O documento discute os conceitos de amortização diferida, capitalização e sistemas de amortização. Especificamente, (1) amortização diferida ocorre quando o primeiro pagamento é feito após um período p, (2) a capitalização envolve depósitos periódicos para obter um montante futuro usando o fator de acumulação, e (3) os sistemas de amortização constante distribuem pagamentos de forma uniforme ao longo do tempo.

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COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIO
Matemática Financeira
Marcos Luciano
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SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES E
PERIÓDICOS (AMORTIZAÇÕES)
Existem três tipos de Amortizações (Rendas
Certas):
Classificação das Amortizações:
I. Postecipadas;
II. Antecipadas;
III. Diferidas ou com carência.
Observação: quando não for informado o
modelo de Amortização, deve-se considerar a
Amortização Postecipada.
III. AMORTIZAÇÃO DIFERIDA (COM
CARÊNCIA)
É a renda em que o primeiro pagamento ocorre
p períodos após a realização do negócio.
Assim sendo o nº de prestações é igual a n, a
primeira prestação será paga na data p + 1 e a
última prestação será quitada na data n + p.
Fórmula para o cálculo do Valor Atual
(Presente): sendo P o valor das prestações, A
o valor atual (valor atual) e i a taxa de juros
compostos, assim a fórmula para o cálculo de
A é:
• Com tabela:
𝐴 = 𝑃[𝑎 𝑛+𝑝¬𝑖 − 𝑎 𝑝¬𝑖]
• Sem tabela ou com a tabela do fator de
acumulação de capital (1 + 𝑖) 𝑛
:
𝐴 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖) 𝑛
− 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖) 𝑛+𝑝
EXERCÍCIOS EM AULA:
01. (TCE PI ESAF) Uma operação de
financiamento de capital de giro no valor de R$
50.000,00 deverá ser liquidada em doze
prestações mensais e iguais com carência de
quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento
só será efetuado ao final do quarto mês.
Sabendo que foi contratada uma taxa de juros
de 4% ao mês, então o valor de cada uma das
prestações será igual a:
(A) R$ 5.856,23
(B) R$ 5.992,83
(C) R$ 6.230,00
(D) R$ 6.540,00
(E) R$ 7.200,00
RESOLUÇÃO:
02. (ANALISTA DE ORÇAMENTO) Uma
dívida, no valor de R$ 9.159,40, vai ser paga
em cinco prestações mensais iguais e
consecutivas, a primeira delas vencendo ao
completar três meses da data do contrato.
Os juros são compostos, à taxa de 3% ao
mês. O valor de cada uma das prestações
deve ser:
(A) R$ 1.793,77
(B) R$ 2.121,80
(C) R$ 2.185,45
(D) R$ 2.251,01
(E) R$ 2.612,76
RESOLUÇÃO:
IV. CAPITALIZAÇÃO
Consiste em depósitos sucessivos, periódicos
e de mesmo valor, a uma taxa de juros
compostos, com o objetivo de obter um
montante (valor futuro).
Fórmula para o cálculo do Montante (valor
futuro): sendo C o valor dos depósitos, M o
valor do montante (valor futuro) e i a taxa de
juros compostos, assim a fórmula para o
cálculo de M é:
• Sem tabela ou com a tabela de juros
compostos:
𝑀 = 𝐶 ∙
(1 + 𝑖) 𝑛
− 1
𝑖
Sendo,
(1 + 𝑖) 𝑛
− 1
𝑖

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Denominado de FATOR DE ACUMULAÇÃO
DE UMA SÉRIE DE CAPITAIS. Tal fator pode
ser indicado pela seguinte notação:
𝑠 𝑛,𝑖
Assim, a expressão acima pode ser escrita da
seguinte forma:
𝑀 = 𝐶 ∙ 𝑠 𝑛,𝑖
(𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 ∙ 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟)
Para cada valor de i e n, se obtém um valor
diferente para tal fator. Dessa forma, o mesmo
pode ser obtido em uma tabela. Segue a tabela
para sua visualização:
Assim, a fórmula:
𝑀 = 𝐶 ∙ 𝑠 𝑛,𝑖
(𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 ∙ 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟)
É para ser utilizada quando for informada a
tabela III.
EXERCÍCIOS EM AULA:
01. (BACEN ESAF) Um contrato de
aplicação financeira prevê que depósitos de
mesmo valor sejam feitos mensalmente em
uma conta de aplicação durante dezoito
meses com o objetivo de atingir o montante
de R$ 100.000,00 ao fim desse prazo.
Obtenha o valor mais próximo da quantia
que deve ser depositada ao final de cada
mês, considerando uma taxa de rendimento
de 3% ao mês:
(A) R$ 5.550,00
(B) R$ 4.900,00
(C) R$ 4.782,00
(D) R$ 4.270,00
(E) R$ 4.000,00
RESOLUÇÃO:
02. (CVM ESAF) Um cliente negociou com
seu banco depositar a quantia de
R$1.000,00, ao fim de cada mês, para obter
R$ 21.412,31, ao fim de 18 meses. A que
taxa efetiva anual o banco renumerou o
capital de seu cliente?
(A) 12%
(B) 12,68%
(C) 2%
(D) 24%
(E) 26,82%
RESOLUÇÃO:
03. (IRB ESAF 2004) Um contrato prevê que
aplicações iguais sejam feitas mensalmente
em uma conta durante quatro meses com o
objetivo de atingir o montante de R$
10.000,00 ao fim deste prazo. Calcule
quanto deve ser aplicado ao fim de cada
mês, considerando rendimentos de juros
compostos de 4% ao mês e uma dedução
de 25% dos juros realizada imediatamente
antes de cada capitalização com o intuito de
remunerar uma terceira parte. (Despreze os
centavos):
(A) R$ 2.354,00
(B) R$ 2.390,00
(C) R$ 2.420,00
(D) R$ 2.500,00
(E) R$ 3.187,00
RESOLUÇÃO:

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SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES
Denominamos de Sistemas de Amortização às
diferentes formas de devolução de um
empréstimo. Existem vários tipos Sistemas de
Amortização:
• Sistema de Amortização Constante
(SAC);
• Sistema de Amortização Francês
(tabela Price).
RESOLUÇÃO:
Nomenclaturas e definições importantes:
• Principal: é o valor emprestado,
financiado é o saldo devedor inicial
(SD0);
• Prestação (P): é o valor pago em
determinado período formado por duas
parcelas; uma que representa os juros e
outra que representa a amortização do
principal;
𝑃𝑘 = 𝐴 𝑘 + 𝐽 𝑘
• Amortização (A): é o valor que reduz a
dívida (principal), que restitui a dívida;
• Juros (J): são calculados sobre o saldo
devedor. Os juros de um certo período
é calculado com base no saldo devedor
do período anterior, ou seja;
𝑗 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 ∙ 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
⇒ 𝑗 𝑘 = 𝑖 ∙ 𝑆𝐷(𝑘−1)
• Saldo Devedor (SDk) : é o valor da
dívida, ou seja o quanto falta ser pago
em uma certa data. O saldo devedor do
período é igual ao saldo devedor do
período anterior menos a amortização
do período, ou seja;
𝑆𝐷 𝑘 = 𝑆𝐷(𝑘−1) − 𝐴 𝑘
I. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
CONSTANTE
Como a própria nomenclatura afirma, as
amortizações são constantes e são calculadas
da seguinte forma:
𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 =
𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠
⇒ 𝐴 =
𝑆𝐷0
𝑛
EXEMPLO:
Considere um empréstimo de R$ 100.000,00
que será devolvido pelo Sistema de
Amortizações Constantes (SAC) em 4
prestações mensais e postecipadas à taxa de
juros composta de 10% ao mês. Construa a
planilha de pagamentos.
RESOLUÇÃO:
A partir dos dados:
𝑆𝐷0 = 100.000 ; 𝑛 = 4 ; 𝑖 = 4% 𝑒 𝑆𝐴𝐶
Vamos calcular o valor da amortização
(constante) e preencher a planilha:
𝐴 =
𝑆𝐷0
𝑛
=
100.00
4
= 25.000

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Características do SAC:
 As cotas de amortizações são
constantes;
 O saldo devedor, os juros e as
prestações diminuem em progressão
aritmética;
 As prestações e os juros diminuem
numa P.A. de razão negativa = - i·A
(taxa x tempo);
 A maior prestação do SAC é a
primeira;
 A última cota de amortização igual ao
penúltimo saldo devedor;
 O saldo devedor de qualquer período
será obtido por:
𝑆. 𝐷𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
= 𝑆. 𝐷𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
∙ 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜
⇒ 𝑆𝐷 𝑘 = 𝑆𝐷0 − 𝑘 ∙ 𝐴
 Outra forma interessante se calcular o
Saldo devedor em um período será
através da seguinte relação:
𝑆. 𝐷𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
= (𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜)
∙ 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜
⇒ 𝑆𝐷 𝑛 = (𝑛 − 𝑘) ∙ 𝐴
EXERCÍCIOS EM AULA
01. (AFPS ESAF) Um financiamento
habitacional no valor de R$ 120.000,00 vai
ser pago por prestações mensais
calculadas pelo sistema das amortizações
constantes, a uma taxa de juros nominal de
12% ao ano, durante dez anos. Calcule
décima prestação mensal do
financiamento:
(A) R$ 2.200,00
(B) R$ 2.120,00
(C) R$ 2.110,00
(D) R$ 2.100,00
(E) R$ 2.000,00
RESOLUÇÃO:
02. (ISS RJ ESAF 2010) Um financiamento
no valor de R$ 360.000,00 deve ser pago em
180 prestações mensais, pelo Sistema de
Amortizações Constantes - SAC, a uma taxa
nominal de 12% ao ano, vencendo a
primeira prestação ao fim do primeiro mês,
a segunda ao fim do segundo mês e assim
sucessivamente. Calcule o valor mais
próximo da décima prestação.
(A) R$ 5.600,00
(B) R$ 5.420,00
(C) R$ 5.400,00
(D) R$ 5.380,00
(E) R$ 5.500,00
RESOLUÇÃO:
03. (ADMINISTRADOR JÚNIOR PETROBRÁS
CESGRANRIO 2010) A PHP Participações
toma hoje, no Banco XPTO, um empréstimo
de R$ 100.000,00 que deve ser pago em 5
prestações anuais, pelo sistema de
amortização constante (SAC), com juros de
12% ao ano. A primeira prestação vence
dentro de um ano. A soma das cinco
prestações (principal e juros) que a PHP vai
pagar ao XPTO, em reais, será:
(A) 112.000,00
(B) 124.000,00
(C) 136.000,00
(D) 138.704,87
(E) 160.000,00
RESOLUÇÃO: