamento, usando uma calculadora financeira ou lançando mão de métodos numéricos, ou seja, interpolação linear. Assim determina-se uma taxa que faz com que o valor presente da equação financeira seja igual a zero, da seguinte forma:  .903,58 1.876,69 1.849,73 1.822,69 1.795,57 1.768,38  1  P =10.000,00 − + + + + + =0  (1 +i ) 6   1 (1 +i ) 2 (1 +i ) 3 (1 +i ) 4 (1 +i ) 5 (1 +i )  Esta equação representa o fluxo de caixa dos pagamentos no financiamento na tabela do exercício anterior. Com o uso da HP-12C calcula-se o valor do custo efetivo deste financiamento que será igual a 2,88% ao mês. Bibliografia: (1): Samanez, Carlos Patrício – Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos/ Carlos Patrício Samanez – São Paulo: Makron Books, 1994. (2): Hazzan, Samuel – Matemática Financeira / Samuel Hazzan, José Nicolau Pompeo. 5 a.Edição, São Paulo – Saraiva: 2001. (3): Puccini, Abelardo de Lima – Matemática Financeira / Abelardo de Lima Puccini. 5 a. Ed., Rio de Janeiro – JC Editora, 1995. (4): Samanez, Carlos Patrício – Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos/ Carlos Patrício Samanez. 2a. Edição – São Paulo: Makron Books, 1999. - 12 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  • 13. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A - 13 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
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