MA 14 - Aritm´tica                e   Resumos das Unidades 1 e 2          Abramo HefezPROFMAT                         SBM
Unidade 1Divisibilidade
O nosso objeto de estudo neste curso ´ o conjunto dos                                     en´meros inteiros: u            ...
Dados dois n´meros inteiros quaisquer, ´ poss´ som´-los,               u                         e     ıvel    asubtra´ı-l...
Exemplos• 1|0, pois 0 ´ m´ltiplo de 1:              e u                      0 = 0 · 1;• −2|0, pois 0 ´ m´ltiplo de −2:   ...
Suponha que a|b e seja c ∈ Z tal que b = c · a.O n´mero inteiro c ´ chamado de quociente de b por a e   u               e ...
Estabeleceremos a seguir algumas propriedades dadivisibilidade.Proposi¸ao       c˜Sejam a, b, c ∈ Z. Tem-se quei) 1|a, a|a...
Listaremos a seguir algumas propriedades da divisibilidade,cujas provas s˜o semelhantes `s feitas acima.              a   ...
As proposi¸˜es a seguir ser˜o de grande utilidade.          co               aProposi¸ao       c˜Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. T...
Proposi¸ao       c˜Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a + b dividea2n+1 + b2n+1 .Demonstra¸˜o: Tamb´m por indu¸˜o sobre n. ...
Proposi¸ao       c˜Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a + b divide a2n − b2n .Demonstra¸˜o: Novamente, a prova se faz por i...
Exerc´                                                           ıcioVamos mostrar que o produto de i inteiros consecutivo...
Como aplica¸˜o vamos mostrar que 6 divide todo n´mero da           ca                                   uforma n(n + 1)(2n...
Exerc´                                                    ıcioVamos mostrar que 13 | 270 + 370 .Note que 270 + 370 = 435 +...
UNIDADE 2Divis˜o Euclidiana     a
Mesmo quando um n´mero inteiro a n˜o divide um n´mero                      u                 a              uinteiro b, Eu...
Suponhamos que a ∈ N e consideremos a decomposi¸˜o de N                                               caem uni˜o de interv...
Agora enunciamos o resultado geral:Teorema (Divis˜o Euclidiana)              aSejam a e b dois n´meros inteiros com a = 0....
Exemplos• Como 19 = 5 · 3 + 4, o quociente e o resto da divis˜o de 19                                                     ...
Par ou ´                                                  ımpar?                                                          ...
Mais geralmente, fixado um n´mero natural m 2, pode-se                             usempre escrever um n´mero qualquer n, d...
De fato, seja a ∈ Z.• Se a = 4k, ent˜o a2 = 16k 2 = 4k , onde k = 4k 2 .                a• Se a = 4k + 1, ent˜o a2 = 16k 2...
Vamos aplicar este resultado para mostrar algo interessante:Nenhum n´mero da forma a = 11 . . . 1 (n algarismos iguais a  ...
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Resumo MA14 - Aritmética - Unidades 1 e 2

  1. 1. MA 14 - Aritm´tica e Resumos das Unidades 1 e 2 Abramo HefezPROFMAT SBM
  2. 2. Unidade 1Divisibilidade
  3. 3. O nosso objeto de estudo neste curso ´ o conjunto dos en´meros inteiros: u Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.Em Z h´ um subconjunto que se destaca, o conjunto dos an´meros naturais: u N = {1, 2, 3, . . .}.
  4. 4. Dados dois n´meros inteiros quaisquer, ´ poss´ som´-los, u e ıvel asubtra´ı-los e multiplic´-los, mas nem sempre ´ poss´ a e ıveldividir um pelo outro.S´ existe a Aritm´tica nos inteiros porque a divis˜o nem o e asempre ´ poss´ e ıvel.Diremos que um n´mero inteiro a divide um n´mero inteiro u ub, escrevendo a|b,quando existir c ∈ Z tal que b = c · a.Neste caso, diremos tamb´m que a ´ um divisor ou um fator e ede b ou, ainda, que b ´ um m´ltiplo de a e u
  5. 5. Exemplos• 1|0, pois 0 ´ m´ltiplo de 1: e u 0 = 0 · 1;• −2|0, pois 0 ´ m´ltiplo de −2: e u 0 = 0 · (−2);• 1|6, pois 6 ´ m´ltiplo de 1: e u 6 = 6 · 1;• −1| − 6, pois −6 ´ m´ltiplo de −1: e u −6 = 6 · (−1);• 2|6, pois 6 ´ m´ltiplo de 2: e u 6 = 3 · 2;• −3|6, pois 6 ´ m´ltiplo de −3: e u 6 = (−2) · (−3).Note que se a|b, com um jogo de sinais, ´ f´cil mostrar que e a±a| ± b.A nega¸˜o da senten¸a a | b ´ representada pelo s´ ca c e ımbolo: a | b,significando que n˜o existe nenhum n´mero inteiro c tal que a ub = c · a.Por exemplo, 3 | 4 e 2 | 5.
  6. 6. Suponha que a|b e seja c ∈ Z tal que b = c · a.O n´mero inteiro c ´ chamado de quociente de b por a e u e bdenotado por c = . aPor exemplo, 0 0 6 −6 = 0, = 0, = 6, = 6, 1 −2 1 −1 6 6 = 3, = −2. 2 −3
  7. 7. Estabeleceremos a seguir algumas propriedades dadivisibilidade.Proposi¸ao c˜Sejam a, b, c ∈ Z. Tem-se quei) 1|a, a|a e a|0.ii) se a|b e b|c, ent˜o a|c (Propriedade transitiva). aDemonstra¸˜o: (i) Isto decorre das igualdades a = a · 1, caa = 1 · a e 0 = 0 · a.(ii) a|b e b|c implica que existem f, g ∈ Z, tais que b = f · a e c = g · b.Substituindo o valor de b da primeira equa¸˜o na outra, caobtemos c = g · b = g · (f · a) = (g · f ) · a,o que nos mostra que a|c.O item (i) da proposi¸˜o acima nos diz que todo n´mero ca uinteiro ´ divis´ por 1 e por si mesmo. e ıvel
  8. 8. Listaremos a seguir algumas propriedades da divisibilidade,cujas provas s˜o semelhantes `s feitas acima. a aSejam a, b, c, d ∈ Z. Tem-se quei) a|b e c|d =⇒ a · c|b · d;ii) a|b =⇒ a · c|b · c;iii) a|(b ± c) e a|b =⇒ a|c;iv) a|b e a|c =⇒ a|(xb + yc), para todos x, y ∈ Z.v) Se a, b ∈ N, tem-se que a|b =⇒ a b.´E importante interiorizar as propriedades acima, pois elasser˜o utilizadas a todo momento. a
  9. 9. As proposi¸˜es a seguir ser˜o de grande utilidade. co aProposi¸ao c˜Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a − b divide an − bn .Demonstra¸˜o: Vamos provar isto por indu¸˜o sobre n. ca caA afirma¸˜o ´ obviamente verdadeira para n = 1, pois a − b ca edivide a1 − b1 = a − b.Suponhamos, agora, que a − b|an − bn . Escrevamosan+1 − bn+1 = aan − ban + ban − bbn = (a − b)an + b(an − bn ).Como a − b|a − b e, por hip´tese, a − b|an − bn , decorre da oigualdade acima e da Propriedade (iv) quea − b|an+1 − bn+1 .Estabelecendo assim o resultado para todo n ∈ N.
  10. 10. Proposi¸ao c˜Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a + b dividea2n+1 + b2n+1 .Demonstra¸˜o: Tamb´m por indu¸˜o sobre n. ca e caA afirma¸˜o ´, obviamente, verdadeira para n = 0, pois a + b ca edivide a 1 + b1 = a + b.Suponhamos, agora, que a + b|a2n+1 + b2n+1 . Escrevamosa2(n+1)+1 +b2(n+1)+1 = a2 a2n+1 −b2 a2n+1 +b2 a2n+1 +b2 b2n+1 = (a2 − b2 )a2n+1 + b2 (a2n+1 + b2n+1 ).Como a + b divide a2 − b2 = (a + b)(a − b) e, por hip´tese, oa + b|a2n+1 + b2n+1 , decorre das igualdades acima e daPropriedade (iv) que a + b|a2(n+1)+1 + b2(n+1)+1 .Estabelecendo, assim, o resultado para todo n ∈ N.
  11. 11. Proposi¸ao c˜Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a + b divide a2n − b2n .Demonstra¸˜o: Novamente, a prova se faz por indu¸˜o ca casobre n, nos mesmos moldes das provas das duas proposi¸˜es coanteriores. Deixamos os detalhes por sua conta.
  12. 12. Exerc´ ıcioVamos mostrar que o produto de i inteiros consecutivos ´ edivis´ por i!. ıvelDe fato, podemos escrever os i inteiros consecutivos como n, n − 1, n − 2, . . . , n − (i − 1),cujo produto P = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − i + 1) ´ divis´ e ıvelpor i!, j´ que a P n(n − 1)(n − 2) · · · (n − i + 1) n = = ∈ N. i! i! i
  13. 13. Como aplica¸˜o vamos mostrar que 6 divide todo n´mero da ca uforma n(n + 1)(2n + 1), onde n ∈ N.De fato, n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n + 2 + n − 1) = n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n − 1).Como cada uma das parcelas n(n + 1)(n + 2) en(n + 1)(n − 1) ´ o produto de trˆs inteiros consecutivos, e eelas s˜o m´ltiplos de 3! = 6. a uPortanto, sendo o n´mero n(n + 1)(2n + 1) soma de dois um´ltiplos de 6, ele ´ tamb´m m´ltiplo de 6. u e e uEste fato n˜o ´ surpreendente, pois sabemos que a e n(n + 1)(2n + 1) = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 . 6
  14. 14. Exerc´ ıcioVamos mostrar que 13 | 270 + 370 .Note que 270 + 370 = 435 + 935 . e ımpar, temos que 4 + 9 divide 435 + 935 ,Como 35 ´ ´o que mostra que 13 divide 270 + 370 .
  15. 15. UNIDADE 2Divis˜o Euclidiana a
  16. 16. Mesmo quando um n´mero inteiro a n˜o divide um n´mero u a uinteiro b, Euclides (S´culo 3 a.C), nos seus Elementos, eutiliza, sem enunci´-lo explicitamente, o fato de que ´ a esempre poss´ efetuar a divis˜o de b por a, com resto ıvel apequeno.Este resultado, de cuja justificativa geom´trica damos uma eideia quando a ´ natural, n˜o s´ ´ um importante e a oeinstrumento na obra de Euclides, como tamb´m ´ um e eresultado central da teoria elementar dos n´meros. u
  17. 17. Suponhamos que a ∈ N e consideremos a decomposi¸˜o de N caem uni˜o de intervalos disjuntos: a N = . . . ∪ [−2a, −a) ∪ [−a, 0) ∪ [0, a) ∪ [a, 2a) ∪ . . .Fica claro que qualquer n´mero inteiro b pertence a um e usomente um desses intervalos.Portanto, existe um unico q ∈ Z tal que b ∈ [qa, qa + a), ´ou seja, existem n´meros inteiros unicos q e r tais que u ´ b = qa + r, com 0 r < a.
  18. 18. Agora enunciamos o resultado geral:Teorema (Divis˜o Euclidiana) aSejam a e b dois n´meros inteiros com a = 0. Existem dois uunicos n´meros inteiros q e r tais que´ u b = a · q + r, com 0 r < |a|.Nas condi¸˜es do teorema, os n´meros a e b s˜o o divisor e o co u adividendo, enquanto q e r s˜o chamados, respectivamente, ade quociente e de resto da divis˜o de b por a. aNote que o resto da divis˜o de b por a ´ zero se, e somente a ese, a divide b.
  19. 19. Exemplos• Como 19 = 5 · 3 + 4, o quociente e o resto da divis˜o de 19 apor 5 s˜o q = 3 e r = 4. a• Como −19 = 5 · (−4) + 1 o quociente e o resto da divis˜o ade −19 por 5 s˜o q = −4 e r = 1. a• O resto da divis˜o de 10n por 9 ´ sempre 1, qualquer que a eseja o n´mero natural n. uDe fato, 9 = 10 − 1 divide 10n − 1n = 10n − 1. Assim,10n − 1 = 9q, logo 10n = 9q + 1. Como 0 ≤ 1 < 9, pelaunicidade na divis˜o euclidiana, tem-se que o resto da adivis˜o de 10 a n por 9 ´ sempre 1. e
  20. 20. Par ou ´ ımpar? •Dado um n´mero inteiro n ∈ Z qualquer, temos duas upossibilidades:i) o resto da divis˜o de n por 2 ´ 0, isto ´, existe q ∈ N tal a e eque n = 2q; ouii) o resto da divis˜o de n por 2 ´ 1, ou seja, existe q ∈ N tal a eque n = 2q + 1.No caso (i), dizemos que n ´ par e no caso (ii), dizemos que en ´´ e ımpar.
  21. 21. Mais geralmente, fixado um n´mero natural m 2, pode-se usempre escrever um n´mero qualquer n, de modo unico, na u ´forma n = mk + r, onde k, r ∈ Z e 0 r < m.Por exemplo, todo n´mero inteiro n pode ser escrito em uuma, e somente uma, das seguintes formas: 3k, 3k + 1, ou3k + 2.Ou ainda, todo n´mero inteiro n pode ser escrito em uma, e usomente uma, das seguintes formas: 4k, 4k + 1, 4k + 2, ou4k + 3.Este ultimo fato, permite mostrar que nenhum quadrado de ´um n´mero inteiro ´ da forma 4k + 3. u e
  22. 22. De fato, seja a ∈ Z.• Se a = 4k, ent˜o a2 = 16k 2 = 4k , onde k = 4k 2 . a• Se a = 4k + 1, ent˜o a2 = 16k 2 + 8k + 1 = 4k + 1, onde ak = 4k 2 + 2k.• Se a = 4k + 2, ent˜o a2 = 16k 2 + 16k + 4 = 4k , onde ak = 4k 2 + 4k + 1.• Se a = 4k + 3, ent˜o a2 = 16k 2 + 48k + 9 = 4k + 1, onde ak = 4k 2 + 12k + 2.
  23. 23. Vamos aplicar este resultado para mostrar algo interessante:Nenhum n´mero da forma a = 11 . . . 1 (n algarismos iguais a u1, com n > 1) ´ um quadrado. eDe fato, podemos escrever a = b · 100 + 11 = 4(25 · b + 2) + 3,onde b = 11 . . . 1 (n − 2 algarismos iguais a 1). Logo, a ´ da eforma 4k + 3 e, portanto, n˜o pode ser um quadrado. aCom esta t´cnica pode-se mostrar que nenhum n´mero da e uforma 11 . . . 1 ´ soma de dois quadrados. Deixamos isto ecomo exerc´ ıcio

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