Números Complexos

Ao final dessa aula você
saberá:
 O que é um número complexo e sua
representação algébrica
 O que é um número imaginário puro e
igualdade dos complexos
 O que é conjugado
 As potências de i
 A representação trigonométrica de um número
complexo
 As operações matemática na forma algébrica e
na forma trigonométrica

O que é um número
complexo?
É todo número z escrito na forma a + bi,
sendo “a” a parte real e “bi” a parte
imaginária. Também é chamado de número
imaginário.
Formalmente,
escrevemos a parte
Exemplos: real assim: Re(z) =
a.
 z = 3 + 5i E a parte imaginária
assim: Im(z) = b
 z = 7i
 z = ½ + 4i

O que é o “i”?
É a unidade imaginária, sendo i2 = - 1.
Dessa forma podemos calcular o valor da
raiz de números negativos com índice par.
Exemplo:
− 36 = (−1)(36) = 36i = 6i2

O que é um número
imaginário puro?
É um número complexo z = a + bi, cuja
parte real é igual a zero, ou seja, a = 0.
Repare que um número
Exemplos: real é um número
complexo, com a parte
 z = 3i imaginária igual a zero.
z=i Exemplo: 2+0i = 2
 z = -10i

Logo, temos que o conjuntos dos
Números Reais é um subconjunto
dos Números Complexos.
C
R
Q I
Z
N

Como sabemos se dois
números complexos são
iguais?
Sendo dois números complexos:
z1 = a + bi e z2 = c + di, se a = c e b = d, então
z1 = z2. Ou seja, dois complexos são iguais
se as partes reais e imaginárias são iguais.
Exemplo:
Calcular o valor de x e y na equação:
3x + 7yi = 12 – 21i
3x = 12  x = 4
7y = -21  y = -3

Tente fazer sozinho!
Determine m e n reais de modo que
m + (n-1)i = 3i

Solução
m + (n-1)i = 3i
m=0en–1=3 n=4

Como representamos o
conjugado de um número
complexo?
Sendo o número complexo z = a + bi, seu
conjugado é representado por: z = a − bi
Exemplos:
z = 5 − 3i
 z = 5 + 3i 
 z = - 8i 
z = 8i

Como calculamos as
potências de i?
Usando as regras de potência já conhecidas.
 i0 =1 Note que a partir do
expoente 4, os
i =i
1
resultados começam
a repetir.
 i2 = - 1
 i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i
 i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1
 i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i

Exemplo:
(PUC-MG) O número complexo (1 + i) 10 é
igual a:
a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i)
[(1 + i)2]5 = [1 + 2i + i2]5 = [1 + 2i - 1]5 =
[2i]5 = 32.i5 = 32i  letra C

Tente fazer sozinho!
(Vunesp) Se a, b, c são números inteiros
positivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, em
que i2 = -1, o valor de c é:
a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7

Solução
c = (a + bi)2 – 14i
c = a2 + 2abi + b2i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14i
c + 0i = (a2 – b2) + (2ab – 14)i
2ab – 14 = 0  ab = 7
Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7
Como c é positivo, temos que:
c = 72 – 12 = 49 – 1 = 48
Resposta: letra A.

Como somamos ou
subtraímos números
complexos?
Basta somar (ou subtrair)as partes reais e as
partes imaginárias.
Exemplos:
 (3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i
 (7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i

Como multiplicamos
números complexos?
Basta aplicar a propriedade distributiva.
Exemplo:
(5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i

Como dividimos
números complexos?
Basta multiplicar o numerador e o denominador
pelo conjugado do denominador.
Exemplo:
2 + 3i ( 2 + 3i )( 5 + 2i ) 10 + 4i + 15i − 6
= = =
5 − 2i ( 5 − 2i )( 5 + 2i ) 25 + 4
4 + 19i 4 19
= = + i
29 29 29

Tente fazer sozinho!
x −1
2
(Cefet-MG) O valor da expressão quando
x −1
3
x = i (unidade imaginária) é :
a) (i + 1) b) – (i – 1) c) ( i + 1)
2
d) ( i − 1) e)
− ( i − 1)
2 2

Solução
x −1 i −1 −1 −1
2 2
−2 2
= 3 = = =
x −1 i −1 − i −1 −1− i 1+ i
3
2(1 − i ) 2 − 2i 2(1 − i )
= = = 1− i
1 + i (1 − i ) 1 + 1 2
Logo, a resposta é B, pois
– (i - 1) = -i +1 = 1-i

Como representamos um
número complexo no
gráfico?
Basta representar a parte real no eixo x
e a parte imaginária no eixo y.
Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i
y
P2 3
P1 2
1
x
-1

O que é o módulo de
um número complexo?
É a distância entre a origem e o ponto que
corresponde a esse número.
Sendo z = a + bi, temos: z = ρ
y
b
ρ P (a,b)
x
a

Como calculamos o
módulo de um número
complexo?
Usando a fórmula z = ρ = a + b .
2 2
Exemplo: z = 1 + 3i
z = 1 + 2
( 3) 2
= 1+ 3 = 4 = 2

Tente fazer sozinho!
(UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor
a
de é:
b
a) 3 b) 2 c) 5
d) 2 2 e) 1+ 2

Solução
a a 2 +4 2 2
= = =
b b 1 + ( − 3)
2 2
4 + 16 20 20
= = = 2
1+ 9 10 10
Resposta: letra B.

O que é argumento de um
número complexo?
É o ângulo que o módulo do número
faz com o eixo x.
y b
senθ =
ρ
b a
ρ P (a,b) cos θ =
ρ
θ x
a

Tente fazer sozinho!
(URRN) Se z =
(1 + i ) 2
, então o argumento de z é:
1− i
a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º

Solução
z=
(1 + i )=
2
1 + 2i − 1 2i
=
1− i 1− i 1− i
2i (1 + i ) 2i − 2 2i − 2
= = = = −1 + i
(1 − i )(1 + i ) 1 + 1 2
b a
senθ = e cos θ =
ρ ρ
ρ= ( − 1) 2
+1 = 1+1 = 2
2

( 2) =
sen
1 2
senθ =
2 ( 2) 2
135º 45º
cos θ =
−1 ( 2) = − 2 cos
2 ( 2) 2
Logo, o argumento é 135º.
Resposta: letra E.

Como escrevemos a forma
trigonométrica de um número
complexo?
z = ρ ( cos θ + i senθ )
Exemplo: z = 2 3 + 2i
ρ = a +b =
2 2
(2 3 ) 2
+ 2 = 12 + 4 = 16 = 4
2
a 2 3 3
cos θ = = = 
ρ 4 2 
 ⇒ θ = 30º
b 2 1 
senθ = = =
ρ 4 2 

Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)

Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) A forma algébrica do complexo
 7π 7π 
z =3cos +isen  :
é
 6 6 
3 3 3
a ) z =− − i
2 2
3 3 3
b) z = − i
2 2
3 3 3
c ) z =− − i
2 2
3 3 3
d ) z =− + i
2 2
3 3 3
e) z = − i
2 2

Solução
 7π 7π 
z = 3 cos + isen 
 6 6 
7π
z = ρ ( cos θ + isenθ ) ⇒ ρ = 3, θ = = 210º
6
3
cos 210º = − cos 30º = −
2
1
sen210º = − sen30º = −
2

a b
cos θ = senθ =
ρ ρ
3 a 1 b
− = − =
2 3 2 3
3 3 3
a=− b=−
2 2
3 3 3
Logo, a forma algébrica é − − i
2 2
Resposta: letra C.

Como multiplicamos
complexos na forma
trigonométrica?
z1.z 2 = ρ1.ρ 2 .[ cos(θ1 + θ 2 ) + isen(θ1 + θ 2 ) ]
Exemplo:
 π π  π π
z1 = 2 cos + isen  e z2 = 3 cos + isen 
 3 3  2 2
 π π   π π 
z1.z 2 = 2.3cos +  + isen + 
 3 2  3 2 
 5π 5π 
z1.z 2 = 6 cos + isen 
 6 6 

Como dividimos
complexos na forma
trigonométrica?
z1 ρ1
= [ cos(θ1 − θ 2 ) + isen(θ1 − θ 2 ) ]
z2 ρ 2
Exemplo:
 π π  π π
z1 = 6 cos + isen  e z 2 = 3 cos + isen 
 2 2  3 3
z1 6   π π   π π 
= cos −  + isen − 
z2 3   2 3   2 3 
z1  π π
= 2 cos + isen 
z2  6 6

Como calculamos uma
potência complexos na
forma trigonométrica?
z n = ρ n .[ cos( nθ ) + isen( nθ ) ]
Exemplo:
 π π
z = 2 cos + isen 
 3 3
  π  π 
z = 2 cos 2.  + isen 2. 
2 2
  3  3 
 2π 2π 
z = 4 cos
2
+ isen 
 3 3 

Tente fazer sozinho!
6 + 6i
(UPF-RS) Quanto ao número complexo z = ,
1− i
a alternativa incorreta é:
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
b) O módulo de z é 6.
π
c) O argumento de z é rad.
2
d) Escrito na forma trigonométrica tem-se:
z = 6( cos π + i senπ )
e) z2 é um número real.

Solução
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
6 + 6i ( 6 + 6i )(1 + i ) 6 + 6i + 6i − 6 12i
z= = = = = 6i
1− i (1 − i )(1 + i ) 1+1 2
b) O módulo de z é 6.
z = 0 +6 = 6 =6
2 2 2

6 + 6i
z=
1− i
π
c) O argumento de z é rad.
2
a 0 
cos θ = = = 0
ρ 6  π
 ⇒ θ = 90º =
b 6 2
senθ = = = 1 
ρ 6 


d) Escrito na forma trigonométrica
tem-se:
z = 6( cos π + i senπ )
z = ρ ( cos θ + isenθ ) = 6( cos 90º +isen90º )
e) z2 é um número real.
z n = ρ n [ cos( nθ ) + isen( nθ ) ] =
z 2 = 6 2 [ cos( 2.90º ) + isen( 2.90º ) ] =
z 2 = 36[ cos(180º ) + isen(180º ) ] =
z = 36[ − 1 + i.0] = −36
2
Resposta: letra D.