Cálculo Diferencial em R Séries Numéricas e de Potências                  — Caderno 1 —––––––––––––––––––––––––––––––––-  ...
1       Cálculo Diferencial em R1.1     Limites e continuidade    Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real (escalar) de variáv...
seja, que sejam iguais todos os limites relativos da função f. Na recta real, aaproximação a um ponto a faz-se através de ...
A função f tende para +∞ quando x −→ a (escreve-se limx→a f (x) =+∞) se3 ∀K > 0 ∃ε = ε (K) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε...
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ou seja,                                      f (n−1) (a)                       f(x) =                     · (x − a)n−1 . ...
3. Considere a função                                             x3 − 1                               f(x) =             ...
7. Mostre que não existe o limite                                      x+5                                  lim       .   ...
(a) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto          de abcissa 1.      (b) Obtenha a equação da rec...
3 x                              3    110. (b) f (x) = 2      2x exp x2       +        + 5 + exp x2       −    2          ...
2        Séries numéricas e séries funcionais        Dada uma sucessão (un )n∈N de números reais,                         ...
Definição 6 Dada uma série numérica                          un , define-se a sua sucessão                                  ...
o que mostra que a sucessão das somas parciais, da qual os termos S2nconstituem uma subsucessão, não converge para um valo...
Proposição 7 Se as séries numéricas                          un e         vn são convergentes e                           ...
Proposição 10 (Critério do Termo Geral, Critério Geral de Con-vergência ou Condição Necessária de Convergência) Se a série...
Proposição 12 (Critério da Comparação - formulação 2) Sejam   un e   vn duas séries numéricas tais que un ≥ 0 e vn > 0 par...
2.3   Convergência simples e absoluta de uma série      numéricaDefinição 15 Dada uma série numérica                       ...
Definição 18 Uma série numérica                     un diz-se simplesmente conver-                                         ...
O Critério do Termo Geral e o critério apresentado na seguinte proposiçãosão os mais utilizados no estuda da natureza de s...
2.5     Séries de potências    Quando o termo geral de uma série não depende apenas de n mas tam-bém de uma variável x, a ...
Em consequência dos critérios da raíz de Cauchy e da razão de D’ Alem-berg, é válido o seguinte resultado para determinaçã...
e, caso exista, ao limite                   1            1              |vn |         vn        R=               =        ...
4. Proceda como no exercício anterior relativamente às séries numéricas       5 (−3)−n ,   [3 (−1)n ] e    3.  n≥1        ...
(−1)n10. Mostre que a série alternada                é simplesmente convergente.                                      n≥1 ...
18. Mostre que série de potências de x                                                         xn                         ...
1      (a) exp x =                    xn−1                     n≥1    (n − 1)!                         (−1)n−1 2n−1      (...
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  1. 1. Cálculo Diferencial em R Séries Numéricas e de Potências — Caderno 1 —––––––––––––––––––––––––––––––––- 2011-2012 / 1o Semestre EI / ETI / ETI-PL––––––––––––––––––––––––––––––––- Rosário Laureano Elaborado por DMQ — Dpto de Métodos Quantitativos 1
  2. 2. 1 Cálculo Diferencial em R1.1 Limites e continuidade Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real (escalar) de variável real ea ∈ R um ponto de acumulação1 de Df .Definição 1 O número real L é o limite de f no ponto a, e escreve-sef (x) −→ L quando x −→ a ou L = limx→a f (x), se∀δ > 0 ∃ε = ε (δ) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ |f(x) − L| < δ(para todo o δ > 0 existe ε > 0, dependente do δ tomado, tal que a distânciade f (x) a L é inferior a δ sempre que a distância de x a a é inferior a ε,para x ∈ Df {a}). A condição 0 < |x − a| < ε significa que x ∈ ]a − ε, a + ε[ e x = a. Aexistência de limite traduz-se intuitivamente por "os valores f (x) e L serãoarbitrariamente próximos (ou seja, a distância |f(x) − L| será tão pequenaquanto se queira) sempre que nos limitemos a considerar valores de x su-ficientemente próximos de a (isto é, desde que |x − a| seja suficientementepequeno)". Contudo, a existência do limite de f no ponto a nada informa2acerca do valor da função f no ponto a. O limite de f no ponto a, quandoexiste, é único. A definição de limite exige que existam e tenham o mesmo valor oslimites da função f restringida a qualquer subconjunto do seu domínio, ou 1 Considerando definida em R a distância euclidiana, um ponto a ∈ R é um ponto deacumulação de D ⊆ R se a todo o intervalo aberto centrado em a pertence pelo menosum ponto de D distinto de a, ou seja, ∀ε > 0 ∃x ∈ D {a} | x ∈ ]a − ε, a + ε[ .Na verdade, tal implica que em qualquer vizinhança de a existem infinitos pontos de D,ou seja, ∀ε > 0, ]a − ε, a + ε[ ∩ D é um conjunto infinito.O intervalo ]a − ε, a + ε[ pode designar-se por bola aberta de centro em a e raio ε. Umponto que não é de acumulação de D diz-se um ponto isolado. O conjunto de todos ospontos de acumulação do conjunto D designa-se por derivado de D e denota-se por D . 2 Tal valor f (a) pode nem existir e, mesmo no caso em que a ∈ D, podemos ter lim f (x) = L = f (a). x→a 2
  3. 3. seja, que sejam iguais todos os limites relativos da função f. Na recta real, aaproximação a um ponto a faz-se através de uma única direcção. No entanto,podemos considerar nessa direcção a aproximação pela esquerda, x → a− ,ou pela direita, x → a+ , sempre que tal faça sentido face ao domínio dafunção f. Trata-se de considerar os limites relativos lim f (x) = lim f (x) e lim f (x) = lim f (x) , x→a− x→a ∧ x<a x→a+ x→a ∧ x>aque se designam por limites laterais de f no ponto a. Sendo estes osúnicos limites relativos possíveis, é condição necessária para que exista olimite de f no ponto a que eles existam e tenham o mesmo valor, lim f (x) = lim f (x) = L = lim f (x) . x→a− x→a+ x→aComo tal, a não-existência de limite no ponto a decorre simplesmente dadetecção de valores diferentes nos dois limites laterais, lim f (x) = lim f (x) . x→a− x→a+Quando, face ao domínio da função f , apenas faz sentido uma das aproxi-mações laterais, o valor do limite corresponde a esse limite lateral.Proposition 2 Sejam f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R funções reais devariável real e a ∈ R um ponto de acumulação de Df e de Dg . Se existiremos limites limx→a f (x) e limx→a g (x) então também existem nesse ponto aos limitesP1. da soma e da diferença das funções lim (f ± g) (x) = lim f (x) ± lim g (x) , x→a x→a x→aP2. do produto das funções lim (f × g) (x) = lim f (x) × lim g (x) , x→a x→a x→aP3. do produto da função por uma constante c ∈ R lim (c × f ) (x) = c × lim f (x) , x→a x→aP4. e, sempre que limx→a g (x) = 0, do quociente das funções f limx→a f (x) lim (x) = . x→a g limx→a g (x) 3
  4. 4. A função f tende para +∞ quando x −→ a (escreve-se limx→a f (x) =+∞) se3 ∀K > 0 ∃ε = ε (K) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ f(x) > K.A função f tende para −∞ quando x −→ a (escreve-se limx→a f (x) =−∞) se a função (−f ) tende para +∞ quando x −→ a. Seja Df um subconjunto não majorado de R. O número real L é o limitede f quando x −→ +∞ (escreve-se L = limx→+∞ f (x)) se4 ∀δ > 0 ∃x0 = x0 (δ) ∈ R | ∀x ∈ Df ∧ x > x0 =⇒ |f(x) − L| < δ. Se L = limx→+∞ f (x) ou L = limx→−∞ f (x) então o gráfico de f temy = L como assimptota horizontal. A função f tende para +∞ quandox −→ +∞ (escreve-se limx→+∞ f (x) = +∞) se5 ∀K > 0 ∃x0 = x0 (K) ∈ R | ∀x ∈ Df ∧ x > x0 =⇒ f (x) > K. São válidas as seguintes operações, no sentido de limite (L ∈ R), (+∞) + (+∞) = +∞ , (+∞) + L = +∞ (−∞) + (−∞) = −∞ , (−∞) + L = −∞ (±∞) · (±∞) = +∞ , (±∞) · (L positivo) = ±∞ (±∞) · ( ∞) = −∞ , (±∞) · (L negativo) = ∞ (±∞) L positivo (±∞) 0± = ±∞ , = 0± , = +∞ , = 0+ L positivo (±∞) 0± (±∞) (±∞) L negativo (±∞) 0 = ∞, =0 , = −∞, = 0− L negativo (±∞) 0 (±∞) 3 para todo K > 0 existe ε > 0, dependente do K tomado, tal que as imagens f (x)superam o valor de K sempre que a distância de x a a é inferior a ε, para x ∈ Df {a} . 4 para todo δ > 0 existe x0 , dependente do δ tomado, tal que a distância de f (x) a Lé inferior a δ sempre que x é maior do que x0 , para x ∈ Df . 5 para todo K > 0 existe x0 , dependente do K tomado, tal que as imagens f (x) superamo valor de K sempre que os objectos x superam o valor de x0 , para x ∈ Df . 4
  5. 5. enquanto 0 (±∞) (±∞) − (±∞) =? , 0 · (±∞) =? , =? e =? 0 (±∞)são indeterminações. Consideremos que f (x) > 0 para todo x ∈ Df . Temos limx→a g(x) lim f (x)g(x) = lim f (x) x→a x→asempre que não ocorra uma das indeterminações 00 =? , 1(±∞) =? e (+∞)0 =? .No entanto, dada a igualdade f (x)g(x) = exp [g (x) · ln f (x)] ,(exp denota a exponencial de Neper e ln o logarítmo respectivo) estas inde-terminações podem ser resolvidas através da indeterminação 0 · (±∞). Limites de referência: sin x tan x ln (x + 1) lim = 1, lim = 1, lim =1 x→0 x x→0 x x→0 x ax loga x lim = +∞ (a > 1, p ∈ R), lim = 0 (a > 1, p ∈ R+ ) x→+∞ xp x→+∞ xp x exp x − 1 k lim = 1, lim 1+ = exp k x→0 x x→+∞ xDefinição 3 Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real ea ∈ R. A função f diz-se contínua no ponto a se e só se são verificadasas três condições seguintes: (i) existe a imagem f (a), ou seja, a ∈ Df ; (ii)existe o limite limx→a f (x); (iii) são iguais os elementos garantidos em (i)e (ii), ou seja6 , lim f (x) = f (a) . x→aA função f diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seudomínio. 6 Temos então ∀δ > 0 ∃ε = ε (δ) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ |f (x) − f (a)| < δ. 5
  6. 6. A continuidade de f no ponto a traduz-se intuitivamente por "os valoresf (x) e f (a) serão arbitrariamente próximos (isto é, a distância |f(x) − f(a)|será tão pequena quanto se queira) sempre que limitemos a considerar valoresde x suficientemente próximos de a (isto é, desde que |x − a| seja suficien-temente pequeno)".1.2 Funções trigonométricas Sabemos que as funções trigonométricas seno, coseno e tangente sãoperiódicas, não sendo portanto injectivas nos domínios Dsin = Dcos = Re Dtan = R {kπ/2}k∈Z . No entanto, podemos considerar as restriçõesprincipais: π π para y = sin x apenas x ∈ − , 2 2 para y = cos x apenas x ∈ [0, π] π π para y = tan x apenas x ∈ − , 2 2dessas funções, as restrições que permitem garantir a injectividade (cadaimagem ser "exclusiva" de um objecto) e manter todos os valores dos res-pectivos contradomínios. Para estes domínios mais restrictos, existem asfunções inversas: x = arcsin y (arco-seno de y) com y ∈ [−1, 1] x = arccos y (arco-coseno de y) com y ∈ [−1, 1] x = arctan y (arco-tangente de y) com y ∈ R.Por exemplo, sabendo que cos (π/3) = 1/2, podemos escrever que π 1 = arccos . 3 2Trata-se de inverter os papeis das variáveis x e y, não os seus valores. Por-tanto, arccos (1/2) designa o ângulo (em radianos) cujo coseno é 1/2, ouseja, o ângulo π/3. Por outro lado, o valor inverso de cos (π/3), que é 2, édesignado por secante de π/3, π 1 1 sec = π = = 2. 3 cos 1/2 3 6
  7. 7. √ √Sabendo que sin (π/3) = 3/2, podemos escrever que π/3 = arcsin 3/2e obter também a cosecante de π/3, π 1 1 2 csc 3 = π = √3/2 = √3 . sin 3 √ √Sabendo que tan (π/3) = 3, podemos escrever que π/3 = arctan 3 e obtertambém a cotangente de π/3, π 1 1 cot = π =√ . 3 tan 3 3 função trigonom. função trigonom. inversa valor inverso 1 y = sin x x = arcsin y w= = csc x sin x 1 y = cos x x = arccos y w= = sec x cos x sin x 1 y = tan x = x = arctan y w= = cot x cos x tan xTambém se designa por arco-cotangente de y o valor do ângulo (medido emradianos) cuja cotangente é y. Da fórmula fundamental da trigonometria (f.f.t), sin2 x + cos2 x = 1obtemos (dividindo por cos2 x = 0) 1 tan2 x + 1 = , cos2 xassim como (dividindo por sin2 x = 0) 1 1 + cot2 x = . sin2 x Da fórmula de duplicação de ângulo para o coseno cos (2x) = cos2 x − sin2 x 7
  8. 8. obtemos (usando cos2 x = 1 − sin2 x) 1 − cos(2x) sin2 x = , 2assim como (usando sin2 x = 1 − cos2 x) 1 + cos(2x) cos2 x = . 2 A fórmula de duplicação de ângulo para o seno é sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) .1.3 Derivação e Fórmula de Taylor Derivada (de ordem 1) de uma função f num ponto a do seudomínio: f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) f (a) = lim = lim x→a x−a h→0 hO número real f (a) é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto(a, f(a)), cuja equação é y − f(a) = f (a) (x − a) . 1A recta normal ao gráfico de f no ponto (a, f (a)) tem por declive − e f (a)a sua equação é 1 y − f(a) = − (x − a) . f (a) Uma função é crescente nos pontos em que a derivada é positiva e de-crescente nos pontos em que a derivada é negativa. Os valores de x nosquais a derivada é nula, designados por pontos críticos, são os "candidatos"a extremos (máximos ou mínimos) relativos da função. Se a função f define a trajectória de uma partícula em movimento nodecurso do tempo, a derivada f (a) é a velocidade instantânea da partículano instante de tempo t = a. Definem-se as derivadas de ordem superior a 1: 8
  9. 9. de ordem 2 : f (x) = f f (x) , também denotada por f (2) (x) de ordem 3 : f (x) = f f (x) , também denotada por f (3) (x) ··· de ordem n : f (n) (x) = f f (n−1) (x) .Também se pode escrever f (1) (x) em vez de f (x) e f (0) (x) em vez de f (x). Regra de derivação da função composta: (f ◦ u) (x) = f (u(x)) · u (x). (1) Regra de derivação da função inversa: 1 f −1 (y) = em que y = f(x). (2) f (x) Consideremos u = u(x) e v = v(x). Em consequência de (1), são válidasas regras operacionais de derivação (u ± v) = u ± v e (k · u) = k · u (para k ∈ R) u u ·v−u·v (u · v) = u · v + u · v e = v v2 (up ) = p · up−1 · u (para p ∈ Q),a regra de derivação da exponencial (para a > 0, a = 1) (au ) = u · au · ln a (em particular (exp u) = u · exp u ),e as regras de derivação das funções trigonométricas (sin u) = u · cos u e (cos u) = −u · sin u u u (tan u) = = u · sec2 u e (cot u) = − = −u · csc2 u . cos2 u sin2 u Usando (1) e (2), obtemos as regras de derivação para as funções inversas(para a > 0, a = 1) u u (loga u) = (em particular, (ln u) = ) u · ln a u 9
  10. 10. u u (arctan u) = e (arccot u) = − 1 + u2 1 + u2 u u (arcsin u) = √ e (arccos u) = − √ . 1 − u2 1 − u2Por exemplo, de y = arcsin x obtem-se x = sin y e, por (2), 1 1 (arcsin x) = = . (sin y) cos y √Como cos y = 1 − sin2 y = 1 − x2 , temos 1 (arcsin x) = √ . 1 − x2Por (1) concluímos então que 1 u (arcsin u) = √ ·u = √ . 1−u2 1 − u2Analogamente, de y = arctan x obtem-se x = tan y e, por (2), 1 1 (arctan x) = = 1 (tan y) cos2 y 1Como = 1 + tan2 y = 1 + x2 , temos cos2 y 1 (arctan x) = . 1 + x2Por (1) concluímos então que 1 u (arctan u) = ·u = . 1 + u2 1 + u2Definição 4 Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real ea ∈ Df um ponto interior a Df . Se existem com valor real as derivadas detodas as ordens da função f no ponto a define-se o desenvolvimento (ousérie) de Taylor de f no ponto x = a como sendo f (a) f (3) (a) f(x) = f(a) + f (a) · (x − a) + · (x − a)2 + · (x − a)3 + · · · 2 3! 10
  11. 11. ou seja, f (n−1) (a) f(x) = · (x − a)n−1 . (n − 1)! n≥1Quando a = 0, o desenvolvimento f (a) 2 f (3) (a) 3 f (n−1) (0) n−1f (x) = f (0) + f (0) · x + ·x + ·x +··· = ·x 2 3! (n − 1)! n≥1diz-se o desenvolvimento (ou série) de MacLaurin de f . Assume-se que f (0) (a) = f (a). O factorial de n ≥ 1, que é denotado porn!, é definido como n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 3 · 2 · 1.Por convenção, o factorial de 0 é 1, 0! = 1. O desenvolvimento de Taylor (e de MacLaurin) é válido no domínio deconvergências da série de Taylor (e de MacLaurin) que lhe corresponde. Adeterminação do domínio de convergência é tratado no âmbito das séries depotências. Sempre que consideramos apenas um número finito n de termos no de-senvolvimento de Taylor (ou de MacLaurin), obtemos uma aproximação(polinomial) de Taylor (ou de MacLaurin) da função com erro deordem n + 1.1.4 Exercícios propostos 1. Represente graficamente as funções: (a) f(x) = −x2 , g(x) = x2 − 3 e h(x) = (x − 3)2 √ √ √ (b) f(x) = x, g(x) = 1 + x e h(x) = 1 − x √ (c) f(x) = 1/x, g(x) = 1/x2 e h(x) = 1/ x (d) f(x) = 1/ (x − 2), g(x) = 1/x − 2 e h(x) = 1/ |x − 2| (e) f(x) = exp x, g(x) = 1/ exp x e h(x) = ln x. 2. Mostre que a parábola de equação y = x2 + x + 1 tem vértice no ponto (−1/2, 3/4) . 11
  12. 12. 3. Considere a função x3 − 1 f(x) = . x−1 (a) Mostre que f(x) = x2 + x + 1 para x = 1. (b) Esboce o gráfico da função f. (c) Mostre que lim f(x) = 3 e lim f (x) = +∞. x→1 x→−∞4. Considere a função x f (x) = √ . x+1−1 √ (a) Mostre que f(x) = x + 1 + 1 para x ≥ −1 ∧ x = 0. (b) Esboce o gráfico da função f. (c) Mostre que lim f(x) = 2 e lim f(x) = +∞ x→0 x→+∞5. Considere a função   1 se x = 3 f (x) = .  0 se x = 3 (a) Esboce o gráfico da função f. (b) Mostre que lim f(x) = 1 e lim f (x) = 1. x→3 x→+∞ (c) Justifique que a função f não é contínua.6. Considere a função |x| f (x) = . x (a) Esboce o gráfico da função f. (b) Mostre que não existe limx→0 f (x) e que limx→−∞ f(x) = −1. (c) Mostre que a função f é contínua. 12
  13. 13. 7. Mostre que não existe o limite x+5 lim . x→5 x − 5 8. Resolva as seguintes indeterminações (a) limx→−1 (x + 1) /f (x), limx→−∞ f(x) e limx→+∞ 1/f(x) com f(x) = x3 + x2 . (b) limx→−1 g(x) e limx→−∞ g(x) com x2 + 1 g(x) = . x+1 9. Considere a função f (x) = 1/x. Resolva as seguintes indeterminações: √ (a) limx→+∞ x3 · f(x) , limx→+∞ [x · f (x)] e limx→+∞ [ x · f(x)] √ (b) limx→0 x3 · f(x) , limx→0 [x · f (x)] e limx→0+ [ x · f (x)] .10. Escreva a expressão da primeira derivada de cada uma das seguintes funções: 1 √ (a) f(x) = 4x3 + 3x + +5 x x 3 x (b) f(x) = 2 5 + exp x2 + x 3 (c) f(x) = (2x − 3)4 − ln 2x3 + cos x (d) f(x) = cos3 x − 6 cos x3 − tan(4x) + 5 sin (3x) 3x + x2 (e) f(x) = + 4 arcsin (2x) − cot x2 5 (f) f(x) = sec (−3x) + csc (5x) − 4 arctan x3 .11. Considere a função f(x) = 4x2 + 2x. 13
  14. 14. (a) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1. (b) Obtenha a equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de ordenada 12 e abcissa negativa. (c) Determine as equações das rectas tangente e normal no vértice da parábola de equação y = f (x). 12. Considere f(x) = (x + 3)2 . Utilize o desenvolvimento de MacLaurin para escrever a função f como potências de x, f (x) = x2 + 6x + 9. 13. Utilize o desenvolvimento de MacLaurin para obter um polinómio de ordem 3 que aproxime a função y = exp x. 14. Utilize o desenvolvimento de MacLaurin para obter um polinómio (a) de ordem 5 que aproxime a função y = sin x (b) de ordem 4 que aproxime a função y = cos x.1.5 Soluções5. (c) f não é contínua em x = 3. x+1 18. (a) limx→−1 = 1, limx→−∞ f(x) = −∞, limx→+∞ =0 f (x) f(x)8. (b) limx→−1 g(x) não existe, 2 limx→−∞ g(x) = limx→−∞ x − 1 + = −∞ x+19. (a) limx→+∞ x3 · f(x) = +∞, limx→+∞ [x · f(x)] = 1, √ limx→+∞ [ x · f(x)] = 09. (b) limx→0 x3 · f(x) = 0, limx→0 [x · f (x)] = 1, √ limx→0+ [ x · f(x)] = +∞ 1 510. (a) f (x) = 12x2 + 3 − 2 + √ x 2 x 14
  15. 15. 3 x 3 110. (b) f (x) = 2 2x exp x2 + + 5 + exp x2 − 2 + x 3 x 3 310. (c) f (x) = 8 (2x − 3)3 − − sin x x 410. (d) f (x) = −3 cos2 (x) sin (x) + 18x2 sin x3 − + 15 cos (3x) cos2 (4x) 3 + 2x 8 2x10. (e) f (x) = +√ + 5 1 − 4x2 sin2 (x2 ) 3 sin (−3x) 5 cos (5x) 12x210. (f ) f (x) = − − − cos2 (−3x) sin2 (5x) 1 + x611. (a) y − 6 = 10 (x − 1) 111. (b) y − 12 = (x + 2) 1411. (c) A parábola tem por zeros 0 e −1/2 logo a abcissa do vértice é −1/4. A ordenada do vértice é f (−1/4) = −1/4. A recta tangente é y = −1/4 e a recta normal é x = −1/4.12. f (x) = 2 (x + 3) , f (x) = 2 e f (n) (x) = 0 para n ≥ 3. Temos então f (0) 2 f (3) (0) 3 f(x) = f(0) + f (0) · x + ·x + · x + ··· 2 3! 2 2 0 = 9+6·x+ · x + · x3 + · · · = 9 + 6x + x2 . 2 3!13. Dado que (exp x) = exp x, temos 1 1 exp x 1 + x + x2 + x3 . 2 614. (a) Temos f (x) = f (5) (x) = cos x, f (x) = − sin x, f (x) = − cos x, e f (4) (x) = sin x. O polinómio pedido é 1 1 5 x − x3 + x . 6 12014. (b) Dado que cos x = (sin x) obtemos da alínea anterior que 1 1 cos x 1 − x2 + x4 . 2 24 15
  16. 16. 2 Séries numéricas e séries funcionais Dada uma sucessão (un )n∈N de números reais, (un ) : u1 , u2 , u3 , · · · un , un+1 , · · · ,(a cada número natural n está associado o termo un de ordem n) podemosconsiderar a adição de todos os seus termos, uma infinidade de parcelas. Éo que se pretende com o conceito de série numérica.Definição 5 A série numérica de termo geral un , que se denota por ∞ un ( un , un ou simplesmente un ), é a soma infinita dos termosn≥1 n=1 n∈N nda sucessão real (un )n∈N , un = u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 + un + un+1 + · · · . n≥1 Embora o termo geral da série seja o termo geral da sucessão (un )n∈N , asérie un é distinta da sucessão (un )n∈N que lhe está associada. Enquanto n≥1na primeira os termos estão adicionados entre si, na segunda estão "soltos"como sequência ordenada7 .2.1 Convergência e soma de uma série Dada uma série numérica un , pode acontecer que o limite n≥1 lim (u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 + un ) nexista como número real (i.e., seja finito). Neste caso a série diz-se conver-gente e o valor S desse limite diz-se a soma da série. No caso contrário,se não existe esse limite ou se é +∞ ou −∞, a série numérica diz-se di-vergente. Classificar uma série numérica como convergente ou divergenteé identificar a sua natureza. Temos a seguinte definição rigorosa. 7 Uma série numérica pode estar definida apenas para valores de n a partir de umacerta ordem k. Nesse caso, escreve-se un = uk + uk+1 + uk+2 + · · · + uk + uk+1 + uk+2 + · · · . n≥kTambém se podem considerar séries numéricas com início em n = 0, un . n≥0 16
  17. 17. Definição 6 Dada uma série numérica un , define-se a sua sucessão n≥1 ndas somas parciais por Sn = ui , ou seja, i=1 (Sn )n∈N : u1 , u1 + u2 , u1 + u2 + u3 , ...se a sucessão das somas parciais (Sn )n∈N for convergente com limite S, lim Sn = lim (u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 + un ) = S, n na série diz-se convergente e o valor S diz-se a soma da série; se asucessão das somas parciais (Sn )n∈N for divergente (caso em que tende para+∞, tende para −∞ ou não tem limite), a série diz-se divergente. Deste modo, a sucessão das somas parciais (Sn )n∈N determina a naturezada série numérica. Note que a sucessão (Sn )n∈N de somas parciais é distintada sucessão (un )n∈N que define a série. À primeira corresponde a sequênciaS1 = u1 , S2 = u1 +u2 , S3 = u1 +u2 +u3 , . . . Sn = u1 +u2 +· · ·+un , . . .enquanto à segunda corresponde a sequência u1 , u2 , u3 , . . . un , . . . .A convergência de uma série traduz-se no essencial por: "a soma de todos(portanto, em número infinito) os termos da série acumula/não-excede umdeterminado valor; esse valor, conforme é intuitivo, é a soma da série".Podemos dizer que a série converge para essa soma. Existem séries numéricas que têm designações bem especificas dada aestrutura do seu termo geral. A série numérica 1 1 1 1 1 = 1 + + + + ··· + + ··· , n 2 3 4 10 n≥1é designada por série harmónica. Relativamente à sucessão (Sn )n∈N dassomas parciais, prova-se que 1 S2n ≥ 1 + n · . 2Temos 1 1 lim S2n ≥ lim 1 + n · = 1 + +∞ · = 1 + ∞ = +∞, n n 2 2 17
  18. 18. o que mostra que a sucessão das somas parciais, da qual os termos S2nconstituem uma subsucessão, não converge para um valor finito. Concluímosentão que a série é divergente. Uma série numérica com a forma geral 1 un = , nα n≥1 n≥1para certo α ∈ R, é designada por série de Dirichlet. São convergentesse α > 1 e divergentes se α ≤ 1. Note que a série harmónica é um casoparticular de série de Dirichlet (com α = 1). Uma série numérica que tem como termo geral uma progressão ge-ométrica (significa que cada termo resulta da multiplicação do termo an-terior por um valor constante) é designada por série geométrica. Asséries geométricas têm a forma geral un = a · rn−1 = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · · + a · rn−1 + a · rn + · · ·n≥1 n≥1com a, r ∈ R e a = 0. O número real r é a razão da série numérica e a é ovalor do seu primeiro termo. O termo geral da sucessão de somas parciais édado por Sn = (n + 1) aquando r = 1 (trata-se da série de termo geral constante igual a a), e é dadopor a (1 − rn ) Sn = 1−rquando r = 1. Concluímos então que a série é convergente se |r| < 1 (ouseja, se −1 < r < 1) com soma S igual a a (1 − rn ) a a 1o termo S = lim = 1 − lim rn = = n 1−r 1−r n 1−r 1 − razão(note que se −1 < r < 1 então rn → 0), e é divergente se |r| ≥ 1 (ou seja, ser ≤ −1 ∨ r ≥ 1) (note que se r = 1 temos Sn = (n + 1) a → +∞ · a = +∞,se r > 1 temos rn → +∞, e se r ≤ −1 não existe8 o limite de rn ). Portanto,se −1 < r < 1 podemos escrever a un = a · rn−1 = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · · = . 1−r n≥1 n≥1 8 Se r = −1 temos a · (−1)n−1 = a − a + a − a + a − · · · n≥1 18
  19. 19. Proposição 7 Se as séries numéricas un e vn são convergentes e n≥1 n≥1têm somas S e S , respectivamente, então a série numérica (un + vn ) n≥1também é convergente e tem soma S + S .Proposição 8 Se a série numérica un é convergente e tem soma S n≥1então a série numérica (α · un ), com α ∈ R, também é convergente e tem n≥1soma α · S. Resulta das proposições anteriores que se duas séries numéricas un e n≥1 vn são convergentes e têm somas S e S , respectivamente, então a sérien≥1numérica (α · un + β · vn ), com α, β ∈ R, também é convergente e tem n≥1soma α · S + β · S .Proposição 9 Se a série numérica un é convergente e tem soma S e a n≥1série numérica vn é convergente e tem soma S então n≥1 (un ∗ vn ) ≤ S ∗ S . n≥12.2 Alguns critérios de convergência para séries de termos não-negativos A determinação de uma expressão analítica do termo geral Sn = u1 +u2 + · · · + un da sucessão de somas parciais é uma situação pouco frequente.Ao contrário do que sucede com as séries geométricas, para a maioria dasséries numéricas un não é possível estabelecer uma tal expressão. Tal n≥1impede o cálculo do limite de Sn e a obtenção do valor da soma S da série.No entanto, é usual fazer um estudo da série numérica por meios indirectos,através de critérios que permitem identificar a sua natureza.mas a sucessão das somas parciais   a se n ímpar Sn =  0 se n parnão tem limite (note que a = 0), logo a série é divergente. 19
  20. 20. Proposição 10 (Critério do Termo Geral, Critério Geral de Con-vergência ou Condição Necessária de Convergência) Se a série numérica un é convergente entãon≥1 lim un = 0. nProof. Temos Sn = u1 + u2 + · · · + un e Sn−1 = u1 + u2 + · · · + un−1 (paran > 1). Assim, para n > 1, temos Sn − Sn−1 = u1 + u2 + · · · + un − (u1 + u2 + · · · + un−1 ) = un .Dado que a série é convergente, existe o limite de Sn . Suponhamos quelimn Sn = l. Também limn Sn−1 = l, donde lim un = lim (Sn − Sn−1 ) = l − l = 0 n nconforme se pretende demonstrar Em consequência (por contra-recíproco) deste resultado, se limn un = 0então a série numérica un é divergente, n≥1 limn un = 0 =⇒ un série divergente . n≥1 De salientar: para uma série numérica un ser convergente, NÃO n≥1BASTA (não é suficiente) que o seu termo geral un convirja para 0 (comomostra o exemplo da série harmónica (1/n)), no entanto, tal é necessário n≥1(como afirma a Proposição anterior).Proposição 11 (Critério Geral da Comparação ou Critério da Com-paração - formulação 1) Sejam un e vn duas séries numéricas n≥1 n≥1tais que, a partir de certa ordem, se tem un , vn ≥ 0 e vn ≤ un . Então, aconvergência da série un implica a convergência da série vn , n≥1 n≥1 un série convergente =⇒ vn série convergente , n≥1 n≥1e a divergência da série vn implica a divergência da série un , n≥1 n≥1 vn série divergente =⇒ un série divergente . n≥1 n≥1 20
  21. 21. Proposição 12 (Critério da Comparação - formulação 2) Sejam un e vn duas séries numéricas tais que un ≥ 0 e vn > 0 para todo on≥1 n≥1n. Se existe o limite un L = lim vn ne tem valor finito não-nulo (portanto L = 0 e L = +∞, ou ainda, 0 < L <+∞) então as duas séries têm a mesma natureza. É frequente o uso de uma série de Dirichlet 1 nα n≥1como série vn . O valor conveniente para α ∈ Q é escolhido com base no n≥1termo geral un da série un de que se quer identificar a natureza. Também n≥1as séries geométricas são usadas com frequência para comparação.Proposição 13 (Critério da Raíz de Cauchy) Dada uma série numérica un tal que un ≥ 0 para todo o n, suponha que o limiten≥1 √ L = lim n un né finito ou +∞. Então a série é convergente se L < 1 e é divergente se L > 1 √ou L = 1+ (L = 1+ significa L = 1 e n un > 1). Quando L = 1− (que √ √significa L = 1 e n un < 1) ou L = 1± (que significa L = 1 mas n un > 1 √para alguns valores de n e n un < 1 para outros valores de n intercaladoscom os anteriores) nada se pode concluir sobre a natureza da série.Proposição 14 (Critério da Razão de D’ Alemberg) Dada uma sérienumérica un tal que un > 0, para todo o n, suponha que o limite n≥1 un+1 L = lim n uné finito ou +∞. Então série é convergente se L < 1 e é divergente se L > 1ou L = 1+ (L = 1+ significa L = 1 e un+1 /un > 1). Quando L = 1−(que significa L = 1 e un+1 /un < 1) ou L = 1± (que significa L = 1 masun+1 /un > 1 para alguns valores de n e un+1 /un < 1 para outros valores den intercalados com os anteriores) nada se pode concluir sobre a natureza dasérie. 21
  22. 22. 2.3 Convergência simples e absoluta de uma série numéricaDefinição 15 Dada uma série numérica un , a série de termos não- n≥1negativos |un | diz-se a sua série modular. n≥1Definição 16 Uma série numérica un diz-se absolutamente conver- n≥1gente quando a série modular |un | é convergente. n≥1 A relação entre estes dois tipos de convergência é (dada pela seguinteproposição) é consequência do critério da comparação - formulação 1.Proposição 17 Uma série un é convergente sempre que a sua série n≥1modular |un | o for, n≥1 |un | série convergente =⇒ un série convergente . n≥1 n≥1Além disso, tem-se |un | ≥ un . (3) n≥1 n≥1Proof. Dadas as desigualdades 0 ≤ un + |un | ≤ |un | + |un | = 2|un |e o facto de ser convergente a série |un |, concluímos pelo critério da n≥1comparação - formulação 1 que a série numérica (un + |un |) também é n≥1convergente. Sendo un = (un + |un |) − |un |, n≥1 n≥1 n≥1a série un é convergente. A desigualdade (3) resulta da desigualdade n≥1triangular (|a + b| ≤ |a| + |b|, para todo a, b ∈ R) Dada a definição de série absolutamente convergente, podemos concluirda proposição anterior que toda a série absolutamente convergente é con-vergente. 22
  23. 23. Definição 18 Uma série numérica un diz-se simplesmente conver- n≥1gente.quando é convergente mas não absolutamente convergente, ou seja,a série numérica un é convergente mas a sua série modular |un | é n≥1 n≥1divergente. Dada a proposição anterior, concluímos que se uma série numérica éabsolutamente convergente então também é simplesmente convergente, Convergência absoluta =⇒ Convergência simples .Em consequência deste resultado (por contra-recíproco), se un não é n≥1simplesmente convergente então também não é absolutamente convergente, Não-convergência simples =⇒ Não-convergência absoluta . De salientar: para que uma série numérica un seja absolutamente n≥1convergente, NÃO BASTA (não é suficiente) que seja simplesmente con-vergente (é necessário que também convirja a sua série modular |un |), n≥1 Convergência simples Convergência absoluta ,no entanto, tal é necessário.2.4 Critérios de convergência para séries de termos negativos e séries alternadas Quando uma série un é de termos negativos consideramos n≥1 un = − (−un ) . n≥1 n≥1A série un tem a mesma natureza que a série de termos positivos (−un ) n≥1 n≥1e, caso seja convergente, tem soma de valor simétrico.Definição 19 Uma série diz-se alternada se os seus termos alternam desinal, ou seja, se o seu termo geral un é produto do factor (−1)n por umfactor an não-nulo de sinal constante, un = [(−1)n · an ] . n≥1 n≥1 23
  24. 24. O Critério do Termo Geral e o critério apresentado na seguinte proposiçãosão os mais utilizados no estuda da natureza de séries alternadas.Proposição 20 (Critério de Leibnitz) Se (an )n∈N é uma sucessão de-crescente de termos positivos e tem limite 0, então a série numérica alter-nada un = [(−1)n · an ] n≥1 n≥1é convergente.Remark 21 Quando se prova que uma série numérica alternada é con-vergente não podemos concluir que ela é absolutamente convergente. Énecessário identificar a natureza da sua série modular. Se esta for conver-gente então a série alternada é absolutamente convergente. No entanto, se asérie modular for divergente então a série alternada é apenas simplesmenteconvergente. É o caso da série alternada [(−1)n /n] cuja série modular n≥1é a série harmónica (1/n). Este é o exemplo de uma série convergente n≥1(simplesmente convergente) que não é absolutamente convergente, ou seja, Convergência simples Convergência absoluta .Remark 22 Por vezes é vantajoso começar por identificar a natureza dasérie modular. Caso esta seja convergente fica provada a convergência ab-soluta da série alternada. É o caso da série (−1)n n2 n≥1ou da série sin n . 2n n≥1No entanto, se a série modular for divergente apenas ficamos a saber quea série alternada não é absolutamente convergente. Ela pode ser divergentecomo é o caso da série [n · (−1)n ] , n≥1ou simplesmente convergente como é o caso da série (−1)n √ . n n≥1 24
  25. 25. 2.5 Séries de potências Quando o termo geral de uma série não depende apenas de n mas tam-bém de uma variável x, a série diz-se uma série funcional (ou série defunções). Consideremos o seguinte caso de série funcional, que é particular-mente importante por constituir uma generalização da noção de polinómio.Definição 23 Chama-se série de potências de x a toda a série da forma un (x) = vn · xn−1 = v1 + v2 · x + v3 · x2 + v4 · x3 + · · · . n≥1 n≥1 Para cada valor fixo de x, a série de potências vn · xn−1 dá lugar a n≥1uma série numérica. Em geral, existem valores de x que conduzem a sériesnuméricas convergentes (absolutamente ou simplesmente) e valores de x queconduzem a séries numéricas divergentes. Como exemplo, consideremos asérie de potências de x un (x) = xn−1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · n≥1 n≥1em que vn = 1 para todo o n. Para x = 2 temos a série numérica un (2) = 2n−1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · n≥1 n≥1que é divergente (o termo geral não tende para 0), enquanto para x = 1/2temos a série numérica n−1 1 1 1 1 1 1 un = =1+ + + + + ··· 2 2 2 4 8 16 n≥1 n≥1que é absolutamente convergente (é uma série geométrica de razão 1/2 ∈]−1, 1[, tal como a sua série modular).Definição 24 O conjunto de valores de x para os quais a série de potências ∞ un (x) = vn · xn−1 é convergente diz-se o domínio de convergên-n≥1 n=1cia pontual (ou apenas domínio de convergência) da série. Quando odomínio de convergência é um intervalo, a metade do comprimento desseintervalo diz-se o raio de convergência da série. 25
  26. 26. Em consequência dos critérios da raíz de Cauchy e da razão de D’ Alem-berg, é válido o seguinte resultado para determinação do domínio de con-vergência.Proposição 25 A cada série de potências de x, un (x) = vn · xn−1 , n≥1 n≥1está associado um número real R ≥ 0 ou R = +∞ tal que se x ∈ ]−R, R[(ou seja, se |x| < R) então a série numérica correspondente é absoluta-mente convergente e se x ∈ ]−∞, −R[ ∪ ]R, +∞[ (ou seja, se |x| > R)a série numérica correspondente é divergente. O valor de R é dado peloquociente 1 R= Lem que L é o valor do limite superior L = lim n |vn |. nQuando existe, o limite limn |vn+1 /vn | tem o mesmo valor que limn n |vn |.Neste caso, também podemos obter L pelo limite vn+1 L = lim . n vn Este resultado não permite concluir a natureza da série de potênciaspara x = R e x = −R (ou seja, para |x| = R). Para estes valores de x énecessário um estudo particular, ou seja, substituir na série de potências avariável x por R e por −R e estudar as séries numéricas un (R) = vn · Rn−1 e un (−R) = vn · (−R)n−1 . n≥1 n≥1 n≥1 n≥1Após o estudo destas séries numéricas, os valores R e −R são ou não incluídosno domínio de convergência, mesmo que nestas séries a convergência sejaapenas simples. Se R = 0 (caso em que L = +∞) então o domínio de convergência dasérie de potências é D = {0}. Se R = +∞ (caso em que L = 0+ ) então odomínio de convergência da série de potências é D = R. Quando R é um número real (portanto, quando R é finito) então Rcorresponde ao raio de convergência da série de potências. Dado o exposto, ∞o raio de convergência da série de potências vn · xn−1 corresponde ao n=1limite 1 R= n limn |vn | 26
  27. 27. e, caso exista, ao limite 1 1 |vn | vn R= = = lim = lim . vn+1 |vn+1 | n |vn+1 | n vn+1 limn limn vn |vn | Consideremos agora o caso mais geral de séries de potências de x − a.Definição 26 Chama-se série de potências de x − a a toda a série daforma un (x − a) = vn · (x − a)n−1 . n≥1 n≥1Proposição 27 A série de potências vn · (x − a)n−1 é convergente n≥1para os valores de x que verifiquem x ∈ ]a − R, a + R[ (ou seja, |x − a| < R)e divergente para x ∈ ]−∞, a − R[ ∪ ]a + R, +∞[ (ou seja, |x − a| > R) emque R é dado por 1 R= Lcom vn+1 L = lim ou L = lim n |vn |. n vn nSe |x − a| > R então a série de potências é divergente. Para x = a−R e x = a+R (ou seja, |x − a| = R) é necessário um estudoparticular. O desenvolvimento de Taylor é uma série de potências de x − a e odesenvolvimento de MacLaurin é uma série de potências de x.2.6 Exercícios propostos 1 1. Justifique que a série numérica √ é divergente. n≥1 n 3 2. Mostre que a série numérica n é convergente e tem soma S = 3. n≥1 2 3. Estude a natureza da série numérica 3−n . Caso seja convergente, n≥1 determine a sua soma. 27
  28. 28. 4. Proceda como no exercício anterior relativamente às séries numéricas 5 (−3)−n , [3 (−1)n ] e 3. n≥1 n≥1 n≥15. Mostre que são divergentes as séries numéricas 2n , (−2)n , (−1)n , n≥1 n≥1 n≥1 e 2n 1 n+2 n+1 − , , . 3 n+5 n n≥1 n≥1 n≥1 3 16. Mostre que a série numérica n + 2 é convergente. n≥1 2 4n7. Por comparação, mostre que as séries numéricas vn de termo geral n≥1 n 1 3n − 1 1 vn = , vn = , vn = e vn = n n3 +1 n (n + 1) n3 2 +n são convergentes enquanto que as séries numéricas vn de termo n≥1 geral 1 1 vn = (para n ≥ 2) e vn = √ n−1 n cos2 n são divergentes.8. Usando um critério da comparação, mostre que as séries numéricas un de termo geral n≥1 2 n−3 1 un = , un = e un = sin n n2 n são divergentes enquanto que são convergentes as séries numéricas un de termo geral n≥1 n 1 n n+2 un = , un = n sin 3 e un = ln . (n2 + 1) (n + 5) n +1 n2 +1 n+59. Mostre que a série (−1)n + (−1)n+1 é convergente e tem soma n≥1 S = 0. 28
  29. 29. (−1)n10. Mostre que a série alternada é simplesmente convergente. n≥1 n (−1)n11. Mostre que a série alternada 2 é absolutamente convergente. n≥1 n12. Mostre que a série alternada [n(−1)n ] é divergente. n≥1 (−1)n+213. Mostre que a série alternada √ é simplesmente convergente. n≥1 n 314. Mostre que a série alternada (−1)n+1 é absolutamente con- n≥1 n! vergente.15. Mostre que são absolutamente convergentes as séries numéricas un n≥1 de termo geral n (−1)n 1 un = , un = (−1)n+1 n sin (n2 + 1) (n + 5) n3 + 1 e n (−1)n+1 n + 2 un = ln . n2 + 1 n+5 n16. Mostre que a série alternada (−1)n+1 é simplesmente con- n≥1 n+1 vergente.17. Considere a série de potências ´ xn−1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · . n≥1 (a) Mostre que o domínio de convergência da série de potências é o intervalo ]−1, 1[. (b) Dado que, para cada x ∈ ]−1, 1[, a série de potências de x dá lugar a uma série geométrica, mostre que 1 xn−1 = 1−x n≥1 29
  30. 30. 18. Mostre que série de potências de x xn un (x) = , n≥1 n≥1 [3 + (−1)n ]2n tem o intervalo ]−4, 4[ como domínio de convergência.19. Determine o domínio de convergência das seguintes séries de potências de x : xn (a) un (x) = n≥1 n≥1 n! (b) un (x) = (n!xn ) n≥1 n≥1 (−1)n xn (c) un (x) = n n≥1 n≥1 n · 2 x2n−1 (d) un (x) = n≥1 n≥1 2n − 1 xn (e) un (x) = √ n n≥1 n≥1 n20. Determine o domínio de convergência das seguintes séries de potências de x − 2 : (a) un (x − 2) = n(x − 2)n−1 n≥1 n≥1 (x − 2)2n+1 (b) un (x − 2) = (−1)n . n≥1 n≥1 (2n + 1)!21. Mostre que D = [0, 2] é o domínio de convergência da série de potências de x − 1 (x − 1)n un (x − 1) = . n2 n≥1 n≥122. Mostre que, para todo o x ∈ R, são válidos os desenvolvimentos de MacLaurin: 30
  31. 31. 1 (a) exp x = xn−1 n≥1 (n − 1)! (−1)n−1 2n−1 (b) sin x = x n≥1 (2n − 1)! (−1)n−1 2n−2 (c) cos x = x . n≥1 (2n − 2)! 23. Determine os valores de x ∈ R para os quais os seguintes desenvolvi- mentos em série de potências convergem para as respectivas funções: 1 1 x2n (a) 1 + x2 + x4 + x6 + · · · + + · · · = exp(x2 ) 2 6 n! 1 1 1 (x − 2)n−1 1 (b) − (x − 2) + (x − 2)2 − · · · + (−1)n−1 n + ··· = 2 4 8 2 x2.7 Soluções3. É convergente. Tem soma 1/2.4. A série numérica 5 · (−3)−n é convergente e tem soma 5/4. As n≥1 séries numéricas [3 (−1)n ] e 3 são divergentes. n≥1 n≥119. (a) Dconv = R.19. (b) Dconv = {0}.19. (c) Dconv = [−2, 2[ mas a convergência é simples em x = 2.19. (d) Dconv = ]−1, 1[.19. (e) Dconv = R.20. (a) Dconv = ]1, 3[ .20. (b) Dconv = R.23. (a) Para todo o x ∈ R.23. (b) Para x ∈ ]0, 4[ . 31

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