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NÚMEROS COMPLEXOS
                          C

                                   R



z = a + bi




                              z = ρ (cosθ + isenθ )

                                                      2       3
                     −b        −b                b a
 3
x + ax + b = 0 ⇒ x=3    + E +3    − E em que E =   +  
                      2         2                2 3



Apostila de Exercícios




                                  Professor Gerson Henrique
                                       Sejafera – o site do vestibular
                                                       meualuno.com
1- Efetue:                                                               1      π          π
A) (4 - i) + 1 - (6 + 3i)i                                        d) z =  cos + isen 
                                                                         5       2         2
B) (7 + 4i)(2 - 3i) + (6 - i)(2 + 5i)
                                                                               5π           5π 
    3−i                                        (2 − i ) 2         e) z = 4 cos      + isen 
C)                                          D)                                  3            3 
   4 + 5i                                      (3 − i ) 2
                                                                  f) z = cos 0 + isen0
                                                                                  3π          3π 
2- Efetue:    i 1981 + i 1983 + i 1982                            g) z = 2  cos       + isen 
                                                                                   2           2 
                          1 − 2i                                                  7π          7π 
3- (STA. CASA) Se                = a + bi, obtenha a e b.         h) z = 2  cos        + isen    
                          3 + i3                                                   4           4 
                                                                                              π             π
4- (CESCEM) Seja o número complexo z tal que                      12- Sendo       z = cos          + isen       , calcule:
                                                                                               6          6
zi = 3i − 2 z . Obtenha o módulo de z.
                                                                  a)   z4                             b) z
                                                                                                           8
                                                                                                                              c)    z 18
5- (MACK) O número complexo                z = x + yi é tal que
                                                                  13- Calcule:
 z − 3 = 2. Dê os intervalos de variação de x e y,                                                                            100
                                                                                                          1   3 
respectivamente                                                   a)   (    2 −i 2      )
                                                                                        6
                                                                                                      b)  − +
                                                                                                          2 2 i
                                                                                                                 
                                                                                                                
6- (U.E.LONDRINA) Sejam os números complexos                      14 - Determine o menor inteiro positivo n, para que o
w = ( x − 1) + 2i e w = ( x − 1) + 2i , onde x, y E IR. Se
                                                                  número       (1 + 3i) n seja real.
w = v, então:
a) x + y = 4     b) x . y = 5
c) x – y = -4    d) x = 2y                                        15- Calcule as raízes quadradas de:
                                                                                                                         1   3
                                                                  a) - 9                    b) i      c) - 2i       d)     +   i
7- Calcule     z em cada um dos seguintes casos:                                                                         2 2
a) z = -3 + 4i                       d)z = - 8                    16- Calcule as raízes cúbicas de:
                                                    2             a) 27   b) 64i c) - i d) – 8
b) z = 1 + i                         z = (2 + i)
                                     e)
                                       1+ i                       17- Calcule as raízes quartas de:
c) z =     2 + 2i               f) z = 3
                                        i
Nos exercícios de 8 a 10 escreva cada complexo z na forma         a) 1         b) – 256 c) – 8 + 8          3i
trigonométrica.
                                                                  18- Resolva as seguintes equações em C.
8- a)     z = 2 +i 2           d)    z = 2 − 2 3i                 a) x2 + 25 = 0     b) x – 8 = 0       c) x4 + 16 = 0
                                                                      6
                                                                  d) x + 1 = 0
                                          1    3
     b)   z = − 3 +i            e)    z=    +     i
                                          2 2
                                                                  19 - (Cefet – 2007/2) Os pontos A, B e C são,
     c)   z = −1 − i 3                f) z = −1 + i               respectivamente, os afixos dos números complexos z1 = 2 +
                                                                  i , z2 = – 4 + i e z3 = bi , com b < 0, no plano de Argand-
9- a) z = 5                                                       Gauss. Se a área do triângulo ABC é 12, então, b vale
    b) z = i                                                      a) – 2             b) – 5/2
    c) z = - 2                                                    c) – 3             d) – 7/2
    d) z = - 7i                                                   e) – 4

                      2                      3 −i                 20 - (Cefet – 2007/1) Se z é um número complexo e z seu
10- a)    z = (1 + i )          b)    z=                          conjugado, a solução da equação
                                             3 +i
                                                                                                                         é:
11- Escreva z na forma algébrica.                                 a) {1 + i, 2 + i} b) {1 – i, 2 + i}
                                                                  c) {1 – i, 2 – i} d) {–1 + i, 2 + i}
               π        π
a) z = 3  cos + isen                                            e) {1 + i, –2 + i}
               6        6
                                                                  21 - (Cefet – 2006/1) Sejam z e w dois números complexos,
             3π        3π 
b) z = 6 cos     + isen                                         tais que z tem parte real 8 e parte imaginária – 4, e w tem
              4         4                                       forma trigonométrica com módulo igual a 2 e ângulo 3π/4.
c) z = 2(cos π + isenπ )                                          O resultado da divisão de z por w é
                                                                  a)       2 (3 + i )                 b)    2 (1 3 i)
c) 2 (3 + i)                       d)   2 (3 + 3 i)
e) -    2 (1 − 3i )

22 - (Cefet – 2006/2) Numa progressão geométrica, em que
o primeiro termo é 1 – i e a razão é i , o décimo termo será
a) 2i            b) 1 + i
c) 1 – i         d) –1+ i
e) –1 – i

23 - (Cefet – 2005/2) O número complexo z , tal que
(5z + z ) ⋅ (2 + i ) = 60 , é



24 - (Cefet – 2004/1) Para que seja válida, entre números

complexos, a igualdade                                      , o valor de
b deve ser igual a                                                         2. DETERMINE o ponto de S mais próximo da origem.
a) –9              b) –6
c) 9               d) 6 ou –6
e) 9 ou –9                                                                                                      7 19        i
                                                        (2 − i )2          1) A = 7 – 6i B = 43 + 15i C =          − i D= −
25 - (Cefet – 2003/2) O número complexo                             é                                           41 41       2
                                                        4 + 3i                                           1         1
igual a                                                                    2)   −1               3) a = e b = −
a) –i                 b) -1                                                                              2         2
                           24                    24                        4)   z= 5          5) 1 ≤ x ≤ 5 e − 2 ≤ y ≤ 2
c) +i                 d)      i             e)      i
                           25                    7

26 - (UFU – 2006/2) A representação geométrica do                          6) a          7) a) 5 b)   2 c) 2   d) i

                                                                                           π         π
conjugado do número complexo            em que i é a                       8) a)z = 2 cos + isen 
unidade imaginária, encontra-se no                                                         4         4
A) primeiro quadrante. B) segundo quadrante.
                                                                                        5π          5π 
C) terceiro quadrante.   D) quarto quadrante.                              b) z = 2 cos      + isen 
                                                                                         6           6 
27 - (Efoa) Seja   i a unidade imaginária, i = − 1 . O valor                            4π          4π 
                                                                           c) z = 2 cos      + isen    
da expressão
               (1 + i )5      é:
                                                                                         3           3 
               (1 − i )3                                                                5π          5π 
                                                                           d) z = 4 cos      + isen 
a) 1                  b) − 2                                                             3           3 
c) 2 i                d) − 2 i                                                             π        π
                                                                           e) z =  cos        + isen 
e) 2                                                                                        3       3
                                                                                          π        π
28 - (UFMG - 2008)                                                         f) z =   2  cos + isen 
1. ESCREVA na forma trigonométrica os números                                             3         3
                                                                           9) a) z = 5(cos 0 + isen0 )
complexos                                    em que i2 = – 1 .
                                                                                      π         π
                                                                           b) z =  cos   + isen 
2. CALCULE os menores inteiros positivos m e n tais                                    2         2
que                                                                        c) z = 2(cos π + isenπ )
                                                                                        3π        3π 
29 - (UFMG – 2007) (Constituída de dois itens.)                            d) z = 7 cos     + isen 
Seja S o conjunto de números complexos z tais que                                        2          2 
                   | z – (2 + 4i) | = 2 .                                                   π        π
1. No plano complexo abaixo, FAÇA o esboço de S, sendo                     10) a) z = 2 cos + isen 
z = x + iy, com x e y números reais.                                                        2        2
5π        5π                                                                  4 5 − 4       8 5 −8
b) z = 2 cos   + isen                                              2 . Z ( próximo ) =             +            i
            3         3                                                                     5            5
          3    3
11) a) z = +     i
          2 2
b) z = −3 2 + 3 2i

                                         1
c) z = −2                     d) z =       i
                                         5
e)   z = 2 − 2 3i             f) z = 1

g)   z = − 2i                 h) z = 1 − i

12) a)   − 2 + 2 3i           b)   − 8 − 8 3i c) 512
                            1   3
13) a) 64i           b) −     +   i
                            2 2
14) n = 3

                   2    2       2    2
15) a) 3i e -3i      + b) ie −    −    i
                  2    2       2    2
                 3 1
c) − 2 + 2i e −   − i
                2 2
     3 1       3 1
d)    + ie−     − i
    2 2       2 2

          3 3 3          3 3 3
        − +
16) a) 3 ;         i; − −       i
          2      2       2    2
b) 2 3 + 2i ; − 2 3 + 2i ; 4i
         3 1         3 1
c) i ; −    − i;      + i
        2 2         2 2
d) 1 + 3i ; − 2 ; 1− 3i

17) a) 1, i, -1, i
b)2 2 + 2 2i ; − 2 2 + 2 2i ; − 2 2 − 2 2i ;
2 2 − 2 2i

18) a)   S = {− 5i,5i}
       {
b) S = 2;−1 +        3i;−1 − 3i     }
c) S = { 2 +         2i;− 2 + 2i;− 2 − 2i; 2 − 2i                }
          3 1        3 1     3 1   3 1 
d) S =     + i; i;−   + i;−   − i;  − i
          2 2       2 2     2 2 2 2 

19) c      20) d     21) e    22) b          23) a   24) a   25) a
26) b 27) e    28) 1 - 2(cos 30 + isen 30 ) e
                                         0             0


4(cos 45 + isen45 ) 2 – m = 48 e n = 24
             0         0

29) 1 . Esboço de uma circunferência de centro (2,4) e raio
2.

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Ap extra exercicios_n. complexos

  • 1. NÚMEROS COMPLEXOS C R z = a + bi z = ρ (cosθ + isenθ ) 2 3 −b −b b a 3 x + ax + b = 0 ⇒ x=3 + E +3 − E em que E =   +   2 2 2 3 Apostila de Exercícios Professor Gerson Henrique Sejafera – o site do vestibular meualuno.com
  • 2. 1- Efetue: 1 π π A) (4 - i) + 1 - (6 + 3i)i d) z =  cos + isen  5 2 2 B) (7 + 4i)(2 - 3i) + (6 - i)(2 + 5i)  5π 5π  3−i (2 − i ) 2 e) z = 4 cos + isen  C) D)  3 3  4 + 5i (3 − i ) 2 f) z = cos 0 + isen0  3π 3π  2- Efetue: i 1981 + i 1983 + i 1982 g) z = 2  cos + isen   2 2  1 − 2i  7π 7π  3- (STA. CASA) Se = a + bi, obtenha a e b. h) z = 2  cos + isen  3 + i3  4 4  π π 4- (CESCEM) Seja o número complexo z tal que 12- Sendo z = cos + isen , calcule: 6 6 zi = 3i − 2 z . Obtenha o módulo de z. a) z4 b) z 8 c) z 18 5- (MACK) O número complexo z = x + yi é tal que 13- Calcule: z − 3 = 2. Dê os intervalos de variação de x e y, 100  1 3  respectivamente a) ( 2 −i 2 ) 6 b)  − +  2 2 i    6- (U.E.LONDRINA) Sejam os números complexos 14 - Determine o menor inteiro positivo n, para que o w = ( x − 1) + 2i e w = ( x − 1) + 2i , onde x, y E IR. Se número (1 + 3i) n seja real. w = v, então: a) x + y = 4 b) x . y = 5 c) x – y = -4 d) x = 2y 15- Calcule as raízes quadradas de: 1 3 a) - 9 b) i c) - 2i d) + i 7- Calcule z em cada um dos seguintes casos: 2 2 a) z = -3 + 4i d)z = - 8 16- Calcule as raízes cúbicas de: 2 a) 27 b) 64i c) - i d) – 8 b) z = 1 + i z = (2 + i) e) 1+ i 17- Calcule as raízes quartas de: c) z = 2 + 2i f) z = 3 i Nos exercícios de 8 a 10 escreva cada complexo z na forma a) 1 b) – 256 c) – 8 + 8 3i trigonométrica. 18- Resolva as seguintes equações em C. 8- a) z = 2 +i 2 d) z = 2 − 2 3i a) x2 + 25 = 0 b) x – 8 = 0 c) x4 + 16 = 0 6 d) x + 1 = 0 1 3 b) z = − 3 +i e) z= + i 2 2 19 - (Cefet – 2007/2) Os pontos A, B e C são, c) z = −1 − i 3 f) z = −1 + i respectivamente, os afixos dos números complexos z1 = 2 + i , z2 = – 4 + i e z3 = bi , com b < 0, no plano de Argand- 9- a) z = 5 Gauss. Se a área do triângulo ABC é 12, então, b vale b) z = i a) – 2 b) – 5/2 c) z = - 2 c) – 3 d) – 7/2 d) z = - 7i e) – 4 2 3 −i 20 - (Cefet – 2007/1) Se z é um número complexo e z seu 10- a) z = (1 + i ) b) z= conjugado, a solução da equação 3 +i é: 11- Escreva z na forma algébrica. a) {1 + i, 2 + i} b) {1 – i, 2 + i} c) {1 – i, 2 – i} d) {–1 + i, 2 + i}  π π a) z = 3  cos + isen  e) {1 + i, –2 + i}  6 6 21 - (Cefet – 2006/1) Sejam z e w dois números complexos,  3π 3π  b) z = 6 cos + isen  tais que z tem parte real 8 e parte imaginária – 4, e w tem  4 4  forma trigonométrica com módulo igual a 2 e ângulo 3π/4. c) z = 2(cos π + isenπ ) O resultado da divisão de z por w é a) 2 (3 + i ) b) 2 (1 3 i)
  • 3. c) 2 (3 + i) d) 2 (3 + 3 i) e) - 2 (1 − 3i ) 22 - (Cefet – 2006/2) Numa progressão geométrica, em que o primeiro termo é 1 – i e a razão é i , o décimo termo será a) 2i b) 1 + i c) 1 – i d) –1+ i e) –1 – i 23 - (Cefet – 2005/2) O número complexo z , tal que (5z + z ) ⋅ (2 + i ) = 60 , é 24 - (Cefet – 2004/1) Para que seja válida, entre números complexos, a igualdade , o valor de b deve ser igual a 2. DETERMINE o ponto de S mais próximo da origem. a) –9 b) –6 c) 9 d) 6 ou –6 e) 9 ou –9 7 19 i (2 − i )2 1) A = 7 – 6i B = 43 + 15i C = − i D= − 25 - (Cefet – 2003/2) O número complexo é 41 41 2 4 + 3i 1 1 igual a 2) −1 3) a = e b = − a) –i b) -1 2 2 24 24 4) z= 5 5) 1 ≤ x ≤ 5 e − 2 ≤ y ≤ 2 c) +i d) i e) i 25 7 26 - (UFU – 2006/2) A representação geométrica do 6) a 7) a) 5 b) 2 c) 2 d) i  π π conjugado do número complexo em que i é a 8) a)z = 2 cos + isen  unidade imaginária, encontra-se no  4 4 A) primeiro quadrante. B) segundo quadrante.  5π 5π  C) terceiro quadrante. D) quarto quadrante. b) z = 2 cos + isen   6 6  27 - (Efoa) Seja i a unidade imaginária, i = − 1 . O valor  4π 4π  c) z = 2 cos + isen  da expressão (1 + i )5 é:  3 3  (1 − i )3  5π 5π  d) z = 4 cos + isen  a) 1 b) − 2  3 3  c) 2 i d) − 2 i  π π e) z =  cos + isen  e) 2  3 3  π π 28 - (UFMG - 2008) f) z = 2  cos + isen  1. ESCREVA na forma trigonométrica os números  3 3 9) a) z = 5(cos 0 + isen0 ) complexos em que i2 = – 1 .  π π b) z =  cos + isen  2. CALCULE os menores inteiros positivos m e n tais  2 2 que c) z = 2(cos π + isenπ )  3π 3π  29 - (UFMG – 2007) (Constituída de dois itens.) d) z = 7 cos + isen  Seja S o conjunto de números complexos z tais que  2 2  | z – (2 + 4i) | = 2 .  π π 1. No plano complexo abaixo, FAÇA o esboço de S, sendo 10) a) z = 2 cos + isen  z = x + iy, com x e y números reais.  2 2
  • 4. 5π 5π  4 5 − 4 8 5 −8 b) z = 2 cos + isen  2 . Z ( próximo ) = + i  3 3  5 5 3 3 11) a) z = + i 2 2 b) z = −3 2 + 3 2i 1 c) z = −2 d) z = i 5 e) z = 2 − 2 3i f) z = 1 g) z = − 2i h) z = 1 − i 12) a) − 2 + 2 3i b) − 8 − 8 3i c) 512 1 3 13) a) 64i b) − + i 2 2 14) n = 3 2 2 2 2 15) a) 3i e -3i + b) ie − − i 2 2 2 2 3 1 c) − 2 + 2i e − − i 2 2 3 1 3 1 d) + ie− − i 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 − + 16) a) 3 ; i; − − i 2 2 2 2 b) 2 3 + 2i ; − 2 3 + 2i ; 4i 3 1 3 1 c) i ; − − i; + i 2 2 2 2 d) 1 + 3i ; − 2 ; 1− 3i 17) a) 1, i, -1, i b)2 2 + 2 2i ; − 2 2 + 2 2i ; − 2 2 − 2 2i ; 2 2 − 2 2i 18) a) S = {− 5i,5i} { b) S = 2;−1 + 3i;−1 − 3i } c) S = { 2 + 2i;− 2 + 2i;− 2 − 2i; 2 − 2i }  3 1 3 1 3 1 3 1  d) S =  + i; i;− + i;− − i; − i  2 2 2 2 2 2 2 2  19) c 20) d 21) e 22) b 23) a 24) a 25) a 26) b 27) e 28) 1 - 2(cos 30 + isen 30 ) e 0 0 4(cos 45 + isen45 ) 2 – m = 48 e n = 24 0 0 29) 1 . Esboço de uma circunferência de centro (2,4) e raio 2.