Números Complexos
Ao final dessa aula você                         saberá:    O que é um número complexo e sua    representação algébrica ...
O que é um número                    complexo?      É todo número z escrito na forma a + bi,    sendo “a” a parte real e “...
O que é o “i”?    É a unidade imaginária, sendo i2 = - 1.Dessa forma podemos calcular o valor daraiz de números negativos ...
O que é um número               imaginário puro? É um número complexo z = a + bi, cujaparte real é igual a zero, ou seja, ...
Logo, temos que o conjuntos dos    Números Reais é um subconjunto        dos Números Complexos.                     CR    ...
Como sabemos se dois                números complexos são                       iguais? Sendo dois números complexos: z1 =...
Tente fazer sozinho!Determine m e n reais de modo que          m + (n-1)i = 3i
Soluçãom + (n-1)i = 3im=0en–1=3 n=4
Como representamos o                    conjugado de um número                          complexo?     Sendo o número compl...
Como calculamos as                      potências de i?Usando as regras de potência já conhecidas. i0 =1                 ...
Exemplo:(PUC-MG) O número complexo (1 + i) 10 éigual a:a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i)[(1 + i)2]5 = [1 + 2i + i2]5 ...
Tente fazer sozinho!(Vunesp) Se a, b, c são números inteirospositivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, emque i2 = -1, o valor...
Soluçãoc = (a + bi)2 – 14ic = a2 + 2abi + b2i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14ic + 0i = (a2 – b2) + (2ab – 14)i2ab – 14 = 0  ...
Como somamos ou                  subtraímos números                      complexos?  Basta somar (ou subtrair)as partes re...
Como multiplicamos              números complexos?Basta aplicar a propriedade distributiva.Exemplo:(5 + 2i) (2 + 3i) = 10 ...
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Tente fazer sozinho!                                           x −1                                           2(Cefet-MG) ...
Soluçãox −1 i −1 −1 −1 2         2                  −2    2    = 3  =      =     =x −1 i −1 − i −1 −1− i 1+ i 3  2(1 − i )...
Como representamos um                   número complexo no                         gráfico?  Basta representar a parte rea...
O que é o módulo de              um número complexo?  É a distância entre a origem e o ponto quecorresponde a esse número....
Como calculamos o                 módulo de um número                     complexo?Usando a fórmula z = ρ = a + b .       ...
Tente fazer sozinho!(UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor     ade     é:     ba) 3     b) 2    c) 5d) 2 2      e)...
Solução  a a    2 +4    2   2   = =              =  b b  1 + ( − 3)        2         2   4 + 16   20   20          =    = ...
O que é argumento de um             número complexo?  É o ângulo que o módulo do númerofaz com o eixo x.   y              ...
Tente fazer sozinho!(URRN) Se z =                (1 + i )   2                               , então o argumento de z é:   ...
Soluçãoz=   (1 + i )=               2             1 + 2i − 1 2i                       =      1− i      1− i     1− i    2i...
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Como escrevemos a forma                  trigonométrica de um número                          complexo?                z =...
Tente fazer sozinho!(Cefet-PR) A forma algébrica do complexo           7π        7π  z =3cos   +isen    :             ...
Solução          7π        7π z = 3 cos    + isen               6         6                                      7πz...
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Como multiplicamos                      complexos na forma                         trigonométrica?   z1.z 2 = ρ1.ρ 2 .[ co...
Como dividimos                     complexos na forma                       trigonométrica?        z1 ρ1           =   [ c...
Como calculamos uma                      potência complexos na                       forma trigonométrica?          z n = ...
Tente fazer sozinho!                                       6 + 6i(UPF-RS) Quanto ao número complexo z =        ,          ...
Soluçãoa) Escrito na forma algébrica é z = 6i   6 + 6i ( 6 + 6i )(1 + i ) 6 + 6i + 6i − 6 12iz=       =                   ...
6 + 6i            z=               1− i                      πc) O argumento de z é   rad.                      2       a ...
d) Escrito na forma trigonométrica                            tem-se:                  z = 6( cos π + i senπ )z = ρ ( cos ...
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  1. 1. Números Complexos
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá: O que é um número complexo e sua representação algébrica O que é um número imaginário puro e igualdade dos complexos O que é conjugado As potências de i A representação trigonométrica de um número complexo As operações matemática na forma algébrica e na forma trigonométrica
  3. 3. O que é um número complexo? É todo número z escrito na forma a + bi, sendo “a” a parte real e “bi” a parte imaginária. Também é chamado de número imaginário. Formalmente, escrevemos a parteExemplos: real assim: Re(z) = a. z = 3 + 5i E a parte imaginária assim: Im(z) = b z = 7i z = ½ + 4i
  4. 4. O que é o “i”? É a unidade imaginária, sendo i2 = - 1.Dessa forma podemos calcular o valor daraiz de números negativos com índice par.Exemplo: − 36 = (−1)(36) = 36i = 6i2
  5. 5. O que é um número imaginário puro? É um número complexo z = a + bi, cujaparte real é igual a zero, ou seja, a = 0. Repare que um númeroExemplos: real é um número complexo, com a parte z = 3i imaginária igual a zero.z=i Exemplo: 2+0i = 2 z = -10i
  6. 6. Logo, temos que o conjuntos dos Números Reais é um subconjunto dos Números Complexos. CR Q I Z N
  7. 7. Como sabemos se dois números complexos são iguais? Sendo dois números complexos: z1 = a + bi e z2 = c + di, se a = c e b = d, então z1 = z2. Ou seja, dois complexos são iguais se as partes reais e imaginárias são iguais.Exemplo:Calcular o valor de x e y na equação:3x + 7yi = 12 – 21i 3x = 12  x = 4 7y = -21  y = -3
  8. 8. Tente fazer sozinho!Determine m e n reais de modo que m + (n-1)i = 3i
  9. 9. Soluçãom + (n-1)i = 3im=0en–1=3 n=4
  10. 10. Como representamos o conjugado de um número complexo? Sendo o número complexo z = a + bi, seuconjugado é representado por: z = a − biExemplos: z = 5 − 3i z = 5 + 3i  z = - 8i  z = 8i
  11. 11. Como calculamos as potências de i?Usando as regras de potência já conhecidas. i0 =1 Note que a partir do expoente 4, osi =i 1 resultados começam a repetir. i2 = - 1 i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1 i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i
  12. 12. Exemplo:(PUC-MG) O número complexo (1 + i) 10 éigual a:a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i)[(1 + i)2]5 = [1 + 2i + i2]5 = [1 + 2i - 1]5 =[2i]5 = 32.i5 = 32i  letra C
  13. 13. Tente fazer sozinho!(Vunesp) Se a, b, c são números inteirospositivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, emque i2 = -1, o valor de c é:a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7
  14. 14. Soluçãoc = (a + bi)2 – 14ic = a2 + 2abi + b2i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14ic + 0i = (a2 – b2) + (2ab – 14)i2ab – 14 = 0  ab = 7Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7Como c é positivo, temos que:c = 72 – 12 = 49 – 1 = 48Resposta: letra A.
  15. 15. Como somamos ou subtraímos números complexos? Basta somar (ou subtrair)as partes reais e aspartes imaginárias.Exemplos: (3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i (7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i
  16. 16. Como multiplicamos números complexos?Basta aplicar a propriedade distributiva.Exemplo:(5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i
  17. 17. Como dividimos números complexos?Basta multiplicar o numerador e o denominadorpelo conjugado do denominador.Exemplo:2 + 3i ( 2 + 3i )( 5 + 2i ) 10 + 4i + 15i − 6 = = =5 − 2i ( 5 − 2i )( 5 + 2i ) 25 + 4 4 + 19i 4 19= = + i 29 29 29
  18. 18. Tente fazer sozinho! x −1 2(Cefet-MG) O valor da expressão quando x −1 3x = i (unidade imaginária) é :a) (i + 1) b) – (i – 1) c) ( i + 1) 2d) ( i − 1) e) − ( i − 1) 2 2
  19. 19. Soluçãox −1 i −1 −1 −1 2 2 −2 2 = 3 = = =x −1 i −1 − i −1 −1− i 1+ i 3 2(1 − i ) 2 − 2i 2(1 − i ) = = = 1− i1 + i (1 − i ) 1 + 1 2Logo, a resposta é B, pois– (i - 1) = -i +1 = 1-i
  20. 20. Como representamos um número complexo no gráfico? Basta representar a parte real no eixo xe a parte imaginária no eixo y.Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i y P2 3 P1 2 1 x -1
  21. 21. O que é o módulo de um número complexo? É a distância entre a origem e o ponto quecorresponde a esse número. Sendo z = a + bi, temos: z = ρ y b ρ P (a,b) x a
  22. 22. Como calculamos o módulo de um número complexo?Usando a fórmula z = ρ = a + b . 2 2Exemplo: z = 1 + 3i z = 1 + 2 ( 3) 2 = 1+ 3 = 4 = 2
  23. 23. Tente fazer sozinho!(UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor ade é: ba) 3 b) 2 c) 5d) 2 2 e) 1+ 2
  24. 24. Solução a a 2 +4 2 2 = = = b b 1 + ( − 3) 2 2 4 + 16 20 20 = = = 2 1+ 9 10 10Resposta: letra B.
  25. 25. O que é argumento de um número complexo? É o ângulo que o módulo do númerofaz com o eixo x. y b senθ = ρ b a ρ P (a,b) cos θ = ρ θ x a
  26. 26. Tente fazer sozinho!(URRN) Se z = (1 + i ) 2 , então o argumento de z é: 1− ia) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º
  27. 27. Soluçãoz= (1 + i )= 2 1 + 2i − 1 2i = 1− i 1− i 1− i 2i (1 + i ) 2i − 2 2i − 2= = = = −1 + i (1 − i )(1 + i ) 1 + 1 2 b asenθ = e cos θ = ρ ρρ= ( − 1) 2 +1 = 1+1 = 2 2
  28. 28. ( 2) = sen 1 2senθ = 2 ( 2) 2 135º 45ºcos θ = −1 ( 2) = − 2 cos 2 ( 2) 2Logo, o argumento é 135º.Resposta: letra E.
  29. 29. Como escrevemos a forma trigonométrica de um número complexo? z = ρ ( cos θ + i senθ ) Exemplo: z = 2 3 + 2i ρ = a +b = 2 2 (2 3 ) 2 + 2 = 12 + 4 = 16 = 4 2 a 2 3 3 cos θ = = =  ρ 4 2   ⇒ θ = 30º b 2 1  senθ = = = ρ 4 2  Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)
  30. 30. Tente fazer sozinho!(Cefet-PR) A forma algébrica do complexo  7π 7π  z =3cos +isen  : é  6 6  3 3 3 a ) z =− − i 2 2 3 3 3 b) z = − i 2 2 3 3 3 c ) z =− − i 2 2 3 3 3 d ) z =− + i 2 2 3 3 3 e) z = − i 2 2
  31. 31. Solução  7π 7π z = 3 cos + isen   6 6  7πz = ρ ( cos θ + isenθ ) ⇒ ρ = 3, θ = = 210º 6 3cos 210º = − cos 30º = − 2 1sen210º = − sen30º = − 2
  32. 32. a b cos θ = senθ = ρ ρ 3 a 1 b − = − = 2 3 2 3 3 3 3 a=− b=− 2 2 3 3 3Logo, a forma algébrica é − − i 2 2Resposta: letra C.
  33. 33. Como multiplicamos complexos na forma trigonométrica? z1.z 2 = ρ1.ρ 2 .[ cos(θ1 + θ 2 ) + isen(θ1 + θ 2 ) ]Exemplo:  π π  π π z1 = 2 cos + isen  e z2 = 3 cos + isen   3 3  2 2  π π   π π  z1.z 2 = 2.3cos +  + isen +   3 2  3 2   5π 5π  z1.z 2 = 6 cos + isen   6 6 
  34. 34. Como dividimos complexos na forma trigonométrica? z1 ρ1 = [ cos(θ1 − θ 2 ) + isen(θ1 − θ 2 ) ] z2 ρ 2Exemplo:  π π  π π z1 = 6 cos + isen  e z 2 = 3 cos + isen   2 2  3 3 z1 6   π π   π π  = cos −  + isen −  z2 3   2 3   2 3  z1  π π = 2 cos + isen  z2  6 6
  35. 35. Como calculamos uma potência complexos na forma trigonométrica? z n = ρ n .[ cos( nθ ) + isen( nθ ) ]Exemplo:  π π z = 2 cos + isen   3 3   π  π  z = 2 cos 2.  + isen 2.  2 2   3  3   2π 2π  z = 4 cos 2 + isen   3 3 
  36. 36. Tente fazer sozinho! 6 + 6i(UPF-RS) Quanto ao número complexo z = , 1− ia alternativa incorreta é:a) Escrito na forma algébrica é z = 6ib) O módulo de z é 6. πc) O argumento de z é rad. 2d) Escrito na forma trigonométrica tem-se: z = 6( cos π + i senπ )e) z2 é um número real.
  37. 37. Soluçãoa) Escrito na forma algébrica é z = 6i 6 + 6i ( 6 + 6i )(1 + i ) 6 + 6i + 6i − 6 12iz= = = = = 6i 1− i (1 − i )(1 + i ) 1+1 2b) O módulo de z é 6. z = 0 +6 = 6 =6 2 2 2
  38. 38. 6 + 6i z= 1− i πc) O argumento de z é rad. 2 a 0 cos θ = = = 0 ρ 6  π  ⇒ θ = 90º = b 6 2senθ = = = 1  ρ 6  
  39. 39. d) Escrito na forma trigonométrica tem-se: z = 6( cos π + i senπ )z = ρ ( cos θ + isenθ ) = 6( cos 90º +isen90º )e) z2 é um número real.z n = ρ n [ cos( nθ ) + isen( nθ ) ] =z 2 = 6 2 [ cos( 2.90º ) + isen( 2.90º ) ] =z 2 = 36[ cos(180º ) + isen(180º ) ] =z = 36[ − 1 + i.0] = −36 2Resposta: letra D.

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